Расчет тонкостенного сосуда пример

13.1. Понятие о безмоментной теории расчета тонкостенных сосудов

В инженерной практике
широкое применение находят такие
конструкции, как цистерны, водонапорные
резервуары, газгольдеры, воздушные и
газовые баллоны, купола зданий, аппараты
химического машиностроения, части
корпусов турбин и реактивных двигателей
и т.д. Все эти конструкции с точки зрения
их расчета на прочность и жесткость
могут быть отнесены к тонкостенным
сосудам (оболочкам) (Рис.13.1,а).

Рис.13.1

Характерной
особенностью большинства тонкостенных
сосудов является то, что по форме они
представляют тела вращения, т.е. их
поверхность может быть образована
вращением некоторой кривой
вокруг осиО–О.
Сечение сосуда плоскостью, содержащей
ось О–О,
называется меридиональным
сечением, а
сечения, перпендикулярные к меридиональным
сечениям, называются окружными.
Окружные сечения, как правило, имеют
вид конуса. Показанная на рис 13.1б нижняя
часть сосуда отделена от верхней окружным
сечением. Поверхность, делящая толщину
стенок сосуда пополам, называется
срединной
поверхностью.
Считается, что оболочка является
тонкостенной, если отношение наименьшего
главного радиуса кривизны в данной
точке поверхности к толщине стенки
оболочки превышает число 10
.

Рассмотрим
общий случай действия на оболочку
какой-либо осесимметричной нагрузки,
т.е. такой нагрузки, которая не меняется
в окружном направлении и
может
меняться лишь вдоль меридиана. Выделим
из тела оболочки двумя окружными и двумя
меридиональными сечениями элемент
(Рис.13.1,а).
Элемент
испытывает растяжение во взаимно
перпендикулярных направлениях и
искривляется. Двустороннему растяжению
элемента соответствует равномерное
распределение нормальных напряжений
по толщине стенки
и возникновение в стенке оболочки
нормальных усилий. Изменение кривизны
элемента предполагает наличие в стенке
оболочки изгибающих моментов. При изгибе
в стенке балки возникают нормальные
напряжения, меняющиеся по толщине
стенки.

При
действии осесимметричной нагрузки
влиянием изгибающих моментов можно
пренебречь, так как преобладающее
значение имеют нормальные силы. Это
имеет место тогда, когда форма стенок
оболочки и нагрузка на нее таковы, что
возможно равновесие между внешними и
внутренними усилиями без появления
изгибающих моментов. Теория расчета
оболочек, построенная на предположении,
что нормальные напряжения, возникающие
в оболочке, постоянны по толщине и,
следовательно, изгиб оболочки отсутствует,
называется безмоментной
теорией оболочек.
Безмоментная теория хорошо работает,
если оболочка не имеет резких переходов
и жестких защемлений и, кроме того, не
нагружена сосредоточенными силами и
моментами. Кроме того, эта теория дает
более точные результаты, чем меньше
толщина стенки оболочки, т.е. чем ближе
к истине предположение о равномерном
распределении напряжений по толщине
стенки.

При
наличии сосредоточенных сил и моментов,
резких переходов и защемлений сильно
усложняется решение задачи. В местах
крепления оболочки и в местах резких
изменений формы возникают повышенные
напряжения, обусловленные влиянием
изгибающих моментов. В этом случае
применяется так называемая моментная
теория расчета оболочек.
Следует отметить, что вопросы общей
теории оболочек выходят далеко за рамки
сопротивления материалов и изучается
в специальных разделах строительной
механики. В настоящем пособии при расчете
тонкостенных сосудов рассматривается
безмоментная теория для случаев, когда
задача определения напряжений, действующих
в меридиональном и окружном сечениях,
оказывается статически определимой.

13.2. Определение
напряжений в симметричных оболочках
по безмоментной теории. Вывод уравнения
Лапласа

Рассмотрим осесимметричную тонкостенную
оболочку, испытывающую внутреннее
давление от веса жидкости (Рис.13.1,а).
Двумя меридиональными и двумя окружными
сечениями выделим из стенки оболочки
бесконечно малый элемент и рассмотрим
его равновесие (Рис.13.2).

Рис.13.2

В
меридиональных и окружных сечениях
касательные напряжения отсутствуют
ввиду симметрии нагрузки и осутствия
взаимных сдвигов сечений. Следовательно,
на выделенный элемент будут действовать
только главные нормальные напряжения:
меридиональное напряжение
иокружное
напряжение
.
На основании безмоментной теории будем
считать, что по толщине стенки напряженияираспределены равномерно. Кроме того,
все размеры оболочки будем относить к
срединной поверхности ее стенок.

