Объем воды больше чем объем сосуда

Что такое вместимость сосуда

Вместимость сосуда – это объем его внутренней полости, определяемый по его геометрическим параметрам. Единица измерения объема в СИ – кубический метр, но в случае жидкости чаще используют литр.

Особенности расчета объема жидкости в сосуде

Жидкость по своим свойствам занимает промежуточное место между двумя другими агрегатными состояниями вещества – твердым и газообразным. Жидкости присущи некоторые свойства и твердого тела, и газа. Силы взаимного притяжения молекул в жидкостях достаточно велики, чтобы удерживать молекулы вместе, так что, в отличие от газов, жидкости имеют постоянный собственный объем.

В то же время эти силы недостаточны, чтобы держать молекулы в жесткой упорядоченной структуре, и потому у жидкостей нет постоянной формы: они принимают форму сосуда, в котором находятся.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Жидкость в сосуде оказывает постоянное давление на его стенки, поэтому на производстве, где необходимо регулярно измерять текущий объем жидкости в сосуде, часто используют гидростатические датчики давления.

За счет маленького диаметра их мембран итоговая погрешность измерения близится к нулю. Поэтому, зная давление в конкретный момент времени, можно вычислять уровень жидкости, т. е. высоту гидростатического столба. В формулу для расчета входят только плотность жидкости и ее давление:

(h = frac{p}{rho s g}.)

(p) здесь – давление в паскалях, (rho) – плотность, (g) – ускорение свободного падения, константа.

Зная габариты сосуда, несложно рассчитать объем жидкости в нем. Это необходимо, например, в пивоварении и виноделии, где обычно используются цилиндрические емкости с конусным дном, близкие по параметрам к идеальным геометрическим телам.

При решении логических учебных задач на переливание жидкости из одного сосуда в другой может пригодиться понимание взаимосвязи объема жидкости и параметров сосуда. А для задач по физике часто требуется рассчитать объем, который занимает жидкость в сосуде, через ее массу. На практике это действительно один из самых удобных способов, не требующий ни специальных датчиков, ни сложных расчетов.

Задача

Найти объем керосина, зная массу одного и того же сосуда с ним, и без него. Масса пустого сосуда 440 грамм, полного – 600 грамм.

Решение:

Плотность керосина можно узнать из справочной таблицы – 800 (frac{кг}{м^{3}}.)

Вычислим массу керосина в сосуде: 600 – 440 = 160.

Подставим известные данные в формулу:

(V = frac{m}{rho} = frac{0,16}{800} = 0,0002 м^{3} = 200 см^{3}.)

Ответ: 200 (см^{3}.)

Как определить вместимость сосудов разных форм

Вычисление объема параллелепипеда

Параллелепипед – это призма, объемная шестигранная фигура, в основании которой находится параллелограмм.

(V = S_{осн} s H. )

Прямоугольный параллелепипед – это призма, у которой все грани являются прямоугольниками. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются квадратами, – это куб.

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, достаточно найти произведение трех его измерений:

(V = AB s AD s AA_{1} = abc.)

Объем куба равен кубу его стороны:

(V = a^{3}.)

Нахождение объема пирамиды

Пирамида – это многогранник, состоящий из основания – плоского многоугольника, вершины – точки, лежащей не в плоскости основания, и отрезков, которые соединяют вершину с углами основания. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

(V = frac{1}{3} s S_{осн} s h.)

Чтобы определить объем усеченной пирамиды, надо знать площадь обоих оснований – (S_{1}) и (S_{2}).

(V = frac{1}{3} s h s (S_{1} + S_{2} + sqrt{S_{1} s S_{2}}). )

Как найти объем цилиндра

Цилиндр – это тело, состоящее из двух кругов, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

(R) – радиус основания цилиндра, (h) – его высота, равная образующей оси.

(V = S_{осн} s h = pi s R^{2} s h.)

Если нужно найти объем усеченного цилиндра, то понадобится не только R – радиус основания, но и наибольшая и наименьшая образующие. Они обозначаются буквой l – (l_{1}) и (l_{2}).

(V = pi s R^{2} s frac{l_{1} + l_{2}}{2}.)

Как высчитать объем конуса

Конус – это тело, состоящее из круга, точки, лежащей не в плоскости этого круга, и отрезков, которые соединяют вершину с точками основания.

(V = frac{1}{3} s S_{осн} s h = frac{1}{3} s pi s R^{2} s h.)

Чтобы найти объем усеченного конуса, понадобятся (R_{1}) и (R_{2}) – радиусы оснований, а также высота (h).

(V = frac{pi s h}{3} s (R_1^2 + R_2^2 + R_1 s R_2).)

