Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде

В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.

1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус – замедлению ) (см. рисунок).

Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде

В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции. Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле

p = p0 + ρ·(g·z ± a·x),

Для свободной поверхности жидкости, когда р=p0, уравнение принимает вид:

g·z = ± a·x

или

z/x = tg α = ± a/g,

где α – угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.

Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l) высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.

Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:

p = p0 + ρ·g·z = p0·γ

В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.

2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.

Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде

В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.

Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:

p = p0 + γ·((ω2·r2)/(2·g) – z)

Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p0, уравнение принимает вид:

z = (ω2·r2)/(2·g) = u2/(2·g),

где окружная скорость u = ω·r (r – радиус вращения точки).

Высота параболоида вращения:

h = ω2·r20/(2·g),

где r0 – радиус цилиндрического сосуда.

Сила давления жидкости на дно сосуда:

P = γ·π·r20·h0 = γ·π·r20·(h1 + h/2),

где h0 – начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.

Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h1 + h и основанием γ·(h1 + h).

3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.

В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.

Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω2 (см. рисунок а).

Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде

При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).

Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:

p = p0 + γ·ω2·(r2 – r20)/(2·g)

где p и p0 – соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r0.

Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r0 и давлением во всех ее точках р0.

Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в. Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.

Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.

Источник

Содержание:

Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси.

Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси

Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси. В состоянии равновесия в движущемся сосуде жидкость движется вместе со всем контейнером. То есть, жидкость находится в относительном состоянии покоя. Рассмотрим цилиндрический контейнер радиусом H (рис. 2.9), заполненный до определенного уровня жидкостью плотностью p и вращающийся с постоянной угловой скоростью относительно вертикальной оси.

Через некоторое время после начала вращения сосуда жидкость под действием трения вращается с той же скоростью, что и сосуд. Равновесие жидкости устанавливается для сосуда, другими словами, для неинерциальных систем координат x, y, r, которые вращаются вместе с сосудом. При написании уравнений равновесия в неинерциальных системах необходимо ввести силу подвижной инерции в число рабочих forces.

В абсолютно покоящейся жидкости (сосуд неподвижен) действующей массовой силой (в поле сил тяжести) является только сила тяжести. Людмила Фирмаль

В рассматриваемом случае такая сила направлена вдоль радиуса и равна & M (центробежная сила равна n2g элементарной массы AM, которая вращается на расстоянии r от вертикали axis. In помимо центробежной силы, гравитация DM ^действует на любую частицу AM-это: за счет силы тяжести ^ = ° ;=°; ПГХ = -§; От портативной инерции п *. =<sup class=»reg»>®</sup>ГХ Риш-0)2 в> пр%= 0、 Где*и y-горизонтальные координаты произвольно выбранной точки А в жидкости. Рассмотрим 2 вопроса здесь. 39.

Форма поверхности одинакового давления. Используйте уравнение поверхности равного давления (2.10)’ Rhyh + ру ю + Rghyg-0 Когда вы назначаете ему выражения Px, Py и Pr, вы находите co2 x yx + co2 yy-diig-0. После интеграции、 гг-(* 2 + У2) §Р= С Или Х2 + У2-Г2.、 СО2-Р2 / 2 §р= с(2.23） Как видно из (2.23), поверхность равного давления в этом случае представляет собой семейство совпадающих 1-вращающихся параболоидов с вертикальной осью. Различные значения константы C соответствуют различным параболам одинакового давления.

Свободная поверхность это также поверхность, на которой давление во всех точках равно давлению, равному внешнему давлению p0. Найти значение любой константы c параболоида свободной поверхности. Х-0; У = 0; РСВ = Р0.Если подставить эти координаты в Формулу (2.23), то: Ц0 = § 0. Уравнения свободной поверхности * С ш-Р0 = ^ (*2 +! 2. ） 2-й. Или Огнестрел-20 = СО2 Г2 / 2Д, (2.24） Частицы жидкости, находящиеся в относительном стационарном состоянии во вращающемся сосуде на расстоянии радиуса r от оси вращения, имеют линейную скорость u-(π.

Высота, на которой точка свободной поверхности выше вершины параболоида(например、 Б = РК-Р0 = СО2 Р2 /2§= С2 / 2С (2.25） 1 матч-фигура, которая будет объединена при наложении. 40. 20 ордината вершины параболоида свободной поверхности при заданной угловой скорости зависит от количества жидкости в сосуде. Если перед вращением сосуда уровень жидкости был установлен на горизонтальную и высоту H, то объем жидкости был равен 2N2H.

