На наклонном дне сосуда наполненного водой покоится

С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин,
И.П.Николаев, Н.Б.Подымова, М.С.Полякова,
В.И.Шмальгаузен,физфак МГУ, г. Москва

Задачи,предлагавшиеся на устных
вступительных экзаменах на факультет
вычислительной математики и кибернетики МГУ им.
М.В.Ломоносова в 2000 г.

I. Механика

Два маленьких шарика
массами m1 = 6 г и m2 = 4 г, несущие заряды q1
= 10-6 Кл и q2 = -5 · 10-6 Кл
соответственно, удерживаются на расстоянии l = 2 м
друг от друга. В некоторый момент оба шарика
отпускают, сообщив одновременно второму из них
скорость v0 = 3 м/с, направленную от первого
шарика вдоль линии, соединяющей их центры. На
какое максимальное расстояние L разойдутся
шарики? Силу тяжести не учитывать. Электрическая
постоянная

Решение

Движение шариков происходит
под действием сил электростатического
притяжения, которые являются внутренними силами
для рассматриваемой системы. Следовательно,
суммарный импульс шариков остается постоянным.
Запишем закон сохранения импульса в проекции на
координатную ось, положительное направление
которой совпадает с направлением начальной
скорости второго шарика:

здесь v1 и v2
– проекции скоростей шариков на эту же ось в
произвольный момент времени. Кулоновские силы
относятся к классу потенциальных сил, поэтому в
системе сохраняется также полная механическая
энергия. Потенциальная энергия
электростатического взаимодействия двух
зарядов определяется равенством ,
где r – расстояние между зарядами. Заметим,
что для разноименных зарядов потенциальная
энергия отрицательна и возрастает при удалении
зарядов друг от друга. В соответствии с этим
кинетическая энергия шариков будет убывать по
мере увеличения расстояния между ними, и закон
сохранения энергии запишется в виде:

При удалении шариков на
максимальное расстояние их относительная
скорость vотн = v1– v2
обратится в нуль. Это утверждение становится
очевидным, если перейти в систему отсчета,
связанную с одним из шариков. В этой системе
движение второго шарика подобно движению камня,
брошенного вертикально вверх от поверхности
Земли. Ясно, что момент остановки второго шарика
относительно первого (т.е. обращения в нуль
относительной скорости) действительно
соответствует максимальному удалению шариков
друг от друга. Таким образом, когда расстояние
между шариками максимально, v1 = v2є v.
Используя это равенство, преобразуем исходную
систему уравнений к виду:

m2 v0 =
(m1 + m2) v;

Исключая из этой системы v,
находим ответ:

Элементарный анализ
показывает, что ответ теряет смысл при

Последнему неравенству можно
придать более наглядную форму:

где – начальная
кинетическая энергия, –
начальная потенциальная энергия системы.
Физический смысл этого результата таков: если
начальная кинетическая энергия системы равна
или превышает взятую с некоторым коэффициентом
величину начальной потенциальной энергии
притяжения зарядов, то шарики удалятся на
бесконечно большое расстояние и никогда не
сблизятся. Когда массы шариков соизмеримы,
коэффициент отличен от единицы. Это отражает
тот факт, что начальная кинетическая энергия
системы в процессе взаимодействия шариков
перераспределяется между ними. Если
неограниченно увеличивать массу m1
первоначально неподвижного шарика, то множитель
устремится к единице. Бесконечно тяжелый
шарик будет оставаться неподвижным, и мы придем к
случаю движения тела около неподвижного силового
центра. Напомним, что условие того, что тело,
притягивающееся к неподвижному силовому центру,
не удалится от него на бесконечность, имеет
хорошо известный вид: E0к < | E0п|.

На наклонном дне сосуда,
наполненного водой, покоится на маленьких
подставках алюминиевый кубик с ребром a = 10 см.
Определите суммарную силу трения между кубиком и
подставками. Угол наклона дна сосуда к горизонту a = 30°, плотности
алюминия и воды соответственно ra = 2,7 • 103
кг/м3, r в == 103 кг/м3. Ускорение
свободного падения g = 10 м/c2.

