Плотность идеального газа в сосуде

Как известно, многие вещества в природе могут находиться в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и газообразном.

Учение о свойствах вещества в различных агрегатных состояниях основывается на представлениях об атомно-молекулярном строении материального мира. В основе молекулярно-кинетической теории строения вещества (МКТ) лежат три основных положения:

все вещества состоят из мельчайших частиц (молекул, атомов, элементарных частиц), между которыми есть промежутки;
частицы находятся в непрерывном тепловом движении;
между частицами вещества существуют силы взаимодействия (притяжения и отталкивания); природа этих сил электромагнитная.

Значит, агрегатное состояние вещества зависит от взаимного расположения молекул, расстояния между ними, сил взаимодействия между ними и характера их движения.

Сильнее всего проявляется взаимодействие частиц вещества в твердом состоянии. Расстояние между молекулами примерно равно их собственным размерам. Это приводит к достаточно сильному взаимодействию, что практически лишает частицы возможности двигаться: они колеблются около некоторого положения равновесия. Они сохраняют форму и объем.

Свойства жидкостей также объясняются их строением. Частицы вещества в жидкостях взаимодействуют менее интенсивно, чем в твердых телах, и поэтому могут скачками менять свое местоположение – жидкости не сохраняют свою форму – они текучи. Жидкости сохраняют объем.

Газ представляет собой собрание молекул, беспорядочно движущихся по всем направлениям независимо друг от друга. Газы не имеют собственной формы, занимают весь предоставляемый им объем и легко сжимаются.

Существует еще одно состояние вещества – плазма. Плазма – частично или полностью ионизованный газ, в котором плотности положительных и отрицательных зарядов практически одинаковы. При достаточно сильном нагревании любое вещество испаряется, превращаясь в газ. Если увеличивать температуру и дальше, резко усилится процесс термической ионизации, т. е. молекулы газа начнут распадаться на составляющие их атомы, которые затем превращаются в ионы.

Модель идеального газа. Связь между давлением и средней кинетической энергией.

Для выяснения закономерностей, которым подчиняется поведение вещества в газообразном состоянии, рассматривается идеализированная модель реальных газов – идеальный газ. Это такой газ, молекулы которого рассматриваются как материальные точки, не взаимодействующие друг с другом на расстоянии, но взаимодействующие друг с другом и со стенками сосуда при столкновениях.

Идеальный газ – это газ, взаимодействие между молекулами которого пренебрежимо мало. (Ек>>Ер)

Идеальный газ – это модель, придуманная учеными для познания газов, которые мы наблюдаем в природе реально. Она может описывать не любой газ. Не применима, когда газ сильно сжат, когда газ переходит в жидкое состояние. Реальные газы ведут себя как идеальный, когда среднее расстояние между молекулами во много раз больше их размеров, т.е. при достаточно больших разрежениях.

Свойства идеального газа:

расстояние между молекулами много больше размеров молекул;
молекулы газа очень малы и представляют собой упругие шары;
силы притяжения стремятся к нулю;
взаимодействия между молекулами газа происходят только при соударениях, а соударения считаются абсолютно упругими;
молекулы этого газа двигаются беспорядочно;
движение молекул по законам Ньютона.

Состояние некоторой массы газообразного вещества характеризуют зависимыми друг от друга физическими величинами, называемыми параметрами состояния. К ним относятся объем V, давление p и температура T.

Объем газа обозначается V. Объем газа всегда совпадает с объемом того сосуда, который он занимает. Единица объема в СИ м3.

Давление – физическая величина, равная отношению силы F, действующей на элемент поверхности перпендикулярно к ней, к площади S этого элемента.

p = F/S Единица давления в СИ паскаль [Па]

До настоящего времени употребляются внесистемные единицы давления:

техническая атмосфера 1 ат = 9,81-104 Па;

физическая атмосфера 1 атм = 1,013-105 Па;

миллиметры ртутного столба 1 мм рт. ст.= 133 Па;

1 атм = = 760 мм рт. ст. = 1013 гПа.

