Найти молярную массу смеси и объем сосуда

5.5. Смесь идеальных газов

5.5.2. Смесь идеальных газов (идеальный газ) в сообщающихся баллонах

Если идеальные газы находятся в сообщающихся баллонах, разделенных краном, то при открытии крана газы в баллонах смешиваются между собой и каждый из них заполняет объем обоих баллонов.

Для идеального газа (или двух разных газов), находящегося в сообщающихся баллонах, при открытии крана некоторые параметры становятся одинаковыми:

• давление газа (или смеси газов) после открытия крана уравнивается:

p = const;

• газ (или смесь газов) после открытия крана занимает весь предоставленный ему объем, т.е. объем обоих сосудов:

V = V
1 + V
2,

где V
1 — объем первого баллона; V
2 — объем второго баллона;

• температура газа (или смеси газов) после открытия крана уравнивается:

T = const.

• плотность газа ρ и его концентрация n в обоих баллонах становятся одинаковыми:

ρ = const, n = const,

Если баллоны имеют одинаковый объем, то массы газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана становятся одинаковыми:

m′1=m′2=m′=m1+m22,

где m′1 — масса газа (или смеси газов) в первом баллоне после открытия крана; m′2 — масса газа (или смеси газов) во втором баллоне после открытия крана; m′ — масса газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана; m
1 — масса газа в первом баллоне до открытия крана; m
2 — масса газа во втором баллоне до открытия крана.

Масса газа, перешедшего из одного сосуда в другой в результате открытия крана, определяется следующими выражениями:

• изменение массы газа в первом баллоне

Δm1=|m′1−m1|=|m1+m22−m1|=|m2−m1|2;

• изменение массы газа во втором баллоне

Δm2=|m′2−m2|=|m1+m22−m2|=|m1−m2|2.

Изменения массы газа (или смеси газов) в обоих баллонах одинаковы:

Δm1=Δm2=Δm=|m2−m1|2,

т.е. сколько газа ушло из баллона с большей массой газа — столько же газа пришло в баллон с меньшей массой.

Если баллоны имеют одинаковый объем, то количества газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана становятся одинаковыми:

ν′1=ν′2=ν′=ν1+ν22,

где ν′1 — количество газа (или смеси газов) в первом баллоне после открытия крана; ν′2 — количество газа (или смеси газов) во втором баллоне после открытия крана; ν′ — количество газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана; ν1 — количество газа в первом баллоне до открытия крана; ν2 — количество газа во втором баллоне до открытия крана.

Количество газа, перешедшего из одного сосуда в другой в результате открытия крана, определяется следующими выражениями:

• изменение количества газа в первом баллоне

Δν1=|ν′1−ν1|=|ν1+ν22−ν1|=|ν2−ν1|2;

• изменение количества газа во втором баллоне

Δν2=|ν′2−ν2|=|ν1+ν22−ν2|=|ν1−ν2|2.

Изменения количества газа (или смеси газов) в обоих баллонах одинаковы:

Δν1=Δν2=Δν=|ν2−ν1|2,

т.е. сколько газа ушло из баллона с большим количеством газа — столько же газа пришло в баллон с меньшим количеством.

Для идеального газа (или двух разных газов), находящегося в сообщающихся баллонах, при открытии крана давление становится одинаковым:

p = const

и определяется по закону Дальтона (для смеси газов) —

p = p
1 + p
2,

где p
1, p
2 — парциальные давления компонентов смеси.

Парциальные давления компонентов смеси могут быть рассчитаны следующим образом:

• с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона; тогда давление определяется формулой

p=(ν1+ν2)RTV1+V2,

где ν1 — количество вещества первого компонента смеси; ν2 — количество вещества второго компонента смеси; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура смеси; V
1 — объем первого баллона; V
2 — объем второго баллона;

• с помощью основного уравнения молекулярно-кинетической теории; тогда давление определяется формулой

p=(N1+N2)kTV1+V2,

где N
1 — количество молекул первого компонента смеси; N
2 — количество молекул второго компонента смеси; k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К.