Решение

Кубик находится в равновесии под
действием трех сил: силы тяжести mg,
архимедовой силы FA и силы реакции
со стороны подставок, которую, в свою очередь,
удобно разложить на две составляющие: нормальную
к наклонному дну составляющую силы реакции N
и силу трения о подставки Fтр.
Отметим, что наличие подставок, на которых
покоится кубик, играет в задаче важную роль, т.к.
именно благодаря им вода окружает кубик со всех
сторон, и для определения силы, с которой вода
действует на него, можно воспользоваться законом
Архимеда. Если бы кубик лежал непосредственно на
дне сосуда и вода под него не подтекала, то
результирующая поверхностных сил давления воды
на кубик не выталкивала бы его наверх, а наоборот,
еще сильнее прижимала бы ко дну. В нашем случае на
кубик действует выталкивающая сила FA = ra3g,
направленная вверх.

Проектируя все силы на
координатную ось, параллельную дну сосуда,
запишем условие равновесия кубика в виде:

Fтр = (mg – FA)
sina.

Учитывая, что масса кубика m =
raa3, получаем ответ:

Fтр = (ra– rв)a3g sina =
8,5 (Н).

В сосуде, вертикальное сечение
которого изображено на рисунке, находятся в
равновесии два невесомых поршня, соединенные
невесомой нерастяжимой нитью. Пространство
между поршнями заполнено жидкостью, плотностью r = 103 кг/м3.
Найдите силу натяжения нити Т, если площади
поршней S1 = 0,1 м2 и S2 = 0,05 м2,
а длина нити l = 0,5 м. Трением поршней о стенки
сосуда пренебречь, ускорение свободного падения g
= 10 м/с2.

Решение

Поршни находятся в равновесии под
действием сил, величины и направления которых
указаны на рисунке. Для облегчения анализа
рисунка точки приложения некоторых сил условно
смещены от их истинного положения. На самом деле
точки приложения всех сил расположены на оси
симметрии системы.

Будем использовать следующие
обозначения: T – величина силы натяжения
нити, которая из-за невесомости нити одинакова во
всех ее точках, p0 – атмосферное
давление, p – давление жидкости на уровне
верхнего поршня. Поршни находятся в равновесии
при выполнении условий:

p0S1 + T = pS1 –
для верхнего поршня,
(p + r gl)S2
= p0S2+ T – для нижнего.

Из первого уравнения
получаем, что T = (p – p0)S1.

Отсюда видно, что ответ
зависит от разности (p – p0). Вычитание
второго уравнения из первого дает: (p – p0)(S1
– S2) = r glS2.

Используя это выражение,
находим ответ:

Тело массой М = 10 кг,
насаженное на гладкий горизонтальный стержень,
связано пружиной с неподвижной стенкой. В это
тело попадает и застревает в нем пуля массой m
= 10 г, летящая горизонтально со скоростью v = 500
м/с, направленной вдоль стержня. Тело вместе с
застрявшей в нем пулей начинает колебаться с
амплитудой A = 10 см. Найдите период T
колебаний тела.

Решение

Считая, что длительность
взаимодействия пули с телом при соударении
пренебрежимо мала, можно утверждать, что в момент
соударения импульс системы пуля – тело
сохраняется. Следовательно,

mv = (M + m)u,

где u – скорость тела и
пули сразу после соударения. Приобретя такую
скорость, тело с застрявшей в нем пулей начинает
совершать гармонические колебания, причем в
момент наибольшего отклонения от положения
равновесия начальная кинетическая энергия
системы полностью переходит в потенциальную
энергию сжатой пружины:

Объединяя эти соотношения,
преобразуем получившееся выражение к виду:

С другой стороны, нам известна
формула для периода свободных колебаний тела
массой m на пружине жесткостью k:

Используя эту формулу,
окончательно находим

Источник

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область. Муниципальный этап

7 класс

На графике показана зависимость пути, пройденного телом от времени. Какой из графиков соответствует зависимости скорости этого тела от времени?

