Найдите период колебаний жидкости в сосуде постоянного сечения

Рассмотрим подробнее вспомогательную краевую задачу для определения колебании жидкости в неподвижном сосуде и методы ее решения. Для некоторых простых полостей эта задача решается методом разделения переменных Фурье. В общем случае ее можно решить на ЭВМ интегральным методом Ритца или другими методами с использованием аналитических решений для простейших полостей [1].

В линейном приближении значительно упрощаются граничные условия для жидкости; их можно задавать на известной невозмущенной свободной поверхности жидкости и смоченной поверхности полости. Согласно (5), (6), (9), (11) и (14) функция должна быть гармонической в области занятой жидкостью в положении равновесия, и должна удовлетворять граничным условиям

где уравнение свободной поверхности жидкости в системе координат, жестко связанной с полостью так, что плоскость совпадает с невозмущенной свободной поверхностью жидкости (рис. 1).

Исключая из последних двух условий в (32) функцию получаем

После нахождения функции форма волны определяется выражением

Введем оператор Неймана

который ставит в соответствие функции функцию гармоническую в области и удовлетворяющую условиям если если Здесь функция Грина задачи Неймана для области

Рис. 1

Используя очевидное соотношение последнее условие в (32) представим в виде интегро-дифференциального уравнения для определения функции

Свободными (или собственными, или главными) колебаниями жидкости называют такие потенциальные течения, потенциал скоростей которых имеет вид

Число называют собственной частотой колебания.

На основании (34) форма поверхности волны свободного колебания определяется уравнением

Функция гармоническая в области и удовлетворяет граничным условиям

При подстановке (36) в (35) получим уравнение для определения функции

Таким образом, функции определяющие форму свободной поверхности жидкости, являются собственными функциями линейного оператора На основании общих теорем функционального анализа легко установить следующие свойства этих функций [13]:

1) при движении жидкости около положения равновесия в сосуде раниченных размеров существуют собственные колебания, т. е. решения вида

2) собственные числа положительные, имеют конечную кратность и образуют неограниченно возрастающую последовательность

3) собственные функции оператора которые описывают главные формы свободных колебаний жидкости, таковы, что последовательность функций полна и ортогональна;

4) собственные числа и собственные функции могут быть определены методом Ритца.

Для установления характера движения жидкости рассмотрим простейший пример плоских колебаний (в плоскости жидкости в канале прямоугольного сечения (рис. 2). Частные решения ищем в виде После разделения переменных в уравнении Лапласа и учета граничных условий (32) получим

где с — постоянная; любое натуральное число.

Таким образом, в прямоугольном канале могут возникать стоячие колебания жидкости, описываемые формулами (39). Таких форм колебаний бесчисленное множество, так как каждому натуральному числу соответствует своя форма колебаний. В каждом главном колебании при фиксированном у точка поверхности волны совершает периодические колебания с частотой В узлах при амплитуда равна нулю.

Рис. 2

Рис. 3

При фиксированном волна имеет форму косинусоиды. В моменты – свободная поверхность жидкости горизонтальна.

На рис. 2 изображена одноузловая форма главных колебаний, на рис. 3, а двухузловая и на рис. 3, б — трехузловая.

Обратим внимание на зависимость частоты от параметра (относительной глубины), которая приведена в таблице (через х обозначена величина

В работе [12], откуда заимствована эта таблица, приведены также таблица собственных частот, их зависимости от параметров для ряда других форм полостей и обширная библиография.

Величина собственной частоты заметно изменяется с глубиной только для очень мелких полостей и только для первых собственных частот, когда длина волны не очень мала. Для сосудов более или менее значительной глубины и для частоты с достаточной степенью точности справедлива приближенная формула Заметим, что для собственных частот колебаний жидкости в сосуде, глубина которого в 2 раза меньше ширины зеркала свободной поверхности, последняя формула дает погрешность не более 4%,

(см. скан)

Уравнения движения частиц жидкости, лежащих на определенной глубине, можно получить дифференцированием потенциала скоростей по

где

Частицы жидкости совершают прямолинейные колебания около своего начального положения с частотой и амплитудой Амплитуды убывают с глубиной по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше частоты колебаний, На рис. 4 отрезками прямых изображены траектории частиц, лежащих на глубине Частицы жидкости, лежащие на одной вертикали с узлами, движутся по горизонтальным прямым.

