Расчет тонкостенного цилиндрического сосуда
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Расчет — тонкостенный сосуд
Расчет тонкостенных сосудов на действие гидростатического давления требует знания уравнения Лапласа, но в большинстве пособий для техникумов этого материала нет. [1]
Рассмотрим расчет тонкостенных сосудов двух форм — сферических и цилиндрических, имеющих наибольшее применение в технике. Будем их рассчитывать на действие равномерно распределенного внутреннего ( или внешнего) давления р, направленного во всех точках оболочки сосуда нормально к его поверхности. По такому закону действует давление сжатого газа или жидкости. [2]
При расчете тонкостенных сосудов допускают, что тонкие стенки не сопротивляются изгибу и в них возникают только напряжения растяжения или сжатия, распределяющиеся равномерно по толщине стенок. [3]
При расчете тонкостенных сосудов напряжением 03 пренебрегают. [5]
При расчете тонкостенных сосудов из хрупких материалов, например из серого чугуна, следует пользоваться теорией максимальных нормальных напряжений. [6]
Задача о расчете тонкостенных сосудов даже в пренебрежении изгибом очень сложна и до сих пор до конца не исследована. Поэтому мы рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда тонкостенный сосуд имеет форму поверхности вращения и нагружен внутренним давлением р, распределенным симметрично относительно оси вращения. Сечение такого сосуда плоскостью, совпадающей с осью вращения, называется меридиональным. [7]
Выше при расчете тонкостенных сосудов было сделано допущение о равномерности распределения напряжений по толщине стенок. В случае толстостенных сосудов это допущение неприемлемо, что видно из фиг. [8]
Почему при расчете тонкостенных сосудов не учитываются радиальные напряжения. [9]
Какое общее уравнение используется для расчета тонкостенных сосудов . [10]
Допущение, сделанное нами в расчете тонкостенных сосудов о равномерности распределения напряжений по толщине стенок, при расчете толстостенных сосудов становится неприемлемым. [11]
Простейший случай плоского напряженного состояния встречается при расчете тонкостенных сосудов . [12]
Хотя курс сопротивления материалов, изучаемый в техникумах, содержит только расчеты прямого бруса ( лишь в качестве дополнительного вопроса в некоторых техникумах рассматривают расчет тонкостенных сосудов ), но учащимся необходимо дать понятие не только о брусе, но и о пластинке, оболочке и массивном теле. Совершенно недостаточно характеризовать брус как тело, одно измерение которого ( длина) существенно больше двух других. [13]
Расчет пневмораскрепителя заключается в определении диаметра его цилиндра, обеспечивающего необходимое усилив на ключе при давлении сжатого воздуха 0 6 МПа. Толщина стенок цилиндра рассчитывается на максимально возможное давление воздуха в системе — 1МПЙ по формуле расчета тонкостенных сосудов на внутреннее давление. [14]
Источник
Расчет тонкостенных цилиндрических сосудов, подверженных внутреннему давлению
Тонкостенные цилиндрические сосуды, подверженные внутреннему давлению, имеют весьма широкое распространение в технике (трубопроводы, котлы и различного рода емкости, заполненные жидкостью или газом). Основной задачей при расчетах таких сосудов является определение необходимой толщины их стенок.
Пусть имеется горизонтальный трубопровод (рис. 17) внутренним диаметром
, заполненный жидкостью, находящейся под избыточным давлением(изменение давления по вертикали незначительно, поэтому им пренебрегаем). Под влиянием этого давления стенки трубопровода испытывают действие разрывающего усилия, стремящегося разорвать трубопровод по его образующей. Таким образом, стенки трубопровода будут работать на растяжение.
Рис. 17. К определению толщины стенок труб, воспринимающих внутреннее давление жидкости
Составим для участка трубопровода длиной
уравнение прочности
, (46)
— разрывающее усилие, Н;
— допустимое напряжение на растяжение, МПа;
— площадь сечения стенок трубы, по которой возможен разрыв,
.
Так как поперечное сечение трубы симметрично относительно ее оси, достаточно рассмотреть разрывающее усилие в какой-нибудь одной плоскости. Разрывающее усилие, очевидно, представит собой силу давления на полуцилиндрическую поверхность и будет равно давлению на проекцию этой поверхности на плоскость, нормальную к направлению разрывающего усилия, т.е.
