На рисунке показан ход лучей через тонкостенный сосуд

Оптика. Сфера. Полусфера

I. Посмотрите урок: “Преломление света сферической поверхностью”

II. Рассмотрите решение задач

Задача 1. Стеклянный шар, его показатель преломления $n$, освещается узким расходящимся пучком лучей, ось которого проходит через центр шара. Источник света расположен на расстоянии $l$ от поверхности шара. На таком же расстоянии от поверхности, но по другую сторону от шара, получается изображение источника. Определите радиус шара.

Решение.

Для получения изображения источника света потребуется найти пересечение двух лучей, прошедших через стеклянный шар. Один из лучей – осевой луч, а второй луч направим произвольно на поверхность стеклянного шара. В силу симметричного расположения источника и изображения относительно центра шара и в следствие обратимости световых лучей луч внутри шара пойдет горизонтально. Направляя луч близко к оси позволяет нам пренебречь длиной отрезка $BC$ по сравнению с радиусом шара $R$.

По закону преломления света в точке $A$ имеем систему уравнений

$sin(alpha + beta) = nsinbeta$,

$tgalpha = frac{h}{l}$, $sinbeta = frac{h}{R}$.

Учтем, что для малых углов справедливо

$sinalpha approx tgalpha approx alpha$,

Тогда, уравнения, записанные выше примут вид:

$alpha + beta = nbeta$,

$alpha = frac{h}{l}$, $beta = frac{h}{R}$.

Подставляя из второго и третьего уравнений значения углов $alpha$ и $beta$ в первое уравнение, получим

$R = l(n – 1)$.

Задача 2. Шар радиусом $R$ из стекла с показателем преломления $n$ разрезан по диаметру. На диаметральную плоскость одной из половин шара нормально падает параллельный пучок света. На каком расстоянии от центра шара пересекут главную оптическую ось лучи, прошедшие сферическую поверхность на наибольшем удалении от этой оси?

Решение.

Ход луча, удовлетворяющего условию задачи, изображен на рисунке.

Отметим, что этот луч, преломленный в точке $A$, пойдет перпендикулярно радиусу $OA$ и пересечет главную оптическую ось в точке $B$. По закону преломления,

$sinalpha = frac{1}{n}$,

так что лучи, идущие параллельно отмеченному лучу дальше от прямой $OB$, из полушара не выйдут в силу полного внутреннего отражения.

Из треугольника $OAB$ находим

$OB = frac{R}{cosalpha}$,

так как

$cos^2alpha = 1 – sin^2alpha = 1 – frac{1}{n^2}$,

то

$OB = frac{nR}{sqrt{n^2 – 1}}$.

Задача 3. Узкий пучок света, проходящий через центр стеклянного шара радиуса $R$, фокусируется на расстоянии $2R$ от его центра. Определите показатель преломления стекла.

Решение.

Рассмотрим произвольный луч пучка, падающего на шар, параллельный диаметру на расстоянии $h$. Так как $h ll R$ (пучок узкий), угол падения этого луча на шар

$alpha approx frac{h}{R} ll 1$.

Учтем, что для малых углов справедливо

$sinalpha approx tgalpha approx alpha$,

и закон преломления принимает вид

$frac{alpha_1}{alpha_2} = frac{n_2}{n_1}$, или $n_1alpha_1 = n_2alpha_2$.

Построим дальнейший ход этого луча через шар и найдем все углы в треугольниках, $AOB$, $OBD$, $BDC$:

$angle OAB = angle OBA = frac{alpha}{n}$, $angle BOD = frac{2alpha}{n} – alpha$, $angle BCD = alpha – (frac{2alpha – alpha}) = 2alpha (1 – frac{1}{n})$.

Тогда

$BD = R(frac{2alpha}{n} – alpha)$, $DC = frac{BD}{2alpha (1 – 1/n)} = Rfrac{2 – n}{2(n – 1)}$.

По условию задачи $DC = R$, откуда получаем

$n = frac{4}{3}$.

Обратим внимание на то, что в окончательное выражение величина угла падения $alpha$ не вошла, следовательно, все лучи падающего пучка собираются в одной точке.

