Найти напряжение в тонкостенном сосуде

Для тонкостенного сосуда  от действия давления жидкости требуется определить нормальные напряжения окружные (σt) и меридиональные  (σm) в цилиндрической и в конической частях и построить их эпюры. Анализируя эпюры напряжений, найти опасную точку, определить в ней величины главных напряжений и проверить прочность по одной из теорий прочности.

Исходные данные: 

Расчетная схема, соответствующая исходным данным:

Нумеруем участки: I, II, III и IV.

Выбираем начала отсчетов для у1, у2, у3, у4.

2. Определение напряжений в стенке сосуда и построение их эпюр.

а) на участке I                         0≤ y1 ≤ 2м

Рассматриваем верхнюю часть сосуда: 

Подставляя значения  в уравнение Лапласа ,  имеем

 откуда находим  .

Составляем уравнение равновесия отсеченной части сосуда:

откуда.

б) на участке II                        0 ≤ y2 ≤ 1м

Подстановка в уравнение Лапласа дает:,откуда

Для определения σm составляем уравнение равновесия отсеченной (в данном случае верхней) части сосуда:

Здесь вес слоя жидкости толщиной «у2»:     

Тогда уравнение равновесия будет:

, откуда 

в) на участке III                         0 ≤ y3 ≤ 1м

При рассмотрении третьего участка в данном случае выгодно (проще) оставить уже не верхнюю часть, а нижнюю. Причина в том, что верхняя часть включает в себя опорное кольцо, а реакция в нем «А» нам еще неизвестна, и чтобы избавиться от необходимости искать эту реакцию, проще верхнюю часть сосуда вместе с опорным кольцом «отбросить».

Вес слоя жидкости толщиной (h1-y3):

Вес жидкости в конической части сосуда:

Из уравнения Лапласа: следует:

Уравнение равновесия отсеченной (нижней) части сосуда будет:

Подставляя сюда выражения для q (y3), Q1 и Q2, найдем:

откуда:

Учитывая, что h1=1м, h=3м, R=3м, имеем:

Это величина постоянная в пределах всего III-го участка.

г) на участке IV .

Здесь также выгоднее рассматривать нижнюю отсеченную часть сосуда:

   0 ≤  y4  ≤ h=3м

Радиус кривизны меридионального сечения конуса ρm=∞, а радиус кривизны окружного сечения найдем из прямоугольного треугольника:

, где , откуда 

Тогда 

Давление жидкости на глубине h0+y4 составляет:

Вес жидкости в нижней части сосуда:

Из уравнения Лапласа  при     найдем:

Это уравнение параболы, эпюру строим по трем точкам:

при у4=0: σt=106,08∙106Па=106,08МПа,

при у4=1,5м: σt=92,82∙106Па=92,82МПа,

при у4=3м: σt=0.

Для отыскания меридионального напряжения σm составим уравнения равновесия отсеченной (нижней) части конуса:

После подстановки найдем:

Учитывая, что R=3м, h=3м, cosα=0,707, h0=2м, получаем:

При у4=0: σm=79,56∙106Па=79,56МПа,

при у4=1,5м: σm=53,04∙106Па=53,04МПа,

при у4=3м: σm=0.

3. Определение положения опасной точки и проверка прочности

Анализ эпюр нормальных напряжений показывает, что наибольших значений оба они достигают на границе цилиндрической и конической частей сосуда:

Здесь имеет место плоское напряженное состояние. В соответствии с правилом

σ1>σ2 >σ3 присваиваем номера главным напряжениям:

σ1=106,08МПа, σ2=79,56МПа, σ3=0.

Условие прочности по третьей теории прочности: 

Условие прочности по четвертой теории:

Таким образом, условия прочности удовлетворяются.

Рис.1.

δ – толщина стенки,

n – нормаль к боковой поверхности,

dsm  – размер бесконечно малого элемента по меридиану,

dst  – размер того же элемента по окружному сечению,

ρm– радиус кривизны меридиана,

ρt— радиус кривизны окружного сечения,

dαm, dαt–  соответствующие центральные углы.

Индекс “m” относится к меридиональному, а индекс «t» – к окружному сечению.

Для решения поставленной задачи вырежем из стенки сосуда бесконечно малый элемент двумя меридиональными сечениями и двумя окружными, как это показано на рисунке 1.

Тогда по граням выделенного элемента будут действовать нормальные напряжения: меридиональное σm и окружное σt. Касательных же напряжений вследствие симметрии не возникает. На боковую поверхность элемента действует давление газа или жидкости q.

Силы, действующие на гранях элемента:

—                     на окружных площадках σm·δ·dst,

—                     на меридиональных площадках σt·δ·dsm,

—                     на боковой поверхности q·dsm·dst.

Составим уравнение равновесия этих сил в виде суммы проекций на нормаль к поверхности элемента: ∑n=0.