Срединная
поверхность оболочки представляет
собой поверхность двоякой кривизны.
Радиус кривизны меридиана в рассматриваемой
точки обозначим
,
радиус кривизны срединной поверхности
в окружном направлении обозначим.
По граням элемента действуют силыи.
На внутреннюю поверхность выделенного
элемента действует давление жидкости,
равнодействующая которого равна.
Спроектируем приведенные выше силы на
нормальк поверхности:

.
(а)

Изобразим проекцию элемента на
меридиональную плоскость (Рис.13.3) и на
основании этого рисунка запишем в
выражении (а) первое слагаемое. Второе
слагаемое записывается по аналогии.

Заменяя в (а) синус его аргументом ввиду
малости угла и разделив все члены
уравнения (а) на
,
получим:

(б).

Учитывая, что кривизны меридионального
и окружного сечений элемента равны
соответственно
и,
и подставляя эти выражения в (б) находим:

.
(13.1)

Выражение (13.1) представляет собой
уравнения Лапласа, названного так в
честь французского ученого, который
получил его в начале XIXвека при изучении
поверхностного натяжения в жидкостях.

Рис.13.3

В уравнение (13.1) входят два неизвестных
напряжения
и.
Меридиональное напряжениенайдем, составив уравнение равновесия
на осьсил, действующих на отсеченную часть
оболочки (Рис.12.1,б). Площадь окружного
сечения стенок оболочки посчитаем по
формуле.
Напряженияввиду симметрии самой оболочки и нагрузки
относительнго осираспределены по площади равномерно.
Следовательно,

,

откуда

,
(13.2)

где
вес части сосуда
и жидкости, лежащих ниже рассматриваемого
сечения;давление жидкости, по закону Паскаля
одинаковое во всех направлениях и равное,
гдеглубина рассматриваемого сечения, авес единицы объема
жидкости. Если жидкость хранится в
сосуде под некоторым избыточным в
сравнении с атмосферным давлением,
то в этом случае.

Теперь, зная напряжение
из уравнения Лапласа (13.1) можно найти
напряжение.

При решении практических задач ввиду
того, что оболочка тонкая, можно вместо
радиусов срединной поверхности
иподставлять радиусы наружной и внутренней
поверхностей.

Как уже отмечалось окружные и меридиональные
напряжения
иявляются главными напряжениями. Что
касается третьего главного напряжения,
направление которого нормально к
поверхности сосуда, то на одной из
поверхностей оболочки (наружной или
внутреннейв
зависимости от того, с какой стороны
действует давление на оболочку) оно
равно,
а на противоположной – нулю. В тонкостенных
оболочках напряженияивсегда значительно больше.
Это означает, что величиной третьего
главного напряжения можно пренебречь
по сравнению си,
т.е. считать его равным нулю.

Таким образом, будем считать, что материал
оболочки находится в плоском напряженном
состоянии. В этом случае для оценки
прочности в зависимости от состояния
материала следует пользоваться
соответствующей теорией прочности.
Например, применив четвертую
(энергетическую) теорию, условие прочности
запишем в виде:

.
(13.3)

Рассмотрим несколько примеров расчета
безмоментнтых оболочек.

Пример 13.1.Сферический сосуд находится
под действием равномерного внутреннего
давления газа(Рис.13.4).
Определить напряжения действущие в
стенке сосуда и оценить прочность сосуда
с использованием третьей теории
прочности. Собственным весом стенок
сосуда и весом газа пренебрегаем.

Рис.13.4

Решение:

1. Ввиду круговой симметрии оболочки и
осесимметричности нагрузки напряжения
иодинаковы во всех точках оболочки.
Полагая в (13.1),,
а,
получаем:

.
(13.4)

2. Выполняем проверку по третьей теории
прочности:

.

Учитывая, что
,,,
условие прочности принимае вид:

.
(13.5)

Пример 13.2.Цилиндрическая оболочка
находится под действием равномерного
внутреннего давления газа(Рис.13.5). Определить окружные и
меридиональные напряжения, действующие
в стенке сосуда, и оценить его прочность
с использованием четвертой теории
прочности. Собственным весом стенок
сосуда и весом газа пренебречь.