Это один из законов параксиальной оптики – узкие пучки параллельных лучей собираются преломляющей системой в одну точку – фокус (или в одной точке собираются их продолжения – мнимый фокус).

Второй закон оптики параксиальных лучей состоит в том, что расходящиеся из одной точки под малыми углами лучи фокусируются преломляющей системой тоже в одну точку (с той же оговоркой относительно мнимого изображения).

Задача 4. Узкий параллельный пучок света падает по нормали на плоскую поверхность прозрачного ($n = frac{4}{3}$) полуцилиндра радиусом $R = 5sqrt{3}$ см и выходит из неё параллельно падающему пучку света (см. рис.) Если от момента входа в полуцилиндр до момента выхода из него потери энергии пучка не происходит, то минимальное расстояние $L$ между падающим и выходящим пучками света равно … см.

Примечание. Полуцилиндр – это тело, образованное рассечением цилиндра плоскостью, в которой лежит его ось симметрии.

Задача 5. Аквариум (РФО 2016 11-2)

Имеется тонкостенный прозрачный сосуд шарообразной формы радиусом $R$, заполненный прозрачной жидкостью, показатель преломления которой $n$. В сосуде равномерно опускается сверху вниз маленький шарик со скоростью $vec{v}$ относительно сосуда. В следствие преломления света, кажущаяся глубина шарика $h$ (положение его изображения) будет отличаться от его истинной глубины $H$.

Часть 1. Вид сверху.

За движением шарика наблюдают сверху из точки расположенной на большом расстоянии от сосуда.

1.1 При каком положении шарика его кажущаяся глубина $h$ будет совпадать с истинной глубиной $H$, не зависимо от показателя преломления жидкости. Ответ обоснуйте.

1.2 Найдите зависимость кажущейся глубины $h$ шарика от его действительной глубины $H$ при $H < R$;

1.3 Найдите зависимость кажущейся глубины $h$ шарика от его действительной глубины $H$ при $H geq R$;

1.4 Постройте график зависисимости, кажущейся глубины щарика $h$ от его истинной глубины $H$. Данный график постройте в относительных координатах $y = frac{h}{R}$ от $x = frac{H}{R}$, при двух значениях $n_1 = 1,5$ и $n_1 = 2,5$.

1.5 Найдите зависимость кажущейся скорости движения шарика от его действительной глубины $H$.

1.6 Постройте графики полученных в п. 1.5 зависимостей при двух значениях $n_1 = 1,5$ и $n_1 = 2,5$ в безразмерных координатах $chi = frac{u}{v}$ от $x = frac{H}{R}$;

Часть 2. Вид сбоку.

Глаз наблюдателя находится сбоку на прямой, проходящей через центр шара и направленной под углом $45^0$ к вертикали. Показатель преломления жидкости равен $n_1 = 1,5$.

2.1 Постройте вектор видимой скорости движения шарика $vec{u}$ при наблюдении сбоку, в момент времени, когда шарик проходит центр шара. Найдите координаты этого вектора в системе отсчета, показанной на рисунке.

III. Решите задачи и сверьтесь с ответом.

Задача 6. На половинку шара радиусом $r = 2$ см, изготовленного из стекла с показателем преломления $n = 1,41$, падает параллельный пучок лучей (рис.). Определите радиус светового пятна на экране, расположенном на расстоянии $L = 4,82$ см от центра шара.

Задача 7. На каком расстоянии от центра стеклянного шара радиусом $R$ должен находится муравей, чтобы его изображение за шаром было натуральной величины? Показатель преломления стекла $n$.

Задача 8. Узкий пучок света, пройдя через полушарие из стекла с показателем преломления $n$, собирается на расстоянии $x$ от выпуклой поверхности (рис.). На каком расстоянии от плоской поверхности соберутся лучи, если пучок пустить с противоположной стороны?

Задача 9. Световой луч падает на поверхность стеклянного шара. Угол падения луча $alpha = 45^0$, показатель преломления стекла $n = sqrt{2}$. Найдите угол между падающим лучом и лучом, вышедшим из шара.

Задача 10. Человек смотрит на рыбку, находящуюся в диаметрально противоположной от него точке шарового аквариума радиусом $R$. На сколько смещено при этом изображение рыбки относительно самой рыбки? Показатель преломления воды $n = frac{4}{3}$.

