Площадь цилиндрического сосуда формула
Площадь цилиндра — как правильно рассчитать
Определение
Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.
Перед тем, как начать вычисление площади цилиндра, необходимо учесть, что существует два ее вида:
- Полная площадь поверхности цилиндра. Она равна сумме боковой поверхности цилиндра и двойной площади его основания.
- Площадь боковой поверхности цилиндра. Она равняется произведению высоты цилиндра на длину окружности основания.
Чтобы вычислить общую площадь поверхности цилиндра, нужно применить формулу:
(S=2timespitimes Rtimes h+2timespitimes R^2=2timespitimes Rtimesleft(h+Rright))
Здесь R — радиус окружности, а h — высота.
Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нужно воспользоваться формулой:
(S=2timespitimes Rtimes h)
«Компоненты» стереометрической фигуры
Цилиндр состоит из нескольких составляющих.
- Цилиндрическая поверхность — это поверхность, которая образуется большим количеством параллельных прямых, проходящих через точки некоторой кривой.
- Основания — это плоские фигуры, которые образованы пересечением ЦП с двумя параллельными плоскостями, ограничивающими цилиндр. Оснований у цилиндра два.
- Боковой поверхностью называют часть ЦП, которая находится между основаниями.
- И, наконец, высота — это отрезок, который высекается плоскостями оснований цилиндра на прямой, перпендикулярной им.
Примечание
Дополнительно можно измерить периметр Sбок. Для этого нужно длину окружности l сложить с высотой h и умножить данную сумму на 2.
Рассмотрим, как различаются типы рассматриваемой геометрической фигуры по форме. Цилиндр может быть:
- Прямой. Его основания имеют центры симметрии, то есть являются кругами или эллипсами. При этом прямая между центрами перпендикулярна плоскостям оснований. Данная прямая называется осью цилиндра.
- Косой. Его основания имеют центры симметрий, однако отрезок между ними не перпендикулярен плоскостям оснований.
- Круговой. Имеет окружность в роли направляющей.
- Прямой круговой. Его можно получить с помощью вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тогда эта сторона будет осью цилиндра и осью симметрии.
- Равносторонний. Его диаметр равен высоте.
- Эллиптический, гиперболический и параболический. Образованы соответственно эллипсами, гиперболами и параболами.
- Усеченный. Геометрическое тело, которое отсекается от цилиндра плоскостью, не параллельной основанию.
- Призма. Является разновидностью цилиндра, если имеет основание в виде многоугольника.
Основные формулы для вычисления боковой и полной площади
Кроме рабочих способов, перечисленных выше, рассчитать площадь рассматриваемого тела можно следующими методами:
- Через диаметр и высоту: ( S_{полн.}=Dtimespileft(h+frac D2right); S_{бок.}=Dtimespitimes h.)
- Через объем: (S=frac Vh.)
- Через длину окружности. Так как (l=2timespitimes R), то (S_{бок.}=ltimes h), а (S_{полн.}=ltimes h+2timespitimes R^2).
Приведем примеры расчета.
Задача 1
Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Высчитать площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение
(S_{бок.}=2timespitimes Rtimes h)
Из этого: (S_{бок.}=2times3,14times2times3=6,28times6=37,68.)
Ответ: (S_{бок.}=37,68.)
Задача 2
(S_{бок.}=24pi), а диаметр основания — 3. Узнать высоту цилиндра.
Решение
(S_{бок.}=2timespitimes Rtimes h)
Высоту отсюда вычислим так:
(h=frac{S_{бок.}}{2pi R})
Радиус равен: (R=frac D2. h=frac{24pi}{2pitimes0,5D}=frac{24pi}{2pitimes0,5times3}=frac{12}{1,5}=8)
Ответ: (h=8.)
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Источник
Здание Планетария Тихо Браге, Копенгаген, его крыша является примером цилиндрического сечения
Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
Связанные определения[править | править код]
- Цилиндрическая поверхность — поверхность, образуемая однопараметрическим семейством параллельных прямых (называемых образующими) и проходящими через точки некоторой кривой (называемой направляющей).
- Плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями, ограничивающими цилиндр, называются основаниями этого цилиндра.
