Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом

Контрольные вопросы

• 1. Является ли воздух, окружающий вас сейчас, идеальным газом и почему? Что нужно сделать для того, чтобы он стал идеальным (реальным)?
• 2. В чем смысл Максвелловского распределения?
• 3. Что общего между распределением Максвелла и распределением Больцмана?
• 4. В чем физический смысл универсальной газовой постоянной? Для ответа вспомните уравнение Майера.
• 5. В чем отличия адиабатического процесса от термодинамического? Приведите примеры обоих процессов.
• 6. Каков физический смысл коэффициента поверхностного натяжения жидкости?
• 7. Какие явления называют капиллярными?
• 8. Что такое энтропия и почему в изолированной системе она всегда возрастает?
• 9. В каких ситуациях в жидкостях возникает давления Лапласа?
• 10. Что такое двигатель II рода?
• 11. Докажите невозможность вечного двигателя II рода.

Задачи для самостоятельного решения Аналитические задания

• 1. Самое засушливое место на нашей планете — пустыня Атакама в Южной Америке, где до 1971 г. в течение 400 лет не пролилось ни единой капли дождя. Будем считать, что последняя капля воды пролилась там в 1571 г. А теперь налейте себе стакан обычной воды и выпейте ее. Оцените, сколько молекул воды из той последней капли в пустыне Атамака сейчас попало в ваш организм. О данных, не приведенных в условиях задачи, сделайте сами разумные предположения.
• 2. Теплота есть не что иное, как движение молекул. Тогда поразмышляйте над вопросом, чем же отличается горячий покоящийся бильярдный шар от холодного быстро движущегося.
• 3. Оцените, сколько потребуется времени для того, чтобы вода из наполненного до краев стакана полностью испарилась. Считайте, что стакан находится в помещении, где нет ветра, а температура воздуха всегда равна 25°С.
• 4. Вскипятите чайник. Заварите себе кофе. А теперь в горячий кофе добавьте холодного молока. И дайте напитку немного настояться. Как вы думаете, если бы вы добавили молоко непосредственно перед употреблениям, кофе оказался бы холоднее, горячее или таким же?
• 5. Если на улице выпустить из рук наполненный гелием воздушный шарик, то он навсегда улетит в небо. Подумайте, как высоко он сможет подняться?
• 6. Наполните стакан доверху водой и положите сверху кусок льда. Лед будет плавать на поверхности. Как вы думаете, что произойдет, когда лед растает — лишняя вода выльется через край, уровень воды уменьшится или ничего не изменится? Обоснуйте свой ответ.
• 7. Нормальная температура человеческого тела — 36,6°С. Однако нам не холодно, когда температура воздуха на улице — 25°С и очень жарко при 36°С. В воде же — все наоборот: при температуре воды 25°С — прохладно, а при 36°С — жарко. Почему?

Примеры региения задач

Пример 1.

Дано:

В баллоне находится газ под давлением р{ = 3 МПа при температуре ?, = 7°С. После того, как половину баллона израсходовали, его внесли в теплое помещение с температурой t2. Барометр показал, что давление в баллоне при этом изменилось и стало равным р2 =1,6 МПа. Определить температуру t2 в помещении.

Решение.

При первоначальном расходовании газа процесс можно считать изотермическим, так как он проходил при неизменной температуре, поэтому p{V{ = const.

Так как половина баллона была израсходована, то р = pj2, где р — давление газа в баллоне после откачки (оно уменьшилось в 2 раза).

Дальше газ, находящийся в помещении, нагревается изохорно, следовательно,

Откуда

Пример 2.

Дано:

Газ массой тп расширяется изотермически так, что его объем увеличивается в два раза. При этом работа по расширению газа есть А. Определите наиболее вероятную скорость молекул этого газа авер.

Решение:

Температуру найдем из соображения

Отсюда найдем температуру

Подставив последнее выражение в (П.4), получим

Пример 3.

Дано:

Капля ртути находится между двумя стеклянными пластинами. Необходимо расплющить эту каплю между стеклами до толщины h = ОД5 мм. Определите силу F, которую необходимо приложить для того, чтобы расплющить каплю ртути. Плотность ртути р = 13,6 г/см3, поверхностное натяжение ст = 0,5 Н/м, масса капли m = 5 г.

