Площадь поперечного сечения узкого сосуда

Площадь поперечного сечения узкого сосуда thumbnail

4.2. Элементы гидростатики

4.2.5. Сообщающиеся сосуды

Сообщающимися называются сосуды, соединенные между собой каналом, заполненным жидкостью.

Для сообщающихся сосудов справедлив закон сообщающихся сосудов: высоты взаимно уравновешенных столбов разнородных жидкостей обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:

h 1 h 2 = ρ 2 ρ 1 ,

где h1 – высота столба жидкости плотностью ρ1; h2 – высота столба жидкости плотностью ρ2.

Указанный закон справедлив в отсутствие сил поверхностного натяжения.

Если сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью

ρ1 = ρ2,

то свободные поверхности жидкости устанавливаются на одном уровне, независимо от формы сосудов (рис. 4.14):

h1 = h2,

где h1 – высота столба жидкости в левом колене; h2 – высота столба жидкости в правом колене сообщающихся сосудов.

Рис. 4.14

Если сообщающиеся сосуды заполнены разнородными жидкостями

ρ1 ≠ ρ2,

то свободные поверхности жидкостей, независимо от формы сосуда (рис. 4.15), устанавливаются так, что выполняется отношение

h 1 h 2 = ρ 2 ρ 1 ,

где h1 – высота столба жидкости плотностью ρ1; h2 – высота столба жидкости плотностью ρ2.

Рис. 4.15

Если сообщающиеся сосуды заполнены несколькими жидкостями (например, как показано на рис. 4.16), то гидростатическое давление на одном уровне (отмеченном пунктиром) в левом колене определяется формулой

p1 = ρ1gh1,

в правом колене –

p2 = ρ2gh2 + ρ3gh3.

Рис. 4.16

Равенство давлений на указанном уровне

p1 = p2

позволяет записать тождество:

ρ1h1 = ρ2h2 + ρ3h3.

Пример 28. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра второго, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения узкого сосуда равна 10 см2. Система заполнена некоторым количеством жидкости плотностью 1,6 г/см3. Найти, на сколько миллиметров повысится уровень жидкости в каждом из сосудов, если в систему добавить 0,12 кг той же жидкости.

Читайте также:  Узи сосудов ног когда делать

Решение. В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне.

Добавление в систему некоторого количества жидкости массой m приводит к ее распределению по двум сосудам в соответствии с площадью их поперечного сечения:

  • в первом сосуде оказывается масса жидкости

m1 = ρV1 = ρ∆h1S1,

где ρ – плотность жидкости; V1 = S1∆h1 – объем жидкости в первом сосуде; S1 – площадь поперечного сечения первого сосуда; ∆h1 – повышение уровня жидкости в первом сосуде;

  • во втором сосуде оказывается масса жидкости

m2 = ρV2 = ρ∆h2S2,

где V2 = S2∆h2 – объем жидкости во втором сосуде; S2 – площадь поперечного сечения второго сосуда; ∆h2 – повышение уровня жидкости во втором сосуде.

Повышение уровней жидкости в обоих сосудах одинаково:

∆h1 = ∆h2 = ∆h,

поэтому масса жидкости, добавленной в систему, определяется формулой

m = m1 + m2 = ρ∆h(S1 + S2).

Выразим отсюда искомое значение ∆h:

Δ h = m ρ ( S 1 + S 2 ) .

Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:

  • для первого (широкого) сосуда

S 1 = π d 1 2 4 ,

  • для второго (узкого) сосуда

S 2 = π d 2 2 4 ,

где d1 = 2d2 – диаметр первого (широкого) сосуда; d2 – диаметр второго (узкого) сосуда.

Отношение площадей

S 1 S 2 = π d 1 2 4 4 π d 2 2 = d 1 2 d 2 2 = ( d 1 d 2 ) 2 = ( 2 d 2 d 2 ) 2 = 4

позволяет найти площадь широкого сосуда:

S1 = 4S2.

Подставив S1 в формулу для ∆h

Δ h = m ρ ( 4 S 2 + S 2 ) = m 5 ρ S 2 ,

рассчитаем значение высоты, на которую повысится уровень жидкости в сосудах:

Δ h = 0,12 5 ⋅ 1,6 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 − 4 = 15 ⋅ 10 − 3 м = 15 мм.