Рис.13.5

Решение:

1. Меридианами в цилиндрической части
оболочки являются образующие, для
которых
.
Из уравнения Лапласа (13.1) находим окружное
напряжение:

.
(13.6)

2. По формуле (13.2) находим меридиональное
напряжение, полагая
и:

.
(13.7)

3. Для оценки прочности принимаем:
;;.
Условие прочности по четвертой теории
имеет вид (13.3). Подставляя в это условие
выражения для окружных и меридиональных
напряжений (а) и (б), получаем

.
(13.8)

Пример 12.3.Цилиндрический резервуар
с коническим днищем находится под
действием веса жидкости (Рис.13.6,б).
Установить законы изменения окружных
и меридиональных напряжений в пределах
конической и цилиндрической части
резервуара, найти максимальные напряженияии построить эпюры распределения
напряжений по высоте резервуара. Весом
стенок резервуара пренебречь.

Рис.13.6

Решение:

1. Находим давление жидкости на глубине
:

.
(а)

2. Определяем окружные напряжения из
уравнения Лапласа, учитывая, что радиус
кривизны меридианов (образующих)
:

.
(б)

Для конической части оболочки

;.
(в)

Подставляя (в) в (б) получим закон изменения
окружных напряжений в пределах конической
части резервуара:

.
(13.9)

Для цилиндрической части, где
закон распределения окружных напряжений
имеет вид:

.
(13.10)

Эпюра
показана на рис.13.6,а. Для конической
части эта эпюра параболическая. Ее
математический максимум имеет место в
середине общей высоты при.
Прион имеет условное значение, примаксимум напряжений попадает в пределы
конической части и имеет реальное
значение:

.
(13.11)

3. Определяем меридиональные напряжения
.
Для конической части вес жидкости в
объме конуса высотойравен:

.
(г)

Подставляя (а), (в) и (г) в формулу для
меридиональных напряжений (13.2) , получим:

.
(13.12)

Эпюра
показана на рис.13.6,в. Максимум эпюры,
очерченной для конической части также
по параболе, имеет место при.
Реальное значение он имеет при,
когда попадает в пределы конической
части. Максимальные меридиональные
напряжения при этом равны:

.
(13.13)

В цилиндрической части напряжение
по высоте не меняется и равно напряжению
у верхней кромки в месте подвеса
резервуара:

.
(13.14)

В местах, где поверхность резервуара
имеет резкий излом, как, например, в
месте перехода от цилиндрической части
к конической (Рис.13.7) (Рис.13.5), радиальная
составляющая меридиональных напряжений
не уравновешена (Рис.13.7).

Рис.13.7

Эта составляющая по периметру кольца
создает радиальную распределенную
нагрузку интенсивностью
,
стремящуюся согнуть кромки цилиндрической
оболочки внутрь. Для устранения этого
изгиба ставится ребро жесткости
(распорное кольцо) в виде уголка или
швеллера, опоясывающего оболочку в
месте перелома. Это кольцо воспринимает
радиальную нагрузку(Рис.13.8,а).

Вырежем двумя бесконечно близко
расположенными радиальными сечениями
из распорного кольца его часть (Рис.13.8,б)
и определим внутренние усилия, которые
в нем возникают. В силу симметрии самого
распорного кольца и нагрузки, распределенной
по его контуру, поперечная сила и
изгибающий момент в кольце не возникают.
Остается только продольная сила
.
Найдем ее.

Рис.13.8

Составим сумму проекций всех сил,
действующих на вырезанный элемент
распорного кольца, на ось
:

.
(а)

Заменим синус угла
углом ввиду его малостии подставим в (а). Получим:

,

откуда

(13.15)

Таким образом, распорное кольцо работает
на сжатие. Условие прочности принимает
вид:

,
(13.16)

где
радиус срединной
линии кольца;площадь поперечного
сечения кольца.

Иногда вместо распорного кольца создают
местное утолщение оболочки, загибая
края днища резервуара внутрь обечайки.

Если оболочка испытывает внешнее
давление, то меридиональные напряжения
будут сжимающими и радиальное усилие
станет отрицательным, т.е. направленным
наружу. Тогда кольцо жесткости будет
работать не на сжатие, а на растяжение.
При этом условие прочности (13.16) останется
таким же.

Следует отметить, что постановка кольца
жесткости полностью не устраняет изгиба
стенок оболочки, так как кольцо жесткости
стесняет расширение колец оболочки,
примыкающих к ребру. В результате
образующие оболочки вблизи кольца
жесткости искривляются. Явление это
носит название краевого эффекта. Оно
может привести к значительному местному
возрастанию напряжений в стенке оболочки.
Общая теория учета краевого эффекта
рассматривается в специальных курсах
с помощью моментной теории расчета
оболочек.