.
Так как разрыв стенок трубы возможен одновременно по двум сечениям 1 – 1 и 2 – 2, площадь сечения, по которому возможен разрыв
,
где
— искомая толщина стенки трубы (сосуда).
Подставляя полученные значения в исходное расчетное уравнение, получим
,
. (47)
Для вертикального цилиндрического сосуда (резервуара) диаметром
, высотой, заполненного до краев жидкостью (рис. 18), разрывающее усилие определяется как горизонтальная составляющая полного давления на полуцилиндрическую поверхность (равная давлению на проекцию это поверхности на вертикальную плоскость).
При этом изменением давления по высоте пренебрегают и ведут расчет по наибольшему давлению
у основания сосуда. Если же сосуд состоит из ряда отдельных поясов, за расчетное давление для каждого пояса принимают давление у нижней его кромки.
Таким образом, получаем
.
Рис. 18. Вертикальный цилиндрический сосуд
Для определения толщины стенок имеем условие
,
. (48)
Определим толщину стенок сосуда из условия сопротивления разрывающему усилию, направленному вдоль оси сосуда (рис. 19). Разрывающее усилие в этом случае определяется произведением гидростатического давления в в сосуде у его крышки или днища на проекцию поверхности этой крышки на плоскость, нормальную к оси сосуда,
.
Рис. 19. Сосуд воспринимающий разрывающее
усилие вдоль оси.
Сечение же, по которому возможен отрыв крышки от цилиндрической части сосуда, определяется выражением
.
и толщина стенок
. (49)
т.е. получается в два раза меньше, чем в первом случае.
Таким образом, наиболее опасным с точки зрения прочности является разрыв сосуда в продольном направлении, и поэтому толщину стенок следует определять по формуле (47); выражение же (49) применяется при расчетах поперечных швов.
Необходимо иметь в виду, что полученные здесь зависимости применимы без поправок лишь к расчетам цельнотянутых или сварных сосудов. В случае клепанных сосудов необходимо учитывать неизбежное ослабление материала склепываемых листов заклепочным швом введением в расчетные формулы коэффициента прочности заклепочного шва
. Значение этого коэффициента устанавливается в зависимости от типа заклепочного шва и представляет собой отвлеченное число, всегда меньшее единицы (). Кроме того, принимая во внимание неизбежность коррозии и требования технологии процесса клепки, получаемую расчетом толщину стенок еще несколько увеличивают на так называемый производственный припуск.
С учетом припуска формулы (47) и (49) принимают вид
.
Для определения результирующей силы
, действующей в колене трубы рассмотрим рис. 20.
, (50)
Так как силы направлены под углом α, то сила
. (51)
Влиянием веса труб в расчетах пренебрегаем.
Рис. 20. К определению силы в колене трубы.
Источник
Источник
Если толщина стенок цилиндра мала по сравнению с радиусами и , то известное выражение для тангенцальных напряжений приобретает вид
т. е. величину, определенную нами раньше (§ 34).
Для тонкостенных резервуаров, имеющих форму поверхностей вращения и находящихся под внутренним давлением р, распределенным симметрично относительно оси вращения, можно вывести общую формулу для вычисления напряжений.
Выделим (Рис.1) из рассматриваемого резервуара элемент двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану.
Рис.1. Фрагмент тонкостенного резервуара и его напряженное состояние.
Размеры элемента по меридиану и по перпендикулярному к нему направлению обозначим соответственно и , радиусы кривизны меридиана и перпендикулярного к нему сечения обозначим и , толщину стенки назовем t.
По симметрии по граням выделенного элемента будут действовать только нормальные напряжения в меридиальном направления и в направлении, перпендикулярном к меридиану. Соответствующие усилия, приложенные к граням элемента, будут и . Так как тонкая оболочка сопротивляется только растяжению, подобно гибкой нити, то эти усилия будут направлены по касательной к меридиану и к сечению, нормальному к меридиану.
