Найти давление смеси в сосуде
Давление является одним из трех основных термодинамических макроскопических параметров любой газовой системы. В данной статье рассмотрим формулы давления газа в приближении идеального газа и в рамках молекулярно-кинетической теории.
Идеальные газы
Каждый школьник знает, что газ является одним из четырех (включая плазму) агрегатных состояний материи, в котором частицы не имеют определенных положений и движутся хаотичным образом во всех направлениях с одинаковой вероятностью. Исходя из такого строения, газы не сохраняют ни объем, ни форму при малейшем внешнем силовом воздействии на них.
В любом газе средняя кинетическая энергия его частиц (атомов, молекул) больше, чем энергия межмолекулярного взаимодействия между ними. Кроме того, расстояния между частицами намного превышают их собственные размеры. Если молекулярными взаимодействиями и размерами частиц можно пренебречь, тогда такой газ называется идеальным.
В идеальном газе существует лишь единственный вид взаимодействия – упругие столкновения. Поскольку размер частиц пренебрежимо мал в сравнении с расстояниями между ними, то вероятность столкновений частица-частица будет низкой. Поэтому в идеальной газовой системе существуют только столкновения частиц со стенками сосуда.
Все реальные газы с хорошей точностью можно считать идеальными, если температура в них выше комнатной, и давление не сильно превышает атмосферное.
Причина возникновения давления в газах
Прежде чем записать формулы расчета давления газа, необходимо разобраться, почему оно возникает в изучаемой системе.
Согласно физическому определению, давление – это величина, равная отношению силы, которая перпендикулярно воздействует на некоторую площадку, к площади этой площадки, то есть:
P = F/S
Выше мы отмечали, что существует только один единственный тип взаимодействия в идеальной газовой системе – это абсолютно упругие столкновения. В результате них частицы передают количество движения Δp стенкам сосуда в течение времени соударения Δt. Для этого случая применим второй закон Ньютона:
F*Δt = Δp
Именно сила F приводит к появлению давления на стенки сосуда. Сама величина F от столкновения одной частицы является незначительной, однако количество частиц огромно (≈ 1023), поэтому они в совокупности создают существенный эффект, который проявляется в виде наличия давления в сосуде.
Формула давления газа идеального из молекулярно-кинетической теории
При объяснении концепции идеального газа выше были озвучены основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Эта теория основывается на статистической механике. Развита она была во второй половине XIX века такими учеными, как Джеймс Максвелл и Людвиг Больцман, хотя ее основы заложил еще Бернулли в первой половине XVIII века.
Согласно статистике Максвелла-Больцмана, все частицы системы движутся с различными скоростями. При этом существует малая доля частиц, скорость которых практически равна нулю, и такая же доля частиц, имеющих огромные скорости. Если вычислить среднюю квадратичную скорость, то она примет некоторую величину, которая в течение времени остается постоянной. Средняя квадратичная скорость частиц однозначно определяет температуру газа.
Применяя приближения МКТ (невзаимодействующие безразмерные и хаотично перемещающиеся частицы), можно получить следующую формулу давления газа в сосуде:
P = N*m*v2/(3*V)
Здесь N – количество частиц в системе, V – объем, v – средняя квадратичная скорость, m – масса одной частицы. Если все указанные величины определены, то, подставив их в единицах СИ в данное равенство, можно рассчитать давление газа в сосуде.
Формула давления из уравнения состояния
В середине 30-х годов XIX века французский инженер Эмиль Клапейрон, обобщая накопленный до него экспериментальный опыт по изучению поведения газов во время разных изопроцессов, получил уравнение, которое в настоящее время называется универсальным уравнением состояния идеального газа. Соответствующая формула имеет вид:
P*V = n*R*T
Здесь n – количество вещества в молях, T – температура по абсолютной шкале (в кельвинах). Величина R называется универсальной газовой постоянной, которая была введена в это уравнение русским химиком Д. И. Менделеевым, поэтому записанное выражение также называют законом Клапейрона-Менделеева.
