Наклон жидкости в движущемся сосуде
В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.
1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус – замедлению ) (см. рисунок).
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции. Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле
p = p0 + ρ·(g·z ± a·x),
Для свободной поверхности жидкости, когда р=p0, уравнение принимает вид:
g·z = ± a·x
или
z/x = tg α = ± a/g,
где α – угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.
Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l) высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.
Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:
p = p0 + ρ·g·z = p0·γ
В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.
2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:
p = p0 + γ·((ω2·r2)/(2·g) – z)
Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p0, уравнение принимает вид:
z = (ω2·r2)/(2·g) = u2/(2·g),
где окружная скорость u = ω·r (r – радиус вращения точки).
Высота параболоида вращения:
h = ω2·r20/(2·g),
где r0 – радиус цилиндрического сосуда.
Сила давления жидкости на дно сосуда:
P = γ·π·r20·h0 = γ·π·r20·(h1 + h/2),
где h0 – начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.
Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h1 + h и основанием γ·(h1 + h).
3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω2 (см. рисунок а).
При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).
Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:
p = p0 + γ·ω2·(r2 – r20)/(2·g)
где p и p0 – соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r0.
Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r0 и давлением во всех ее точках р0.
Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в. Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.
Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.
Источник
Сегодня я заварил себе чай и задумался
Сегодня утром я задумался, пока размешивал два кубика сахара в чашке с только что заваренным чаем. Задумался о форме жидкости, которую она принимает при вращении. Безусловно, все представляют себе что будет, если очень быстро начать размешивать сахар в чашке с чаем. Мне захотелось рассмотреть этот банальный и привычный процесс подробнее и попытаться рассказать Вам немного интересного из физики окружающих нас в быту явлений.
Идея эксперимента
Давайте представим, что мы имеем некоторую цилиндрическую тару, в которой находится некоторая жидкость. Вращаться жидкость можно заставить, как минимум, двумя очевидными способами: размешать её каким-нибудь предметом или начать вращать цилиндрическую тару, что, благодаря силам трения между жидкостью и поверхностью сосуда, приведет к вращению жидкости, увлекаемой содержащим её вращающимся сосудам.
Физическая модель
Остановимся на втором варианте. Итак, у нас есть вращающийся с постоянной циклической частотой сосуд, в котором при динамическом равновесии с постоянной циклической частотой вращается жидкость в том же направлении.
Вырежем из всей жидкости элементарный бесконечно малый объем около поверхности и рассмотрим какие силы на него действуют. В силу симметрии задачи, будем ориентироваться на цилиндрические координаты, что заметно упростит расчеты.
Качественный расчет формы поверхности
Запишем второй закон Ньютона для элементарного кусочка объема жидкости:
К примеру, после размешивания ложкой сахара в чашке только что заваренного чая, жидкость вращается вокруг оси симметрии, отсюда наш элементарный кусочек объема имеет центростремительное ускорение. Поэтому спроецируем наш закон Ньютона на ось, совпадающую с радиусом-вектором от элементарного объема до оси симметрии. Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение. Сила, сообщающая центростремительное ускорение (в правой части нашего закона движения) возникнет из-за разности давлений столбов жидкости, что можно увидеть на увеличенной части первого рисунка.
Таким образом, у нас получится следующее выражение:
, где , а та самая сила определится как , где площадью эффективного сечения обозначена та площадь нашего элементарного объема, на которую действует разница давлений столбов жидкости .
Получаем силу
Масса нашего элемента объема определяется по знакомой всем формуле , а сам объем будет равен (элементарный объем в цилиндрических координатах).
В итоге, 2 закон Ньютона для нашей маленькой задачки расписывается в следующее выражение:
После небольших сокращений и преобразований получаем:
Теперь проинтегрируем обе части выражения, используя неопределенные интегралы:
Детальный расчет формы поверхности
Теперь мы получили вполне ясную зависимость для формы поверхности и с уверенностью можем сказать, что это параболоид. Но нам неизвестна постоянная величина . Давайте её определим для полного понимания физики процесса.
Так как объем жидкости не меняется (мы считаем, что не пролили ни капли, пока размешивали наш чай ツ), то запишем объемы до вращения и во время вращения с постоянной циклической частотой.
До вращения:
, где – это высота жидкости в цилиндрической поверхности в спокойном состоянии (вращения нет).