2. Из пункта A в пункт B выехал автомобиль «Волга» со скоростью 90 км/ч. В то же время навстречу ему из пункта B выехал автомобиль «Жигули». В 12 часов дня машины проехали мимо друг друга. В 12:49 «Волга» прибыла в пункт B, а ещё через 51 минуту «Жигули» прибыли в A. Вычислите скорость «Жигулей».

3. Материальная точка движется по окружности радиусом R=2 м с постоянной по модулю скоростью, совершая полный оборот за 4 с. Определите среднюю скорость по перемещению за первые 3 с движения

4. Тело движется так, что скорости его в течение каждого из n равных промежутков времени равны соответственно V1 ,V2, V3, …..Vn. Какова средняя скорость тела?

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область. Муниципальный этап

8 класс

Кубик 3 плавает в жидкостях 1 и 2 как показано на рисунке. В жидкости 1 находится 2/3 объема кубика. Плотности жидкостей 1 и 2. Найти плотность материала кубика 3.

2. Междугородный автобус прошел 80 км за 1 час. Двигатель развивал мощность 70 кВт при КПД 25%. Сколько дизельного топлива (плотность 800 кг/м3, удельная теплота сгорания 42 106 Дж/кг) сэкономил водитель, если норма расхода горючего 40 л на 100 км пути?

3. Человек переправляется на лодке из пункта А в пункт В, находящийся на кратчайшем расстоянии от А на другом берегу. Скорость лодки относительно воды 2,5 м/c, скорость течения реки 1,5 м/c. Какое минимальное время потребуется ему для переправы, если ширина реки равна 800 м?

4. Тело проходит одинаковые участки пути с постоянными в пределах участка скоростями V1 , V2 , V3, ….. Vn .Определите среднюю скорость на всем пути.

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область. Муниципальный этап

9 класс

Полый шарик из алюминия находясь в воде, растягивает пружину динамометра с силой 0.24 Н, а в бензине с силой 0,33 Н. Найти объем полости. Плотности алюминия, воды и бензина соответственно  =2,7 103 кг/м3, в = 103 кг/м3 и Б =0,7 103 кг/м3. Выталкивающей силой воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/c2.

На наклонном дне сосуда, наполненного водой, покоится на маленьких подставках алюминиевый кубик с ребром a = 10 см. Определите суммарную силу трения между кубиком и подставками. Угол наклона дна сосуда к горизонту  = 30°, плотности алюминия и воды соответственно a= 2,7 • 103 кг/м3, в = 103 кг/м3. Ускорение свободного падения g = 10 м/c2.

Камень, брошенный под углом  300 к горизонту, дважды был на одной высоте h; спустя время t1 = 3 c и время t2 = 5 c после начала движения. Найти начальную скорость тела. Ускорение свободного падения Земли равно 9,81 м/c2.

Ускорение свободного падения на поверхности Солнца 264,6 м/c2, а радиус Солнца в 108 раз больше радиуса Земли. Определите отношение плотностей Земли и Солнца. Ускорение свободного падения Земли равно 9,81 м/c2.

Для измерения температуры 66 г воды в нее погрузили термометр, имеющий теплоемкость СТ= 1,9 Дж/К, который показывал температуру в помещении t2=17,80С. Какова действительная температура воды, если термометр показывает 32,4 0С. Теплоемкость воды с=4,2 кДж/K?

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область. Муниципальный этап

10 класс

1. Пузырек воздуха поднимается со дна водоема, имеющего глубину H . Найти зависимость радиуса пузырька воздуха от глубины его положения в текущий момент времени, если его объем на глубине H равен V.

2. За время t1 = 40 c в цепи состоящей из трех одинаковых проводников соединенных параллельно и включенных в сеть, выделилось некоторое количество теплоты Q. За какое время выделится такое же количество теплоты, если проводники соединить последовательно?

3. Можно ли две лампы накаливания мощностью 60 Вт и 100 Вт, рассчитанные на напряжение 110 В, включить последовательно в сеть напряжением 220 В, если допустимо превышение напряжения на каждой лампе не более 10% от номинального? Вольтамперная характеристика (зависимость силы тока в лампе от приложенного напряжения) показана на рисунке.