Пример 29. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра другого, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения широкого сосуда составляет 10 см2. Система заполнена жидкостью плотностью 6,0 г/см3. В узкий сосуд добавляют 0,12 кг жидкости плотностью 2,0 г/см3, а затем – 0,12 кг жидкости плотностью 4,0 г/см3. Найти разность уровней жидкостей в сосудах.

Читайте также:  Корень имбиря для чистки сосудов

Решение. В сообщающихся сосудах неоднородная жидкость устанавливается на разных уровнях таким образом, что гидростатическое давление на выбранном уровне оказывается одинаковым:

p1 = p2,

где p1 – давление в широком сосуде; p2 – давление в узком сосуде.

На рисунке пунктирной линией обозначен уровень, на котором будем рассчитывать гидростатическое давление в широком и узком сосудах.

Гидростатическое давление на выбранном уровне:

  • в широком сосуде

p1 = ρ1gh1,

где ρ1 – плотность жидкости, заполняющей систему изначально; g – модуль ускорения свободного падения; h1 – высота столба жидкости в широком сосуде;

  • в узком сосуде

p2 = ρ2gh2 + ρ3gh3,

где ρ2 – плотность первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; h2 – высота столба первой жидкости; ρ3 – плотность второй жидкости, добавленной в узкий сосуд; h3 – высота столба второй жидкости.

Равенство давлений на указанном уровне

ρ1gh1 = ρ2gh2 + ρ3gh3

позволяет определить высоту столба жидкости в широком сосуде:

h 1 = 1 ρ 1 ( ρ 2 h 2 + ρ 3 h 3 ) ,

где высоты жидкостей h2 и h3 определяются соответствующими массами и плотностями:

  • для первой жидкости

h 2 = m 2 ρ 2 S 2 ;

  • для второй жидкости

h 3 = m 3 ρ 3 S 2 ,

где S2 – площадь поперечного сечения узкого сосуда; m2 – масса первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; m3 – масса второй жидкости, добавленной в узкий сосуд.

Подстановка h2 и h3 в формулу для h1 дает

h 1 = 1 ρ 1 ( ρ 2 m 2 ρ 2 S 2 + ρ 3 m 3 ρ 3 S 2 ) = m 2 + m 3 ρ 1 S 2 .

Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:

  • для широкого сосуда

S 1 = π d 1 2 4 ,

  • для узкого сосуда

S 2 = π d 2 2 4 ,

где d1 = 2d2 – диаметр широкого сосуда; d2 – диаметр узкого сосуда.

Отношение площадей

S 1 S 2 = π d 1 2 4 4 π d 2 2 = d 1 2 d 2 2 = ( d 1 d 2 ) 2 = ( 2 d 2 d 2 ) 2 = 4

позволяет найти площадь узкого сосуда:

S 2 = S 1 4 .

Таким образом, высота столба жидкости в широком сосуде определяется выражением

h 1 = 4 ( m 2 + m 3 ) ρ 1 S 1 .

Высота столба жидкости над указанным уровнем в узком сосуде есть сумма:

Читайте также:  В жару сосуды расширяются кровь отдает тепло

h 2 + h 3 = m 2 ρ 2 S 2 + m 3 ρ 3 S 2 = 4 S 1 ( m 2 ρ 2 + m 3 ρ 3 ) .

Искомая разность верхних уровней жидкостей в узком (h2 + h3) и широком h1 сосудах рассчитывается по формуле

Δ h = ( h 2 + h 3 ) − h 1 = 4 S 1 ( m 2 ρ 2 + m 3 ρ 3 ) − 4 ( m 2 + m 3 ) ρ 1 S 1 =

= 4 S 1 ( m 2 ρ 2 + m 3 ρ 3 − ( m 2 + m 3 ) ρ 1 ) .

Произведем вычисление:

Δ h = 4 10 ⋅ 10 − 4 ( 0,12 2,0 ⋅ 10 3 + 0,12 4,0 ⋅ 10 3 − 0,12 + 0,12 6,0 ⋅ 10 3 ) = 0,20 м = 20 см.

Источник