На дне сосуда в виде усеченного конуса с основанием

Рассмотрим произвольный
конус и проведем плоскость, параллельную основанию конуса. Эта плоскость пересекает
конус по кругу и разбивает конус на две части. Одна из этих частей будет
конусом, а другую называют усечённым конусом.

Усечённым конусом
называется часть конуса, которая лежит между его основанием и секущей плоскостью,
параллельной основанию.

Основаниями усечённого
конуса называются основание
полного конуса, из которого получен усечённый, и часть секущей плоскости, ограниченная
конической поверхностью (круг).

Образующей усечённого
конусаназывается
часть образующей полного конуса, заключённая между основаниями усечённого
конуса.

Высотой усечённого
конуса называется расстояние
между его основаниями.

Сечение усечённого
конуса плоскостью, которая проходит через его ось, называют осевым сечением усечённого
конуса.

Осевое сечение усечённого
конуса – равнобедренная трапеция, основания которой – диаметры оснований
конуса, боковые стороны – образующие усечённого конуса, высота этой трапеции равна
высоте усечённого конуса.

Боковая и полная поверхность усечённого
конуса.

В качестве величины
боковой поверхности усечённого конуса принимается граница, к которому стремится
величина боковой поверхности правильной вписанной (или описанной) в него
усечённой пирамиды при неограниченном увеличении числа её боковых граней.

Боковая поверхность
усечённого конуса равна произведению суммы длин окружностей оснований на
половину образующей.

Sбок =
πL(R + r),

где  R  и  r – радиусы оснований усечённого конуса, а  L – длина
образующей.

Чтобы найти площадь
полной поверхности усечённого конуса необходимо к площади его боковой поверхности
прибавить площади двух его оснований.

Полная поверхность
усечённого конуса равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Sполн =
πL(R + r) + πR2 + πr2.

Боковая  поверхность усечённого
конуса равна произведению высоты тела на длину окружности, радиус которого будет
перпендикуляр, опущенный с середины образующей на высоту тела.

Боковая поверхность усечённого конуса равна

Sбок = 2π × ОА × О1О2.

Развёртка усечённого конуса.

Если поверхность усечённого
конуса разрезать по образующей и окружностям оснований и развернуть так, чтобы
боковая поверхность с основаниями лежали в одной плоскости, то на плоскости получим
фигуру, называемую развёрткой усечённого конуса.

ЗАДАЧА:

Найдите боковую поверхность усечённого конуса, если его образующая
наклонена к плоскости основания под углом 
60°,
а площадь осевого сечения равна  S.

Пусть дан усечённый конус 
СА  с площадью осевого
сечения  


S  и  ∠ABO
= 60°. 


Найти боковую поверхность  Sx  усечённого конуса.

В равнобедренной трапеции 
ВАDС  из вершины  А  на основание 
СВ  опустим  АМ ⊥
СВ. Обозначим  


АВ
= L, ОВ = R, О1А
= r. 


В прямоугольном  ∆ АМВ  из условия 
∠ МАВ
= 30°, поэтому

По условию задачи площадь осевого сечения

(R + r)H = S,

или

Умножив обе две части равенства на число  π, получим

Учитывая, что боковая поверхность усечённого конуса

Sx = πL(R + r),

находим

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Образующая усечённого конуса равна  2а  и наклонена к основанию под углом  60°. Радиус одного основания в два раза больше радиуса
второго основания. Найдите каждый из радиусов.

Пусть образующая усечённого конуса  АВ = 2а,
а угол наклона образующей к плоскости основания конуса  ∠ ВАО1 = 60°.

Учитывая, что

АО1 =
2ВО,

опустим из точки  В  на плоскость нижнего основания перпендикуляр

ВК ⊥ АО1  тогда

ВО = КО1 = АК.

З  ∆ АВК  АК = АВ cos∠ ВАК

АК = 2а cos60° = а.

Тогда

АК = КО1 = ВО = а,  
АО1 = 2а.

ОТВЕТ:  а, 2а. 

Задания к уроку 14