4. Два одинаковых шара плотности ρ соединены невесомой нитью, переброшенной через блок. Правый шар, погруженный в вязкую жидкость плотности ρ0, поднимается с установившейся скоростью v. Определить отношение ρ/ρ0, если установившаяся скорость свободно падающего в жидкости шара также равна v. Ускорение свободного падения g.

5. Спортсмены бегут с одинаковыми скоростями v колонной длины l0 . Навстречу бежит тренер со скоростью u (u

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область. Муниципальный этап

11 класс

1. Колесо радиуса R катится без проскальзывания с постоянной скоростью центра колеса v. С верхней точки обода колеса срывается камешек. Через какое время колесо наедет на этот камешек? Радиус колеса R, ускорение свободного падения g.

2. Муравей бежит от муравейника по прямой так, что скорость его обратно пропорциональна расстоянию до центра муравейника. В тот момент, когда муравей находится в точке А на расстоянии l1 = 1 м от центра муравейника его скорость v1= 2 см/с. За какое время муравей добежит от точки А до точки В, которая находится на расстоянии l2 = 2 м от центра муравейника?

3. Какой максимальный объём воды плотностью ρ1 = 1,0 г/см3 можно налить в H-образную несимметричную трубку с открытыми верхними концами, частично заполненную маслом плотностью ρ2 = 0,75 г/см3? Площадь горизонтального сечения вертикальных частей трубки равна S. Объёмом горизонтальной части трубки можно пренебречь. Вертикальные размеры трубки и высота столба масла приведены на рисунке (высоту h считать заданной).

Примечание. Затыкать открытые концы трубки, наклонять её или выливать из неё масло запрещено.

4. Чему равно сопротивление проволочного каркаса в виде прямоугольника со сторонами а и в и диагональю, если ток течет от точки А к точке В? Сопротивление единицы длины провода .

Движение материальной точки описывается уравнением х(t)=0,2 sin(3,14t), где х выражается в метрах, t – в секундах. Определите путь, пройденный точкой за 10 с движения.

Возможные решения

7 класс

На графике показана зависимость пути, пройденного телом от времени. Какой из графиков соответствует зависимости скорости этого тела от времени?

Решение: Правильный ответ Г.

2. Из пункта A в пункт B выехал автомобиль «Волга» со скоростью 90 км/ч. В то же время навстречу ему из пункта B выехал автомобиль «Жигули». В 12 часов дня машины проехали мимо друг друга. В 12:49 «Волга» прибыла в пункт B, а ещё через 51 минуту «Жигули» прибыли в A. Вычислите скорость «Жигулей».

Решение: Волга» проехала путь от пункта A до места встречи с «Жигулями» за время tx, а «Жигули» этот же участок проехали за t1 = 100 минут. В свою очередь, «Жигули» проехали путь от пункта B до места встречи с «Волгой» за время tx, а «Волга» этот же участок проехала за t2 = 49 минут. Запишем эти факты в виде уравнений:

где υ1 – скорость «Жигулей», а υ2 – скорость «Волги». Поделив почленно одно уравнение на другое, получим:

Отсюда υ1 = 0,7υ2 = 63 км/ч.

Решение: Перемещение материальной точки за 3 с составляет

Средняя скорость по перемещению равна /3

Решение:

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область. Муниципальный этап

Возможные решения

8 класс

Кубик 3 плавает в жидкостях 1 и 2 как показано на рисунке. В жидкости 1 находится 2/3 объема кубика. Плотности жидкостей 1 и 2. Найти плотность материала кубика 3.

