Расстояние между стенками дьюаровского сосуда
2017-05-27 
Между стенками дьюаровского сосуда находится воздух при температуре $t_{1} = 17^{ circ} С$ и давлении $p_{1} = 0,03 Па$. Расстояние между стенками сосуда $l = 0,8 см$, площадь наружных стенок $S = 1600 см^{2}$ (рис.). В сосуд наливают жидкий воздух, находящийся при температуре $t_{2} = – 183^{ circ} С$. Определить: 1) давление воздуха, находящегося между стенками дьюаровского сосуда; 2) количество теплоты, которое будет подводиться к внутренней стенке за 1 с. Эффективный диаметр молекул воздуха приближенно равен эффективному диаметру молекул азота: $d = 3,7 cdot 10^{-10} м$. Температуры внутренней и наружной стенок дьюаровского сосуда считать постоянными по времени.
Решение:
Воздух между стенками дьюаровского сосуда, после того как в сосуд налит жидкий воздух, находится в неравновесном состоянии, давление его не может быть рассчитано ни по уравнению состояния, ни по основному уравнению молекулярно-кинетической теории. Начальное давление соответствует вакууму, т. е. такой высокой степени разрежения, когда молекулы сталкиваются только со стенками сосуда и практически не сталкиваются друг с другом.
Это утверждение можно проверить, рассчитав длину свободного пробега по формуле
$lambda = frac{1}{x sqrt{2} d^{2} langle n rangle}$, (1)
где $langle n rangle $ — средняя концентрация молекул, равная концентрации в начальном состоянии. При достижении вакуума длина свободного пробега должна быть равна (или больше) расстоянию $l$ между стенками сосуда.
В этом случае для определения давления надо подсчитать изменение импульса $Delta vec{P}$ молекул, которые за некоторый промежуток времени $Delta t$ ударятся о стенку (например, о холодную внутреннюю стенку). Средняя (за выбранный промежуток времени) сила $langle vec{f} rangle $, действующая на стенку, равна и противоположна средней силе $langle vec{f}_{1} rangle$, действующей на молекулы, которая может быть определена по второму закону Ньютона:
$langle vec{f} rangle Delta t = – langle vec{f}_{1} rangle Delta t = – Delta vec{P}$. (2)
Количество теплоты, полученное холодной стенкой, не может быть в случае вакуума найдено по закону Фурье через теплопроводность и градиент температуры. Для вычисления количества теплоты $Q$ надо определить изменение кинетической энергии всех молекул, ударившихся за время $Delta t$ о холодную стенку:
$Q = | Delta W|$. (3)
Для расчетов по уравнениям (2) и (3) надо прежде всего найти число $Delta N$ ударов, испытываемых рассматриваемой стенкой за промежуток времени $Delta t$. В направлении, нормальном к боковым стенкам сосуда, движется вследствие полной хаотичности движения молекул $1/3$ общего числа $N$ молекул, причем эти молекулы образуют два встречных потока, летящих с разными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$, зависящими от температуры той стенки, от которой летят молекулы. Поскольку «к стенке» и «от стенки» молекулы движутся с разными скоростями, промежуток времени $Delta t$ следует выбрать настолько большим, чтобы о стенку успело удариться не только большое число молекул, но и каждая из них успела удариться много раз, т. е. успела много раз пройти расстояние $l$ в обоих направлениях. Если каждая молекула ударится о стенку $Delta z$ раз, то полное число ударов, испытываемое стенкой за промежуток времени $Delta t$,
$Delta N = N Delta z /3$.
Тогда уравнения (2) и (3) запишем в таком виде:
$langle vec{f} rangle Delta t = delta vec{P}_{0} N Delta x / 3 $, (4)
$Q = | delta W_{0} | N Delta x / 3$, (5)
где $delta vec{P}_{0}$ и $delta W_{0}$ — изменения импульса и кинетической энергии одной молекулы при ударе о внутреннюю стенку. [Знак модуля в (3) и (5) объясняется тем, что количество теплоты, получаемое стенкой, $Q > 0$, а при ударе о внутреннюю стенку молекулы будут отскакивать с меньшей скоростью, поэтому $Delta W
В уравнения (4) и (5) входят величины, которые зависят от значения скоростей молекул до и после удара. Найти эти скорости можно только зная механизм соударения молекул со стенкой.
Предположим, что на поверхности каждой стенки существует слой адсорбированных молекул, средняя кинетическая энергия которых равна средней кинетической энергии молекул самой стенки. Слой этот находится в динамическом равновесии с молекулами газа: молекулы, подлетающие к стенке, «прилипают» к ней, одновременно из слоя вылетают, «испаряются» молекулы, скорость которых может быть рассчитана как среднеквадратичная:
$v_{кв} = sqrt{3kT/m_{0}} = sqrt{3RT/ mu}$, (6)
где $T$ — температура стенки.
Импульс силы, испытываемый стенкой, и получаемая ею энергия при таком «обмене» молекул такие же, как при ударе и отражении с соответствующим изменением скоростей. Очевидно, что если температуры стенок одинаковы, то все явление протекает, как при упругом ударе.
1.Найдем прежде всего число $Delta z$ ударов одной молекулы о рассматриваемую стенку и общее число $N$ всех молекул.
