Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд заполнен
2017-10-05 
Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделен поршнем, который может двигаться без трения. В равновесии поршень находится посредине цилиндра. При малых смещениях из положения равновесия поршень совершает колебания. Найти зависимость частоты этих колебаний от температуры, считая процесс изотермическим.
Решение:
В положении равновесия давление $p$ на поршень слева и справа одинаково. Поскольку объем газа слева и справа одинаков, а температура $T$ постоянна, из уравнения Менделеева — Клапейрона
$pV = nu RT$ (1)
следует, что количество газа $nu$ одинаково по обе стороны от поршня. Отметим, что химический состав газов может быть различным.
рис.1
Пусть поршень сместился из положения равновесия, например влево, на малую величину $x$, так что $Sx ll V$, где $S$ — площадь поршня (рис. 1). Поскольку температура по условию не меняется, то
$(p + Delta p_{1})(V – Sx) = (p – Delta p_{2}) (V + Sx)$.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
$( Delta p_{1} + Delta p_{2}) V – ( Delta p_{1} – Delta p_{2}) Sx = 2pSx$.
Второе слагаемое слева много меньше первого не только потому, что $Sx ll V$, но и вследствие того, что множителем при $V$ стоит сумма двух близких величин $Delta p_{1}$ и $Delta p_{2}$, а множителем при $Sx$ — их разность. Пренебрегая вторым слагаемым, получаем
$Delta p_{1} + Delta p_{2} = frac{2pS}{V} x$.
Результирующая сила, действующая на поршень, равна
$F = – frac{2pS^{2}}{V} x$.
Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению смещения поршня, т. е. к положению равновесия. Под действием силы, пропорциональной смещению, поршень массой $M$ будет совершать гармонические колебания с частотой $omega$, определяемой соотношением
$omega^{2} = 2pS^{2}/VM$. (2)
При решении задачи мы молчаливо предполагали, что масса газа много меньше массы поршня, так что кинетической энергией макроскопического движения газа при колебаниях поршня можно пренебречь но сравнению с кинетической энергией поршня. Подумайте, где использовано это условие.
Выразив $p$ из уравнения Менделеева — Клапейрона (1), получим
$omega^{2} = frac{2 nu RS^{2}}{MV^{2}} T$. (3)
Таким образом, частота колебаний поршня пропорциональна $sqrt{T}$, ибо коэффициент при $T$ в формуле (3) не зависит от температуры, если пренебречь тепловым расширением сосуда.
Подумайте теперь, какие условия должны выполняться, чтобы процесс действительно был изотермическим. Для того чтобы температура газа в процессе колебаний не изменялась, необходим хороший тепловой контакт с большим тепловым резервуаром — термостатом, имеющим постоянную температуру. Что значит хороший тепловой контакт? Это значит, что время установления термодинамического равновесия между газом в сосуде и термостатом должно быть много меньше периода колебаний поршня. Тогда можно считать, что газ в каждый момент имеет ту же температуру, что и термостат. Если, наоборот, период колебаний окажется много меньше времени установления термодинамического равновесия между газом и термостатом, то можно считать, что колебания поршня происходят практически без обмена теплотой с термостатом. В этом случае процесс можно считать адиабатическим, несмотря на отсутствие тепловой изоляции сосуда с поршнем. Оказывается, что зависимость частоты колебаний от температуры при этом будет такой же, как и в изотермическом случае, только коэффициент в формуле (3) умножится на число, большее единицы. Увеличение частоты колебаний при адиабатическом процессе можно объяснить, сравнивая $p-V$ – диаграммы изотермического и адиабатического процессов идеального газа.
Отметим, что приведенное решение в обоих случаях имеет смысл, только если время установления теплового равновесия в самом газе много меньше периода колебаний поршня, так как в противном случае вообще теряют смысл такие равновесные макроскопические характеристики газа, как давление и температура. Другими словами, по отношению к самому газу процесс должен быть квазистатическим.
Источник
Задача по физике – 4183
Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделен поршнем, который может двигаться без трения. В равновесии поршень находится посредине цилиндра. При малых смещениях из положения равновесия поршень совершает колебания. Найти зависимость частоты этих колебаний от температуры, считая процесс изотермическим.
Подробнее
Задача по физике – 4184
Оценить число молекул воздуха в земной атмосфере.