Из уравнения выше легко получить формулу давления газа:
P = n*R*T/V
Равенство говорит о том, что давление линейно возрастает с температурой при постоянном объеме и увеличивается по гиперболе с уменьшением объема при постоянной температуре. Эти зависимости отражены в законах Гей-Люссака и Бойля-Мариотта.
Если сравнить это выражение с записанной выше формулой, которая следует из положений МКТ, то можно установить связь между кинетической энергией одной частицы или всей системы и абсолютной температурой.
Давление в газовой смеси
Отвечая на вопрос о том, как найти давление газа и формулы, мы ничего не говорили о том, является ли газ чистым, или речь идет о газовой смеси. В случае формулы для P, которая следует из уравнения Клапейрона, нет никакой связи с химическим составом газа, в случае же выражения для P из МКТ эта связь присутствует (параметр m). Поэтому при использовании последней формулы для смеси газов становится непонятным, какую массу частиц выбирать.
Когда необходимо рассчитать давление смеси идеальных газов, следует поступать одним из двух способов:
- Рассчитывать среднюю массу частиц m или, что предпочтительнее, среднее значение молярной массы M, исходя из атомных процентов каждого газа в смеси;
- Воспользоваться законом Дальтона. Он гласит, что давление в системе равно сумме парциальных давлений всех ее компонентов.
Пример задачи
Известно, что средняя скорость молекул кислорода составляет 500 м/с. Необходимо определить давление в сосуде объемом 10 литров, в котором находится 2 моль молекул.
Ответ на задачу можно получить, если воспользоваться формулой для P из МКТ:
P = N*m*v2/(3*V)
Здесь содержатся два неудобных для выполнения расчетов параметра – это m и N. Преобразуем формулу следующим образом:
m = M/NA;
n = N/NA;
m*N = M*n;
P = M*n*v2/(3*V)
Объем сосуда в кубических метрах равен 0,01 м3. Молярная масса молекулы кислорода M равна 0,032 кг/моль. Подставляя в формулу эти значения, а также величины скорости v и количества вещества n из условия задачи, приходим к ответу: P = 533333 Па, что соответствует давлению в 5,3 атмосферы.
Источник
Задача 41.
Смешивают 0,04м3 азота, находящегося под давлением 96кПа (720мм. рт. ст.), с 0,02м3 кислорода. Общий объем смеси 0,06м3, а общее давление 97,6кПа (732мм. рт. ст.). Каким было давление взятого кислорода?
Решение:
По условию задачи объём азота увеличился в 1,5 раза (0,06/0,04 = 1,5), а объём кислорода – в 3 раза (0,06/0,02 = 3). Во столько же раз уменьшились парциальные давления газов.
Следовательно,
Согласно закону парциальных давлений, общее давление смеси газов, не вступающих во взаимодействие друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих систему (смесь). Отсюда Исходя из того, что объём кислорода до смешения был в три раза больше, чем после смешения, рассчитаем давление кислорода до смешения:
Ответ: Робщ. = 100,8кПа.
Задача 42.
Газовая смесь приготовлена из 2л Н2 (Р = 93,3 кПа) и 5л CH4 (Р = 112 кПа). Объем смеси равен 7л. Найти парциальные давления газов и общее давление смеси.
Решение:
По условию задачи объём водорода увеличился в 3,5 раза (7/2 = 3,5), а объём метана – в 1,4 раза (7/5 = 1,4). Во столько же раз уменьшились парциальные давления газов.
Согласно закону парциальных давлений, общее давление смеси газов, не вступающих во взаимодействие друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих систему (смесь).
Отсюда:
Ответ:
Задача 43.
Газовая смесь состоит из NO и СО2. Вычислить объемное содержание газов в смеси (в %), если их парциальные давления равны соответственно 36,3 и 70,4 кПа (272 и 528мм. рт. ст.).