Источник

Контрольная работа по теме:

«Оптика. Световые волны»

Вариант 1

А1. На рисунке показан ход лучей в собирающей линзе. Какова оптическая сила этой линзы?

1) 33 дптр 2) 0,33 дптр 3) 27 дптр 4) 0,27 дптр

А2. За непрозрачным диском, освещенным ярким источником света небольшого размера, в центре тени можно обнаружить светлое пятно. Какое физическое явление при этом наблюдается?

1) преломление света 2) поляризация света

3) дифракция света 4) дисперсия света

Угол α	200	300	600	700
sin α	0,34	0,50	0,87	0,94

А3. Пользуясь приведённой таблицей, определите показатель преломления стекла.

1) 1,68 2) 1,47 3) 0,66 4) 1,08

А4. Луч света проходит последовательно через три среды с показателями преломления n1, n2, n3. На рисунке показан ход светового луча. Как соотносятся показатели преломления сред.

1) n1 > n2 > n3

2) n1 n2, n2 > n3

3) n1 > n2, n2 n3

4) n1n2n3

А5. На рисунке представлены спектры различных веществ. Какие элементы присутствуют в составе неизвестного соединения?

1) только А

2) А и В

3) А и Б

4) А, Б и В

А6. На поверхность тонкой прозрачной плёнки нормально падает пучок белого света. В отражённом свете плёнка окрашена в зелёный цвет. При использовании плёнки такой же толщины, но с чуть меньшим показателем преломления, её окраска будет

1) только зелёной

2) только полностью чёрной

3) находиться ближе к синей области спектра

4) находиться ближе к красной области спектра

А7. Одна сторона толстой стеклянной пластины имеет ступенчатую поверхность, как показано на рисунке. На пластину, перпендикулярно ее поверхности, падает световой пучок, который после отражения от пластины собирается линзой. Длина падающей световой волны равна 600нм. При каком наименьшем значении высоты ступеньки d интенсивность света в фокусе линзы будет минимальной?

1) 75нм 2) 150нм 3) 300нм 4) 1200нм

В1. Проведите соответствие приборов и наблюдаемых с их помощью явлений

A. Воздушный клин	1. дифракция света
Б. Лазерный диск	2. интерференция света
В. Пластина турмалина	3. дисперсия света
	4. поляризация света

В2. Пучок света переходит из воздуха в воду. Частота световой волны — ν, длина световой волны в воздухе — λ, показатель преломления воды относительно воздуха — n. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

А. Скорость света в воде	1.
Б. Скорость света в вакууме	2.
	3.
	4.

С1. На дифракционную решетку с периодом 0,005 мм падает белый свет. На экране, находящемся на расстоянии 1 м от решетки образуются картина дифракции света. Определите расстояние на экране между первым и вторым максимумом красного света λ = 750 нм.

Контрольная работа по теме:

«Оптика. Световые волны»

Вариант 2

А1. На рисунке показан ход лучей в собирающей линзе. Какова оптическая сила этой линзы?

1) 14 дптр 2) 4 дптр 3) 25 дптр 4) 0,25 дптр

А2. Два точечных источника света S1 и S2 находятся близко друг от друга и создают на удаленном экране Э устойчивую интерференционную картину. Это возможно, если S1 и S2 – малые отверстия в непрозрачном экране, освещенные:

1) каждое своим солнечным зайчиком от зеркал в руках человека

2) одно — лампочкой накаливания, а второе — горящей свечой

3) одно синим светом, а другое красным светом

4) светом от одного и того же точечного источника

Угол α	200	400	500	700
sin α	0,34	0,64	0,78	0,94

А3. Пользуясь приведённой таблицей, определите показатель преломления стекла.