- Часть цилиндрической поверхности, находящаяся между плоскостями оснований, называется боковой поверхностью цилиндра.
- Высотой цилиндра называется отрезок, высекаемый плоскостями его оснований на прямой, перпендикулярной им, или длина этого отрезка.
Типы цилиндров[править | править код]
- Прямым называется цилиндр, основания которого имеют центры симметрии (например, являются кругами или эллипсами), прямая между которыми перпендикулярна плоскостям этих оснований. Данная прямая называется осью цилиндра.
- Косым называется цилиндр, основания которого имеют центры симметрии (например, являются кругами или эллипсами), отрезок между которыми не перпендикулярен плоскостям этих оснований.
- Круговым называется цилиндр с окружностью в роли направляющей.
- Цилиндром вращения, или прямым круговым цилиндром(часто под цилиндром подразумевают именно его) называется цилиндр, который можно получить вращением (то есть тело вращения) прямоугольника вокруг одной из его сторон, содержащая которую прямая в таком случае будет осью этого цилиндра и его осью симметрии.
- Цилиндр, основания которого являются эллипсами, параболами или гиперболами, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим; последние два имеют бесконечный объём.
- Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.
- Равносторонним называется цилиндр вращения, диаметр основания которого равен его высоте.[1]
Свойства[править | править код]
- Если плоскость основания цилиндра параллельна плоскости направляющей, то граница этого основания будет по форме совпадать с направляющей кривой.
Площадь поверхности цилиндра[править | править код]
Площадь боковой поверхности[править | править код]
К вычислению площади боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
В частности, для прямого кругового цилиндра:
, и , здесь и далее — радиус основания цилиндра.
Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:
Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма не существует. Для наклонного кругового цилиндра можно воспользоваться приближёнными формулами для периметра эллипса, а затем умножить полученное значение на длину образующей.
Площадь полной поверхности[править | править код]
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.
Для прямого кругового цилиндра:
Объём цилиндра[править | править код]
Для наклонного цилиндра существуют две формулы:
где — длина образующей, а — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра .
Для прямого цилиндра , и , и объём равен:
Для кругового цилиндра:
,
где d — диаметр основания.
Примечания[править | править код]
Источник
Объем цилиндра, формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра и площади его поверхностей, а также необходимая теория о характеристиках цилиндра.
Объем правильного цилиндра через радиус и высоту цилиндра
– Вычисления (показано)
(скрыто)
– примечания (показано)
(скрыто)
r – радиус основания цилиндра
h – высота цилиндра
… вычисление …
Площадь основания цилиндра
… вычисление …
Площадь боковой поверхности
… вычисление …
Общая площадь
… вычисление …
Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра
S – площадь основания цилиндра
h – высота цилиндра
… вычисление …
Площадь боковой поверхности
… вычисление …
Общая площадь
… вычисление …
Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через диаметр основания
d – диаметр основания цилиндра
h – высота цилиндра
… вычисление …
Площадь основания цилиндра
… вычисление …
Площадь боковой поверхности
… вычисление …
Общая площадь
… вычисление …
Объем цилиндрической полости
Объем полости в виде цилиндра равен объему цилиндра, который извлечен из данной полости для ее образования. То есть для вычисления цилиндрической полости можно воспользоваться формулами и калькулятором для расчета простого правильного цилиндра в зависимости от известных исходных данных.
На картинке продемонстрирована цилиндрическая полость, образованная в теле путем извлечения из него цилиндра. Объем извлеченного цилиндра и объем образованной полости равны.
Нужно отметить один важный момент. Несмотря на равенство объемов извлеченного цилиндра и образованной полости, площади поверхностей данных объектов будут отличаться, так как у образованной цилиндрической полости отсутствует верхняя поверхность. То есть суммарная площадь поверхности образованной цилиндрической полости будет меньше суммарной площади извлеченного цилиндра на одну площадь основания цилиндра.
Теория
Цилиндр может быть правильным или наклонным
.
Правильный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра равен 90 градусов.
Неправильный или наклонный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра отличается от 90 градусов.
Рассмотрим правильный цилиндр.
