Расчет стенки прямоугольного сосуда

Дано:

Покажем результат вспомогательного расчета прямоугольной замкнутой рамы на действие равномерно распределенной нагрузки q0=1 в виде эпюры прогибов:

Прямоугольный резервуар представляет собой призматическую оболочку, для расчёта которой применяется вариационный метод В.З.Власова. Следуя этому методу, неизвестную функцию прогиба w (х,у) представляем в виде: w (х,у)= f (у)·φ(х). Одной из этих функций задаются. В данном случае в качестве функции φ(х) принимаем уравнение изогнутой оси элементарной рамы-полоски шириной dу под действием равномерной нагрузки q0, как показано на рисунке. Вторая же функция, f (у), является решением дифференциального уравнения, которое нам и предстоит отыскать. Коэффициенты этого уравнения определяются уже готовыми выражениями табл. «Значения коэффициентов А,В,С вычисленные для отношений b/a  сторон прямоугольного контура» (см. рубрику «Таблицы»).В нашем примере при b/a =2:

Тогда параметры r2 и s4 будут: 

Найдём: r=4,139 и s=4,766. Сравнивая их, констатируем, что s>r. Следовательно, все четыре корня характеристического уравнения являются комплексными числами, а параметры α и β – действительные положительные:Величинами α и β, а также безразмерной координатой и определяются значения специальных функций Ф1, Ф2, Ф3, Ф4 и их производных, через которые отыскиваются постоянные интегрирования С1÷С4 решением системы алгебраических уравнений :(1)

1. Определение постоянных интегрирования.

Вычислим коэффициенты этих уравнений для рассматриваемой задачи, пользуясь значениями специальных  функций, приведённых в таблицах «Таблица функции Ф…» (рубрика «Таблицы». Так:

После подстановки значений параметров в (1) имеем:

Из совместного решения двух последних уравнений имеем:

Из первого уравнения выразим С4=-0,808С2, а из второго С3=0,587С1.

И тогда находим:

Искомая функция обобщенного прогиба f (η) примет вид   и будет:

А функция прогиба произвольной точки стенок резервуара:  w (х,у)=f (η)·φ(х),

что для граней шириной «а» даёт выражение:

а для граней шириной «b»:2.Определение усилий и построение их эпюр. Для определения усилий с целью построения их эпюр в характерных сечениях стенок резервуара выпишем выражения производных, входящих в формулы:

Для граней шириной «а»:

Для граней шириной «b»:

Для любой грани:

Для построения эпюры изгибающих моментов Мув вертикальном сечении посередине длинной стенки резервуара, при  вычислим значения функции φв(х) и ее производных в этом сечении:

Для рассматриваемой задачи, при а=2 м, b=4 м:

Для построения эпюры изгибающих моментов Му вычислим также значения функций f (η) и f˝(η) в трёх точках по высоте стенки:Тогда значения в исследуемых трех точках будут:Эпюра Му в середине длинной грани резервуара:

Построение эпюры  

в горизонтальном сечении посередине высоты грани, при:

— для грани шириной «b», при а=2м, b=4мЭпюра Мх :

3. Определение наибольших напряжений и проверка прочности.

С целью проверки прочности резервуара вычислим главные напряжения и расчетное напряжение по IV теории прочности в двух наиболее напряженных точках:

1) в центре длинной грани, то есть в точке с координатами

2) в нижней точке среднего сечения грани «b», при

Наиболее опасной является точке №2. Сравнивая расчётное напряжение в ней с допускаемым напряжением [σ]=210 МПа, констатируем, что условие прочности не удовлетворяется, так как 212 МПа >[σ]=210 МПа, имеется незначительное перенапряжение на 0,95%.

4.Построение эпюры прогибов стенки резервуара и оценка жёсткости.

Вычислим прогибы верхней и средней точек среднего сечения широкой грани по формуле:

По этим результатам строим эпюру прогибов:

Наибольшим оказывается прогиб в центре длинной грани, при

Цилиндрическая жёсткость 

Допускаемая величина прогиба 

Сравнивая, отмечаем, что maxw=0,0129>[w]=0,01м на 29%. Следовательно, жёсткость стенок резервуара недостаточна. Для уменьшения величины прогиба можно либо увеличить толщину стенки h, либо усилить среднее сечение грани уголком, приваренным с внешней или внутренней стороны грани.