Нахождение объема шара

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше заданного радиуса от центральной точки.

(R) – радиус полукруга, равный радиусу шара.

(V = frac{4pi s R^{3}}{3}.)

Источник

Тема: Объём

Цели: 1) познакомить с величиной объем, единицами измерения объема; научить практически сравнивать предметы по объему с помощью переливания.

2) закрепить знания о величинах, полученные на предыдущих уроках, тренировать счет в пределах 9; развивать логическое мышление, память и внимание.

3) воспитывать интерес к предмету, внимательность, коллективизм.

Оборудование: учебник математики авт. Л.Г. Петерсон 1 кл, таблички с записью терминов, различные по объему стаканы.

Ход урока:

этапы

Содержание

ОМУ

III

Мотивация к учебной деятельности

Долгожданный дан звонок

Начинается урок!

-Ребята все ли вы готовы к уроку?

-Если да тогда подарите друг другу улыбку и присаживайтесь на свои места.

Актуализация знаний

Игра «Молчанка»

– задумали число, прибавили к нему 2, получили 7. Какое число задумали?

– первое слагаемое 6, второе слагаемое 2. Найдите сумму.

– Назовите число, которое на 1 меньше, чем 8

– попробуйте объяснить, что такое величина?

+ то что можно измерить и результат выразить числом

– назовите известные вам величины?

+ длина, масса.

– что такое сантиметр?

+ единица измерения длинны.

– знаете ли вы еще другие единицы измерения длины?массы?

+….

Постановка учебной проблемы. Открытие новых знаний.

На столе 4 стакана разного объема

– Ребята, посмотрите. Вот у меня кружка с водой, мне надо перелить эту воду в другой сосуд, чтобы моя вода вошла полностью. Куда вы посоветуете ее перелить?

– почему вы так думаете.

(дети указывают на более высокий сосуд. Но оказывается, что вся вода вошла в низкий сосуд)

– решая эту задачу, чем мы интересовались? Важен ли нам был цвет, масса сосудов? Материал, из которого они сделаны?

+ нет

– А что же нам было важно?

+ поместиться вода или нет.

– Правильно, нас интересовала вместительность или объем сосудов. И сегодня мы с вами познакомимся с новой темой

Объем. Познакомимся с единицами измерения объема. Будем решать задачи на сравнение, сложение и вычитание объемов предметов.

– давайте, теперь сравним, чей объем больше:

Кружки или сосуда а?

Кружки или сосуда б?

Кружки или сосуда в?

+ объем кружки больше чем объем сосудов а и в, но меньше объема б.

– сделайте записи в тетр., используя знаки ˂, ˃, = .

к ˂ б, к ˃ а, к ˃ в .

– а всегда ли для сравнения сосудов по объему требуется непосредственное измерение (переливание)?

Вот, например, чтобы сравнить объем ложки и объем кастрюли.

+ объем ложки очевидно видно меньше объема кастрюли.

– теперь выполним № 2 на стр.10

– что вы можете сказать про рисунки?

+ на рисунке хорошо видно, какие банки по объему больше, меньше или равны. Какие знаки поставим?

Физкультминутка

– сейчас я буду читать предложения, а вы с помощью знаков ˂, ˃, = запишите их, обозначая объем сосудов первой буквой их названия.

А) в бочку войдет больше воды, чем в ведро

Б) в ложке вместиться меньше воды, чем в тарелке.

В) в стакан и кружку можно уместить одинаковое кол-во воды.

– мы узнали новое свойство предметов – объем. Является ли объем величиной? Почему?

+ да, т.к. можно сравнивать сосуды по объему с помощью знаков ˂, ˃, = .

Вывод: объем сосудов тоже является величиной, т.к. сосуды можно сравнивать по объему с помощью знаков ˂, ˃, = .

– придумайте ситуацию, когда непосредственное сравнение по объему не возможно.

– например, Незнайка находящийся на Луне может сравнить свою чашку с чашкой оставшейся в Цветочном городе.

– Итак, если сосуды находятся далеко друг от друга, то сравнивать их объемы с помощью переливания трудно, а иногда и невозможно.

– придумайте как сравнить объемы сосудов «Ц» и «Л» с помощью мерки «Б»

Один ученик наполняет меркой «б» первый сосуд, другой такой же меркой наполняет второй сосуд.

В результате выясняется, что Ц= 5б, а Л= 3б

Вывод: Чтобы измерить объем предмета, надо выбрать меркуи узнать ск-ко мерок содержится в этом сосуде.

Закрепление изученного

№ 3с.10

– сравните объемы сосудов а и б, если известно, что а = 5с, б = 8с. Что больше объем сосуда а или б?

