На дне сосуда заполненного водой лежит зеркало
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
С о д е р ж а н и е к н и г и 1. в В Е Д Е Н И Е. 2. Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Й О Б З О Р. 3. Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т и 1 ЕГЭ – 108 З А Д А Ч. 3-1. ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ. 3-2. ПЛОСКИЕ ЗЕРКАЛА. 3-3. ЛИНЗЫ. ХОД ЛУЧЕЙ В ЛИНЗАХ. 3-4. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. 3-5. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ЛИНЗАХ. 4. Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ – 63 З А Д А Ч и. 4-1. ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ. 4-2. ПЛОСКИЕ ЗЕРКАЛА. 4-3. ЛИНЗЫ. ХОД ЛУЧЕЙ В ЛИНЗАХ. 4-4. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. 4-5. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ЛИНЗАХ. 5. зАДАЧИ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ – 27 з а д а ч. 6. т А Б Л И Ц Ы С Ф О Р М У Л А М И.
Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т и 1 ЕГЭ Задача № 1-4 Световой луч 1 падает под углом α на переднюю поверхность плоскопараллельной стеклянной пластинки. На какой угол β от направления падающего луча отклоняется луч 2, отражённый от задней поверхности пластинки и вышедший из неё обратно через переднюю поверхность?
Рис. 3. Изобразим на рисунке ход луча. Проведем вспомогательный луч 3, параллельный падающему лучу и проходящий через точку выхода луча из стекла. Будем искать угол β между лучами 2 и 3. Падающий луч при входе в стекло преломится под некоторым углом, после чего под тем же углом отразится от нижней грани пластинки. Из пластинки луч выйдет под углом α (в соответствии с законом преломления). Угол отклонения направления вышедшего луча от направления падающего луча равен углу между двумя лучами 2 и 3. На рисунке видно, что этот угол равен β = π − 2α. Задача № 1-17 Точечный источник S (рис. 16) расположен вблизи системы, состоящей из двух плоских зеркал З1 и З2, так, как показано на рисунке. Сколько изображений даст эта система зеркал?
Рис. 16. Изображение в плоском зеркале формирует расходящийся пучок света, отразившийся от зеркала. Глаз, продолжая лучи “за зеркало”, видит там мнимое изображение. При этом для того, чтобы изображение в плоском зеркале существовало, вовсе не обязательно, чтобы предмет располагался непосредственно напротив зеркала. Для того достаточно, чтобы источник располагался в полупространстве, к которому обращена отражающая поверхность зеркала. Из рисунка 17 видно, что источник S располагается перед зеркалом З1, но позади зеркала З2, а это значит, что источник будет давать изображение только в первом зеркале, а во втором не будет. Таким образом, данная система зеркал дает одно изображение S1.
Рис. 17. Задача № 1-22 Два плоских зеркала расположили под прямым углом друг к другу. Докaзaть, что луч, отразившийся от обоих зеркал, будет параллелен падающему.
Рис. 20. Рассмотрим отражение луча АО1 от двух зеркал KL и LM, расположенных под прямым углом друг к другу (рис. 20). Пусть α – угол падения луча АО1 на зеркало KL, тогда угол отражения луча О1О2от зеркала KL также будет α. Далее луч О1О2 падает на зеркало LM. Так как треугольник ΔСО1О2 прямоугольный, то угол падения луча О1О2 равен <СО2О1 = δ = π/2 – α. По закону отражения угол отражения луча О2В также равен <ВО2С = δ = π/2 – α. Из рисунка видно, что углы <ВО2С, <СО2О1 и угол φ смежные, откуда получаем φ = π – <ВО2С – <СО2О1 или φ = π – 2δ = π – π/2 + α – π/2 + α = 2α. Так как угол <АО1О2 = φ = 2α, а эти углы являются внутренними накрест лежащими углами, следовательно, лучи АО1 и О2В являются параллельными лучами. Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ Задача № 2-10 Hа дне сосуда, заполненного водой, лежит плоское зеркало. Человек, наклонившийся над сосудом, видит изображение своего глаза в зеркале на расстоянии наилучшего зрения d = 25 см, когда расстояние от глаза до поверхности воды h = 5 см. Определить глубину сосуда. Показатель преломления воды n = 4/3. Дано: d = 0,25 м, h = 0,05 м, n = 4/3. Определить b – ?