Цилиндр – это тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тело цилиндра ограничено двумя кругами, называемыми основанием цилиндра и боковой цилиндрической поверхностью, которая в развертке представляет собой прямоугольник
Цилиндр можно так же описать как тело, состоящее из двух равных кругов, не лежащих в одной плоскости и параллельных между собой, и отрезков, соединяющих все точки одной окружности, с соответствующими точками другой окружности. Данные отрезки называются образующими цилиндра.
Радиус основания цилиндра, является радиусом цилиндра.
Ось цилиндра – это прямая, соединяющая центра оснований цилиндра.
Высота цилиндра – это перпендикуляр, опущенный от одного основания цилиндра к другому.
Поверхности цилиндра
Наружную поверхность цилиндра можно условно разделить на три отдельные поверхности: верхняя, нижняя и боковая.
Верхняя и нижняя поверхности цилиндра имеют форму круга и равны между собой.
Боковая поверхность цилиндра имеет форму прямоугольника. Чтобы это наглядно представить, возьмем боковую наружную поверхность цилиндра и мысленно сделаем вертикальный разрез по образующей цилиндра. Далее развернем поверхность на плоскость. В результате увидим, что боковая поверхность имеет форму прямоугольника (см. на картинке).
Сечения цилиндра
При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом в 90 градусов, всегда получатся прямоугольная фигура.
При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом отличным от 90 градусов, получатся фигура, похожая на прямоугольник
, но две боковые стороны которого будут являться кривыми линиями.
Если секущая поверхность проходит параллельно основаниям цилиндра, то сечением будет круг
.
Если секущая поверхность проходит через боковую поверхность, но при этом не параллельна основанию цилиндра, то в сечении получается эллипс
.
Если секущая поверхность проходит через одно основание цилиндра и боковую поверхность, то в сечение будет фигура в виде половины эллипса
.
Что такое объем
Объем тела (геометрической фигуры) – это количественная характеристика, характеризующая количество пространства, занимаемого телом. Объем выражается в кубических единицах измерения, например: мм3, см3, мл3.
Формула вычисления объема цилиндра часто применяются при расчете массы различных цилиндров, например, прутков, заготовок и т.п. Для вычисления массы, необходимо вычисленный объем цилиндра умножить на плотность материала из которого цилиндр.
Так же, вычислить объём цилиндра иногда требуется для определения полости в виде цилиндра (цилиндрическая полость). В данном случае объём полости будет равен объёму цилиндра, который полностью занимает эту полость.
Объем и площадь других видов цилиндров рассмотрен в статьях:
Объем полого цилиндра
Объем части цилиндра
Объем части полого цилиндра
Вы можете скачать формулы объема и площади поверхностей правильного цилиндра в виде картинки
Источник
Цилиндр — геометрическое тело, которое можно получить при вращении прямоугольника вокруг какой-либо его стороны.
Онлайн-калькулятор
На самом деле, это определение только самого простого, кругового цилиндра. Более общее определение цилиндрического тела следующее:
Цилиндром называют тело, образованное пересечением параллельных друг другу прямых и двух плоских поверхностей.
Такие прямые называются образующими данного цилиндра.
Прямая, перпендикулярная обоим основаниям, является высотой цилиндра.
Плоские поверхности называют основаниями данного цилиндра. Часто, они параллельны друг другу, но не всегда.
Виды цилиндра
Виды цилиндра зависят от того, под каким углом пересекаются образующие и основания нашего тела.
Если угол равен 90 градусам, то получим, так называемый, прямой цилиндр. У него есть ось симметрии – это перпендикуляр, соединяющий центры его оснований.
Если угол другой, то цилиндр называется наклонным.
Если форма основания – гипербола, то цилиндр гиперболический, если парабола — параболический, если эллипс — эллиптический, если круг — круговой.
Если основания цилиндра не параллельны, то он называется косым.
Формула площади поверхности цилиндра
Полная площадь поверхности цилиндра является суммой его боковой площади поверхности и площади оснований.
S=Sосн+SбокS=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}S=Sосн+Sбок
SоснS_{text{осн}}Sосн — площадь оснований;
SбокS_{text{бок}}Sбок — площадь боковой поверхности.