Решение.

Давление Лапласа внутри капли определяется выражением

Оно уравновешивается внешним давлением Ар = F/S, где S – площадь сопрокос- новепия капли с пластинами, определяется формулой

г> / Я!

где /С|= —-— радиус кривизны капли ртути в плоскости, параллельной пласти- V яр/?

нам.

Искомая нами сила определяется выражением

где R., = h/2 — радиус кривизны капли ртути в направлении, перпендикулярном плоскости стеклянных пластин.

Окончательно имеем

Расчетные задачи

Кинетическая теория газов

• 1. Какую температуру Тбудет иметь кислород массой m = 2 г, занимающий объем V = 1000 см3 при давлении р = 0,2 МПа?
• 2. В некотором помещении температура воздуха зимой поддерживается постоянной и равной tx = 10°С, а летом — t2 = 30°С. Во сколько раз плотность воздуха зимой р3 больше плотности воздуха летом р;1? Считать, что давление воздуха не меняется.
• 3. В некотором помещении температура воздуха зимой поддерживается постоянной и равной = 10°С, а летом — t2 = 30°С. Во сколько раз плотность воздуха зимой р3 больше плотности воздуха летом р.(? Считать, что объем воздуха не меняется.
• 4. Детский воздушный шарик наполняют гелием. Радиус шарика — г = 20 см. Рассчитайте максимальную массу оболочки шарика, при которой он перестанет взлетать вверх и начнет падать вниз.
• 5. Определите плотность насыщенного водяного пара р при температуре t = = 40°С.
• 6. Посчитайте, какое количество молекул газа N находится в помещении размером 10 х 15 X 2 м3 при температуре t = 20°С и давлении р = 760 мм рт. ст.
• 7. Найдите температуру, при которой энергии теплового движения атомов кислорода хватит для того, чтобы преодолеть тяготение и покинуть земную атмосферу.
• 8. Закрытый сосуд объемом 1 л наполнен воздухом при нормальных условиях. Затем в сосуд вводят диэтиловый эфир, химическая формула которого С2Н5ОС2Н5. После того, как эфир испарился, давление в сосуде стало равным 0,1 МПа. Какая масса эфира была введена в сосуд?
• 9. Определите среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Считать диаметр молекул равным d = 0,3 нм.
• 10. В окружающем нас воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4% азота (процентное содержание берется по массе). Считая давление равным р = 760 мм рт. ст. и температуру t = 20°С, определите плотность воздуха.
• 11. Какая часть молекул углекислого газа (в процентах) при температуре t = 20°С имеет скорости, лежащие в интервале от 100 до 120 м/с?
• 12. Крымская астрофизическая обсерватория расположена на высоте 590 м над уровнем моря. Найдите давление на этой высоте при температуре t = 25°С.

Реальные жидкости и газы

• 13. Гелий занимает объем V = 200 см3 при давлении р = 100 МПа. Масса гелия т = 20 г. Рассчитайте температуру газа, считая его: а) идеальным; б) реальным газом. Постоянные Ван-дср-Ваальса принять равными а = 3,43 • 10 3 Па • м6/моль2, Ъ = = 2,34 • 10-5 м3/моль.
• 14. Найти изменение энтропии AS при превращении куска льда массой т = 0,5 кг при температуре ?, = -5°С в воду при температуре t2 = 30°С.
• 15. Найдите эффективный диаметр молекулы азота а двумя разными способами: а) по среднему значению длины свободного пробега молекулы (X) = 95 нм;
• б) но известному значению постоянной Ван-дер-Ваал ьса b = 38,62 см3/моль.
• 16. Какую относительную ошибку 6 мы получим при нахождении количества водорода v, находящегося в некотором объеме при температуре t = 20°С и давлении р = 250 МПа, если не учтем собственного объема молекул? Постоянные Ван-дер- Ваальса а = 0,25 Пам6/моль2, Ь = 26,6 м3/моль.
• 17. Определите работу Л, совершаемую молем реального газа, при изотермическом расширении от объема F, до объема V2. Температура газа — Т. Сравните полученное выражение с работой идеального газа.
• 18. Выведите уравнение адиабаты для реального газа в переменных V, Ти в переменных V, р. Сравните полученные выражения с аналогичными для идеального газа.
• 19. Имеются два баллона. В одном баллоне, емкость которого 10 л, находится 10 молей кислорода. В другом баллоне емкостью 100 л — высокий вакуум. Баллоны соединяют между собой трубкой, и газ из первого баллона испытывает адиабатическое расширение. Найдите изменение его температуры. Газ считать реальным.