Рис. 4

Главные колебания можно разделить на два типа: четные и нечетные. Для первого типа колебаний свободная поверхность представляет собой волну, симметричную относительно прямой Это волны четных индексов. Они не смещают центр тяжести жидкости в горизонтальном направлении. Можно показать, что никакими горизонтальными перемещениями сосуда нельзя вызвать на поверхности жидкости, которая в нем налита, волн этого типа. В свою очередь, подобные волны, возникшие вследствие каких-либо причин на поверхности жидкости, налитой в сосуд, не могут оказать никакого влияния на характер движения такого сосуда в горизонтальном направлении. Волиы нечетных индексов смещают центр тяжести с вертикальной прямой, и связанное с ними движение жидкости влияет на движение сосуда.

Л.А.Логинов,
Центр образования № 109, г. Москва

В школьном курсе
физики изучаются два вида механических
колебательных систем: математический и
пружинный маятники. Сравнение и анализ уравнений
колебаний в этих системах позволяют сделать
вывод: колебания в обоих случаях являются
гармоническими, т.е. происходят по законам синуса
или косинуса (впоследствии этот вывод обобщается
и на электромагнитные колебания в колебательном
контуре):

где m – масса
колеблющегося тела, a – его ускорение, g –
ускорение свободного падения, l – длина
маятника, x – смещение тела от положения
равновесия, k – коэффициент жесткости
пружины. Оба уравнения можно записать в общем
виде:

где w0 – собственная циклическая
частота колебаний. Как видим, ускорение при
гармонических колебаниях прямо пропорционально
величине смещения тела от положения равновесия.
Знак «–» указывает на то, что направление
смещения тела от положения равновесия и
направление действия возвращающей силы противоположны.

Хотя далеко не все
механические колебательные системы
представляют собой в явном виде пружинный
или математический маятники, многие из них можно
представить как их комбинацию. Другими словами, любые
механические колебания, в которых возвращающая
сила прямо пропорциональна величине смещения
колеблющегося тела от положения равновесия,
происходят по гармоническому закону. Такие
возвращающие силы называют квазиупругими. В
общем случае период колебаний можно
рассчитывать по формуле  или если
определиться, что в каждом конкретном случае
будет играть роль массы колеблющегося тела, что
– роль жесткости пружины («гравитационной»,
«пневматической», «гидравлической»,
«фрикционной» и т.п.), что – длины маятника.

Задачи на выявление аналогий
с пружинным или математическим маятником
встречаются в сборниках задач, но к сожалению,
только по одной-две, что не позволяет учащимся
выработать системный подход к их решению. Вот и
приходится учителю листать задачники, в основном
старые, изданные лет 20–30 назад. Приведем
несколько задач и их решения в общем виде.

Задача 1. По внутренней
поверхности полусферической чаши радиусом
кривизны R свободно скользит маленький шарик.
Найдите период его малых колебаний.

Итак, выполним рисунок и
покажем на нем силы, под действием которых
происходит движение (рис. 1). Малость размеров
шарика позволяет считать его материальной
точкой. Видно, что «расстановка» сил и их
действие такие же, как в случае математического
маятника, с тем лишь отличием, что

вместо силы натяжения нити
действует сила реакции опоры. Применяем закон
колебаний математического маятника, заменяя в
формуле для периода колебаний длину маятника на
радиус чаши:

Задача 2. Вблизи поверхности
Земли прорыт сквозной прямой туннель. В нем
проложили рельсы и пустили вагонетку, которая
движется без сопротивления. Каким будет период
свободных колебаний вагонетки (от одного выхода
туннеля до другого и обратно)? Радиус Земли равен R.

Слова «вблизи поверхности»
позволяют считать, что расстояние от центра
Земли до вагонетки практически постоянно и равно
R и что амплитуда колебаний мала по сравнению
с ним (рис. 2). Проведем координатную ось x и
отметим на ней положение равновесия вагонетки –
точку O (рис. 3). Покажем силы, действующие на
вагонетку в какой-либо произвольной точке x.

Оказывается, и эта ситуация
сводится к математическому маятнику, а сила
тяготения играет роль силы натяжения нити. Но для
описания характера движения не важна природа
действующих сил, главное, что их
равнодействующая F направлена вдоль
туннеля к положению равновесия и
пропорциональна смещению. Итак, мысленно
перевернув систему, считаем ее подобной
математическому маятнику и применяем формулу .

Проверим наш подход математически.
Запишем векторное уравнение для
равнодействующей силы:

N + mg = F = ma.

Вдоль координатной оси Оx:

mg sin a = ma Ю  g sin a = a.