Усилия (Рис.2) дадут в нормальном к поверхности элемента направлении равнодействующую ab, равную
Рис.2. Равновесие элемента тонкостенного резервуара
Подобным же образом усилия дадут в том же направлении равнодействующую Сумма этих усилий уравновешивает нормальное давление, приложенное к элементу
Отсюда
Это основное уравнение, связывающее напряжения и для тонкостенных сосудов вращения, дано Лапласом.
Так как мы задались распределением (равномерным) напряжений по толщине стенки, то задача статически определима; второе уравнение равновесия получится, если мы рассмотрим равновесие нижней, отрезанной каким-либо параллельным кругом, части резервуара.
Рассмотрим случай гидростатической нагрузки (рис.3). Меридиональную кривую отнесем к осям х и у с началом координат в вершине кривой. Сечение проведем на уровне у от точки О. Радиус соответствующего параллельного круга будет х.
Рис.3. Равновесие нижнего фрагмента тонкостенного резервуара.
Каждая пара усилий , действующих на диаметрально противоположные элементы проведенного сечения, дает вертикальную равнодействующую bс, равную
сумма этих усилий, действующих по всей окружности проведенного сечения, будет равна ; она будет уравновешивать давление жидкости на этом уровне плюс вес жидкости в отрезанной части сосуда .
Отсюда
Зная уравнение меридиональной кривой, можно найти , х и для каждого значения у, и стало быть, найти , а из уравнения Лапласа и
Например, для конического резервуара с углом при вершине , наполненного жидкостью с объемным весом у на высоту h, будем иметь:
тогда
Для сферического сосуда радиусом , находящегося под внутренним давлением , по симметрии ; тогда из уравнения (Лапласа), так как
и
Если меридиональная кривая будет иметь переломы с разрывом непрерывности угла , то равновесие тонкой оболочки у места перелома может быть обеспечено лишь наличием реакций, приложенных к оболочке по окружности в этом месте. Появление таких реакций обеспечивается устройством специальных колец, способных брать на себя усилия, возникающие в них в связи с неуравновешенностью напряжений по обе стороны точки перелома.
Дальше…
Источник
Расчет тонкостенных оболочек
Напряжения и перемещения в тонкостенных оболочках
Расчет тонкостенных оболочек основан на следующих допущениях:
а) нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими компонентами напряжений;
б) совокупность точек, находящихся на нормали, проведенной к срединной поверхности до деформации, образует после деформации прямую, нормальную к деформированной срединной поверхности
Во многих случаях можно допустить, что нормальные напряжения в нормальных сечениях оболочки распределяются равномерно по ее толщине, т. е. пренебречь изгибающими моментами, действующими в сечениях оболочки (безмоментная теория). Так, например, в зонах оболочки, достаточно удаленных от точек приложения сосредоточенных сил и моментов, от мест жесткого закрепления оболочки, от ребер усиления и вообще от мест приложения упругих и жестких связей, напряжения могут быть в обычных случаях с большой точностью определены по безмоментной теории
Изгибные напряжения носят обычно характер местного возмущения напряженного состояния и имеют существенно заметную величину лишь около мест закрепления и нагрузки.
Вследствие локальности этих напряжений их во многих случаях можно в расчет и не принимать, несмотря на то, что они достигают иногда значительных величин; их можно, например, не учитывать, если появление пластических деформаций и местное изменение формы оболочки не снижают ее несущей способности; их следует учитывать, если материал оболочки хрупкий, или если нагрузка циклическая, или такая, что снижает несущую способность оболочки
Так в цилиндрической оболочке (табл., п. 10) появление пластических деформаций в зоне жесткого кольца не снижает несущей способности оболочки, и здесь, если материал способен пластически деформироваться, местные изгибные напряжения могут в расчет не приниматься. В этом случае достаточно ограничиться только определением общих напряжений по безмоментной теории и установить по ним условие прочности
То же самое можно сказать и о температурных напряжениях. Эти напряжения следует учитывать в случае, когда материал оболочки хрупкий; если же материал обладает пластическими свойствами, учет влияния температуры производится только путем соответствующего снижения механических характеристик материала (предел текучести и прочности) без учета температурных напряжений
Для оболочки, имеющей форму тела вращения, при симметричном нагружении меридиональное напряжение σх может быть найдено из условия равновесия части оболочки, отсеченной нормальным круговым сечением, а окружное напряжение σу — из уравнения Лапласа
где p — внутреннее избыточное давление; h — толщина оболочки; R1 и R2 — главные радиусы кривизны
Источник: Справочник машиностроителя под редакцией С.В. Серенсена; т.3, 1963
Источник
РАСЧЕТ ЦИЛИНДРОВ,РАБОТАЮЩИХ ПОД ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ.