Как возникает давление газа? Каждая молекула газа, ударяясь о стенку сосуда, в котором она находится, в течение малого промежутка времени действует на стенку с определенной силой. В результате беспорядочных ударов о стенку сила со стороны всех молекул на единицу площади стенки быстро меняется со временем относительно некоторой (средней) величины.

Давление газа возникает в результате беспорядочных ударов молекул о стенки сосуда, в котором находится газ.

Используя модель идеального газа, можно вычислить давление газа на стенку сосуда.

В процессе взаимодействия молекулы со стенкой сосуда между ними возникают силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона. В результате проекция υx скорости молекулы, перпендикулярная стенке, изменяет свой знак на противоположный, а проекция υy скорости, параллельная стенке, остается неизменной.

Приборы, измеряющие давление, называют манометрами. Манометры фиксируют среднюю по времени силу давления, приходящуюся на единицу площади его чувствительного элемента (мембраны) или другого приемника давления.

Жидкостные манометры:

открытый – для измерения небольших давлений выше атмосферного
закрытый – для измерения небольших давлений ниже атмосферного, т.е. небольшого вакуума

Металлический манометр – для измерения больших давлений.

Основной его частью является изогнутая трубка А, открытый конец которой припаян к трубке В, через которую поступает газ, а закрытый – соединен со стрелкой. Газ поступает через кран и трубку В в трубку А и разгибает её. Свободный конец трубки, перемещаясь, приводит в движение передающий механизм и стрелку. Шкала градуирована в единицах давления.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Основное уравнение МКТ: давление идеального газа пропорционально произведению массы молекулы, концентрации молекул и среднему квадрату скорости движения молекул

p = 1/3·m0·n·v2

m0 – масса одной молекулы газа;

n = N/V – число молекул в единице объема, или концентрация молекул;

v2 – средняя квадратичная скорость движения молекул.

Так как средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул E = m0*v2/2, то домножив основное уравнение МКТ на 2, получим p = 2/3· n·(m0· v2)/2 = 2/3·E·n

p = 2/3·E·n

Давление газа равно 2/3 от средней кинетической энергии поступательного движения молекул, которые содержатся в единичном объеме газа.

Так как m0·n = m0·N/V = m/V = ρ, где ρ – плотность газа, то имеем p = 1/3· ρ· v2

Объединенный газовый закон.

Макроскопические величины, однозначно характеризующие состояние газа, называют термодинамическими параметрами газа.

Важнейшими термодинамическими параметрами газа являются его объем V, давление р и температура Т.

Всякое изменение состояния газа называется термодинамическим процессом.

В любом термодинамическом процессе изменяются параметры газа, определяющие его состояние.

Соотношение между значениями тех или иных параметров в начале и конце процесса называется газовым законом.

Газовый закон, выражающий связь между всеми тремя параметрами газа называется объединенным газовым законом.

p = nkT

Соотношение p = nkT связывающее давление газа с его температурой и концентрацией молекул, получено для модели идеального газа, молекулы которого взаимодействуют между собой и со стенками сосуда только во время упругих столкновений. Это соотношение может быть записано в другой форме, устанавливающей связь между макроскопическими параметрами газа – объемом V, давлением p, температурой T и количеством вещества ν. Для этого нужно использовать равенства

где n – концентрация молекул, N – общее число молекул, V – объем газа

Тогда получим или

Так как при постоянной массе газа N остается неизменным, то Nk – постоянное число, значит

При постоянной массе газа произведение объема на давление, деленное на абсолютную температуру газа, есть величина одинаковая для всех состояний этой массы газа.

Уравнение, устанавливающее связь между давлением, объемом и температурой газа было получено в середине XIX века французским физиком Б. Клапейроном и часто его называют уравнением Клайперона.

Уравнение Клайперона можно записать в другой форме.

p = nkT,

учитывая, что

Здесь N – число молекул в сосуде, ν – количество вещества, NА – постоянная Авогадро, m – масса газа в сосуде, M – молярная масса газа. В итоге получим:

Произведение постоянной Авогадро NА на постоянную Больцмана k называется универсальной (молярной) газовой постоянной и обозначается буквой R.

Ее численное значение в СИ R = 8,31 Дж/моль·К

Соотношение

называется уравнением состояния идеального газа.