Решение: F1 mg =F1+F2 F2

3 gV = 1 gV 2/3 +2 gV 1/3

mg 3 = 12/3 +21/3

3 = (21 + 2)/3

Решение: КПД = A/Q =Nt/rm = Nt/rV

V= Nt/rКПД

Вычисления: V= 0,03 м3; из пропорции 80/100 = x/40 определяем норму расхода горючего на 80 км х = 32 (литра)

V=32-30=2 (литра)

Решение: Для переправы за минимальное время необходимо, чтобы вектор результирующей скорости v был направлен перпендикулярно берегу

Решение:

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область. Муниципальный этап

Возможные решения

9 класс

Полый шарик из алюминия находясь в воде, растягивает пружину динамометра с силой 0.24 Н, а в бензине с силой 0,33 Н. Найти объем полости. Плотности алюминия, воды и бензина соответственно  =2,7 103 кг/м3, в = 103 кг/м3 и Б =0,7 103 кг/м3. Выталкивающей силой воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/c2.

Решение:

На наклонном дне сосуда, наполненного водой, покоится на маленьких подставках алюминиевый кубик с ребром a = 10 см. Определите суммарную силу трения между кубиком и подставками. Угол наклона дна сосуда к горизонту  = 30°, плотности алюминия и воды соответственно a= 2,7 • 103 кг/м3, в = 103 кг/м3. Ускорение свободного падения g = 10 м/c2.

Решение: Кубик находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести mg, архимедовой силы FA и силы реакции со стороны подставок, которую, в свою очередь, удобно разложить на две составляющие: нормальную к наклонному дну составляющую силы реакции N и силу трения о подставки Fтр.

Отметим, что наличие подставок, на которых покоится кубик, играет в задаче важную роль, т.к. именно благодаря им вода окружает кубик со всех сторон, и для определения силы, с которой вода действует на него, можно воспользоваться законом Архимеда. Если бы кубик лежал непосредственно на дне сосуда и вода под него не подтекала, то результирующая поверхностных сил давления воды на кубик не выталкивала бы его наверх, а наоборот, еще сильнее прижимала бы ко дну. В нашем случае на кубик действует выталкивающая сила FA = a3g, направленная вверх.

Проектируя все силы на координатную ось, параллельную дну сосуда, запишем условие равновесия кубика в виде: Fтр = (mg – FA) sin.

Учитывая, что масса кубика m = aa3, получаем ответ: Fтр =(a – в)a3g sin = 8,5 (Н).

Камень, брошенный под углом  300 к горизонту, дважды был на одной высоте h; спустя время t1 = 3 c и время t2 = 5 c после начала движения. Найти начальную скорость тела. Ускорение свободного падения Земли равно 9,81 м/c2.

Решение: Движение тела в вертикальном направлении описывается уравнением:

Отсюда при y = h получим;

Используя свойства корней квадратного уравнения, согласно которым

получим

Ускорение свободного падения на поверхности Солнца 264,6 м/c2, а радиус Солнца в 108 раз больше радиуса Земли. Определите отношение плотностей Земли и Солнца. Ускорение свободного падения Земли равно 9,81 м/c2.

Решение: Применим закон всемирного тяготения для определения g

Для измерения температуры 66 г воды в нее погрузили термометр, имеющий теплоемкость СТ= 1,9 Дж/К, который показывал температуру в помещении t2=17,80С. Какова действительная температура воды, если термометр показывает 32,4 0С. Теплоемкость воды с=4,2 кДж/K?

Решение: Термометр при погружении его в воду получил количество теплоты .

Это количество теплоты отдано ему водой; следовательно .

Отсюда

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область. Муниципальный этап

Возможные решения

10 класс

Решение: Давление на дне водоема: на глубине h:

Объем пузырька на глубине h:

Отсюда

Решение:

Решение: При номинальном напряжении Uн=110 В ток, текущий через лампу мощностью Р1= 60 Вт равенА. При последовательном соединении ламп такой же ток пойдет через лампу мощностью Р2= 100 Вт. Согласно вольтамперной характеристике этой лампы, при токе 0,5 А напряжение на этой лампе должно быть В. Следовательно, при последовательном соединении двух ламп напряжение на лампе мощностью 60 Вт достигает номинального уже при напряжении в сети В. Поэтому при напряжении в сети 220 В напряжение на этой лампе будет превышать номинальное больше, чем на 10%, и лампа перегорит.

Решение: Силы сопротивления движению шаров из-за равенства их установившихся скоростей одинаковы в обоих случаях, хотя и направлены в противоположные стороны.

