На полный сосуд с жидкостью
Гениальный учёный Архимед, живший в древнегреческих Сиракузах в III веке до нашей эры, прославился среди современников как создатель оборонительных машин, способных перевернуть боевой корабль. Другое его изобретение, «Архимедов винт», по сей день остаётся важнейшей деталью гигантских буровых установок и кухонных мясорубок. Мир обязан Архимеду революционными открытиями в области оптики, математики и механики.
Его личность окутана легендами, порой весьма забавными. С одной из них мы и начнём нашу статью.
«Эврика!». Открытие закона Архимеда
Однажды царь Сиракуз Гиерон II обратился к Архимеду с просьбой установить, действительно ли его корона выполнена из чистого золота, как утверждал ювелир. Правитель подозревал, что мастер прикарманил часть драгоценного металла и частично заменил его серебром.
В те времена не существовало способов определить химический состав металлического сплава. Задача поставила учёного в тупик. Размышляя над ней, он отправился в баню и лёг в ванну, до краёв наполненную водой. Когда часть воды вылилась наружу, на Архимеда снизошло озарение. Такое, что учёный голышом выскочил на улицу и закричал «Эврика!», что по-древнегречески означает «Нашёл!».
Открытие Закона Архимеда
Он предположил, что вес вытесненной воды был равен весу его тела, и оказался прав. Явившись к царю, он попросил принести золотой слиток, равный по весу короне, и опустить оба предмета в наполненные до краёв резервуары с водой. Корона вытеснила больше воды, чем слиток. При одной и той же массе объём короны оказался больше, чем объём слитка, а значит, она обладала меньшей плотностью, чем золото. Выходит, царь правильно подозревал своего ювелира.
Так был открыт принцип, который теперь мы называем законом Архимеда:
На тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости или газа в объёме погружённой части тела.
Эта выталкивающая сила и называется силой Архимеда.
Формула силы Архимеда
На любой объект, погружённый в воду, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости. Таким образом, вес объекта, погружённого в воду, будет отличаться от его веса в воздухе в меньшую сторону. Разница будет равна весу вытесненной воды.
Чем больше плотность среды – тем меньше вес. Именно поэтому погрузившись в воду, мы можем легко поднять другого человека.
Выталкивающая сила зависит от трёх факторов:
- плотности жидкости или газа (p);
- ускорения свободного падения (g);
- объёма погружённой части тела (V).
Сопоставив эти данные, получаем формулу:
Как действует сила Архимеда
Поскольку сила Архимеда, действующая на тело, зависит от объёма его погружённой части и плотности среды, в которой оно находится, можно рассчитать, как поведёт себя то или иное тело в определённой жидкости или газе.
Если плотность тела меньше плотности жидкости или газа – оно будет плавать на поверхности.
Если плотности тела и жидкости или газа равны – тело будет находиться в безразличном равновесии в толще жидкости или газа.
Если плотность тела больше, чем плотность жидкости или газа, – оно уйдёт на дно.
Сила Архимеда в жидкости: почему корабли не тонут
Корпус корабля заполнен воздухом, поэтому общая плотность судна оказывается меньше плотности воды, и сила Архимеда выталкивает его на поверхность. Но если корабль получит пробоину и пространство внутри заполнится водой, то общая плотность судна увеличится, и оно утонет.
В подводных лодках существуют специальные резервуары, заполняемые водой или сжатым воздухом в зависимости от того, нужно ли уйти на глубину или подняться ближе к поверхности. Тот же самый принцип используют рыбы, наполняя воздухом специальный орган – плавательный пузырь.
На тело, плотно прилегающее ко дну, выталкивающая сила не действует. Это учитывают при подъёме затонувших кораблей. Сначала судно слегка приподнимают, позволяя воде проникнуть под него. Тогда давление воды начинает действовать на корабль снизу.