Во время вращения:
Данные объемы равны, поэтому:
Отсюда выражается ранее неизвестная постоянная:
И окончательное уравнение формы поверхности вращающейся жидкости имеет вид:
или преобразовав
Некоторые заметки
Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости. Это выражение мне показалось довольно интересным, так как с его помощью можно легко смоделировать примерное расположение жидкости внутри вращающегося вокруг своей оси симметрии цилиндрического сосуда. Для этого можно воспользоваться MathCAD’ом и построить несколько графиков.
Графическое представление результатов расчета
Возьмем вполне реальные параметры системы, соизмеримые с размерами чашки или стакана.
Радиус цилиндрической поверхности:
Высота жидкости в цилиндрической поверхности без вращения:
Ускорение свободного падения:
Циклическая частота вращения цилиндрической поверхности:
(Все значения этих величин заданы в системе Си)
Далее перепишем нашу функцию для её отображения в MathCAD.
Для 2D отображения сечения:
Для 3D отображения поверхности:
В качестве изменяющегося параметра будем менять циклическую частоту вращения . Результаты можно наблюдать на рисунках ниже:
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
Выводы
Видно, что если циклическая частота превысит значение , то мы увидим дно вращающегося цилиндрического сосуда, и, начиная с этой частоты, жидкость будет плавно «переходить» на стенки сосуда, всё сильнее оголяя дно. Очевидно, что при очень больших частотах вся жидкость растечется по стенкам сосуда. Теперь мы знаем все параметры такой жидкости. Зная её уравнение, не составит большого труда рассчитать толщину слоя жидкости на стенке сосуда на определенной высоте при определенной частоте.
upd. Отдельно хотелось бы подчеркнуть те противоречащие друг другу допущения, которые были приняты при рассмотрении задачи:
1. Считалось что, жидкость вращается благодаря вращению сосуда, который её содержит. Это может быть только при учете внутреннего трения, вязкости и поверхностного натяжения.
2. Но при выводе формы поверхности эти явления не учитываются для того, чтобы упростить решение и показать только качественный результаты моделирования. Т.е. решение немного противоречит описываемой изначально модели. Учет всех явлений, включая нелинейность процесса при высоких частотах, настолько бы усложнил задачу, что её вряд ли можно было бы решить аналитически и показать примерную и понятную модель для человека, который не связан с математикой/физикой.
3. Цель состоялась в том, чтобы показать лишь очень приближенное и самое простое решение, включающее в себя ряд допущений.
Источник
из “Прикладные задачи по гидравлике “
При равновесии в движущемся сосуде жидкость, заполняющая сосуд, движется вместе с ним как твердое тело. В зависимости от характера действующих массовых сил в жидкости поверхность равного давления, как и свободная поверхность, может принимать различную форму. Рассмотрим некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах. [c.99]
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерщ1и. [c.99]
Рс Р8 С где h расстояние от точки С до пьезометрической плоскости. [c.100]
Силы давления жидкости на плоские стенки в рассматриваемом случае равновесия благодаря однородности поля массовых сил определяются зависимостями, которые используются в случае равновесия жидкости в неподвижном сосуде [2]. Координаты центра давления действующих сил зависят от величины и направления ускорения а и определяются по формулам, приведенным в [2]. [c.100]
В выражениях (6.1)- (6.7) ускорение а принимается с учетом знака. [c.101]
Изложенные выше замечания к формуле (6.4) справедливы и для формул (6.5) – (6.7). Также справедливы в данном случае и замечания по определению сил давления жидкости на плоские стенки и координат центра давления. [c.101]
Формула (6.18) применима и для сосудов с избыточным (Ро PmmJ или вакуумметрическим давлением (ро р щ) над жидкостью, если отсчитывать координаты Z и X от пьезометрической плоскости, т.е. от поверхности уровня, давление в точках которого равно атмосферному. [c.103]