Рис. 33. Для решения задачи нарисуем рисунок (рис. 33). Мнимое изображение своего глаза (точки О) наблюдатель увидит в точке О1 – точке пересечения двух лучей: О1О и О1СD. Рассмотрим произвольный луч ОАВСD, выходящий из глаза и после отражения от зеркала снова попадающий в глаз. Обычно, при рассмотрении предметов глазом углы падения и преломления лучей бывают малы, следовательно, можно пользоваться равенствами: для угла падения sinα ≈ tgα ≈ α и для угла преломления sinβ ≈ tgβ ≈ β. Глаз видит изображение точки О в точке О’ лежащей на продолжении луча CD. Из треугольника ΔОО1D выразим катет ОD как ОD = ОО1·tgα = d·α (1). С другой стороны катет ОD можно выразить через расстояние h, глубину сосуда b, угол падения луча ОА – α и угол преломления луча АВ – β. Предварительно запишем закон преломления луча при переходе его из воздуха в воду: sinα/sinβ = n или α/β = n, откуда угол преломления равен β = α/n. Тогда катет ОD равен ОD = 2htgα + 2btgβ = 2hα + 2bβ, откуда получаем ОD = 2α(h + b/n) (2). Приравниваем правые части выражений (1) и (2) Задача № 2-26 Расстояние между точечным источником света и экраном L. Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на экране резкое изображение точечного источника при двух положениях линзы. Определите фокусное расстояние F линзы, если расстояние между указанными положениями линзы b. Дано: L, b. Определить F – ?
Рис. 48. При решении данной задачи нам приходится иметь дело с пятью неизвестными: d1, d2, f1, f2 и F. Следовательно, для успешного решения задачи, нам необходимо построить пять независимых уравнений. Воспользуемся рис. 48. На рисунке представлены два положения линзы I и II, при которых получаются резкие изображения. Строим уравнения: Исключаем неизвестные: подставляем уравнения (1), (2) и (3) в уравнения (4) и (5).
телефон: +79175649529, почта: gaegoralev@mail.ru |
Источник
32. Электродинамика. Квантовая физика (расчетная задача)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Точечный источник движется со скоростью 2 мм/с вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием 8 см. С какой скоростью (в мм/с) движется изображение источника в тот момент, когда источник находится от линзы на расстоянии 10 см?
Формула тонкой линзы для собирающей линзы: [frac{1}{F}=frac{1}{d}+frac{1}{f}] где (F) – фокусное расстояние,
(d) – расстояние от предмета до линзы
(f) – растояние от изображения до линзы [f=frac{Fd}{d-F}] [Gamma=frac{f}{d}=frac{F}{d-F}=frac{8}{2}=4] Возьмем производную по времени [f’=frac{Fd'(d-F)-d’dF}{(d-F)^2}] Заметим, что (v=d’) – скорость предмета, (u=f’) – скорость изображения. [u=frac{Fv(d-F)-vdF}{(d-F)^2}=frac{-F^2v}{(d-F)^2}=-vGamma^2=-2cdot4^2=-32 text{ мм/с}] Знак минус, потому что изображение движется в противоположную сторону.
Ответ: 32
Точечный источник находится на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием 6 см на расстоянии 8 см от линзы. Линзу начинают смещать со скоростью 3 мм/с в направлении, перпендикулярном оптической оси. С какой скоростью (в мм/с) движется изображение источника?
Формула тонкой линзы для собирающей линзы: [frac{1}{F}=frac{1}{d}-frac{1}{f}] где (F) – фокусное расстояние,
(d) – расстояние от предмета до линзы
(f) – растояние от изображения до линзы [f=frac{Fd}{F-d}] [Gamma=frac{f}{d}=frac{F}{F-d}=frac{8}{2}=4]
(v) – скорость предмета относительно линзы
(u) – скорость изображения источника [u=vGamma=12 text{ мм/с}]
Ответ: 12
Точечный источник, находящийся на главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии от нее, в полтора раза большем фокусного, начинает смещаться со скоростью 4 мм/с перпендикулярно оси. С какой скоростью (в мм/с) движется изображение источника?
Формула тонкой линзы для собирающей линзы: [frac{1}{F}=frac{1}{d}+frac{1}{f}] где (F) – фокусное расстояние,
(d) – расстояние от предмета до линзы
(f) – растояние от изображения до линзы [f=frac{Fd}{d-F}] [Gamma=frac{f}{d}=frac{F}{d-F}=frac{F}{1,5F-F}=2] [H=hGamma]
(h) – расстояние от предмета до оси
(H) – растояние от изображения до оси
Возьмем производную по времени [u=vGamma=8 text{ мм/с}]
Ответ: 8
Собирающая линза дает изображение некоторого предмета на экране. Высота изображения 9 см. Оставляя неподвижным экран и предмет, линзу передвинули к экрану и получили второе четкое изображение высотой 4 см. Найдите высоту (в см) предмета.