В полученной нами форме оно было впервые записано Д. И. Менделеевым. Поэтому уравнение состояния газа называется уравнением Клапейрона-Менделеева.`

Для одного моля любого газа это соотношение принимает вид: pV=RT

Установим физический смысл молярной газовой постоянной. Предположим, что в некотором цилиндре под поршнем при температуре Е находится 1 моль газа, объем которого V. Если нагреть газ изобарно (при постоянном давлении) на 1 К, то поршень поднимется на высоту Δh, а обьем газа увеличится на ΔV.

Запишем уравнение pV=RT для нагретого газа: p ( V + ΔV ) = R (T + 1)

и вычтем из этого равенства уравнение pV=RT , соответствующее состоянию газа до нагревания. Получим pΔV = R

ΔV = SΔh, где S – площадь основания цилиндра. Подставим в полученное уравнение:

pSΔh = R

pS = F – сила давления.

Получим FΔh = R, а произведение силы на перемещение поршня FΔh = А – работа по перемещению поршня, совершаемая этой силой против внешних сил при расширении газа.

Таким образом, R = A.

Универсальная (молярная) газовая постоянная численно равна работе, которую совершает 1 моль газа при изобарном нагревании его на 1 К.

Источник

5.4. Практическое применение уравнения состояния идеального газа

5.4.2. Уравнение состояния для газа в закрытом сосуде

При рассмотрении идеального газа, находящегося в закрытом сосуде (баллоне), необходимо учитывать, что изменение термодинамических параметров происходит при постоянной массе газа.

Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде, необходимо учитывать следующее:

масса газа, находящегося в закрытом сосуде, вследствие изменения его термодинамических параметров не изменяется:

m = const;

объем газа, заполняющего сосуд определенного объема, также фиксирован: V = const;
постоянными также остаются следующие параметры газа:

ρ = const; ν = const; n = const;

где ρ – плотность газа; ν – количество вещества (газа); n – концентрация молекул (атомов) газа.

Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде и изменяющего свое состояние, уравнение Менделеева – Клапейрона записывается в виде системы (рис. 5.8):Рис. 5.8

p 1 V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , }

где p 1, T 1 – давление и температура газа в начальном состоянии; p 2, T 2 – давление и температура газа в конечном состоянии; V – объем баллона; ν – количество газа; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Термин избыточное давление, встречающийся в задачах об идеальном газе в закрытом сосуде (баллоне), означает абсолютную разность между давлением газа, находящегося в сосуде, и давлением на стенки сосуда снаружи:

p изб = |p − p 0|,

где p – давление газа, находящегося внутри сосуда; p 0 – давление (атмосферное либо гидростатическое) на стенки сосуда снаружи.

Пример 13. Баллон рассчитан на максимальное избыточное давление 150 МПа. В него накачали газ при температуре 300 К до давления 120 МПа. Постепенно нагревая газ, баллон погружают в воду плотностью 1000 кг/м3 на глубину 1000 м. До какой максимальной температуры можно нагреть газ в баллоне, чтобы он не взорвался?

Решение. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в баллоне:

в начале нагревания

p 1V = νRT 1;

в конце нагревания

p 2V = νRT 2;

где p 1 – первоначальное давление газа в баллоне; p 2 – давление газа в баллоне в конце нагревания; V – объем газа (баллона), V = const; ν – количество вещества (газа) в баллоне; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура газа в начале процесса; T 2 – температура газа в конце процесса.

Отношение уравнений

p 1 V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2

позволяет определить давление газа в конце процесса:

p 2 = p 1 T 2 T 1 .

В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой

p изб max = | p 2 − p 0 | ,

где p 0 – давление снаружи баллона; p 2 – давление газа внутри баллона.

При погружении баллона в воду с одновременным нагреванием указанные давления снаружи и внутри баллона определяются следующими формулами:

снаружи (сумма атмосферного и гидростатического давлений) –

p 0 = p атм + p гидр = p атм + ρ0gh,

где p атм – атмосферное давление; p гидр – гидростатическое давление, p гидр = ρ0gh; ρ0 – плотность воды; g – модуль ускорения свободного падения; h – глубина погружения баллона;

внутри (давление газа) –

p 2 = p 1 T 2 T 1 ,

где T 2 – максимальная температура газа (искомая величина).

Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает

p изб max = | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h − p атм | ≈ | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h | ,

так как p атм << ρ0gh, p атм << p 2.

Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:

p изб max = p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h , p изб max = ρ 0 g h − p 1 T 2 T 1 ,

из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:

T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h + p изб max p 1 , T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h − p изб max p 1 .

Максимальному значению искомой температуры соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:

T 2 = 300 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 + 150 ⋅ 10 6 120 ⋅ 10 6 = 400 К.

Чтобы баллон не взорвался, его можно погрузить на заданную глубину, одновременно нагревая до температуры 400 К.

Пример 14. Бутылка емкостью 0,75 л выдерживает максимальное избыточное давление 150 кПа. Из бутылки откачивают воздух и запечатывают некоторое количество твердого углекислого газа с молярной массой 44,0 г/моль. Атмосферное давление равно 100 кПа. Считая, что объем твердого углекислого газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом бутылки, найти его максимальную массу, которая не вызовет взрыва бутылки при температуре 300 К?

Решение. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для углекислого газа, находящегося в бутылке, после его превращения в газообразное состояние:

p V = m M R T ,

где p – давление углекислого газа в бутылке; V – объем газа (бутылки); m – масса углекислого газа в бутылке; M – молярная масса углекислого газа; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа.

Записанное уравнение позволяет получить выражение для расчета давления газа внутри бутылки:

p = m R T V M .

В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой

p изб max = | p − p 0 | ,

где p 0 – давление снаружи бутылки.

Указанные давления снаружи и внутри бутылки определяются следующим образом:

снаружи (атмосферное давление) – p 0;
внутри (давление углекислого газа) –

p = m R T V M ,

где m соответствует искомой величине – максимальной массе углекислого газа.

Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает

p изб max = | m R T V M − p 0 | .

Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:

p изб max = m R T V M − p 0 , p изб max = p 0 − m R T V M ,

из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:

m = V M ( p 0 + p изб max ) R T , m = V M ( p 0 − p изб max ) R T .

Максимальному значению искомой массы соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:

m = 0,75 ⋅ 10 − 3 ⋅ 44,0 ⋅ 10 − 3 ( 100 + 150 ) ⋅ 10 3 8,31 ⋅ 300 = 3,3 ⋅ 10 − 3 кг = 3,3 г .

Чтобы бутылка не взорвалась, в нее можно запечатать не более 3,3 г твердого углекислого газа.

Пример 15. В наличии имеется неограниченное количество баллонов объемом по 4,0 л, заполненных некоторым идеальным газом до давления 500 кПа. Баллоны предназначены для наполнения газом оболочки аэрозонда и их можно соединять между собой. Сколько баллонов с газом необходимо одновременно подсоединить к пустой оболочке аэрозонда объемом 800 дм3, чтобы наполнить ее до давления 100 кПа, равного атмосферному? Температура газа при заполнении оболочки не изменяется.

Решение. Для осуществления процесса, описанного в условии задачи, требуется определенное количество газа ν.

Необходимое количество газа заполняет следующий объем:

в начале процесса (до заполнения оболочки)

V 1 = NV бал,

где N – количество баллонов; V бал – объем одного баллона, V бал = 4,0 л;

в конце процесса (после заполнения оболочки)

V 2 = NV бал + V обол,

где V обол – объем оболочки, V обол = 800 дм3.

Указанное количество газа находится при давлении:

в начале процесса (до заполнения оболочки) –

p 1 = 500 кПа

и совпадает с давлением газа в каждом из баллонов;

в конце процесса (после заполнения оболочки) –

p 2 = 100 кПа

и совпадает с давлением в оболочке.

Считая процесс заполнения газом оболочки аэрозонда изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:

в начале процесса (до заполнения оболочки) –

p 1V 1 = νRT,

где ν – количество вещества (газа) в оболочке; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);

в конце процесса (после заполнения оболочки) –

p 2V 2 = νRT.