Тогда:

Ввиду малости углов      синусы можно приравнять самим аргументам:  .

Сокращая затем всё на δ·dsm·dst, будем иметь:

На рис. 2 показан элемент и действующие на него силы в проекциях на вертикальную и на горизонтальную плоскости:

Рис. 2.

Но из чертежа на рис.2 следует   :

Тогда уравнение равновесия элемента примет вид:

 (1) 

Оно называется уравнением Лапласа и содержит два неизвестных напряжения. Поэтому требуется ещё одно уравнение. В качестве этого второго уравнения используется уравнение равновесия части сосуда конечных размеров, например, всей нижней части, как это показано на рис. 3. (можно верхней).

 Рис.3

На рис.3 показаны часть сосуда, расположенная ниже глубины «у», на которой мы определяем напряжения в стенке сосуда σm и σt. Здесь Q – вес жидкости, содержащейся в рассматриваемой части сосуда, q – давление жидкости на глубине «у», которое по закону Паскаля равно   .  Если жидкость в сосуде находится под давлением «р», то его следует прибавить к давлению «q».

Итак, уравнение проекций на ось симметрии О-О будет:,

откуда определяется величина меридионального напряжения   (2)

После определения σm окружное напряжение σt найдём из уравнения Лапласа (1).

Сравним прочность двух заполненных жидкостью цилиндрических резервуаров, отличающихся только условиями закрепления (рис.1). 

Рис 1.

Задача сводится к сравнению величин эквивалентных напряжений для опасных точек обоих резервуаров, найденных с позиций одной и той же теории прочности.

В цилиндрических резервуарах ρm=∞, ρt=R, и из уравнения Лапласа  для обоих вариантов закрепления получаем:

 Тогда  

Меридиональные же напряжения получаются различными.

Для их определения в первом случае рассмотрим нижнюю часть резервуара, чтобы не вводить в рассмотрение реакцию в опорном кольце (рис.2, а), а для решения той же задачи во втором случае придется рассмотреть равновесие верхней части резервуара (рис.2,б).Рис 2

Для первого случая (а) уравнение равновесия:, где Qн – это  вес жидкости в нижней части сосуда.

Тогдаоткуда

Для второго случая (б) уравнение равновесия будет:

После подстановки имеемоткуда , что свидетельствует о том, что вес всей жидкости во втором случае воспринимается не стенкой, а непосредственно опорой.

Построим эпюры окружных и меридиональных напряжений. Они показаны на рис.3 Рис 3

Эпюры показывают, что наиболее напряженными точками в обоих случаях являются точки, расположенные вблизи днища. Но в первом случае напряженное состояние в этих точках оказывается плоским , а во втором – линейным 

.

Наконец, сравним величины эквивалентных (расчетных) напряжений для двух рассмотренных случаев опирания резервуара. Так, по III теории прочности в первом случае:

Во втором случае также ,то есть с точки зрения этой теории прочности оба рассмотренных варианта являются равнопрочными.

А с позиции IV теории прочности:

Сравнение говорит о том, что подвешенный резервуар (первый вариант закрепления) с точки зрения данной теории прочности оказывается несколько более прочным, чем опёртый в уровне днища.

В этом случае 

Тогда из уравнения Лапласа находим  :

А так как давление жидкости на глубине (h-y) равно q=γ(h-y), то окружное напряжение в стенке конуса:  

Для определения меридионального напряжения σm  следует рассмотреть равновесие нижней отсеченной части, то есть воспользоваться ранее выведенным уравнением меридионального напряжения.

Тогда на произвольной глубине (h-y): Подставляя сюда 

получим:

По найденным выражениям построены эпюры напряжений σm и σt  на рисунке вверху.

Решим вопрос оценки прочности конического резервуара в случае его полной загрузки жидкостью.

Рассмотрим две характерные точки: на расстоянии 0,75 h от вершины конуса, где максимального значения достигает меридиональное напряжение σm , и в середине высоты, где максимума достигает окружное напряжение σt.

Итак, в точке у=0,75 h:

В этой точке два главных напряжения оказываются одинаковыми 

Тогда по III теории прочности эквивалентное напряжение будет:

а по IV теории

То есть в этой точке обе теории прочности приводят к одному и тому же результату.

В средней по высоте точке, при y=0,5h:

Следовательно, здесь σ1=σt, а σ2=σm. Третье главное напряжение по-прежнему равно нулю: σ3=0.

В этой точке стенки конуса эквивалентное напряжение будет:

—  по III теории прочности

а по IV теории:

Из сравнения эквивалентных напряжений заключаем, что по обеим теориям прочности более опасной точкой в стенке конического резервуара является точка, расположенная посередине высоты.

а) В цилиндрической части резервуара ( ρm=∞, ρt=R): из уравнения Лапласа