4.5.2.1.Общие положения, понятие критического давления и метод его определения.
При работе цилиндрических тонкостенных обечаек под внутренним давлением в стенках аппарата возникают растягающие напряжения, а при работе под давлением наружным (или вакуумом) – сжимающие напряжения.
Из теории расчета на устойчивость упругих стержней следует, что стержень легко выдерживает растягивающие нагрузки и не выдерживает определенной (критической) нагрузки при сжатии.
Нарушение геометрической формы тонкостенных цилиндрических аппаратов под действием сжимающих нагрузок и называется потерей устойчивости.
Давление, при котором тонкостенный элемент теряет устойчивость, называется критическим. Под действием такого давления поперечное сечение первоначально круглой оболочки приобретает эллипсоидную или волнообразную форму, а при снятии критического давления продеформированная оболочка не принимает первоначальной формы.
Потеря устойчивой формы может произойти при напряжении сжатия в стенках оболочки гораздо ниже разрушающих, если тонкостенная оболочка имеет овальность поперечного сечения. Поэтому согласно техническим требованиям для стальных сварных сосудов и аппаратов при нагружении их наружным давлением допускается овальность
имеем:
,
где Е – модуль упругости материала цилиндра;
– коэффициент Пуассона.
Имея значение
для цилиндрических оболочек можем определить величину допускаемого рабочего давления, выбрав коэффициент запаса устойчивости пу:
Подставим в формулу по определению ркр рабочее р ( т.е. [р] = р ) и определим толщину стенки длинных оболочек:
Условие прочности и справедливость выше приведенных уравнений определяются следущим уравнением:
РАСЧЕТ ОБЕЧАЙКИ ПО ГОСТ 14249 – 89. НАРУЖНОЕ ДАВЛЕНИЕ.
В соответствии с ГОСТ 14249 – 89 расчетная и исполнительная толщина стенки приблеженно определяется:
где К2 – коэффициент, определяемый по номограмме (см.ГОСТ 14249 – 89 черт.5; 6).
Допускаемое наружное давление для гладких обечаек из условиия прочности в пределах упругости определяется по следущей формуле:
; где — из условиия прочности , а из условиия упругости [РН]Е — по формуле см. ГОСТ 14249-89.
Производить расчет на прочность для условий испытаний не требуется, если расчетное давление в условиях испытания будет меньше, чем расчетное давление в рабочих условиях, умноженное на 1,35
.
При совместном действии на оболочку наружного давления, осево сжимающей силы, поперечной силы и избыточного момента необходима проверить на условие устойчивости:
где РРН , [РН] — соответственно расчетное и допускаемое наружное давление;
[F] — допускаемое значение осевой сжимающей силы.
[Q] — допускаемое поперечное усилие;
[M] — — допускаемое значение изгибающего момента.
, ,
, ,
где [РН]σ , [Р]Е — допускаемое наружное давление соответственно, но из условий прочности и устойчивости в пределах упругости.
[F]σ , [F]E— допускаемая осевая сжимающая сила соответственно из условий прочности и устойчивости в пределах упругости.
[M]σ ,[M]Е — допускаемый изгибающий момент соответственно из условий прочности и устойчивости в пределах упругости.
[Q]σ , [Q]E – допускаемая поперечная сила соответственно из условий прочности и устойчивости в пределах упругости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ ДЛИНЫ ОБЕЧАЙКИ.