Запишем динамическое уравнение движения в проекциях на ось оу, направленную вертикально вверх, для первого и второго случаев (движения системы тел и падения одного шарика в жидкости, соответственно):

T – mg = 0

T + FA – mg – Fc = 0

FA – mg + Fc = 0 ,

где mg –модуль силы тяжести, Т – модуль силы натяжения нити, FA – модуль выталкивающей силы, Fc– модуль силы сопротивления.

Решая систему уравнений, получим, .

5. Спортсмены бегут с одинаковыми скоростями v колонной длины l0 . Навстречу бежит тренер со скоростью u (u

Решение: Время, в течение которого все спортсмены, начиная с первого и кончая последним в колонне, повстречаются с тренером, равно

В тот момент, когда последний спортсмен поравняется с тренером, первый будет находиться от него на расстоянии

Такова и будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся.

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Ленинградская область.

Муниципальный этап

Возможные решения

11 класс

Решение: Если ось колеса движется со скоростью v, без проскальзывания, то скорость нижней точки равна 0, а верхней, как и горизонтальная скорость камушка, равна 2v.

Время падения камушка

Время движения оси по горизонтали в два раза больше.

Значит, наезд произойдет через .

Решение: Скорость муравья меняется со временем не по линейному закону. Поэтому средняя скорость на разных участках пути различна, и пользоваться для решения известными формулами для средней скорости мы не можем. Разобьем путь муравья от точки А до точки В на малые участки, проходимые за одинаковые промежутки времени . Тогда

, где – средняя скорость на данном отрезке .

Построим график зависимости величины от (см. рисунок). Искомое время численно равно заштрихованной на рисунке площади:

Учитывая, что , найдем соотношение между обратными величинами скоростей: . Подставляя полученное равенство в последнее выражение для , получим: .

После подстановки, найдем значение с.

3. Какой максимальный объём воды плотностью ρ1 = 1,0 г/см3 можно налить в H-образную несимметричную трубку с открытыми верхними концами, частично заполненную маслом плотностью ρ2 = 0,75 г/см3? Площадь горизонтального сечения вертикальных частей трубки равна S. Объёмом горизонтальной части трубки можно пренебречь. Вертикальные размеры трубки и высота столба масла приведены на рисунке (высоту h считать заданной).

Примечание. Затыкать открытые концы трубки, наклонять её или выливать из неё масло запрещено.

Решение: Важно, чтобы в коротком колене осталось как можно меньше масла. Тогда в высокой трубке можно будет создать столб максимальной высоты, превышающей 4h на х. Для этого начнём наливать воду в правое колено. Так будет продолжаться до тех пор, пока уровень воды не достигнет 2h в правом колене, а уровень масла, соответственно, – 3h в левом. Дальнейшее вытеснение масла невозможно, так как граница раздела масло-вода в правом колене станет выше соединительной трубки, и в левое колено начнёт поступать вода. Процесс добавления воды придётся прекратить, когда верхняя граница масла в правом колене достигнет верха колена. Условие равенства давлений на уровне соединительной трубки даёт:

откуда x = (ρ1 – ρ2)h/ρ2. Окончательно, высота столба воды, который удалось налить (4h + х), а, следовательно, максимальный объем воды будет 4,33hS.

Решение:

5. Движение материальной точки описывается уравнением х(t)=0,2 sin(3,14t), где х выражается в метрах, t – в секундах. Определите путь, пройденный точкой за 10 с движения.

Решение: Движение описывается уравнением:

;

отсюда Т=1 с За время 10 с точка совершит 10 полных колебаний. За время одного полного колебания точка проходит путь равный 4 амплитудам.

Полный путь равен 10x 4x 0,2 = 8 м

Источник

На наклонном дне сосуда наполненного водой покоится

Задачи,предлагавшиеся на устных вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2000 г.

Задачи,предлагавшиеся на устных
вступительных экзаменах на факультет
вычислительной математики и кибернетики МГУ им.
М.В.Ломоносова в 2000 г.