При сжатии поршня в сосуде с газом

2017-10-05   
Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделен поршнем, который может двигаться без трения. В равновесии поршень находится посредине цилиндра. При малых смещениях из положения равновесия поршень совершает колебания. Найти зависимость частоты этих колебаний от температуры, считая процесс изотермическим.

Решение:

В положении равновесия давление $p$ на поршень слева и справа одинаково. Поскольку объем газа слева и справа одинаков, а температура $T$ постоянна, из уравнения Менделеева — Клапейрона

$pV = nu RT$ (1)

следует, что количество газа $nu$ одинаково по обе стороны от поршня. Отметим, что химический состав газов может быть различным.

рис.1

Пусть поршень сместился из положения равновесия, например влево, на малую величину $x$, так что $Sx ll V$, где $S$ — площадь поршня (рис. 1). Поскольку температура по условию не меняется, то

$(p + Delta p_{1})(V – Sx) = (p – Delta p_{2}) (V + Sx)$.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим

$( Delta p_{1} + Delta p_{2}) V – ( Delta p_{1} – Delta p_{2}) Sx = 2pSx$.

Второе слагаемое слева много меньше первого не только потому, что $Sx ll V$, но и вследствие того, что множителем при $V$ стоит сумма двух близких величин $Delta p_{1}$ и $Delta p_{2}$, а множителем при $Sx$ — их разность. Пренебрегая вторым слагаемым, получаем

$Delta p_{1} + Delta p_{2} = frac{2pS}{V} x$.

Результирующая сила, действующая на поршень, равна

$F = – frac{2pS^{2}}{V} x$.

Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению смещения поршня, т. е. к положению равновесия. Под действием силы, пропорциональной смещению, поршень массой $M$ будет совершать гармонические колебания с частотой $omega$, определяемой соотношением

$omega^{2} = 2pS^{2}/VM$. (2)

При решении задачи мы молчаливо предполагали, что масса газа много меньше массы поршня, так что кинетической энергией макроскопического движения газа при колебаниях поршня можно пренебречь но сравнению с кинетической энергией поршня. Подумайте, где использовано это условие.

Выразив $p$ из уравнения Менделеева — Клапейрона (1), получим

$omega^{2} = frac{2 nu RS^{2}}{MV^{2}} T$. (3)

Таким образом, частота колебаний поршня пропорциональна $sqrt{T}$, ибо коэффициент при $T$ в формуле (3) не зависит от температуры, если пренебречь тепловым расширением сосуда.

Подумайте теперь, какие условия должны выполняться, чтобы процесс действительно был изотермическим. Для того чтобы температура газа в процессе колебаний не изменялась, необходим хороший тепловой контакт с большим тепловым резервуаром — термостатом, имеющим постоянную температуру. Что значит хороший тепловой контакт? Это значит, что время установления термодинамического равновесия между газом в сосуде и термостатом должно быть много меньше периода колебаний поршня. Тогда можно считать, что газ в каждый момент имеет ту же температуру, что и термостат. Если, наоборот, период колебаний окажется много меньше времени установления термодинамического равновесия между газом и термостатом, то можно считать, что колебания поршня происходят практически без обмена теплотой с термостатом. В этом случае процесс можно считать адиабатическим, несмотря на отсутствие тепловой изоляции сосуда с поршнем. Оказывается, что зависимость частоты колебаний от температуры при этом будет такой же, как и в изотермическом случае, только коэффициент в формуле (3) умножится на число, большее единицы. Увеличение частоты колебаний при адиабатическом процессе можно объяснить, сравнивая $p-V$ – диаграммы изотермического и адиабатического процессов идеального газа.

Отметим, что приведенное решение в обоих случаях имеет смысл, только если время установления теплового равновесия в самом газе много меньше периода колебаний поршня, так как в противном случае вообще теряют смысл такие равновесные макроскопические характеристики газа, как давление и температура. Другими словами, по отношению к самому газу процесс должен быть квазистатическим.