Длина, разделяющая цилиндрические оболочки на длинные и короткие, определяется по формуле:
Если расчетная длина гладкой (неподкрепленной кольцами ) обечайки
lР > l , то оболочка является длинной, а при lР
Кольцо жосткости Кольцо жосткости Кольцо жосткости
прямоугольного се- из углового сорто- фасонного сортового
чения для любых вого проката при проката при
материалов D ≥ 1000мм D ≥ 2000 мм
Приваривают кольца жосткости сварочным швом с каждой строны кольца так, чтобы общая длина каждого шва составляла не менее половины длины наружной окружности кольца жосткости в месте его соединения.
Кольцо жосткости целесообразно распологать с той стороны подкрепляемой оболочки, которая подвергается меньшему коррозионному износу. Чем меньше длина обечайки между кольцами жесткостями, тем меньше будет толщина стенки,рассчитанная от действия наружного давления.Поэтому во многих случаях для сохранения устойчивой формы аппарата целесообразно не увеличивать толщину стенки его, а устанавливать кольца жосткости и уменьшать расстояние между ними.
При осевом сжатии и изгибе кольца жесткости не оказывают существенного влияния на устойчивость обечаек, а поэтому в расчёте не учитывается и могут устанавливаться, исходя из особености конструкции, технологии изготовления и монтажа.
Расчёт кольца жесткости на устойчивость
При достижении наружным давлением определённого критического значения первоначально круглое кольцо жесткости теряет устойчивость и сплющивается (число волн для длинных обечаек равно двум).
При расстоянии между кольцами L>3,1
линейная сжимающая сила на единицу длинны кольца жесткости может быть определена
,
где R – внутренний радиус обечайки;
РН.Р. – наружное расчётное давление;
S –полная толщина стенки.
Критическую нагрузку, при которй сжатое кольцо теряет устойчивость, определяют по формуле:
РКР = qКР =
,
где I — момент инерции поперечного сечения кольца ( без учёта примыкающей стенки корпуса) относительно оси У – У , проходящей через центр тяжести кольца параллельно образующей цилиндра;
R1 – расстояние от оси цилиндра до оси У – У ;
Е – модуль продольной упругости при рабочей температуре.
Для обеспечения устойчивости кольца коэффициент запаса устойчивости рекомендуется принимать nКУ = 5 , если кольцо является податливым элементом и воспринимает лишь часть нагрузки сжимающей оболочки.
Минимальный момент инерции сечения кольца:
r wsp:rsidR=»00000000″> «>
где ЕК— модуль упругости материала кольца;
nКУ— коэффициент запаса устойчивости, который рекомендуют принимать nКУ = 3, для абсолютно жестких колец, подкрепляющих цилиндрическую обечайку;
q – величина линейной (окружной) рабочей нагрузки
q = РН.Р.Минимальная площадь сечения кольца из условия прочности на сжатие
.
Кроме проверки на устойчивость, кольцо жесткости необходимо рассчитать на прочность. Напряжение сжатие, возникающее в сечении кольца:
где А – площадь поперечного сечения кольца.
Источник
МОДУЛЬ 13. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК
Понятие о моментной и безмоментной теории расчета сосудов
Железнодорожные цистерны, резервуары для хранения жидкостей, купола зданий, баки водонапорных башен относятся к элементам строительных конструкций, объединенных понятием – тонкостенные оболочки. Такие конструкции испытывают внутренне давление жидкости, пара или газа. При этом материал конструкций находится в состоянии двухосного растяжения или сжатия. Отличительной особенностью таких конструкций является малая толщина оболочки по сравнению с другими ее размерами — высотой и шириной. Тонкостенные оболочки, как правило, представляют собой тела вращения.
Поверхность оболочек образована вращением некоторой кривой вокруг оси оо (рис. 13.1а). Сечение оболочки плоскостью, проходящей через ось оо, называется меридиональным. Сечение оболочки плоскостью, перпендикулярной оси оо, называется окружным — проекция представляет собой окружность. Поверхность, которая делит толщину стенки оболочки пополам, называется срединной поверхностью.
Осесимметричная нагрузка изменяется только вдоль меридиана и остается постоянной в окружном направлении (рис. 13.1б). В результате действия такой нагрузки элемент срединной поверхности, выделенный двумя окружными и двумя меридиональными сечениями, растягивается в двух взаимно перпендикулярных направлениях и искривляется.