1) 1,47 2) 1,88 3) 2,29 4) 1,22

1) n1 > n2 > n3

2) n1 = n2, n2 > n3

3) n1 = n2, n2 n3

4) n1n2n3

1) только А

2) А и В

3) А и Б

4) А, Б и В

А6. На поверхность тонкой прозрачной плёнки падает по нормали пучок белого света. В отражённом свете плёнка окрашена в зелёный цвет. При постепенном уменьшении толщины плёнки её окраска будет

1) темнеть до чёрного цвета

2) смещаться к синей области спектра

3) смещаться к красной области спектра

4) оставаться прежней

А7. Одна сторона толстой стеклянной пластины имеет ступенчатую поверхность, как показано на рисунке. На пластину, перпендикулярно ее поверхности, падает световой пучок, который после отражения от пластины собирается линзой. Длина падающей световой волны равна 400 нм. При каком наименьшем значении высоты ступеньки d интенсивность света в фокусе линзы будет минимальной?

1) 100нм 2) 50нм 3) 200нм 4) 800нм

В1. Проведите соответствие приборов и наблюдаемых с их помощью явлений

A. Стеклянная призма	1. дифракция света
Б. Тонкая нить	2. интерференция света
В. Тонкая масляная пленка	3. дисперсия света
	4. поляризация света

В2. Пучок света переходит из воздуха в воду. Частота световой волны — ν, длина световой волны в воде — λ, показатель преломления воды относительно воздуха — n. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

А. Скорость света в воде	1.
Б. Скорость света в вакууме	2.
	3. λvn
	4.

С1. На дифракционную решетку с периодом 0,005 мм падает белый свет. На экране, находящемся на расстоянии 2 м от решетки образуются картина дифракции света. Определите расстояние на экране между первым и вторым максимумом желтого света λ = 570 нм.

Контрольная работа по теме:

«Оптика. Световые волны»

Вариант 3

А1. Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы равно F. Предмет малых размеров расположен на ее главной оптической оси на расстоянии 4F от нее. Изображение предмета находится от линзы на расстоянии

1) 1/3 F 2) 2/3 F 3) 4/3 F 4) 5/3 F

А2. Луч белого света проходит через узкую непрозрачную щель. На экране отображается чередование радужных и темных полос. Какое физическое явление при этом наблюдается?

1) преломление света

2) поляризация света

3) дифракция света

4) дисперсия света

А3. На рисунке показан ход светового луча сквозь стеклянную призму, находящуюся в воздухе. Если точка О — центр окружности, то показатель преломления стекла n равен.

1) 2) 3) 4)

А4. Луч света проходит последовательно через три среды с показателями преломления n1, n2, n3. На рисунке показан ход луча света. Показатели преломления сред.

1) n1 > n2 > n3

2) n1 n2, n2 > n3

3) n1 > n2, n2 n3

4) n1 n2 n3

1) только А

2) А и В

3) только В

4) А, Б и В

А6. На поверхность тонкой прозрачной плёнки падает по нормали пучок белого света. В отражённом свете плёнка окрашена в зелёный цвет. При постепенном увеличении толщины плёнки её окраска будет

1) темнеть до чёрного цвета

2) смещаться к синей области спектра

3) смещаться к красной области спектра

4) оставаться прежней

А7. Одна сторона толстой стеклянной пластины имеет ступенчатую поверхность, как показано на рисунке. На пластину, перпендикулярно ее поверхности, падает световой пучок, который после отражения от пластины собирается линзой. Длина падающей световой волны равна 500 нм. При каком наименьшем значении высоты ступеньки d интенсивность света в фокусе линзы будет максимальной?

1) 1000нм 2) 125нм 3) 250нм 4) 50нм

В1. Проведите соответствие приборов и наблюдаемых с их помощью явлений

A. Мыльная пленка	1. дифракция света
Б. Стеклянный брусок	2. интерференция света
В. Маленькое отверстие	3. преломление света
	4. поляризация света

В2. Пучок света переходит из воды в воздух. Частота световой волны — ν, скорость света в воде — υ, показатель преломления воды относительно воздуха — n. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

А. Скорость света в воде	1.
Б. Скорость света в вакууме	2.
	3.
	4.

С1. На дифракционную решетку с периодом 0,001 мм падает белый свет. На экране, находящемся на расстоянии 1 м от решетки образуются картина дифракции света. Определите расстояние на экране между первым и вторым максимумом зеленого света λ = 495нм.