Решение:
Согласно закону Дальтона парциальное давление данного газа прямо пропорционально его мольной доли на общее давление смеси газов:
где Р(смеси) – общее давление смеси; Р(А) – парциальное давление данного газа; (A) – мольная доля данного газа.
Согласно закону парциальных давлений, общее давление смеси газов, не вступающих во взаимодействие друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих систему (смесь).
Отсюда:
Ответ: 34,02%NO; 65,98%CO.
Задача 44.
В закрытом сосуде вместимостью 0,6м3 находится при 0 °С смесь, состоящая из 0,2кг СО2, 0,4кг 02 и 0,15кг СН4. Вычислить: а) общее давление смеси; б) парциальное давление каждого из газов; в) процентный состав смеси по объему.
Решение:
Вычислим общее количество газов в смеси по уравнению:
, где
– количество газа, кмоль; m – масса газа, кг; М – молекулярная масса газа, кг/моль. Тогда:
а) Общее давление смеси газов определяем по уравнению:
Тогда:
б) Парциальные давления газов рассчитываем по уравнению:
где Rk и k , соответственно, парциальное давление, и количество газа в смеси.
Тогда
в) Парциальные объёмы газов рассчитаем по уравнению:
Тогда
Отношение парциальных (приведённых) объёмов отдельных газов к общему объёму смеси называется объёмной долей и определяется по формуле:
Тогда
Ответ:
Задача 45.
Газовая смесь приготовлена из 0,03м3 СН4, 0,04м3 Н2 и 0,01м3 СО. Исходные давления СН4, Н2 и СО составляли ответственно 96, 84 и 108,8 кПа (720, 630 и 816мм рт. ст.). Объем смеси равен 0,08м3. Определить парциальные давления газов и общее давление смеси.
Решение:
По условию задачи объём метана увеличился после смешения в 2,67 раза (0,08/0,03 = 2,67), объём водорода – в 2 раза (0,08/0,04 = 2), а объём угарного газа – в 8 раз (0,08/0,01 = 8). Во столько же раз уменьшились парциальные давления газов. Следовательно,
Согласно закону парциальных давлений, общее давление смеси газов, не вступающих во взаимодействие друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих систему (смесь).
Отсюда:
Ответ:
Задача 46.
В газометре над водой находятся 7,4л кислорода при 23 °С и давлении 104,1 кПа (781 мм. рт. ст.). Давление насыщенного водяного пара при 23 °С равно 2,8 кПа (21мм. рт. ст.). Какой объем займет находящийся в газометре кислород при нормальных условиях?
Решение:
Парциальное давление кислорода равно разности общего давления и парциального давления паров воды:
Обозначив искомый объём через и, используя объединённое уравнение закона Бойля- Мариотта и Гей-Люссака, находим:
где Р и V – давление и объём газа при температуре Т = 296К (273 +23 = 296); Р0 = 101,325кПа; Т0 = 273К; Р = 104,1кПа; – объём газа при н.у.
Ответ: V0 =6,825л.
Источник
Задача 41.
Смешивают 0,04м3 азота, находящегося под давлением 96кПа (720мм. рт. ст.), с 0,02м3 кислорода. Общий объем смеси 0,06м3, а общее давление 97,6кПа (732мм. рт. ст.). Каким было давление взятого кислорода?
Решение:
По условию задачи объём азота увеличился в 1,5 раза (0,06/0,04 = 1,5), а объём кислорода – в 3 раза (0,06/0,02 = 3). Во столько же раз уменьшились парциальные давления газов.
Следовательно,
Согласно закону парциальных давлений, общее давление смеси газов, не вступающих во взаимодействие друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих систему (смесь). Отсюда Исходя из того, что объём кислорода до смешения был в три раза больше, чем после смешения, рассчитаем давление кислорода до смешения:
Ответ: Робщ. = 100,8кПа.