Но чтобы поднять корабль на поверхность, необходимо уменьшить его плотность. Разумеется, воздух в получившем пробоину корпусе не удержится. Поэтому его заполняют каким-нибудь лёгким веществом, например, шариками пенополистирола.
Примечательно, что эта идея впервые пришла в голову не учёным, а авторам диснеевского комикса, в котором Дональд Дак таким образом поднимает со дна яхту Скруджа Макдака. Датский инженер Карл Кройер (Karl Krøyer), впервые применивший метод на практике, по собственному признанию вдохновлялся «Утиными историями».
Дональд Дак поднимает со дна яхту при помощи шариков для пинг-понга.
© Walt Disney Corporation, 1949
Сила Архимеда в газах: почему летают дирижабли
В воздухе архимедова сила действует так же, как в жидкости. Но поскольку плотность воздуха обычно намного меньше, чем плотность окружённых им предметов, выталкивающая сила оказывается ничтожно мала.
Впрочем, есть исключения. Воздушный шарик, наполненный гелием, стремится вверх именно потому, что плотность гелия ниже, чем плотность воздуха. А если наполнить шар обычным воздухом – он упадёт на землю. Плотность воздуха в нём будет такая же, как у воздуха снаружи, но более высокая плотность резины обеспечит падение шарика.
Этот принцип используется в аэростатах – воздушные шары и дирижабли наполняют гелием или горячим воздухом (чем горячее воздух, тем ниже его плотность), чтобы подняться, и снижают концентрацию гелия (или температуру воздуха), чтобы спуститься. На них действует та же выталкивающая сила, что и на подводные лодки. Именно поэтому перемещения на аэростатах называют воздухоплаванием.
Учите физику вместе с домашней онлайн-школой «Фоксфорда»! По промокоду PHYSICS72020 вы получите бесплатный доступ к курсу физики 7 класса, в котором изучается архимедова сила.
Когда сила Архимеда не работает
- Если тело плотно прилегает к поверхности. Если между телом и поверхностью нет жидкости или газа – нет и выталкивающей силы. Именно поэтому подводным лодкам нельзя ложиться на илистое дно – мощности их двигателей не хватит, чтобы преодолеть давление толщи воды сверху.
- В невесомости. Наличие веса у жидкости или газа – обязательное условие для возникновения архимедовой силы. В состоянии невесомости горячий воздух не поднимается, а холодный не опускается. Поэтому на МКС создают принудительную конвекцию воздуха с помощью вентиляторов.
- В растворах и смесях. Если в воду налить спирт, на него не будет действовать сила Архимеда, хотя плотность спирта меньше плотности воды. Поскольку связь между молекулами спирта слабее, чем связь молекул воды, он растворится в воде, и образуется новая жидкость – водный раствор спирта.
Источник
В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.
1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус – замедлению ) (см. рисунок).
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции. Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле
p = p0 + ρ·(g·z ± a·x),
Для свободной поверхности жидкости, когда р=p0, уравнение принимает вид:
g·z = ± a·x
или
z/x = tg α = ± a/g,
где α – угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.
Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l) высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.
Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:
p = p0 + ρ·g·z = p0·γ
В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.
2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:
p = p0 + γ·((ω2·r2)/(2·g) – z)
Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p0, уравнение принимает вид:
z = (ω2·r2)/(2·g) = u2/(2·g),
где окружная скорость u = ω·r (r – радиус вращения точки).
Высота параболоида вращения:
h = ω2·r20/(2·g),
где r0 – радиус цилиндрического сосуда.
Сила давления жидкости на дно сосуда:
P = γ·π·r20·h0 = γ·π·r20·(h1 + h/2),
где h0 – начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.
Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h1 + h и основанием γ·(h1 + h).
3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω2 (см. рисунок а).
При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).
Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:
p = p0 + γ·ω2·(r2 – r20)/(2·g)
где p и p0 – соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r0.
Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r0 и давлением во всех ее точках р0.
Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в. Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.
Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.