Сжатие газа поршнем, движущимся в глухой трубе с постоянной скоростью

Вариантом описанной в параграфе 9.5.1 задачи является задача о сжатии газа поршнем, движущимся с постоянной скоростью от входа в трубу в направлении глухого торца. В этом случае процесс сжатия газа должен происходить посредством формирования перед движущимся поршнем волны сжатия или ударной волны, и последующего распространения ее перед поршнем и отражения от глухого конца, затем от поршня и т.д. Подобный вариант рассчитывался в ППП «МАТМЕХ». Результатом расчетов сжатия газа глухой трубе длиной 1,18 м поршнем движущимся со скоростью 100 м/с в течение 0,011 с представлены на рис. 9.28 и 9.29. Продольная сетка включала 40 узлов. Изменение массы газа в замкнутом объеме между поршнем и торцом трубы за время расчета не превышало 1,5 %, что свидетельствует о достаточной точности вычислений. На рис. 9.28 изображено распределение плотности в сечении ? = 0 (линия с треугольниками) и ?, = 1 (сплошная линия). На рис. 9.29 представлено распределение давления по длине канала во времени на неподвижной оси. Результаты иллюстрируют волновой про-

Рис. 9.28. Распределение плотности в сечении Е, = 0 (линия с треугольниками)

и ? = 1 (сплошная линия)

Рис. 9.29. Изменение давления газа в канале со временем

цесс сжатия газа поршнем в глухой трубе и позволяют сделать вывод о работоспособности расчетного метода применительно к расчету течений газов на подвижных сетках, адаптирующихся к положению ограничивающих поток подвижных элементов.

Сжатие газа в глухой трубе поршнем пиропривода

Рассматривается случай, соответствующий варианту, описанному в подпараграфе 9.5.1 при отсутствии жидкости в канале ГЖВС. Поршень сосуда С2 сжимает воздух, находящийся в канале К1, правый торец которого неподвижный и глухой. Объем сосуда С2 в начальный момент соответствует удалению поршня от левого торца цилиндра ГЖВС на 0,05 м. В сосуде воспламеняется и сгорает заряд пороха ДРПЗ массой 50 г. Масса поршня составляет 4 кг. Поршень удерживается элементами форсирования, разрушающимися при давлении 11 ата в сосуде С2. Разгоняемый давлением пороховых газов поршень сжимает воздух в глухом цилиндре слева от поршня. В результате должен произойти удар поршня о глухой торец, амортизируемый газовой прослойкой между поршнем и глухим торцом. В конечном итоге должен реализоваться периодический колебательный процесс движения поршня в трубе. Толщина прослойки воздуха между поршнем и глухим торцом при сжатии стремится к нулю, что делает задачу весьма жесткой и осложняет вычислительный процесс. При стремлении к нулю длины канала К1 шаг по времени, выбираемый из условия Куранта для канала, будет весьма малым. При резком изменении параметров в сосуде С2 в период вспышки пороха или в период сжатия газа в сосуде должен уменьшаться шаг интегрирования уравнений изменения параметров в сосуде, выбираемый по значениям контрольного члена и заданной относительной погрешности. Разработанный в рамках ППП «МАТМЕХ» программный комплекс позволяет успешно решить поставленную задачу, сочетая выбор шага по времени по контрольному члену второго порядка с использованием условия Куанта. Результаты расчетов на сетке, включающей 40 узлов по длине канала представлены на рис. 9.30—9.33. Длина канала К1 составляла 0,1 м, что соответствовало толщине газовой прослойки в ГЖВС, рассмотренной ниже. В отличие от предыдущего случая движение поршня начинается из неподвижного состояния и максимальная скорость поршня составляет около 72 м/с, то есть является существенно дозвуковой. Шаг интегрирования меняется пропорционально текущей длине канала К1 и в момент отражения поршня достигает величины порядка 0,3 • 10-9 с. Дозвуковое движение поршня обусловливает выполнение в канале обычного для классической баллистики допущения о линейном распределении скорости газа между движущимся поршнем и глухим торцом. Кривые изменения скорости по длине канала в зависимости от безразмерной координаты ?, е [0, 1] представлены на рис. 9.30, соответствующие кривые для давления — на рис. 9.31. На

Puc. 9.30. Изменение скорости газа в канале

в течение первой четверти периода колебаний

Puc. 9.31. Изменение давления газа в канале в течение первой четверти периода колебаний

Рис. 9.32. Изменение параметров течения в канале в сечении ? = 0,0

Рис. 9.33. Изменение параметров течения в канале в сечении ?=1,0

рис. 9.32 и 9.33 приведены кривые измерения параметров потока на движущемся поршне (2, = 0) и на глухом торце (?, = 1). Расчетная картина соответствует физике процесса. Рассчитан период времени, соответствующий двум периодам колебаний поршня в трубе. Проведенный расчет позволяет сделать вывод о физически правильном представлении взаимодействия поршня с газом в сосуде С2 и канале К1 в разработанном алгоритме.