Пример 26. Определить среднюю молярную массу смеси газов, состоящей из 3,0 кг водорода, 1,0 кг гелия и 8,0 кг кислорода. Молярные массы водорода, гелия и кислорода равны 2,0, 4,0 и 32 г/моль соответственно.

Решение. Средняя молярная масса смеси определяется формулой

〈M〉=mν,

где m — масса смеси; ν — количество вещества в смеси.

Массу смеси найдем как сумму масс —

m = m
1 + m
2 + m
3,

где m
1 — масса водорода; m
2 — масса гелия; m
3 — масса кислорода.

Аналогично найдем количество вещества —

ν = ν1 + ν2 + ν3,

где ν1 — количество водорода в смеси, ν1 = m
1/M
1; M
1 — молярная масса водорода; ν2 — количество гелия в смеси, ν2 = m
2/M
2; M
2 — молярная масса гелия; ν3 — количество кислорода в смеси, ν3 = m
3/M
3; M
3 — молярная масса кислорода.

Подстановка выражений для массы и количества вещества в исходную формулу дает

〈M〉=m1+m2+m3ν1+ν2+ν3=m1+m2+m3m1M1+m2M2+m3M3.

Произведем вычисление:

〈M〉=3,0+1,0+8,03,02,0⋅10−3+1,04,0⋅10−3+8,032⋅10−3=

=6,0⋅10−3 кг/моль=6,0 г/моль.

Пример 27. Плотность смеси газов, состоящей из гелия и водорода, при давлении 3,50 МПа и температуре 300 К, равна 4,50 кг/м3. Определить массу гелия в 4,00 м3 смеси. Молярные массы водорода и гелия равны 0,002 и 0,004 кг/моль соответственно.

Решение. Чтобы найти массу гелия m
2 в указанном объеме, необходимо определить плотность гелия в смеси:

m
2 = ρ2V,

где ρ2 — плотность гелия; V — объем смеси газов.

Плотность смеси определяется как сумма плотностей водорода и гелия:

ρ = ρ1 + ρ2,

где ρ1 — плотность водорода.

Однако записанная формула содержит две неизвестные величины — плотности водорода и гелия. Для определения указанных величин требуется еще одно уравнение, в которое входят плотности водорода и гелия.

Запишем закон Дальтона для давления смеси газов:

p = p
1 + p
2,

где p
1 — давление водорода; p
2 — давление гелия.

Для определения давлений газов запишем уравнение состояния в следующей форме:

• для водорода

p1=ρ1RTM1,

• для гелия

p2=ρ2RTM2,

где R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура смеси; M
1 — молярная масса водорода; M
2 — молярная масса гелия.

Подстановка выражений для давлений водорода и гелия в закон Дальтона дает

p=ρ1RTM1+ρ2RTM2.

Получено еще одно уравнение с двумя неизвестными величинами — плотностью водорода и плотностью гелия.

Формулы для расчета плотности и давления смеси образуют систему уравнений:

ρ=ρ1+ρ2,p=ρ1RTM1+ρ2RTM2,}

которую требуется решить относительно плотности гелия.

Для этого выразим плотности водорода из первого и второго уравнений

ρ1=ρ−ρ2,ρ1=M1RT(p−ρ2RTM2)}

и приравняем их правые части:

ρ−ρ2=M1RT(p−ρ2RTM2).

Преобразование дает:

ρ2=M2M2−M1(ρ−pM1RT).

Подставим полученное выражение в формулу для вычисления массы гелия

m2=M2VM2−M1(ρ−pM1RT)

и произведем расчет:

m2=0,004⋅4,000,004−0,002(4,50−3,50⋅1060,0028,31⋅300)≈13,6 кг.

Масса гелия в указанном объеме смеси составляет 13,6 кг.