Поверхность уровня представляет собой параболоид вращения, ось которого совпадает с осью вращения сосуда (рис. 6.6). [c.103]
Из уравнения (6.20) следует параболический закон распределения давления по радиусу (рис. 6.6). [c.104]
Рассмотрим случай, когда центробежные силы велики по сравнению с силой тяжести жидкости и последней можно в расчетах пренебречь, т.е. при условии g. [c.105]
Закон распределения давления (6.26) по радиусу является параболическим. Эпюры давления представлены на рис. 6.9, в. [c.105]
Если сила тяжести мала по сравнению с центробежной, то формула (6.26) может применяться при любом расположении оси вращения сосуда. [c.105]
Задача 6.2. Цистерна, заполненная нефтью (относительная плотность 5 = 0,9), движется на спуске с уклоном i = 0,105. Диаметр горловины d = 0,7 м, а высота горловины над поверхностью нефти в неподвижной цистерне на горизонтальной плоскости (рис. 6.11)дй = 0,2 м. Определить ускорение, при котором нефть поднимется до передней кромки горловины. [c.106]
На рис. 6.12 обозначено 1 – свободная поверхность нефти при движении цистерны с замедлением 2 – горизонтальная плоскость 3 – плоскость движения цистерны. [c.107]
Нефть поднимется до передней кромки горловины при торможении цистерны с ускорением а = -4,52 м/с. [c.107]
Задача 6.3. Цистерна, заполненная дизельным топливом, движется со скоростью U = 36 км/ч по горизонтальному закруглению радиусом R = 300 м. Определить угол наклона свободной поверхности дизельного топлива (рис. 6.13). [c.107]
Знак (-) указывает на то, что уровень нефти понижается у боковой noBqjxHO TH цистерны со стороны центра закругления. [c.107]
Задача 6.4. Циливдрический сосуд диаметром D, =300 мм и высотой L = 250 мм, имеющий в верхней крышке центральное отверстие диаметром 1 2 = 200 мм, заполнен нефтью плотностью р = 900 кг/м до высоты 5 = 180 мм (рис. 6.14). Определить угловую скорость сосуда, при которой жидкость начнет выливаться из него, и силу давления на верхнюю крышку при этой угловой скорости. [c.108]
Решение. Жидкость начнет выливаться из сосуда, когда ее свободная поверхность по мере увеличения угловой скорости достигнет кромки отверстия в верхней крьппке. При этом вершина параболоида свободной поверхности в зависимости от объема жидкости в сосуде может расположиться ниже или выше дна сосуда. [c.108]
Указание. В сосуде не останется жидкости, когда свободная поверхность жидкости коснется стенки сосуда у его дна, и вектор сум.марной массовой силы, действующей на последнюю частицу жидкости в этой точке, будет нормальным к стенке. [c.112]
Вернуться к основной статье
Источник
: – ( ..) : : 1329 |
|
6., , . , , . . 1. , + (. 6.1, ) – (. 6, ).
6 . 6.1 , . . [1] = +(2 + )- () , = 0, gz = – (6.2) z – = tg ß = , (6.3) X g ß . 111 , , , .. = , = PS Z –X V 8 ) (6-4) (6.4) (0> /?) , z , .. , (. 6.2). , (6.4) = hc- – . (6.4) Z –X 8 7777) /////77//////?//// . 6.2 , . (< = 0), (6.1) = + 8? ■ , , , [2]. , [2]. 2. , + (. 6.3, ) – (. 6.3, ). = +8 V . . 1 + sm V 8 Z –X 8 , V (6.5) 113 . 6.3 (6.5) z + – 8 , , . ( = 90), (6.5) = Pq + Pg 1 + 8. ( = -90 ), . = Pq + Pg 1 gj z. (6.6) (6.7) (6.1)-(6.7) . (6.4) (6.5)-(6.7). . V, , (. 6.4): ={ +G+F = +Q, (6.8) { – ,
, = = P8hc, (6.9) . 6.4 114 hc – ( ); ; G – V, G = pgV; (6.10) F – , V , F = paV; (6.11) Q – , Q = G+F. (6.12) 3. , , – , . . P = Po+p(gz + wx)> (6.13) w – ; R X w = ‘R W = R (6.14) (6.15) – ; R – ; – . , = pQ, (6.13) gz = -wx (6.16) -=tgß= * g (6.17) ß – . pQ = 1 / W =8 z + -x , (6.18) V 8 W z ͗ X – 8 , . 115 (6.18) ( 0 > ) ( < /?) , z , .. , . 4. , . , . , , , w = G)V (öi – ), . , (. 6.6). (r,z)
z-z0 = () (6.19) + Zq ; , Z- . = . 6.6 2g ? – . 2 2 (!) 1″ = +–pg(z-z0), 2 (6.20) – z; 0- , z0. 116 , h ) P = Po+Pgh- (6-21) h ( – ) – ■ (6-22) (6.20) (. 6.6). ( ) hQ (. 6.6), hQ = – . 2 (6.23) , (. 6.7), = ^–2)- = 2 V 1 }2 2 (6.24) W R (!) . 6.7
117 , , , . . 6.8 , . Pz=PgVz, (6.25) Vz – , z, . 5. , . . , = (. 6.9, ). , , .. G)2r g. , (. 6.9, ). )7(7 -rQ2) = + (6.26) 0 – i% – .