Источник
5. Механика (объяснение явлений)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
На рисунке представлены графики зависимости давления (p) от глубины погружения (h) для двух покоящихся жидкостей: воды и тяжёлой жидкости дийодметана, при постоянной температуре.
Выберите два верных утверждения, согласующихся с приведёнными графиками.
1) Если внутри пустотелого шарика давление равно атмосферному, то в воде на глубине 10 м давления на его поверхность извне и изнутри будут равны друг другу.
2) Плотность керосина 0,82 г/см(^3), аналогичный график зависимости давления от глубины для керосина окажется между графиками для воды и дийодметана.
3) В воде на глубине 25 м давление p в 2,5 раза больше атмосферного.
4) С ростом глубины погружения давление в дийодметане возрастает быстрее, чем в воде.
5) Плотность оливкового масла 0,92 г/см(^3), аналогичный график зависимости давления от глубины для масла окажется между графиком для воды и осью абсцисс (горизонтальной осью).
Полное давление (p) складывается из атмосферного давления (p_a) и гидростатического давления столба жидкости: [p=rho gh+p_a] 1) Как видно из графика, давление воды на глубине 10 м принимает значение 200 кПа, что в два раза больше атмосферного давления (Атмосферное давление 100 кПа).
Утверждение 1 – (color{red}{small text{Неверно}})
2) Так как плотность керосина меньше чем плотность воды, то его аналогичный график окажется между графиком для воды и осью абсцисс.
Утверждение 2 – (color{red}{small text{Неверно}})
3) Давление в воде на глубине 25 м равно 350 кПа, что в 3,5 раза больше атмосферного.
Утверждение 3 – (color{red}{small text{Неверно}})
4) Так как прямая давления в дийодметане лежит выше прямой давления в воде, то это означает, что давление в дийодметане возрастает быстрее, чем в воде.
Утверждение 4 – (color{green}{small text{Верно}})
5) Так как плотность оливкого масла меньше чем плотность воды, то его аналогичный график окажется между графиком для воды и осью абсцисс.
Утверждение 5 – (color{green}{small text{Верно}})
Ответ: 45
К телу, имеющему внутреннюю герметичную полость, на невесомой нерастяжимой нити привязан сплошной шарик. Система «тело + шарик» плавает в сосуде с жидкостью, не касаясь стенок и дна сосуда. Плотность материала тела и шарика 1,6 г/см(^3), плотность жидкости 800 кг/м(^3), объём полости составляет 3/4 объёма тела, объём шарика равен 1/4 объёма тела. Исходя из условия задачи, выберите два верных утверждения.
1) Модуль силы Архимеда, действующей на тело, меньше модуля силы Архимеда, действующей на шарик.
2) Модуль силы натяжения нити равен модулю силы тяжести, действующей на шарик.
3) Модуль силы натяжения нити меньше модуля силы Архимеда, действующей на тело.
4) Модуль силы тяжести, действующей на шарик, равен модулю силы тяжести, действующей на тело.
5) Объём погружённой части тела равен четверти объёма этого тела.
Запишем первый закон Ньютона для тела и шарика: [F_{text{Арх Т}}-m_{text{Т}}g-T=0] [F_{text{Арх Ш}}-m_{text{Ш}}g+T=0]
Сложим два уравнения: [F_{text{Арх Т}}-m_{text{Т}}g+F_{text{Арх Ш}}-m_{text{Ш}}g=0]
Обозначим плотность жидкости (rho_1), плотность материала (rho_2=2rho_1) [rho_1gV_1-rho_2cdot frac{1}{4}V_{T} g+rho_1 g cdot frac{1}{4} V_{T}-rho_2cdot frac{1}{4} V_{T} g=0] [rho_1V_1-2rho_1cdot frac{1}{4}V_{T} +rho_1 cdot frac{1}{4} V_{T}-2rho_1cdot frac{1}{4} V_{T} =0] [V_1-2cdot frac{1}{4}V_{T} + frac{1}{4} V_{T}-2cdot frac{1}{4} V_{T} =0] [V_1=frac{3}{4}V_T]
Тело плавает, погруженное на 3/4 своего объёма.