Задача 42.
Газовая смесь приготовлена из 2л Н2 (Р = 93,3 кПа) и 5л CH4 (Р = 112 кПа). Объем смеси равен 7л. Найти парциальные давления газов и общее давление смеси.
Решение:
По условию задачи объём водорода увеличился в 3,5 раза (7/2 = 3,5), а объём метана – в 1,4 раза (7/5 = 1,4). Во столько же раз уменьшились парциальные давления газов.
Согласно закону парциальных давлений, общее давление смеси газов, не вступающих во взаимодействие друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих систему (смесь).
Отсюда:
Ответ:
Задача 43.
Газовая смесь состоит из NO и СО2. Вычислить объемное содержание газов в смеси (в %), если их парциальные давления равны соответственно 36,3 и 70,4 кПа (272 и 528мм. рт. ст.).
Решение:
Согласно закону Дальтона парциальное давление данного газа прямо пропорционально его мольной доли на общее давление смеси газов:
где Р(смеси) – общее давление смеси; Р(А) – парциальное давление данного газа; (A) – мольная доля данного газа.
Согласно закону парциальных давлений, общее давление смеси газов, не вступающих во взаимодействие друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих систему (смесь).
Отсюда:
Ответ: 34,02%NO; 65,98%CO.
Задача 44.
В закрытом сосуде вместимостью 0,6м3 находится при 0 °С смесь, состоящая из 0,2кг СО2, 0,4кг 02 и 0,15кг СН4. Вычислить: а) общее давление смеси; б) парциальное давление каждого из газов; в) процентный состав смеси по объему.
Решение:
Вычислим общее количество газов в смеси по уравнению:
, где
– количество газа, кмоль; m – масса газа, кг; М – молекулярная масса газа, кг/моль. Тогда:
а) Общее давление смеси газов определяем по уравнению:
Тогда:
б) Парциальные давления газов рассчитываем по уравнению:
где Rk и k , соответственно, парциальное давление, и количество газа в смеси.
Тогда
в) Парциальные объёмы газов рассчитаем по уравнению:
Тогда
Отношение парциальных (приведённых) объёмов отдельных газов к общему объёму смеси называется объёмной долей и определяется по формуле:
Тогда
Ответ:
Задача 45.
Газовая смесь приготовлена из 0,03м3 СН4, 0,04м3 Н2 и 0,01м3 СО. Исходные давления СН4, Н2 и СО составляли ответственно 96, 84 и 108,8 кПа (720, 630 и 816мм рт. ст.). Объем смеси равен 0,08м3. Определить парциальные давления газов и общее давление смеси.
Решение:
По условию задачи объём метана увеличился после смешения в 2,67 раза (0,08/0,03 = 2,67), объём водорода – в 2 раза (0,08/0,04 = 2), а объём угарного газа – в 8 раз (0,08/0,01 = 8). Во столько же раз уменьшились парциальные давления газов. Следовательно,
Согласно закону парциальных давлений, общее давление смеси газов, не вступающих во взаимодействие друг с другом, равно сумме парциальных давлений газов, составляющих систему (смесь).
Отсюда:
Ответ:
Задача 46.
В газометре над водой находятся 7,4л кислорода при 23 °С и давлении 104,1 кПа (781 мм. рт. ст.). Давление насыщенного водяного пара при 23 °С равно 2,8 кПа (21мм. рт. ст.). Какой объем займет находящийся в газометре кислород при нормальных условиях?
Решение:
Парциальное давление кислорода равно разности общего давления и парциального давления паров воды:
Обозначив искомый объём через и, используя объединённое уравнение закона Бойля- Мариотта и Гей-Люссака, находим:
где Р и V – давление и объём газа при температуре Т = 296К (273 +23 = 296); Р0 = 101,325кПа; Т0 = 273К; Р = 104,1кПа; – объём газа при н.у.
Ответ: V0 =6,825л.
Источник