Законы относительного равновесия жидкости находят широкое применение в промышленности, а именно, в измерительной технике (жидкостные тахометры), в металлургии (центробежное литье) и других областях техники. Людмила Фирмаль

При вращении сосуда свободная поверхность становится параболой, форма объема жидкости изменяется, а величина при p = const{остается неизменной： | (Р0 +(r212d О2 ） О После интеграции、 Ч ■= рН + П2 К2 / 4Д Или Р0 = я-п * д * / 4#. Предполагая, что 20 = 0, мы знаем угловую скорость a, когда свободная поверхность жидкости касается дна контейнера. w = 2 Уды / я. Закон распределения давления. Используя дифференциальное уравнение жидкостных равновесий (2.5) и подставляя в него проекцию распределения плотности массовых сил, он выглядит следующим образом: гг = pY2(xc1x + ыыы) Сделай сам.

После интегрирования уравнения(2.26)、 / ? п(w2g72-ДГ)+ КБ(2.27） Если подставить координаты r = 0, r-r0 и давление p = p0 в уравнение (2.27), то получим Cp. С1! = Р0-Р (н0)= Р0 + rd0 Подставляя найденные значения C1 в(2.27), получаем 2r2 / 2d = H ‘позволяет переписать любую точку в виде (2.28). Здесь k-глубина погружения точки под свободную поверхность, то есть вертикальное расстояние от свободной параболы до точки задачи. Поэтому в жидкости, которая неподвижна в равномерно вращающемся сосуде, вертикальное давление распределяется по закону гидростатического давления.

Смотрите также:

Задачи по гидравлике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Равновесие однородной несжимаемой жидкости относительно земли.
Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики.
Силы давления покоящейся жидкости на горизонтальные и наклонные плоские площадки (стенки).
Силы давления покоящейся жидкости на цилиндрические стенки.

Источник

Под относительным покоем понимают неподвижное состояние жидкости относительно сосуда, который движется с постоянным ускорением. Например, в относительном покое может находиться жидкость в емкости, которая установлена на разгоняющейся транспортной машине (топливный бак автомобиля). В относительном покое будет также находиться жидкость в сосуде, вращающемся с постоянной скоростью.

Законы, действующие при относительном покое жидкости, принципиально не отличаются от ранее рассмотренных законов гидростатики. Но если в ранее рассмотренных случаях на жидкость действовала только одна массовая сила – сила тяжести, то при относительном покое появляется новая – сила инерции. Это приводит к изменению положения свободной поверхности жидкости и изменению давлений в различных ее точках.

Анализ относительного покоя удобно проводить для сил, действующих на условную частицу жидкости единичной массы (массой т = 1). При таком подходе сила всегда численно равна соответствующему ускорению. Например, на частицу единичной массы действует сила тяжести G = mg =1 g = g. Таким образом, математические зависимости существенно упрощаются.

Рассмотрим прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением (или замедлением) а. В этом случае на каждую частицу жидкости единичной массы действуют две силы: сила тяжести g сила инерции а (рисунок 2.9). Равнодействующая этих двух сил

(2.12)

определяет положение свободной поверхности жидкости, так как угол между этой поверхностью и силой всегда составляет 90°. Изгеометрических соображений (см. рисунок 2.9) следует, что положение свободной поверхности может быть задано углом α, значение которого найдем из отношения

tga = а/g.

Для определения давления в произвольно выбранной точке на расстоянии l от свободной поверхности используется математическая зависимость

p = p0 + l ρ j. (2.13)

Она получена тем же методом, что и основное уравнение гидростатики, но учитывает действие не только сил тяжести, но и сил инерции.

Эта зависимость является более общей, чем основной закон гидростатики, который может быть получен из нее как частный случай. Действительно, при а= 0 из (2.12) следует j = g. Тогда c учетом l = h из (2.13) получим формулу (2.1), т.е. основное уравнение гидростатики.

Другим случаем относительного покоя жидкости является вращение сосуда с постоянной угловой скоростью ω (рисунок 2.10). При вращении на каждую частицу жидкости единичной массы, расположенную на радиусе r, также действуют две силы: сила тяжести g и сила инерции, вызванная центробежным ускорением, а = ω2 r. Равнодействующая этих двух сил

определяет положение свободной поверхности жидкости. Но в рассматриваемом случае центробежное ускорение является переменной величиной, так как зависит от радиуса расположения точки. Поэтому поверхность вращения принимает параболическую форму и описывается уравнением

где z0 – высота расположения точки свободной поверхности относительно дна сосуда;

h0 – высота жидкости на оси вращения.