1) Сила Архимеда, действующая на тело, равна (displaystyle F_{text{Арх Т}}=rho_1gfrac{3}{4}V_T), а сила Архимеда, действующая на шар (displaystyle F_{text{Арх Т}}=rho_1gfrac{1}{4}V_T).
Утверждение 1 – (color{red}{small text{Неверно}})
2) [T=m_{text{Ш}}g-F_{text{Арх Ш}}]
Утверждение 2 – (color{red}{small text{Неверно}})
3) [T=F_{text{Арх Т}}-m_{text{Т}}g]
Утверждение 3 – (color{green}{small text{Верно}})
4) Модуль силы тяжести тела:[m_{text{Т}}g=rho_2cdot frac{1}{4}V_{T}g] Модуль силы тяжести шарика: [m_{text{Ш}}g=rho_2cdot frac{1}{4}V_{T}g]
Утверждение 4 – (color{green}{small text{Верно}})
5) Объём погружённой части тела равен (dfrac{3}{4}) объёма этого тела.
Утверждение 5 – (color{red}{small text{Неверно}})
Ответ: 34
Ученик помещал цилиндр, не удерживая его, в различные жидкости, плотности которых представлены в таблице, и измерял объем погруженной в жидкость части цилиндра (V_text{ погр}). По результатам измерений он получил зависимость, представленную на графике объема погруженной части цилиндра (V_text{погр}) от плотности жидкости (rho). Объем цилиндра постоянен и равен (V=10) см(^3)
[begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} hline text{Жидкость}&text{Бензин}&text{Спирт}&text{Вода}&text{Глицирин}&text{Хлороформ}&text{Бромоформ}&text{Дийодметан}\ hline text{Плотность $rho$ г/см$^3$}&0,71&0,79&1,0&1,26&1,49&2,89&3,25\ hline end{array}]
На основании анализа приведённого графика выберите два верных утверждения и укажите в ответе их номера.
1) В бензине и воде сила Архимеда, действующая на цилиндр, одинакова.
2) Цилиндр не тонет в глицерине.
3) На цилиндр, погруженный в бромоформ, действует сила Архимеда 200мН.
4) Цилиндр плавает во всех жидкостях, указанных в таблице.
5) При плавании цилиндра в глицирине и бромоформе сила Архимеда, действующая на него, одинакова.
1) В бензине и в спирте цилиндр погружен на одинаковый объем. В таком случае сила Архимеда равна [F_A=rho gV_text{погр},] где (rho) – плотность жидкости, в которую погружено тело.
Но плотность спирта больше плотности бензина, а значит и сила Архимеда, действущая на цилиндр в спирте, больше силы Архимеда, действующей на цилиндр в бензине.
Утверждение 1 – (color{red}{small text{Неверно}})
2) Цилиндр тонет при плотности меньше, чем 1 г/см(^3), у глицирина плотность 1,26 г/см(^3), значит, цилиндр плавает.
Утверждение 2 – (color{green}{small text{Верно}})
3) У бромоформа плотность больше 1 г/см(^3), а значит сила Архимеда уравновешивает силу тяжести.
По графику видим, что цилиндр начинает плавать при плотности жидкости 1г/см(^3), а значит именно такова плотность материала, из которого он сделан. Откуда сила Архимеда, действующая на цилиндр [F_A=mg=1text{ г/см$^3$}cdot 10text{ см$^3$}cdot 10text{ Н/кг}=100text{ мН}] Утверждение 3 – (color{red}{small text{Неверно}})
4) Нет, при плотности меньше 1 г/см3 цилиндр не плавает.
Утверждение 4 – (color{red}{small text{Неверно}})
5) У глицирина и бромоформа плотность больше 1 г/см(^3), а значит сила Архимеда уравновешивает силу тяжести и силы Архимеда одинаковы.