+ объем высокого сосуда равен 5 стаканчикам, объем низкого сосуда равен 8 стаканчикам. Значит объем высокого сосуда меньше , чем низкого.

№4 с. 10

-о чем говориться в задаче?

– сколько ложек крупы положила мама?

+ 8ложек

– ск- ко ложек сахара?

– на ск-ко меньше она положила сахара чем крупы? Как узнать?

+ 8-2

– какая здесь единица измерения?

+ стол.ложка

№6 с.11

– объем какого ведра больше? Можно ли ответить на этот вопрос

+ нет, нельзя, потому что они измерены различными мерками.

Вывод: сравнить, складывать и вычитать объемы можно лишь тогда, когда они измерены одинаковыми мерками.

Сведения об измерение объемов. Литр.

– первоначальные древние меры объема жидкости были бочка, ведро и кадь. В разных местностях эти меры значительно отличались друг от друга. Потом решили измерять объем в единой системе. Одной из общепринятых современных единиц измерения объемов является ЛИТР.

№ 7 с. 11

– посмотрите на первое равенство

9л +__ л = 3л

– в ведре было 9 литров воды. Из него отлили несколько литров, после чего в ведре осталось 3 литра воды. Сколько литров воды отлили?

+ 6 литров

__л – 4л = 4л

– в бидоне было несколько литров молока. Из него отлили 4 литра, после чего в бидоне осталось еще 4 литра молока. Сколько литров молока было в бидоне?

+ 8 литров.

– остальные примеры решите самостоятельно, потом проверим.

7л – 6л = __л

__л + 2л = 8л

4л + 3л = __л

6л – 5л = __л

Рефлексия

– Ребята, с какой новой величиной мы сегодня познакомились?

– с какой единицей измерения массы мы познакомились?

– Что научились делать на уроке?

-Где могут возникнуть трудности?

– Оцените свой результат, все ли у вас получилось на уроке?

Домашнее задание :№ 8,10 с.11

Оценивание.

Мобилизация внимания учащихся в стихотворной форме, создание мотивации к уч. дея-ти на уроке

На столе 4 стакана разного объема

Объем.

№ 2, стр.10

Рисунки

б ˃ в

л ˂ т

с = к

№ 3, с.10

№ 4

№6

ЛИТР

1 л

Практикант:

Учитель:

Источник

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются задачи, в которых речь идёт о погружении детали в жидкость или о переливании жидкости из одного сосуда в другой.

Вопросы в условии связаны с нахождением объёма погружаемого в жидкость тела или с нахождением какого-либо параметра сосуда. Форма сосуда может быть различной: цилиндр, призма.

Что необходимо понимать?

Если жидкость залита в цилиндрический сосуд, то она принимает форму цилиндра. Если она залита в имеющий форму призмы, то соответственно принимает форму призмы. Это означает, что формулы для объёмов цилиндра и призмы работают и для объёмов жидкостей помещённых в такие сосуды.

Формула объёма (цилиндра и призмы):

Если жидкость перливается в аналогичный сосуд с меньшим основанием, уровень (высота) жидкости увеличивается; если в сосуд с большим основанием, то уровень жидкости уменьшается.

Рекомендации!

В задачах на погружение детали в жидкость следует найти объём полученный после её погружения, далее найти разность объёмов до и после (если данные в условии это позволяют). Можно такие задачи решать и другим способом, используя закон Архимеда. Примеры рассмотрены ниже.

В задачах, где идёт речь о переливании жидкости в другой сосуд (с уменьшенной или увеличенной площадью основания) помните о том, что сам объём жидкости остаётся неизменным. Вы можете выразить его через площадь основания и высоту (S1 и H1) одного сосуда и площадь основания и высоту (S2 и H2) другого сосуда, далее полученные выражения приравнять.

При дальнейших преобразованиях получите отношение соответствующих величин – либо площадей оснований, их рёбер, либо высот. Пример такой задачи рассмотрен ниже в статье.

В цилиндрический сосуд налили 5000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 40 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 15 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Мы знаем, что объём цилиндра равна произведению площади основания на высоту:

В жидкость погружаем деталь. Её уровень поднимается. Для того, чтобы вычислить объём детали необходимо из полученного объёма (полученного после погружения детали) вычесть объём жидкости, который был изначально.

Высота это есть уровень жидкости.

Итак, из имеющихся данных можем найти площадь основания:

Основание цилиндра у нас величина неизменная, но изменилась высота жидкости (при погружении детали) на 15 сантиметров, то есть она стала

40 +15 = 55 см.