Равенство

p 1V 1 = p 2V 2,

записанное в явном виде

p 1NV бал = p 2(NV бал + V обол),

позволяет получить формулу для вычисления искомого числа баллонов:

N = V обол V бал ⋅ p 2 p 1 − p 2 .

Произведем расчет:

N = 800 ⋅ 10 − 3 4,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 3 ( 500 − 100 ) ⋅ 10 3 = 50 .

Следовательно, для заполнения оболочки до указанного давления необходимо 50 баллонов с газом.

Пример 16. Аэростат, оболочка которого заполнена азотом с молярной массой 28 г/моль, находится в воздухе. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. Массы гондолы и оболочки аэростата пренебрежимо малы. Во сколько раз возрастет подъемная сила аэростата, если азот в его оболочке заменить на водород с молярной массой 2,0 г/моль, не изменяя при этом объем аэростата?

Решение. Силы (сила тяжести m g → и сила Архимеда F → A ), действующие на аэростат, показаны на рисунке.

Подъемная сила – это векторная сумма силы тяжести и силы Архимеда:

F → под = F → A + m g → ,

где F → A – сила Архимеда, действующая на оболочку со стороны воздуха; m g → – сила тяжести; m – масса газа, заполняющего оболочку аэростата; g → – ускорение свободного падения.

В проекциях на вертикальную ось подъемная сила определяется следующими выражениями:

при заполнении оболочки азотом –

F под1 = F A1 − m 1g,

где F A1 – модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки азотом, F A1 = ρ0gV 1; ρ0 – плотность воздуха; V 1 – объем оболочки аэростата при заполнении ее азотом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 1 – масса азота, заполняющего оболочку, m 1 = ρ1V 1; ρ1 – плотность азота;

при заполнении оболочки водородом –

Читайте также: Фото сосуды для вина

F под2 = F A2 − m 2g,

где F A2 – модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки водородом, F A2 = ρ0gV 2; V 2 – объем оболочки аэростата при заполнении ее водородом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 2 – масса водорода, заполняющего оболочку, m 2 = ρ2V 2; ρ2 – плотность водорода.

Искомой величиной является отношение

F под 2 F под 1 = F A 2 − m 2 g F A 1 − m 1 g .

С учетом записанных выражений для сил Архимеда, масс азота и водорода, а также равенства объемов оболочки при заполнении ее азотом и водородом (V 1 = V 2), указанное отношение принимает вид

F под 2 F под 1 = ρ 0 g V 2 − ρ 2 V 2 g ρ 0 g V 1 − ρ 1 V 1 g = ( ρ 0 − ρ 2 ) V 2 g ( ρ 0 − ρ 1 ) V 1 g = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 .

Плотности воздуха, азота и водорода определим как отношения:

для воздуха

ρ 0 = M 0 V μ 0 ,

где M 0 – молярная масса воздуха; V µ0 – молярный объем воздуха;

для азота

ρ 1 = M 1 V μ 1 ,

где M 1 – молярная масса азота; V µ1 – молярный объем азота;

для водорода

ρ 2 = M 2 V μ 2 ,

где M 2 – молярная масса водорода; V µ2 – молярный объем водорода.

Молярные объемы (объемы одного моля) воздуха, азота и водорода равны между собой, так как газы находятся при одних и тех же условиях:

V µ0 = V µ1 = V µ2 = V µ.

Поэтому формула для расчета искомого отношения приобретает вид

F под 2 F под 1 = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 = M 0 − M 2 M 0 − M 1 .

Расчет дает значение:

F под 2 F под 1 = 29 ⋅ 10 − 3 − 2,0 ⋅ 10 − 3 29 ⋅ 10 − 3 − 28 ⋅ 10 − 3 = 27 .

При замене азота на водород в оболочке аэростата его подъемная сила возрастет в 27 раз.

Пример 17. Воздушный шар с температурой 300 К находится в воздухе при атмосферном давлении 100 кПа. Молярная масса воздуха составляет 29,0 г/моль. Объем воздушного шара равен 830 дм3, а масса его оболочки равна 333 г. На сколько градусов необходимо нагреть газ в оболочке, чтобы шар взлетел? Воздух в оболочке шара сообщается с атмосферой.