Формула тонкой линзы для собирающей линзы (1): [frac{1}{F}=frac{1}{d_1}+frac{1}{f_1}=frac{d_1+f_1}{d_1f_1}] где (F) – фокусное расстояние,
(d) – расстояние от предмета до линзы
(f) – растояние от изображения до линзы
Формула тонкой линзы для собирающей линзы (2): [frac{1}{F}=frac{1}{d_2}+frac{1}{f_2}=frac{d_2+f_2}{d_2f_2}] По условию задачи [d_1+f_1=d_2+f_2] Значит (d_1f_1=d_2f_2) [d_1f_1f_2+f_1^2f_2=d_2f_1f_2+f_2^2f_1] [d_1f_1f_2-d_2f_1f_2=f_2^2f_1-f_1^2f_2] [d_2f_2f_2-d_2f_1f_2=f_2^2f_1-f_1^2f_2] [d_2f_2(f_2-f_1)=f_2f_1(f_2-f_1)] [d_2=f_1,quad d_1=f_2]
Увеличение линзы: [Gamma_1=frac{f_1}{d_1}=frac{d_2}{d_1}=frac{h_1}{H}] [Gamma_2=frac{f_2}{d_2}=frac{d_1}{d_2}=frac{h_2}{H}] [frac{h_1}{H}=frac{H}{h_2}] [H=sqrt{h_1h_2}=6 text{ см}]
Ответ: 6
Точечный источник света находится в ёмкости с жидкостью и опускается вертикально вниз от поверхности жидкости. При этом на поверхности жидкости возникает пятно, в пределах которого лучи света от источника выходят из жидкости в воздух. Глубина погружения источника (расстояние от поверхности жидкости до источника света), измеренная через равные промежутки времени, а также соответствующий радиус светлого пятна представлены в таблице. Чему равен показатель преломления жидкости? (Ответ дайте с точностью до сотых.)
Радиус пятна определяется тем, что не все лучи от источника выходят из воды из-за эффекта полного внутреннего отражения. Рассмотрим предельный случай. [nsinalpha_{text{кр}}=1] [sinalpha_{text{кр}}=frac{R}{sqrt{R^2+h^2}}] [n=frac{sqrt{R^2+h^2}}{R}=frac{sqrt{10^2text{ }+12^2}}{12}=1,30]
Ответ: 1,30
Пловец, нырнувший с открытыми глазами, рассматривает из под воды светящийся предмет, находящийся над его головой на высоте 75 см над поверхностью воды. Какова будет видимая высота (в см) предмета над поверхностью воды? Показатель преломления воды 4/3. Углы считать малыми, т. е. (tgalpha = sinalpha).
Закон преломления [sinalpha=nsinbeta,] где (n) – показатель преломления воды, , (alpha ) – угол падения, (beta) – угол преломления.
Из прямоугольных треугольников: [htgalpha=Htgbeta] [hsinalpha=Hsinbeta] [hnsinbeta=Hsinalpha] [H=hn=75cdot4/3=100 text{ см}]
Ответ: 100
На дне сосуда с водой лежит плоское зеркало. Толщина слоя воды 16 см. На расстоянии 20 см от поверхности воды находится точечный источник света. На каком расстоянии (в см) от зеркала находится его изображение, образуемое лучами, вышедшими обратно из воды? Показатель преломления воды 4/3. Углы считать малыми, т. е. (tgalpha = sinalpha).
Закон преломления [sinalpha=nsinbeta] где (n) – показатель преломления воды, , (alpha ) – угол падения, (beta) – угол преломления.
Из прямоугольных треугольников: [BC=2Ltgbeta=2Lsinbeta] [AB=htgalpha=hsinalpha] [H+L=frac{AC}{tgalpha}=frac{2Lsinbeta+hsinalpha}{sinalpha}=frac{2L+hn}{n}=frac{2cdot16text{ см}+20text{ см}cdot4/3}{4/3}=44 text{ см}] [H=28 text{ см}]
Ответ: 28
Максим Олегович
????Решаем вариант профиля на 100 баллов
???? А еще сюрприз: мы подводим итоги розыгрыша “Щелчка”!