Подробнее
Задача по физике – 4185
Решая задачу об изменении параметров орбиты спутника при его торможении в верхних слоях атмосферы, мы не рассматривали самого механизма торможения, поскольку связанная с этим процессом потеря механической энергии была задана в условии задачи. В этом примере мы рассмотрим физическую причину торможения спутника и свяжем потери энергии с параметрами атмосферы. Будем для определенности считать, что спутник движется по круговой орбите на высоте $h = 200 км$, где плотность атмосферы $rho$ составляет примерно $3 cdot 10^{-9} кг/м^{3}$. Оценим силу трения, действующую на спутник, площадь поперечного сечения которого $S = l м^{2}$, а масса $M = 10^{3} кг$.
Подробнее
Задача по физике – 4186
Сосуд с разреженным газом разделен на две части тонкой перегородкой, в которой имеется отверстие, размер которого мал по сравнению со средней длиной свободного пробега (рис. 1). Найти отношение концентрации газа в разных частях сосуда, если в одной из них поддерживается температура $T_{1}$, в другой $T_{2}$.
Подробнее
Задача по физике – 4187
Прохождение газа через пористую перегородку при достаточно низком давлении, когда средний диаметр пор мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул, может быть использовано для разделения изотопов. Для этого газообразное химическое соединение элемента, содержащего естественную смесь изотопов (например, шестифтористый уран, содержащий молекулы $^{235}UF_{6}$ и $^{238}UF_{6}$), пропускается через ячейку, устройство которой показано на рис. В газе, прошедшем через пористую перегородку, увеличивается процентное содержание легкого изотопа. Прошедший газ непрерывно откачивается и подается в следующую ячейку. Этот процесс повторяется многократно. Сколько циклов необходимо провести, чтобы отношение концентраций легкого и тяжелого изотопов увеличить в 10 раз, если молярные массы соединений легкого и тяжелого изотопов равны соответственно $mu_{1}$ и $mu_{2}$?
Подробнее
Задача по физике – 4188
Сжиженные газы хранят в сосудах Дьюара, которые представляют собой стеклянные или металлические колбы с двойными стенками (рис. 1). Из пространства между стенками откачан воздух, что приводит к уменьшению их теплопроводности. Так как весь воздух выкачать невозможно, то оставшиеся молекулы будут переносить теплоту от окружающей среды к содержимому сосуда Дьюара. Эта остаточная теплопроводность стенок приводит к тому, что находящийся в сосуде сжиженный газ непрерывно испаряется. При заполнении сосуда Дьюара жидким азотом, температура кипения которого при нормальном атмосферном давлении равна 77,3 К, оказалось, что за единицу времени испарилась масса $M_{1}$ азота. Какая масса газа испарится из этого же сосуда за единицу времени, если его заполнить жидким водородом, температура кипения которого равна 20,4 К? Температура окружающей среды в обоих случаях равна 300 К.
Подробнее
Задача по физике – 4189
Один моль идеального газа нагревают при таких условиях, что давление газа пропорционально его объему:
$p = alpha V$,
где $alpha$ — постоянная. (Здесь молярный объем газа обозначен через $V$, а не $V_{ mu}$, чтобы не загромождать формулы.) Найдите теплоемкость газа в этом процессе. Попробуйте придумать устройство, в котором давление газа и занимаемый им объем были бы связаны таким соотношением.
Подробнее
Задача по физике – 4190
В расположенном горизонтально цилиндре (рис. 1) слева от закрепленного поршня находится идеальный газ, в правой части цилиндра — вакуум. Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды, а пружина, расположенная между поршнем и стенкой, находится первоначально в недеформированном состоянии. Поршень освобождают, и после установления равновесия объем, занимаемый газом, увеличивается вдвое. Как изменились при этом температура и давление газа? Теплоемкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь.
Подробнее
Задача по физике – 4191
Для экспериментального определения отношения теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме $gamma = C_{p} / C_{V}$ можно применить следующий метод. Некоторое количество газа $nu$, начальные объем и давление которого равны $V$ и $p$, нагревается дважды при помощи электрической спирали, через которую пропускают ток в течение одного и того же времени: скачала при постоянном объеме $V$, причем конечное давление равно $p_{1}$, затем при постоянном давлении $p$ из того же начального состояния, причем конечный объем оказывается равным $V_{2}$. Как по этим данным рассчитать отношение $gamma$?
Подробнее
Задача по физике – 4192
Какую скорость имеет струя газа, вырывающегося из небольшого отверстия в стенке баллона со сжатым газом (рис. 1)? Температура и давление газа в баллоне имеют значения $T$ и $p$.