Найдём полученный объём:

Теперь можем вычислить объём детали: 6875 – 5000 = 1875 см3

Можно решать подобные задачи более рациональным способом.

По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 15/45 исходного объема:

Ответ: 1875

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2500 см3 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 24 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Принцип решения тот же самый, что и в предыдущей задаче.

Мы знаем, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

Из имеющихся данных можем найти площадь основания призмы:

Основание призмы не изменилось, но изменилась высота жидкости (при погружении детали) она стала 24см.

Найдём полученный объём:

Теперь можем вычислить объём детали: 3000 – 2500 = 500 см3

Второй способ:

По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 4/20 исходного объема:

Ответ: 500

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 250 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 5 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

В подобных задачах с переливаниями жидкости следует помнить, что объём её остаётся прежним (он не изменен – куда бы её не перелили).

Объем жидкости в данном случае это объём правильной треугольной призмы (в её основании лежит правильный треугольник). Он равен произведению площади основания призмы на высоту:

Суть дальнейших действий сводится к тому, что мы можем выразить объёмы жидкостей в двух призмах: первой и второй (основание которой в 4 раза больше), а затем приравнять полученные выражения, в итоге после преобразований получим отношение двух высот.

Естественно, что высота жидкости уменьшится, если увеличить площадь основания.

Обозначим исходную высоту жидкости Н1, полученную после переливания Н2.

Найдём площадь основания призмы, обозначив его сторону как а. Площадь правильного треугольника равна:

Таким образом, объём залитой жидкости в первую призму равен:

Площадь основания второй призмы равна:

Объём залитой жидкости во вторую призму равен:

Найдём отношение высот:

Таким образом, при том же объёме жидкости её высота уменьшится в 25 раз и будет равна 10.

Или можно сказать так:

При увеличении стороны основания а в 5 раз уровень воды уменьшится в 25 раз.

Ответ: 10

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

В цилиндрический сосуд, в котором находится 14 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,1 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

Объём цилиндра равна произведению площади его основания на высоту:

Жидкость в сосуде имеет цилиндрическую объёмную форму.

Уровень жидкости поднялся в 1,1 раза – означает, что высота цилиндра увеличилась в 1,1 раза. Исходя из формулы объёма цилиндра понятно, что при увеличении высоты в 1,1 раза влечёт за собой увеличение объёма также в 1,1 раза (так как зависимость величин прямопропорциональная).

Это означает, что после погружения детали объём будет равен 14∙1,1 = 15,4 литра.

Таким образом, объём детали будет равен: 15,4 – 14 = 1.4 литра.

Ответ: 1,4

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение

Если ход решения сразу не увидели, ставьте вопрос – что можно найти исходя из условия?

Например, если дан начальный объём и высота жидкости (в сосуде формы призмы или цилиндра), то мы можем найти площадь основания. Затем, зная площадь основания и высоту жидкости после погружения детали мы можем найти полученный объём.

Далее найти разницу между объёмами не составит труда (это относится к первым двум задачам). В последней задаче для решения требуется немного логики.

Источник

Математика, 1 класс

Урок 42. Литр.

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Вместимость – новая величина.
Литр – единица измерения.
Сравнение сосудов по вместимости.
Упорядочивание сосудов, в порядке увеличения (уменьшения) вместимости.

Глоссарий по теме

Литр.

Вместимость сосудов, как величина.

Сравнение сосудов по вместимости.

Ключевые слова

Вместимость; литр; вместимость сосудов в литрах; сравнение сосудовпо вместимости.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика. Учебник. 1 кл. В 2 ч. Ч. 2.- М.: Просвещение, 2017.-С. 38.

2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика рабочая тетрадь. 1 кл.2 ч.- М.: Просвещение, – С. 22.

На уроке мы узнаем о новой величине – вместимости, и единице её измерения – литре. Научимся сравнивать сосуды по вместимости. Сможем упорядочивать сосуды, располагая их в порядке увеличения (уменьшения) вместимости.

Основное содержание урока.

Саша и Наташа летом жили у бабушки в деревне. Каждый из них старался помочь по хозяйству. Однажды бабушка попросила ребят наполнить 2 одинаковые бочки водой. Дети быстро подхватили вёдра и наперегонки бегали к колодцу за водой. Только вот Саша сбегал к колодцу 7 раз, и его бочка наполнилась водой до краёв. Наташе пришлось сбегать 10 раз, чтобы её бочка стала полной.

Как вы думаете, почему так произошло?

Ведро Наташи вмещает меньше воды, чем ведро Саши. Поэтому девочке пришлось сбегать к колодцу большее число раз.