CO . 6.9 119 (6.26) . . 6.9, . , (6.26) . 6.1. D = 1,2 L = 2,5 , ( 8 = 0,9 ) b = 1 , – ^ = 2 /2 (. 6.10). . g = 10 /. . ß, tgß= . 8 /, : La 2,5-2 Ah =–= -= 0,25. 2g 2- 2 7I-122 = pghCÄ(i)Ä = pg(b – Ah)-= 1 0,9 10(1 – 0,25)- = 7630 .
. 6.10 4 PB=PghCBB =pg(b + Ah) 1000-0,9-10(1+ 0,25) -1.212717. 6.2. , ( 5 = 0,9), / = 0,105. d = 0,7 , 120 (. 6.11) = 0,2 . , . . / = tgot. = 6. (6.3) (. 6.12) 2a/?cosoi d = ~g’ . 6.12 : 1 – ; 2 – ; 3 – .
. 6.12 . 6.11 : / = (/ – ) cosa = – tga V 2 J , , cosa. = — – tea 2 . ,1 cos2a 2 -g =
77777777777777777/ . 6.13 121 0 7 0,2-tg6 2 cos2 6 2 0,7 -9,81 = -4,52/2. – = -4,52 /. 6.3. , , ü = 36 / R = 300 . (. 6.13). . (6.15), . : >= =-= 0,333 / . R 300 (6.17) : ß = arctg 8 arctg 0 ,JJJ 9,81 -2, Di *4 , . 6.4. D{ = 300 L = 250 , D7 = 200 , = 900 / = 180 (. 6.14). , , . . , . . , 1, (. 6.15): ή . 6.14 4 3,14 2 4 4 V 2 0,25 0, 02 2 1,374-10 2 3. . 3,14-0, j 4 0,18: = 1,272-10″2 ~
124 VH < V, , 2 . (6.24), : = TigL2 3,14-9,81-0,252 = 25,4 “ 11,272 1 (2 – ^- (,32 – 0,22 ),25 (6.25): P = pgK=pgb =pg^-J:^ G)’ G)’ [ 8g 8g 900-3,14-25,4 64 (o,32 -0,22)2 = 71,2H. 6.1. L = 1 , = 0,5 = 0,7 h = 0,5 . , (. 6.16). 6.2. (- , (. 6.17). , h = 10 / = 20 ? 6.3. 6 = 1 , = 0,2g, , =1 h2 = 1,75 (. 6.18). , 1{ = 2 , l2 = 1 . 125
. 6.16 . 6.17 . 6.18 6.4. L = 2 , = 1 , b = 1 , = 6 /, h = 0,5 . , 0 = 0,2 105 (. 6.19). 6.5. = 4,0 /. , , L = 0,5 , b = 0,4 , = 0,2 , h = 10 (. 6.20). , , . 6.6. , = 1 /2, d = 0,2 , h = 0,4 (. 6.21). L . 6.19 . 6.20 .6.21 6.7. D = 2,4 L = 5,0 , ( 5 = 0,9) 6 = 2 , = 2 / (. 6.22). , ( . 6.22 ) V = 0,5 . g = 10 /. 126 6.8. (hc /), , = g (. 6.23). , : L = 2,88 , = 1,2 , h = 1,0 .
. 6.23 6.9. = 45 = 5,0 / , (. 6.24). , / = 0,5 . 1, 2 3, 4, , , b = 1 . 6.10. , h = 0,1 = 900 /, a = g (. 6.25). , , L = 1 , D = 0,5 . , / = 0,1 .
L . 6.24 . 6.25 127 6.11. – h = 0,48 (. 6.26). v = 36 / , . / = 3,0 , = 0,96 , -. 6.12. (hc /), , = 36 / R = 25 (. 6.27). , : = 1,8 , = 1,2 1,0 .