Подробнее
Задача по физике – 4193
Теплоизолированный сосуд с внутренним объемом $V$ откачан до глубокого вакуума. Окружающий воздух имеет температуру $Т_{0}$ и давление $p_{0}$. В некоторый момент открывается кран и происходит быстрое заполнение сосуда атмосферным воздухом. Какую температуру $T$ будет иметь воздух в сосуде после его заполнения?
Подробнее
Задача по физике – 4194
Положительную или отрицательную работу совершает идеальный газ при круговом процессе, показанном на рис.?
Подробнее
Задача по физике – 4195
Сколько энергии нужно затратить, чтобы 1 кг воды, взятой при $0^{ circ} С$, превратить в лед? Температура окружающей среды равна $20^{ circ} С$.
Подробнее
Задача по физике – 4196
Может ли существовать такое вещество, которое можно перевести из некоторого начального состояния в одно и тоже конечное состояние и адиабатически, и изотермически?
Подробнее
Задача по физике – 4197
Два сосуда объемом $V = 10 л$ каждый наполнены сухим воздухом при давлении $V = 1 атм$ и температуре $t_{0} = 0^{ circ} С$. В первый вводят $m_{1} = 3 г$ воды, во второй $m_{2} = 15 г$ и нагревают сосуды до температуры $t = 100^{ circ} С$. Определить давление влажного воздуха при этой температуре в каждом сосуде.
Подробнее
Источник
(6)
после столкновения скорость слипшихся кубиков будет равна V0 и направлена к ближнему концу доски, отстоящему на L/6 от места столкновения. После столкновения слипшиеся кубики будут замедляться с тем же ускорением, что и до удара, а доска будет разгоняться с таким же ускорением (ее масса равна массе слипшихся кубиков). Скольжение кубиков прекратится, когда выровняются скорости доски и кубиков относительно земли. В силу одинаковости ускорений конечная скорость доски с кубиками будет равна V0/2. Доска, двигаясь с тем же ускорением, что и кубики до соударения, пройдет путь, который можно вычислить по формуле V02/(4·2a), что в 4 раза меньше пути V02/(2a)=L/6, пройденного более медленным кубиком от момента начала движения до соударения. Таким образом, скольжение кубиков по доске прекращается, когда доска пройдет расстояние L/24. Слипшиеся кубики пройдут в том же направлении относительно земли путь
Следовательно, кубики остановятся на расстоянии
от левого (на рис. 12) края доски.
Примечание: Расстояние d от края доски, на котором остановятся слипшиеся кубики, можно также найти из формулы
где aотн – ускорение слипшихся кубиков относительно доски. В приведенной формуле учтено, что начальная скорость слипшихся кубиков относительно доски равна V0, а конечная (скольжение прекращается) равна нулю. Поскольку ускорения доски и кубиков относительно земли одинаковы и противоположны, то aотн в 2 раза больше ускорения доски (и слипшихся кубиков) относительно земли. В результате получаем
Ответ: Скольжение кубиков по доске прекратится на расстоянии L/12 от ее левого (на рис. 12) конца.
Критерии оценивания: | |
Шаги выполнения задания | Число баллов |
Анализ условия задачи и определение скорости второго кубика в момент столкновения | 2 |
Запись уравнения и определения расстояний, пройденных кубиками до столкновения | 2 |
Запись закона сохранения импульса для системы состоящей из двух тел и вычисление скорости движения кубиков после столкновения | 2 |
Определение пути пройденного доской | 2 |
Определение пути пройденного кубиками после столкновения и нахождение правильного ответа | 2 |
Сумма баллов: | 10 |
Задача 5. Шар на нитке
Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд с теплопроводящими стенками, заполненный аргоном плотностью ???? = 1,7 кг/м3, закрыт подвижным поршнем и находится в комнате. Площадь поршня равна ???? = 400 см2, расстояние от левого края цилиндра до поршня равно h = 50 см (см. риc. 13). В сосуде ко дну на нити прикреплён шар объёмом ????ш = 1000 см3, сделанный из тонкого нерастяжимого и теплопроводящего материала и заполненный гелием; масса шара с гелием равна ???? = 1,2 г.
После того, как протопили печь, и воздух в комнате прогрелся, поршень переместился вправо на расстояние h = 3 см. Найдите изменение ???? силы натяжения нити, удерживающей шар. Ускорение свободного падения g = 10 м/c2.