Контрольная работа по теме:

«Оптика. Световые волны»

Вариант 4

А1. На рисунке изображена главная оптическая ось линзы, положение оптического центра О, источник света S и его изображение S’. Фокусное расстояние линзы равно

1) −10 см 2) 10 см 3) 15 см 4) 30 см

А2. Два точечных источника света S1 и S2 находятся близко друг от друга и создают на удаленном экране Э устойчивую интерференционную картину. Это возможно, если S1 и S2 — малые отверстия в непрозрачном экране, освещенные:

1) каждое своей лампочкой накаливания

2) каждое своей горящей свечой

3) одно синим светом, а другое красным светом

4) плоской монохроматической световой волной

А3. Луч света проходит последовательно через три среды с показателями преломления n1, n2, n3. На рисунке показан ход луча света. Показатели преломления сред.

1) n1 n2, n2 > n3 2) n1 n2, n2 n3

3) n1 > n2, n2 n3 4) n1 > n2, n2 > n3

А4. На рисунке показан ход светового луча сквозь стеклянную призму, находящуюся в воздухе. Если точка О — центр окружности, то показатель преломления стекла n равен.

1) 2) 3) 4)

1) только А

2) А и В

3) А и Б

4) А, Б и В

А6. На поверхность тонкой прозрачной плёнки нормально падает пучок белого света. В отражённом свете плёнка окрашена в зелёный цвет. При использовании плёнки такой же толщины, но с чуть бόльшим показателем преломления, её окраска будет

1) только зелёной

2) только полностью чёрной

3) находиться ближе к синей области спектра

4) находиться ближе к красной области спектра

А7. Одна сторона толстой стеклянной пластины имеет ступенчатую поверхность, как показано на рисунке. На пластину, перпендикулярно ее поверхности, падает световой пучок, который после отражения от пластины собирается линзой. Длина падающей световой волны равна 700 нм. При каком наименьшем значении высоты ступеньки d интенсивность света в фокусе линзы будет максимальной?

1) 1400 нм 2) 175 нм 3) 350 нм 4) 150 нм

В1. Проведите соответствие приборов и наблюдаемых с их помощью явлений

A. Стеклянный брусок	1. дифракция света
Б. Лазерный диск	2. интерференция света
В. Маленькое отверстие	3. дисперсия света
	4. поляризация света

А. Скорость света в воде	1. nυ
Б. Скорость света в вакууме	2.
	3.
	4.

С1. На дифракционную решетку с периодом 0,001 мм падает белый свет. На экране, находящемся на расстоянии 1,5 м от решетки образуются картина дифракции света. Определите расстояние на экране между первым и вторым максимумом фиолетового света λ = 400нм.

Оценивание заданий частей А и В

За выполнение задания А учащийся получает 1 балл, если выбранный им ответ совпадает с указанным в таблице ответом.

За выполнение задания В учащийся получает 2 балла, если записанный им набор цифр совпадает с указанным в таблице; 1 балл, если в ответе имеется хотя бы одна ошибка; 0 баллов, если ошибок более одной.

Общие правила оценивания заданий С

За выполнение задания С учащийся получает 3 балла, если в решении присутствуют правильно выполненные следующие элементы:

– правильно записаны необходимые для решения уравнения (законы);

– правильно выполнены алгебраические преобразования и вычисления, записан верный ответ.

учащийся имеет право :

доводить решение до конца в общем виде, а затем подставлять числовые данные, или делать промежуточные вычисления;

задание оценивается 2 баллами, если

-сделана ошибка в преобразованиях или в вычислениях

или

– при верно записанных исходных уравнениях отсутствуют преобразования или вычисления.

задание оценивается 1 баллом, если

– сделана ошибка в одном из исходных уравнений

или

-одно из необходимых исходных уравнений отсутствует.

Во всех остальных случаях ставится оценка 0 баллов.

Таблица ответов к заданиям частей А, В и С

	А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	В1	В2	С1
В 1	1	3	2	2	4	3	2	214	34	0,164
В 2	3	3	1	3	2	3	3	312	43	0,119
В 3	3	4	1	3	3	2	1	231	41	6,448
В 4	2	4	4	2	2	4	3	311 (321)	41	0,895

Решение заданий части С

Вариант 1

Критерии оценивания

Максимальное количество баллов – 14

Таблица перевода баллов в оценку

Число баллов	0-3	4-7	8-11	12-14
Оценка	2	3	4	5

Источник