. 6.26 ////// 77777? . 6.27 6.13. =0,3 h = 0,2 . , , , , D = 100 (. 6.28). 6.14. , , . 6.29, . : D = 240 , d = 120 , = 50 . . , , , , . 6.15. , ) =) d = 0,60 , = 0,40 (. 6.30). 128 D D . 6.28 . 6.29 6.16. d , ) =10 “1, // = 0,86 (. 6.31). 6.17. d = 0,60 =1,5 , // = 1,0 , = 10 “1. (. 6.32). 6.18. , = 25 “1, (3 = 200 d = 150 D = 300 (. 6.33). . . d . 6.32 . 6.33 6.19. , D = 0,3 , d = 0,2 , b = 0,25 + b = 0,42 , = 450 /. , , = 50 (. 6.34). . 129 6.20. , , , ( = 900 /3) = 8000 / (. 6.35). , D = 120 , d = 30 . 0 = 0,5 . 6.21. D = 90 d = 20 (. 6.36). ), , h = 0,06 . , .
. 6.34 . 6.35 . 6.36 6.22. D = 180 = 0,6 ) = 200 “1. 7 – , 25 % (. 6.37). 6.23. . D = 200 = 1000 0 = 600 . , h = 100 (. 6.38). 6.24. , , d = 180 5 = 20 . 130 = 7000 / = 1000 / (. 6.39). D D
. 6.38 . 6.39 I 1 1 I I – 6.25. D = 380 6 = 210 , = 1000 /, V = 6 (. 6.40). , , . 6.26. , , / = 0,2. , (. 6.11). 6.27. , , , h{ = 1,0 h2 = 1,5 . , (. 6.18). 6.28. L = 2 , = 6 /2, h = 0,5 . , = 1,0 , 0 = 0,2-105 (. 6.19). . 6.40 132 6.29. , : L = 0,5 , b = 0,4 , = 0,2 , h = 10 (. 6.20), 7 . , . , , . 6.30. , = 160 , d = 0,2 , h = 0,4 . (. 6.21)? 6.31. D = 2,4 L = 5,0 , 6 = 1,8 , . , (. 6.22). 6.32. . = 0,5#, = 1,2 , L = 3,0 , h = 1,0 (. 6.23). 6.33. ( = 8000 /3). , , = 1000 /, D = 150 , d = 100 (. 6.41). 6.34. ( = 7000 /). , = 500 /, D = 1000 (. 6.42).
. 6.41 . 6.42 133 6.35. , , R = 100 60 /. , , : L = 3 , = 0,8 , = 1,8 . V = 3,0 3. , = 0,05 (. 6.43). 6.36. R = 50 / = 0,05. , (. 6.43). 6.37. = 250 d = 300 = 200 /. , d (. 6.44).
. 6.43 – 6 44 6.38. R = 100 , , // = 10. 6 = 10 . . 6.39. , , . , , , 1 . 134 .1 . 6.45 100 (. 6.41)? 6.40. . R (. 6.45). , , . h. 6.41. = 0,8 D = 0,4 ) =16 “1. , . 6.42. 頠 頠 = 0,75 D = 0,35 0 =0,3-105 . , , = 300 /. 6.43. < = 0,5 /” (. 6.46). , = 6 , = 4 , L = 10 , h = 0,8 , = 800 /3. 6.44. R = 200 20 /. , = 6 , L = 10 , = 4 (. 6.47). h = 0,8 , = 900 /3. . + L L R . 6.46 . 6.47 135 6.45. L = 2 , R = 0,5 8 = 10 . , 8 = 1 ? = 7000 / . 6.46. ( ) R = 50 = 25 (. 6.48). , ( = 800 /3) . 6.47. 8 = 10 , = 2 R = 0,5 , ) =142 “1 . , , – = 7000 / , 8 = 1 . 6.48. = 100 , 3/4 , = 10000 / (. 6.49). .
. 6.48 . 6.49 6.49. L = 2 R = 0,5 ay = 99 “1 . , . = 7000 /3. 136 6.50. R = 0,6 , , h = 1,2 : 1) = 12 “1; 2) , =12 “1 (. 6.50). 6.51. L = 2 R = 0,5 ( = 8000 / ) 5=10 . , = +1 . = 7000 /3. 6.52. , , = 36 / R = 300 (. 6.51). , .
. 6.51 6.53. D{ = 300 L = 250 , D2 = 200 , = 850 /3 = 200 = 20 “1 (. 6.14). , . 137 6.54. , 45 . , , v = 250 /. 6.55. D = 400 = 600 . , , , (. 6.52), h = 200 . 6.56. D = 300 = 400 , (. 6.53). , , , , ) = 20 “1. 6.57. (. 6.54) D = 200 =300 a = (),5g. , h = 100 , – . . D |
Источник