Решение: При передвижении поршня объём аргона изменился со значения ???? = ????h − ????ш до значения ???? + ????h, увеличившись в
раз (1).
В такое же количество раз уменьшилась плотность аргона – в конце процесса она равна
(2)
Следовательно, выталкивающая сила, действующая на шар, уменьшилась на величину
(3)
На такую же величину уменьшилась и сила натяжения нити, удерживающей шар. Поэтому изменение этой силы равно
(4)
если только оно не превышает по величине начальной силы натяжения нити, то есть если шар в конце нагревания не ляжет на дно цилиндра. Проверим это: вначале сила натяжения нити N была равна разности силы Архимеда и веса шара с гелием:
(5)
Значит, нить в конце останется натянутой, и наш ответ справедлив.
Ответ: изменение силы в натяжения нити
Критерии оценивания: | |
Шаги выполнения задания | Число баллов |
Анализ условия задачи и определение во сколько раз изменился объем газа в поршне | 2 |
Определение величины изменения плотности аргона в поршне | 2 |
Определение величины изменения выталкивающей силы действующей на шар | 2 |
Определение величины изменения силы натяжения нити, удерживающей шар | 2 |
Проверка того продолжает ли нить быть натянутой (насколько велики изменения выталкивающей силы) | 2 |
Сумма баллов: | 10 |
Задача 1. Нить и пружина
Груз массы m, подвешенный к потолку с помощью нити и пружины жесткости k (см. рис. 14), смещают вниз от положения равновесия на х0=2mg/k и освобождают (g – ускорение свободного падения). Какой путь пройдет груз при его первом движении вверх? Считать, что нить достаточно длинная, так что груз не наталкивается на пружину.
Решение: Если бы груз был непосредственно скреплен с пружиной (без нити), то после освобождения он начал бы совершать гармонические колебания около положения равновесия с амплитудой xA=2mg/k, равной начальному смещению от положения равновесия. При этом в нижнем положении деформация растяжения пружины была бы x1=3mg/k, а в верхнем – пружина была бы сжата, и ее деформация равнялась бы x2=mg/k. Поскольку груз прикреплен к пружине через нить и, по условию, не наталкивается на пружину, то при его движении вверх пружина от растянутого состояния в некоторый момент перейдет в недеформированное состояние и далее сжиматься не будет. С этого момента нить будет не
натянута, и груз продолжит свое движение до высшей точки, находясь только под действием силы тяжести. Найти путь груза при его первом движении вверх легче всего из закона сохранения механической энергии. Поскольку в начальном положении, когда груз смещен вниз, и в верхнем положении кинетическая энергия груза равна нулю, закон сохранения механической энергии системы, написанный для этих крайних положений, сводится к сохранению потенциальной энергии.
(1)
(2)
П1=П2 (3)
Здесь П1, П2 – потенциальная энергия груза в двух крайних положениях.
Если отсчитывать высоту от нижнего положения груза, то сохранение потенциальной энергии системы запишется в виде
(4)
где l − путь груза при его первом движении вверх и, значит, его высота над нижним нулевым уровнем. Таким образом, l = 9mg/2k.
Примечание: Ответ не изменится, если изменить нулевой уровень отсчета потенциальной энергии груза в поле тяжести. Однако для потенциальной энергии пружины формула Ep = kx2/2 оказывается верной лишь в случае, когда х (смещение конца пружины) отсчитывается от недеформированного положения.
Ответ: При первом движении вверх (до максимальной высоты) груз проходит путь
.
Критерии оценивания: | |
Шаги выполнения задания | Число баллов |
Анализ условия задачи и определение амплитуды колебаний груза в случае гармонических колебаний | 2 |
Использование закона сохранения энергии для определения величины энергии в начальном и верхнем положении груза | 4 |
Использование закона сохранения энергии для определения пути груза при первом движении вверх | 3 |
Вычисление пройденного пути l (в общем виде) и получение правильного ответа | 1 |
Сумма баллов: | 10 |
Задача 2. Расширение гелия
Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд заполнен гелием и разделен на две равные части закрепленным массивным поршнем. В частях сосуда находятся один и два моля газа при одинаковой температуре. После освобождения поршень начинает скользить без трения по стенкам цилиндра. Найти отношение объемов частей сосуда в момент, когда поршень достигнет максимальной скорости. Считать, что изменение параметров газа в каждой части сосуда происходит по адиабатическому закону pV5/3 = const.
| Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 |
Источник