Законы термодинамики

• 20. Рассчитайте показатель адиабаты для углекислого газа (у = Cp/Cv). Углекислый газ считайте двухатомным газом.
• 21. Некоторый газ имеет плотность р = 1,43 кг/м3. Определите удельные теплоемкости Ср и Cv и показатель адиабаты у этого газа.
• 22. В сосуде находится смесь двух газов — тл = 10 г углекислого газа и т2 = 20 г кислорода. Рассчитайте плотность этой смеси р при температуре t = 27°С и давлении р = 200 кПа.
• 23. Газообразный водород при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом У = 3 л охладили на АТ = 30 К. Найдите приращение внутренней энергии газа AU и количество отданного им тепла AQ.
• 24. Температура парогенератора электростанции, использующей перегретый пар, равна tx = 600°С. В холодильник подается речная вода при температуре t2 = 20°С. Рассчитайте максимальный КПД такой электростанции.
• 25. Цилиндр разделен невесомым поршнем на две равные половины. В одной половине находится 1 моль газа с показателем адиабаты у, в другой — вакуум. Начальная температура цилиндра с газом Т. Поршень отпускают, и газ заполняет весь цилиндр. Затем поршень медленно возвращают в первоначальное положение. Определите изменение внутренней энергии AU.
• 26. Какую массу кислорода m можно нагреть изобарно от температуры tx = 30°С до температуры t2 = 120°С теплотой в количестве Q = 200 Дж?

Термодинамические процессы

• 27. Идеальная тепловая машина Карно получает от нагревателя за один цикл теплоту Q, = 3 кДж. Температура нагревателя Г, = 350 К, температура холодильника Т2 = 280 К. Найдите работу, совершаемую машиной за один цикл, и количество теплоты (22, отданное холодильнику за один цикл.
• 28. В сосуде объемом V = 10 л находится газ при температуре t = 10°С. Открывают клапан, и часть газа выходит наружу, при этом давление в сосуде уменьшается на Ар = 0,5 атм. Найдите массу выпущенного газа. Процесс считать изотермическим, плотность данного газа при нормальных условиях р = 1,3 г/л.
• 29. На рис. 4.11, я изображен цикл, притом точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Определите температуру Т2 в точке 2, если известны температуры Тх и Г3 в точках 1 и 3 соответственно.
• 30. Найдите отношение температур Т3/Т{ для процесса, изображенного на рис. 4.11,6} если отношение объемов У3/Ух = а. Объемы газа в точках 2 и 4 равны.
• 31. Найдите температуры газа Г, и Т3 в точках 1 и 3 для процесса, изображенного на рис. 4.11, в, если точки 2 и 4 лежат на прямой, проходящей через начало координат, а температуры газа в этих точках равны Т2 и Т4 соответственно.
• 32. Найдите отношение давлений р3/р1 в точках 3 и 1 для процесса, изображенного на рис. 4.12, я, если отношение температур в этих точках Г3, Г, = р. Давления газа в точках 2 и 4 равны.

Рис. 4.11. Иллюстрация к задачам:

а -4.29; б -4.30; в -4.31

Рис. 4.12. Иллюстрация к задачам:

а – 4.32; 6 – 4.33

• 33. Найдите объем газа VA в состоянии 4, если известны его объемы V[y V2, V3 в состояниях 1, 2 и 3 соответственно (рис. 4.11, б).
• 34. Воздушным поршневым насосом откачивают сосуд объемом V. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем AV. Сколько циклов следует сделать, чтобы давление в сосуде уменьшилось в п раз? Процесс считать изотермическим.
• 35. Вычислите КПД цикла, состоящего из изотермы, изобары и изохоры, если при изотермическом процессе объем идеального газа с показателем адиабаты у увеличивается в N раз.
• 36. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Воздух при температуре t = 100°С и давлении р = 700 кПа занимает объем Vx = 2 л. Газ изотермически расширяется до объема V2 = 5 л, после чего расширяется адиабатически до объема V3 = 8 л. Определите КПД цикла и полную работу за цикл Л.