Двухстороннее растяжение элемента приводит к равномерному распределению нормальных напряжений по площади поперечного сечения стенки сосуда. Изменение кривизны бесконечно малого элемента в меридиональном и окружном направлении, приводит к появлению нормальных напряжений, вызванных изгибом, и распределенных по треугольнику (рис. 13.2).
Следовательно, по граням бесконечно малого элемента действую изгибающие моменты и продольные силы.
В том случае, когда стенки оболочки тонкие, они работают только на растяжение. Изгибающие моменты равны нулю или совсем отсутствуют. Здесь можно провести аналогию с гибкой тонкой нитью, которая может воспринимать только растягивающие усилия, но не изгибные моменты. Такое напряженное состояние стенок сосуда называют безмоментным, а расчет ведется по безмоментной теории.
Расчет тонкостенных оболочек по безмоментной теории
Рассмотрим тонкостенную осесимметричную оболочку, испытывающую действие внутреннего давления жидкости или газа (рис. 13.1) Выделим из этой оболочки двумя кольцевыми и двумя меридиональными сечениями бесконечно малый элемент, и рассмотрим его в равновесии (рис.13.3).
Принимая во внимание осевую симметрию оболочки и полярно симметричную нагрузку в меридиональном и кольцевом направлении, можно полагать, что по сечениям отсутствуют деформации сдвига. Следовательно, касательные напряжения по таким сечениям будут равны нулю. По граням рассматриваемого элемента действуют только нормальные напряжения, вызванные двумя растягивающими продольными усилиями в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
На площадках окружных сечений действуют меридиональные напряжения σm, а на меридиональных площадках — окружные напряжения σt.
Меридиональным σm называется такое нормальное напряжение, которое действует в оболочке в меридиональном направлении.
Кольцевым σt называется такое нормальное напряжение, которое действует в оболочке в кольцевом направлении.
Напряжения σm и σt, как сказано выше, распределены по площади сечений равномерно.
Срединная поверхность оболочки является поверхностью двоякой кривизны. Радиус кривизны в меридиональном направлении обозначим через ρm,, а в окружном – ρt. (рис. 13.3). На внутреннюю поверхность оболочки действует распределенная нагрузка, равнодействующая которой равна
Равнодействующая нормальных напряжений по меридиональным сечениям
Аналогично по кольцевым сечениям
Запишем условие равновесия элемента, спроектировав все силы на ось nn .
Ввиду малости углов и можно записать
После преобразований получим
13.2
Это уравнение получено французским астроном и физиком Лапласом в начале XIX века, который решал задачу, связанную с поверхностным натяжением в жидкостях. Аналогичность этих явлений состоит в том, что пленка в капле жидкости, как и стенке оболочки, испытывают растяжение, удерживая в равновесии некоторый объем жидкости. Этим можно объяснить применение в практике строительства каплевидных резервуаров, обладающих рядом преимуществ по сравнению с другими формами оболочек. Однако изготовление каплевидных резервуаров представляет определенные трудности.
Формула (13.2) содержит два неизвестных σm и σt.
Для определения меридионального напряжения σm рассмотрим (рис. 13.1б). Нижняя часть отсеченной оболочки находится в равновесии. Следовательно,
13.4
Q – вес части сосуда и жидкости, расположенных ниже рассматриваемого сечения,
P — давление в жидкости, определяемое по закону Паскаля с учетом избыточного давления по сравнению с атмосферным – q ,
γ – плотность жидкости.
Используя формулы (13.2) и (13.4) можно найти меридиональные и окружные напряжения в оболочке.
Нормальные напряжения σm и σt, действующие по площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения, являются главными. Третье главное напряжения изменяется в пределах: ноль на наружной поверхности оболочки до значения р на внутренней поверхности. В тонкостенных оболочках σm и σt значительно больше р, поэтому значением главного напряжения σ3 пренебрегаем. Следовательно, материал тонкостенной оболочки находится в плоском напряженном состоянии. Давая оценку прочности оболочки, будем пользоваться четвертой теорией прочности
13.5
Дата добавления: 2018-11-24 ; просмотров: 332 ;
Источник
Источник