Математика: ????Решаем вариант профиля на 100 баллов
Источник
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà. Îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå 3101. Íà äíå ñòåêëÿííîé âàííî÷êè ëåæèò çåðêàëî, ïîâåðõ êîòîðîãî íàëèò ñëîé âîäû òîëùèíîé d.  âîçäóõå íà âûñîòå h îò ïîâåðõíîñòè âîäû âèñèò ëàìïà S. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ïîâåðõíîñòè çåðêàëà áóäåò íàõîäèòüñÿ èçîáðàæåíèå ëàìïû? ðåøåíèå 3102. ×åëîâåê ñìîòðèò íà ñâîå èçîáðàæåíèå â çåðêàëå, ëåæàùåì íà äíå ñîñóäà, çàïîëíåííîãî âîäîé. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå àêêîìîäèðîâàí ãëàç ÷åëîâåêà, åñëè îí íàõîäèòñÿ íà âûñîòå H = 10 ñì íàä ïîâåðõíîñòüþ âîäû â ñîñóäå, à ãëóáèíà ñîñóäà h = 8 ñì? ðåøåíèå 3103. Åñëè ñìîòðåòü ñâåðõó íà íåãëóáîêèé âîäîåì ñ ÷èñòîé âîäîé, ãëóáèíà âîäîåìà êàæåòñÿ ìåíüøåé, ÷åì îíà åñòü íà ñàìîì äåëå. Âî ñêîëüêî ðàç? ðåøåíèå 3104. Íàä âîäîé íà âûñîòå h1 = 1 ì, ïîìåñòèëè ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîå ïëîñêîå çåðêàëî. Íà êàêîé âûñîòå h íàä âîäîé óâèäèò ñâîå îòðàæåíèå ðûáà, íàõîäÿùàÿñÿ íà ãëóáèíå h2 = 0,5 ì? ðåøåíèå 3105. Äâå îïòè÷åñêèå ñðåäû èìåþò ïëîñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà è õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàçíûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðåëîìëåíèÿ n1 ¹ n2. Ëó÷ ñâåòà ïðîõîäèò ïî íåêîòîðîé òðàåêòîðèè – îò ïðèíàäëåæàùåé ïåðâîé ñðåäå òî÷êè A äî ïðèíàäëåæàùåé âòîðîé ñðåäå òî÷êè B. Ïðÿìàÿ AB íå ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè ãðàíèöû ðàçäåëà. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè äâèæåíèè ïî ýòîé òðàåêòîðèè (ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ñîåäèíÿþùèìè òî÷êè A è B òðàåêòîðèÿìè) ïðè ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ A è B çàòðà÷åííîå âðåìÿ ìèíèìàëüíî. ðåøåíèå 3106. Äâå îïòè÷åñêèå ñðåäû èìåþò ñôåðè÷åñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà è õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàçíûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðåëîìëåíèÿ: n1 = 1, n2 = 1,5. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëó÷åé ïàäàåò íà ãðàíèöó ðàçäåëà ñðåä òàê, ÷òî îñü ïó÷êà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàäèóñà ñôåðû. Ïðè ýòîì ðàäèóñ ïó÷êà r = 1 ñì ïðåíåáðåæèìî ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàäèóñîì ñôåðû R = 10 ñì: r << R: òàê, ÷òî âñå ñèíóñû è òàíãåíñû óãëîâ ïàäåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûìè ñàìèì óãëàì (â ðàäèàíàõ) – âñëåäñòâèå ìàëîñòè. Îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå òàêîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû. ðåøåíèå 3107. Ëó÷ ïàäàåò ïîä óãëîì a íà òåëî ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n. Êàê äîëæíû áûòü ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé a è n, ÷òîáû îòðàæåííûé ëó÷ áûë ïåðïåíäèêóëÿðåí ïðåëîìëåííîìó? ðåøåíèå 3108. Íà êðóãëîì ïëîñêîì çåðêàëå ëåæèò øàð ðàäèóñîì R îò ãëîáóñà, êàñàÿñü öåíòðà çåðêàëà Ñåâåðíûì ïîëþñîì. Êàêîâ äîëæåí áûòü ìèíèìàëüíûé ðàäèóñ çåðêàëà r, ÷òîáû â íåì ìîæíî áûëî âèäåòü îòðàæåíèå ëþáîé òî÷êè Ñåâåðíîãî ïîëóøàðèÿ è ÷àñòè Þæíîãî ïîëóøàðèÿ äî øèðîòû j = 30o? ðåøåíèå 3109. Ñâåòîâîä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïëîøíîé öèëèíäð èç ïðîçðà÷íîãî ìàòåðèàëà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî îòíîñèòåëüíî âîçäóõà n = 1,28. Ëó÷ ñâåòà ïàäàåò èç âîçäóõà â öåíòð âõîäíîãî òîðöà ñâåòîâîäà ïîä óãëîì b. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå óãëà bo, ïðè êîòîðîì ëó÷ èäåò âíóòðè ñâåòîâîäà, íå âûõîäÿ èç íåãî. ðåøåíèå 3110. Óçêèé ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà øèðèíîé h, èäóùèé â ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n, ïðîõîäèò ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî öåíòðà O ñôåðè÷åñêîãî âîçäóøíîãî (n = 1) ïóçûðüêà ðàäèóñà R >> h. Âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èòñÿ øèðèíà H ïó÷êà ïðè âûõîäå èç ïóçûðüêà? Óãëû â çàäà÷å ìàëû, òàê ÷òî sina » tga » a, cosa » 1. ðåøåíèå ñëåäóþùàÿ äåñÿòêà >>> |
Источник