С другой стороны, угол a можно
связать и с расстояниями. Учитывая что мы
«перевернули» вагонетку, получим: Подставив это выражение в
предыдущее, получим: Отметим,
что ускорение прямо пропорционально смещению
вагонетки от положения равновесия (координате x).
Это очень важно, поскольку именно этот факт
позволяет нам считать колебания вагонетки
гармоническими с периодом

Задача 3. В U-образную
стеклянную трубку постоянной площадью
поперечного сечения S налита ртуть массой m.
Плотность ртути r. Найдите период колебаний ртути
после того, как трубку качнули.

Сначала, как обычно, выполним
схематический рисунок, на котором покажем
начальные уровни столбов ртути в обоих коленах
трубки, а также (пунктиром) положения этих
уровней при наклоне (рис. 4). Величину
отклонения обозначим x. Как известно, при
открытых обоих коленах уровни в них в равновесии
равны, т.к. равны их гидростатические давления
(давления pА и pВ на дно соответственно в
точках А и В). Если

уровни жидкости в коленах
оказались разными, то возникает разность
давлений и сила, стремящаяся возвратить жидкость
в равновесное состояние.

Пусть в некоторый момент в
левом колене высота столба ртути уменьшилась на
величину x, а в правом – на столько же
возросла. Возникла разность гидростатических
давлений:

Отсюда находим численное
значение возвращающей силы F, учитывая, что
направление смещения столбика ртути в колене
противоположно направлению действия этой
возвращающей силы:

С другой стороны,
согласно второму закону Ньютона F = ma,
где m – масса тела, на которое действует
сила. Возвращающая сила благодаря силам
межмолекулярного взаимодействия действует на
все количество ртути, находящейся в трубке, т.е. в
данном случае m – масса всей ртути. Отсюда:

Важно, что в полученном
выражении возвращающая сила прямо
пропорциональна смещению x, т.е. колебания
будут гармоническими. Величина 2rgS играет
роль коэффициента жесткости «гидравлической»
пружины. Поэтому окончательное выражение для
периода:

Перейдем к другому примеру
«гидравлической» пружины, действие которой
обусловлено не разницей гидростатических
давлений, а действием выталкивающей
(архимедовой) силы и силы тяжести.

Задача 4. На поверхности
воды плотностью r плавает бутылка массой m и
площадью поперечного сечения S. Найдите
период свободных вертикальных колебаний бутылки
при условии, что в воде находится только ее
цилиндрическая часть (т.е. горлышко в воду не
погружается).

Начинаем, разумеется, с
рисунков. На левом покажем бутылку в равновесном
положении, глубину ее погружения h и
действующие на бутылку силы (рис. 5, a), на
правом – бутылку в «притопленном» на глубину x
положении (рис. 5, б).

В начальном (равновесном)
положении:

В «притопленном» положении на
бутылку действует такая же сила тяжести и
возросшая архимедова сила FА’, т.к.
увеличился объем погруженной части бутылки.
Равнодействующая этих сил не равна нулю и
направлена вверх. Следовательно:

Подставив в это выражение
формулу (3), получаем:

Выразим величины сил FА
и FА’через объем погруженной части
бутылки. Так как она имеет форму цилиндра c
основанием S, то в равновесном состоянии
объем погруженной части V = Sh, а в
«притопленном» V ‘ = S(h + x).
Соответственно силы равны:

После подстановки этих
выражений в формулу (4), получим:

При расчете объема мы
учитывали только модуль x. Поскольку
направление дополнительного погружения бутылки
противоположно направлению действия
равнодействующей силы, запишем:

Снова ускорение прямо
пропорционально величине смещения тела от
положения равновесия, т.е. колебания
гармонические. Величина rgS выполняет функцию
коэффициента жесткости «гидравлической»
пружины (k = rgS). Отсюда:

Задача 5. Цилиндрический
сосуд длиной 2l расположен горизонтально.
Посередине цилиндра находится в равновесии
тонкий легкоподвижный поршень массой m и
площадью S. Справа и слева от поршня давление
воздуха составляет p0. Найдите период
малых колебаний поршня.

Возникает вопрос: а как этих
колебаний добиться, ведь поршень находится
внутри закрытого сосуда? Ответ: например,
встряхнув цилиндр. Далее, обратим внимание на то,
что речь идет о колебаниях малой амплитуды,
что позволяет считать колебательный процесс в
обоих отсеках сосуда изотермическим и применить
закон Бойля–Мариотта. [При реальных значениях
параметров колебания, так же как и при
распространении звука в воздухе, будут
адиабатическими. Изотермичность колебаний
необходимо дополнительно ввести в условие
задачи. – Ред.] Затем, поскольку поршень
тонкий, можно считать начальную длину каждого
отсека равной l – половине длины всего
цилиндра. Наконец, поршень, по условию, движется
легко, т.е. трения между поршнем и стенками сосуда
нет.