Дети наполняли бочки вёдрами, но каждое ведро имеет свою мерку.

Мерка Саши больше, чем мерка Наташи, поэтому его бочка наполнилась быстрее.

Какой вывод мы можем сделать?

Чем больше мерка, тем … меньше число измерений.

Саша сбегал за водой 7 раз, а Наташа – 10.

Даша и её младшая сестрёнка Полина наливали воду в таз. Даша подставляла под кран кувшин, набирала воды и выливала в таз.

Полина набирала воду в бутылку и тоже выливала в таз.

Девочки наливали воду по очереди и возвращались с пустыми сосудами одинаковое количество раз. Через некоторое время таз с водой стал полным.

Как вы думаете, кто из девочек налил в таз больше воды, а кто меньше?

Мы не можем ответить на этот вопрос, так как не знаем вместимость бутылки и кувшина.

Как нам это проверить?

Посмотрите, что получится, если Даша наполнит свой кувшин водой доверху и перельёт её в бутылку Полины.

Бутылка Полины оказалась полной, а кувшин пуст.

Можно сделать наоборот: из полной бутылки Полины переливаем воду в кувшин Даши. Что же мы видим?

Бутылка Полины пуста, а кувшин Даши наполнен водой доверху.

Какой можно сделать вывод?

Вместимость кувшина Даши и бутылки Полины имеют одинаковую мерку. Значит, Даша и Полина налили в таз одинаковое количество воды.

Чтобы правильно определять вместимость сосудов, надо иметь одинаковую мерку. Измеряют вместимость, или по-другому – ОБЪЁМ, сосудов в ЛИТРАХ.

Записывается это так:

Тема нашего урока: «Литр».

Разные ёмкости имеют разный объём:

Литр – это единая международная единица измерения объёма ёмкости, а ёмкость – это сосуд, в который помещена жидкость.

Посмотрите на изображение.

Объём жидкости в сосуде измеряется в литрах. В каждом кувшине 1 литр жидкости. Жидкость в кувшинах разная, а объём одинаковый – 1л.

Бутылка Полины и кувшин Даши имели одинаковый ОБЪЁМ, равный одному ЛИТРУ.

Каков был объём таза, в который девочки наливали воду, если известно, что каждая из них сходила за водой по 5 раз?

Ответ: 10 литров.

Разбор тренировочных заданий.

Объём ведра 9 литров. Сколько двухлитровых кувшинов можно заполнить водой из этого ведра?

Решите равенства:

Ответ:

Рассмотрите рисунок. Как вы думаете, какой сосуд вмещает 1л, 3л, 2л, 7л, 10л?

Ответ:

Наташа сравнивала объём воды в двух вёдрах. В одно ведро входит три бутылки воды, а в другое 3 кувшина. Выберите правильный ответ:

1. В вёдрах одинаковое количество воды.

2. В первом ведре воды меньше, чем во втором.

3. Это задание выполнить нельзя.

Прочитайте задачу, запишите решение.

В банке 3 л сока, а в кувшине на 1 л меньше. Сколько всего литров сока в банке и в кувшине?

Ответ:

Закрасьте уровень жидкости в банках так, чтобы в каждой следующей банке объём жидкости увеличивался.

Ответ:

В кружки налили чай. Сравните кружки по объёму. Выберите ту картинку, на которой точно можно сравнить объём жидкости.

Ответ: картинка № 3

Прочитайте условие задачи и рассмотрите таблицу.

На автозаправке папа купил две канистры с моторным маслом. Всего в двух канистрах было 9 литров масла. Укажите все возможные варианты объёма двух канистр с моторным маслом.

Ответ:

Заполните водой такое количество вёдер, чтобы наполнить бочку объёмом 12 литров. Объем каждого ведра составляет 3 литра.

Ответ:

Решите задачу.

В пакете 1 л яблочного сока. Это 5 стаканов. Мама налила один стакан сока Андрею и один стакан сока Тане. Андрей попросил маму налить ему ещё один стакан сока. Сколько всего стаканов сока выпили дети? Сколько стаканов сока осталось в пакете?

Ответ:

Рассмотрите схему. Кто какой напиток выпил?

Заполните таблицу:

ИМЯ	НАПИТОК
Наташа
Сергей
Татьяна
Миша
Юля

Ответ:

ИМЯ	НАПИТОК
Наташа	СОК
Сергей	ЧАЙ
Татьяна	КАКАО
Миша	МОЛОКО
Юля	СОК

Сколько вёдер может получиться из этого количества воды?

Соберите пазлы в группы по 9л.

На каждой части пазл записано определённое количество воды, нужно собрать их в группы по 9 л.

Ответ:

Источник