Утверждение 5 – (color{green}{small text{Верно}})
Ответ: 25
На полу лифта расположены два одинаковых металлических бака, в которых доверху налита вода (см. рисунок).
Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.
1) Давление воды на дно первого бака в 4 раза меньше, чем на дно второго.
2) Первый бак давит на пол лифта с силой, в 2 раза меньшей, чем второй.
3) Сила давления воды на дно первого бака в 2 раза меньше, чем на дно второго.
4) Первый бак оказывает на пол лифта в 2 раза меньшее давление, чем второй.
5) Если лифт начнёт движение вниз с ускорением 2 м/с(^2), давление воды на дно баков уменьшится на 20 %.
1) Давление воды на дно первого бака равно [displaystyle p_1=frac{mg}{2a^2}] где (m) – масса воды. Давление на дно второго бака [displaystyle p_2=frac{mg}{a^2}] Видно, что давление (p_2=2p_1), следовательно, давление воды на дно первого бака в 2 раза меньше, чем на дно второго бака.
Утверждение 1 – (color{red}{small text{Неверно}})
2) Сила давления равна силе тяжести воды. Так как объем одинаковый, значит масса воды в сосудах одинаковая.
Утверждение 2 – (color{red}{small text{Неверно}})
3) Утверждение 3 – (color{red}{small text{Неверно}})
4) Утверждение 4 – (color{green}{small text{Верно}})
5) При движении лифта вниз с ускорением 2 м/с(^2), оно будет компенсировать ускорение свободного падения (g), то есть вода будет иметь ускорение свободного падения 10-2=8 м/с(^2). В результате сила давления на дно баков будет равна (F=8m).
Утверждение 5 – (color{green}{small text{Верно}})
Ответ: 45
В сосуд с жидкостью погружают маленький датчик манометра, который регистрирует давление, создаваемое только столбом жидкости (без учёта атмосферного давления). На рисунке представлен график зависимости показаний (p) этого датчика давления от времени (t). Известно, что датчик может либо двигаться строго по вертикали вниз со скоростью 1 мм/с, либо покоиться.
На основании анализа приведённого графика выберите два верных утверждения и укажите в ответе их номера.
1) Максимальная глубина погружения датчика давления равна 20 см.
2) В промежутке времени от 50 с до 150 с датчик давления находился на одной и той же глубине.
3) Плотность жидкости, в которую опустили датчик давления, равна 650 кг/м(^3).
4) Максимальная глубина погружения датчика давления равна 15 см.
5) Плотность жидкости, в которую опустили датчик давления, равна 1300 кг/м(^3).
1) Датчик двигался на промежутках от 0 с до 50 с и от 150 с до 200 с, т. е. глубина погружения (h=1 cdot (50 + 50 ) = 100) мм(= 10) см.
Утверждение 1 – (color{red}{small text{Неверно}})
2) Из графика видно, что давление не изменяется в промежутке времени от 50 с до 150 с, это означает что датчик находился на одной и той же глубине, т. е. покоился.
Утверждение 2 – (color{green}{small text{Верно}})
3) Давление столба жидкости: [p=rho gh] Плотность жидкости: [rho=frac{p}{gh}=frac{p}{gupsilon t}=frac{650}{10cdot0,001cdot50}=1300 text{ кг/м$^3$}]
Утверждение 3 – (color{red}{small text{Неверно}})
4) Глубина погружения 10 см
Утверждение 4 – (color{red}{small text{Неверно}})
5) Плотность жидкости (rho=1300) кг/м(^3)
Утверждение 5 – (color{green}{small text{Верно}})
Ответ: 25
Максим Олегович
№15 с модулем за 3 минуты. ЕГЭ 2021 по профильной математике!
Ставьте напоминания и обязательно приходите на стрим!
Математика: №15 с модулем за 3 минуты
Источник