При вычислении площади поверхности цилиндра важным фактором является вид цилиндра. От него зависит и конкретная формула для площади.
Формула площади поверхности кругового цилиндра
Sосн=2⋅π⋅r2S_{text{осн}}=2cdotpicdot r^2Sосн=2⋅π⋅r2
Sбок=2⋅π⋅r⋅hS_{text{бок}}=2cdotpicdot rcdot hSбок=2⋅π⋅r⋅h
rrr — радиус круга (основания кругового цилиндра);
hhh — высота этого цилиндра.
Сокращенно, это формулу можно записать так:
S=Sосн+Sбок=2⋅π⋅r2+2⋅π⋅r⋅h=2⋅π⋅r⋅(r+h)S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=2cdotpicdot r^2+2cdotpicdot rcdot h=2cdotpicdot rcdot(r+h)S=Sосн+Sбок=2⋅π⋅r2+2⋅π⋅r⋅h=2⋅π⋅r⋅(r+h)
Пример
Радиус круга, лежащего в основании прямого кругового цилиндра, имеет длину 6 (см.). Высота цилиндра – 20 (см.). Найдите полную площадь его поверхности.
Решение:
r=6r=6r=6
h=20h=20h=20
По формуле:
S=2⋅π⋅r⋅(r+h)=2⋅π⋅6⋅(6+20)≈979,68S=2cdotpicdot rcdot(r+h)=2cdotpicdot 6cdot(6+20)approx979,68S=2⋅π⋅r⋅(r+h)=2⋅π⋅6⋅(6+20)≈979,68 (см. кв.)
Ответ: 979,68 см. кв.
Формула площади поверхности наклонного кругового цилиндра
Sосн=2⋅π⋅r2S_{text{осн}}=2cdotpicdot r^2Sосн=2⋅π⋅r2
Sбок=p⋅lS_{text{бок}}=pcdot lSбок=p⋅l
rrr — радиус круга (основания кругового цилиндра);
ppp — периметр сечения наклонного цилиндра перпендикулярно образующей;
lll — длина образующей этого цилиндра.
Пример
Найти площадь поверхности наклонного цилиндра, если периметр ppp сечения плоскости, составляющей прямой угол с образующей, равен 30 (см.), а сама образующая равна 7 (см.) Радиус окружности, лежащей в основе цилиндра в два раза меньше его образующей.
Решение:
r=l2r=frac{l}{2}r=2l
p=30p=30p=30
l=7l=7l=7
Найдем сначала радиус основания:
r=l2=72=3.5r=frac{l}{2}=frac{7}{2}=3.5r=2l=27=3.5
Тогда полная площадь:
S=Sосн+Sбок=2⋅π⋅r2+p⋅l=2⋅π⋅3.52+30⋅7≈76,93+210=286,93S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=2cdotpicdot r^2+pcdot l=2cdotpicdot 3.5^2+30cdot 7approx76,93+210=286,93S=Sосн+Sбок=2⋅π⋅r2+p⋅l=2⋅π⋅3.52+30⋅7≈76,93+210=286,93 (см. кв.)
Ответ: 286,93 см. кв.
Тест по теме «Площадь поверхности цилиндра»
Источник
Ââåäèòå ðàäèóñ îñíîâàíèÿ è âûñîòó öèëèíäðà | |
| Ðàäèóñ: | |
| Âûñîòà: | |
Öèëèíäð – ãåîìåòðè÷åñêîå òåëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèè ïðÿìîóãîëüíèêà âîêðóã åãî ñòîðîíû. Ôîðìóëà îáúåìà öèëèíäðà: | |
, ãäå R – ðàäèóñ îñíîâàíèé, h – âûñîòà öèëèíäðà
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
Ìû â ñîöñåòÿõ Ïðèñîåäèíÿéòåñü! Íàøëè îøèáêó? Åñòü ïðåäëîæåíèÿ? Ñîîáùèòå íàì |
Ýòîò êàëüêóëÿòîð ìîæíî âñòàâèòü íà ñàéò, â áëîã Ñîçäàäèì êàëüêóëÿòîð äëÿ âàñ |
Источник