Формула для определения давления р в любой точке жидкости может быть получена методом, использованным в подразделе 2.1. Тогда после математических преобразований найдем давление в точке, расположенной на радиусе r и высоте z относительно дна сосуда:

. (2.14)

На практике часто встречается другой частный случай – вращение сосуда с очень высокой скоростью. В этом случае центробежные силы существенно больше сил тяжести и жидкость отбрасывается центробежными силами к стенкам сосуда (рисунок 2.11), а ее свободная поверхность располагается на радиусе r0. Тогда некоторыми геометрическими величинами, входящими в формулу (2.12), можно пренебречь и формула для определения давления упрощается:

. (2.15)

Следует отметить, что формула (2.14) получена для сосуда, имеющего вертикальную ось вращения, а формула (2.15) применима для вращающихся сосудов с любым расположением оси в пространстве.

Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде

3 КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ

Источник

Относительным покоем жидкости называется покой жидкости относительно движущегося сосуда, в который эта жидкость помещена. При этом частицы жидкости нe перемещаются относительно друг друга и относительно сосуда, а ведут себя как твердое тело.

Если сосуд с жидкостью движется с постоянным ускорением, то на жидкость кроме силы тяжести действует постоянная по величине сила инерции. Под действием двух сил жидкость смещается и занимает новое положение равновесия.

Примеры относительного покоя жидкости: жидкость в перемещающейся цистерне, горючее в движущемся автомобиле, жидкость во вращающемся сосуде и т.п.

1.7.1. Прямолинейное равнопеременное движение сосуда с жидкостью

При прямолинейном движении сосуда с постоянным ускорением нa жидкость действуют единичные массовые силы: сила тяжести g и сила инерции а. При этом сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению.

Для определения формы и положения поверхности жидкости следует руководствоваться следующим свойством: равнодействующая массовая сила всегда действует по нормали к поверхности уровня: Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде и направлена перпендикулярно к свободной поверхности жидкости.

Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде Возьмем произвольную точку М нa расстоянии l от свободной поверхности уровня. Сила, действующая нa нее: pds = роds + jρlds,

где lds – объем столбика жидкости.

Сократив нa ds, получаем р = ро + jρ1- давление в точке М.

Давление нa глубине 1 равно сумме давления на свободной поверхности жидкости и давления высоты столбика жидкости.

Можно решить две задачи:

1. Зная ускорение движения сосуда, можно найти положение поверхности жидкости.

2. Зная положение поверхности жидкости, можно найти ускорение движения сосуда.

Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде

1.7.2. Равномерное вращение сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси

Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде

Сосуд с жидкостью вращается с угловой скоростью ω = const.

Ha жидкость действуют две единичные массовые силы: сила тяжести g и сила инерции а = ω2 r.

Равнодействующая Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде и направлена по нормали к поверхности жидкости.

tg = Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде =; тогдаdz = dr.

Интегрируя это выражение, получаем: z = Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде +с.

Для начальных условий r = 0 с = zо, окончательно

z = Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде +zo – уравнение свободной поверхности жидкости, параболоид вращения, вершина которого находится на расстоянии zo от дна сосуда.

Определим зависимость давления в произвольной точке жидкости как функцию от r и z.

Условие равновесия столбика жидкости площадью ds в проекции на ось Oz:

pds – (zo – zМ + Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде )ρgds = , гдеcosα =.

Сокращая на ds, получаем: р = po + Относительный покой жидкости в равномерно вращающемся сосуде +ρg(zо- zM) – давление во вращающейся жидкости. Оно возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте zM.

1.7.3. Равномерное вращение сосуда с жидкостью вокруг горизонтальной оси

Жидкость будет находиться в состоянии относительного покоя, если сосуд вращается с очень большой скоростью, то величина силы инерции будет намного больше величины силы тяжести, т. е. силой тяжести можно пренебречь

a>>g, где а = ω2r; r – расстояние от стенки сосуда.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Узнать стоимость

(2.12)

определяет положение свободной поверхности жидкости, так как угол между этой поверхностью и силой всегда составляет 90°. Из геометрических соображений (см. рисунок 2.9) следует, что положение свободной поверхности может быть задано углом α, значение которого найдем из отношения

tga = а/g.

p = p0 + l ρ j. (2.13)

где z0 – высота расположения точки свободной поверхности относительно дна сосуда;

h0 – высота жидкости на оси вращения.

. (2.14)

. (2.15)

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Источник