Решение. Силы, действующие на воздушный шар, показаны на рисунке:

сила Архимеда

F A = ρ0gV,

где ρ0 – плотность воздуха, окружающего шар; g – модуль ускорения свободного падения; V – объем оболочки шара (объем вытесненного оболочкой воздуха);

сила тяжести

mg = (m обол + m возд)g,

где m обол – масса оболочки; m возд – масса воздуха в оболочке, m возд = ρV; ρ – плотность воздуха внутри оболочки.

Шар взлетает, когда выполняется равенство

F → A + m g → = 0,

или, в проекции на вертикальную ось, –

F A − mg = 0.

Преобразуем равенство (условие равновесия шара в воздухе)

F A = mg

с учетом записанных выше выражений

ρ0gV = (m обол + m возд)g, или (ρ0 − ρ)V = m обол.

Входящие в равенство плотности воздуха не известны, но фигурируют в качестве параметра в уравнении состояния:

для воздуха снаружи оболочки воздушного шара

p 0 = ρ 0 R T 1 M ,

где p 0 – атмосферное давление; ρ0 – плотность воздуха снаружи оболочки; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура окружающего шар воздуха; M – молярная масса воздуха;

для воздуха внутри оболочки воздушного шара

p = ρ R T 2 M ,

где p – давление воздуха внутри оболочки; ρ – плотность воздуха внутри оболочки; T 2 – температура воздуха внутри оболочки.

Давления воздуха внутри и снаружи оболочки воздушного шара одинаковы, так как воздух, находящийся в оболочке, сообщается с атмосферой; поэтому

p = p 0.

Плотности:

для воздуха снаружи оболочки воздушного шара

ρ 0 = p 0 M R T 1 ;

для воздуха внутри оболочки воздушного шара

ρ = p 0 M R T 2 .

Подставим выражения для плотностей в условие равновесия шара в воздухе:

( 1 T 1 − 1 T 2 ) p 0 M V R = m обол .

Температура воздуха внутри оболочки, при которой шар начинает взлетать, определяется как

T 2 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол ,

а искомая разность –

Δ T = T 2 − T 1 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол − T 1 = T 1 p 0 M V R T 1 m обол − 1 .

Произведем вычисление:

Δ T = 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 29,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 830 ⋅ 10 − 3 8,31 ⋅ 300 ⋅ 333 ⋅ 10 − 3 − 1 = 158 К.

Следовательно, чтобы воздушный шар начал взлетать, воздух в его оболочке необходимо нагреть на 158 К, или 158 °С.

Пример 18. Камеру футбольного мяча объемом 3,00 л накачивают с помощью насоса, забирающего из атмосферы 0,150 л воздуха при каждом качании. Атмосферное давление составляет 100 кПа. Определить давление в камере после 30 качаний, если первоначально она была пустой. Температура постоянна.

Решение. За N качаний насос забирает из атмосферы определенное количество воздуха ν. Это же количество воздуха попадает в камеру футбольного мяча.

Указанное количество воздуха имеет следующий объем:

воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, –

V 1 = NV нас,

где V нас – объем насоса, V нас = 0,150 л; N – количество качаний;

воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, –

V 2 = V мяч,

где V мяч – объем камеры мяча, V мяч = 3,00 л.

Данное количество воздуха находится при следующем давлении:

воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, –

p 1 = 100 кПа

совпадает с атмосферным давлением;

воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, – p 2 (является искомой величиной).

Считая процесс заполнения воздухом камеры мяча изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:

для воздуха, забранного из атмосферы за N качаний насоса, –

p 1V 1 = νRT,

где R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);

для воздуха, накачанного в камеру футбольного мяча, –

p 2V 2 = νRT.

Равенство

p 1V 1 = p 2V 2,

записанное в явном виде

p 1NV нас = p 2V мяч,

позволяет получить формулу для вычисления давления в камере футбольного мяча:

p 2 = p 1 N V нас V мяч .

Произведем вычисление:

p 2 = 100 ⋅ 10 3 ⋅ 30 ⋅ 0,15 ⋅ 10 − 3 3,00 ⋅ 10 − 3 = 150 ⋅ 10 3 Па = 150 кПа.

Источник