2017-10-05   
Имеется сосуд объемом $V$ и поршневой насос с объемом камеры $V^{ prime}$ (рис. 1). Сколько качаний нужно сделать, чтобы давление в сосуде уменьшилось от $p$ до $p^{ prime}$? Атмосферное давление равно $p_{0}$. Изменением температуры пренебречь.

Решение:

Мы, естественно, считаем, что начальное давление $p$ не превосходит наружного давления $p_{0}$, иначе можно сначала просто выпустить излишек газа.

Эту задачу можно решить, используя закон Бойля — Мариотта, хотя в процессе откачки масса газа в сосуде изменяется. Действительно, рассмотрим первый ход поршня влево; при этом клапан А закрыт, клапан В открыт и газ из сосуда входит в камеру насоса. Давление газа уменьшается от первоначального значения до некоторого $p_{1}$. Поскольку процесс изотермический и масса газа при этом не меняется, можно воспользоваться законом Бойля — Мариотта:

$pV = p_{1}(V + V^{ prime})$. (1)

При обратном ходе поршня клапан В закрывается, и воздух из камеры насоса выталкивается наружу через клапан А. При втором ходе поршня влево все повторяется точно так же, только давление в начале хода в сосуде равно $p_{1}$. Обозначая давление в конце второго хода через $p_{2}$, имеем

$p_{1}V = p_{2}(V + V^{ prime})$.

Подставляя сюда $p_{1}$ уравнения (1), находим

$p_{2} = p left ( frac{V}{V + V^{ prime}} right )^{2}$.

Рассуждая дальше таким же образом, нетрудно убедиться, что после $n$ ходов поршня давление в сосуде будет равно

$p_{n} = p left ( frac{V}{V+V^{ prime}} right )^{n}$. (2)

По формуле (2) определяется число качаний $n$, необходимое для того, чтобы понизить давление в сосуде до значения $p_{n} = p^{ prime}$:

$n = frac{lg (p^{ prime} / p)}{lg [V / (V + V^{ prime})]}$.

рис.2

Интересно построить график зависимости давления в сосуде от числа качаний $n$. Это есть график показательной функции с основанием $V/(V + V^{ prime})

Согласно формуле (2) по мере откачки давление воздуха в сосуде убывает и при достаточно большом числе качаний $n$ может быть сделано сколь угодно малым. Однако в действительности ни один насос не может откачать воздух из сосуда полностью, так, чтобы давление в нем обратилось в нуль. Для каждого насоса существует некоторое минимальное давление $p_{min}$, ниже которого он не может дать разрежение. Причина этого — существование вредных пространств, неидеальная работа клапанов и т. п. Например, когда поршень насоса движется вправо, выталкивая воздух из камеры в атмосферу, между поршнем и клапаном неизбежно остается пусть даже очень маленький, но конечный объем $Delta V$. Поэтому не весь воздух из камеры будет вытолкнут в атмосферу. Это и замедляет откачку и в конце концов приводит к тому, что при некотором давлении в сосуде насос вообще начинает работать вхолостую. Действительно, при давлении в сосуде $p_{min}$ воздух, сжатый от первоначального объема камеры $V^{ prime}$ до объема $Delta V$, будет иметь давление не выше атмосферного $p_{0}$ и не сможет выйти наружу. Итак, для определения предельного давления, обусловленного существованием вредного пространства, можно написать условие

$p_{min} V^{ prime} = p_{0} Delta V$, откуда $p_{min} = p_{0} Delta V/V^{ prime}$. (3)

Для получения больших разрежений обычно используют несколько насосов, соединенных последовательно. Насос каждой последующей ступени откачивает воздух не в атмосферу, а в объем, из которого воздух откачивается насосом предыдущей ступени.