Решение начинаем, как обычно,
с рисунков. На рис. 6, а покажем цилиндр при
равновесном положении поршня, обозначим длины
отсеков и давление газа в них, на рис. 6, б –
цилиндр со смещенным на расстояние x поршнем
и давления газа в отсеках.

Применим закон
Бойля–Мариотта к газу в левом отсеке:

где V0 = lS –
объем левого отсека при равновесном положении
поршня, V1 = (l – x)S – при
смещенном. Выполнив те же действия для правого
отсека, получаем:

Наличие возвращающей силы
обусловлено разностью давлений газа слева и
справа от поршня. Эту силу согласно второму
закону Ньютона можно связать с ускорением,
сообщаемым поршню:

Выражая p1 из
уравнения (2) и подставляя его в выражение (3),
получаем:

Аналогично, выражая p2
из уравнения (1) и подставляя его в (3):

Вспомним, что колебания малые:
если x мало, то x2 – малая величина,
которой можно пренебречь на фоне l2:

Сделаем еще один шаг:
поскольку направления возвращающей силы F
и смещения противоположны, то в одну из частей
последнего равенства добавим «–»:

т.е. и в этой колебательной
системе ускорение прямо пропорционально
координате. Сравнение этого уравнения с
уравнением колебаний груза на пружине позволяет сделать вывод, что
величинаиграет роль коэффициента жесткости
«пневматической» пружины для поршня массой m.
Период малых колебаний поршня равен

Наконец рассмотрим самую
сложную задачу – про «фрикционную пружину».

Задача 6. Два одинаковых
ролика вращаются с одинаковой угловой скоростью
в противоположные стороны. Ролик слева – по
часовой стрелке, ролик справа – против часовой
стрелки. Оси вращения роликов лежат в
горизонтальной плоскости, расстояние между ними l.
На ролики положена доска, коэффициент трения
которой о ролики равен m. Изначально центр доски
находился на одинаковом расстоянии от осей
роликов. Если ролики начнут вращаться
одновременно, то доска останется в равновесии (в
состоянии покоя). Но если доску чуть-чуть
подтолкнуть вдоль ее длины, то она начнет
совершать колебания на роликах в горизонтальной
плоскости. Найдите период этих колебаний.

Итак, изобразим эту систему и
обозначим силы при равновесном положении доски
(рис. 7). Сила тяжести mg компенсируется
силами реакции опор N1 и N2.
Если доску сдвинуть на расстояние x, то
нагрузка на ролики перераспределится. Ролик с
большей нагрузкой будет действовать на доску с
большей силой трения, ролик с меньшей нагрузкой
– с меньшей; в результате доска начнет двигаться
в направлении, обратном смещению. Она по инерции
пройдет положение равновесия, нагрузка на ролики
вновь перераспределится, и теперь уже другой
ролик заставит доску двигаться в обратную
сторону и т.д. Возникнут колебания.

Рассмотрим смещенное
положение доски. Пусть x – величина смещения
в какую-либо сторону (рис. 8). Для определения сил
реакции опор покажем плечи этих сил и плечи силы
тяжести относительно точек O1 и O2

(см. верхнюю часть рисунка).
Как известно, если тело не вращается, то
алгебраическая сумма моментов всех сил,
действующих на него, равна нулю (отсчитывать
моменты можно относительно любой точки, если
векторная сумма сил, создающих эти моменты, равна
нулю. Это существенно):

Найдем отсюда силы реакции
опор:

Поскольку при смещении
равновесие доски нарушилось, то:

Fтр1 + Fтр2 = ma.

Величина силы трения
(скольжения) зависит от силы реакции опоры: Fтр = mN. Так как N1 > N2,
то Fтр1 > Fтр2.
Следовательно, вектор ускорения a
направлен в ту же сторону, что и вектор Fтр1.
Поэтому при проецировании последнего векторного
равенства на ось x, получается:

Выражая силы трения через
соответствующие силы реакции опор, находим:

Подставляя эти выражения в (4)
для расчета ускорения и упрощая, имеем:

С учетом направления смещения
x (оно противоположно направлению
возвращающей силы) получаем уравнение:

которое указывает на
гармонический характер колебаний доски на
роликах.

Сравнивая его с уравнением
колебаний груза на пружине мы
видим, что играет роль откуда период колебаний

Разумеется, множество задач
на «скрытые пружины» не исчерпывается
приведенными выше, но наша цель состояла в
выработке системного подхода к их решению. Будем
надеяться, что кто-нибудь из читателей продолжит
этот список.