Если скорость молекулы до удара о холодную стенку $vec{v}_{1}$, после удара $vec{v}_{2}$, то на пролет от холодной стенки к теплой и обратно каждая молекула тратит время $tau = l/v_{1} + l/v_{2}$. Тогда
$Delta z = frac{ Delta t}{ tau} = frac{ Delta t v_{1} v_{2}}{ l (v_{1} + v_{2})}$. (7)
Общее число молекул $N = nSl$, причем концентрация $n$ может быть определена из уравнения Клапейрона — Менделеева для начального состояния: $p{1} = nkT_{1}$. Тогда
$N = p_{1}Sl/(kT_{1})$. (8)
Для расчета давления введем ось ОХ, нормальную боковым стенкам и направленную к внутренней стенке. Тогда
$u_{1x} = v_{1}, v_{2x} = – v_{2}, delta P_{0x} = – m_{0}(v_{1} + v_{2})$.
С учетом (7) и (8) уравнение (4) можно записать в скалярном виде
$langle f_{x} rangle Delta t = m_{0}(v_{1} + v_{2}) frac{p_{1}Sl}{3kT_{1}} frac{v_{1}v_{2} Delta t}{l(v_{1} +v_{2})}$.
Определив скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ [см. (6)], получим
$p = langle f rangle_{x}/S = p_{1} sqrt{T_{2}/T_{1}} = 0,017 Па$.
2. Средняя кинетическая энергия молекулы до удара о холодную стенку определяется температурой $T_{1}$ теплой стенки, после удара — температурой $T_{2}$ холодной стенки:
$delta langle W_{0} rangle = ik(T_{2} – T_{1})/2$,
где $i = 5$ — число степеней свободы.
Уравнение (5) с учетом (7) и (8) позволяет найти
$Q = frac{i}{2} k (T_{1} – T_{2}) frac{p_{1}Sl}{3kT_{1}} frac{v_{1}v_{2} Delta t}{l(v_{1} + v_{2})}$,
тогда
$frac{Q}{ Delta t} = frac{i}{6} frac{p_{1}}{T_{1}} S ( sqrt{T_{1}} – sqrt{T_{2}}) sqrt{ frac{3RT_{1}T_{2}}{ mu}} = 0,49 Дж/с$.
Источник
2017-10-13
Сжиженные газы хранят в сосудах Дьюара, которые представляют собой стеклянные или металлические колбы с двойными стенками (рис. 1). Из пространства между стенками откачан воздух, что приводит к уменьшению их теплопроводности. Так как весь воздух выкачать невозможно, то оставшиеся молекулы будут переносить теплоту от окружающей среды к содержимому сосуда Дьюара. Эта остаточная теплопроводность стенок приводит к тому, что находящийся в сосуде сжиженный газ непрерывно испаряется. При заполнении сосуда Дьюара жидким азотом, температура кипения которого при нормальном атмосферном давлении равна 77,3 К, оказалось, что за единицу времени испарилась масса $M_{1}$ азота. Какая масса газа испарится из этого же сосуда за единицу времени, если его заполнить жидким водородом, температура кипения которого равна 20,4 К? Температура окружающей среды в обоих случаях равна 300 К.
Решение:
Перенос теплоты происходит при таких отклонениях от состояния термодинамического равновесия, когда различные части системы имеют разную температуру. При обычных условиях механизм теплопроводности газа заключается в следующем: молекулы из более «горячей» области в результате хаотического движения перемещаются по всем направлениям и, сталкиваясь с молекулами из более «холодных» областей, передают им часть своей энергии. Каждая молекула может перенести «избыток» тепловой энергии на расстояние порядка средней длины свободного пробега $lambda$. Поэтому полный поток теплоты от участка с более высокой температурой к участку с более низкой температурой пропорционален концентрации молекул $n$ и их средней длине свободного пробега.
Каждая из величин $n$ и $lambda$ зависит от давления, при котором находится газ. Но их произведение не зависит от давления. В самом деле, вспомните задачу 6 о торможении спутника в верхних слоях атмосферы, где обсуждалось, от чего зависит средняя длина свободного пробега молекул. Там было получено соотношение
$n lambda sigma approx 1$. (1)
Величина $sigma = pi d^{2}$ ($d$ — диаметр молекулы) от давления не зависит. Поэтому не зависит от давления и произведение $n lambda$, хотя концентрация молекул $n$ пропорциональна давлению.
Таким образом, при обычных условиях теплопроводность газа не зависит от Давления, ибо все остальные величины, входящие в выражение для потока теплоты (разность температур, площадь стенок и расстояние между ними), также не зависят от давления.
Так зачем же в сосудах Дьюара откачивают воздух из пространства между стенками? Все дело в том, что при очень низком давлении газа, когда длина свободного пробега молекул оказывается больше расстояния между стенками, механизм теплопроводности становится другим! молекулы газа свободно пролетают от одной стенки до другой, не сталкиваясь друг с другом, и переносят «избыток» энергии непосредственно от стенки к стенке. Теперь теплопроводность не зависит от длины свободного пробега молекул — важно лишь, чтобы она превышала расстояние $l$ между двойными стенками сосуда. Так как поток теплоты, разумеется, и в этом случае пропорционален концентрации молекул, то чем ниже давление оставшегося между стенками воздуха, тем меньше будет его теплопроводность.
Для того чтобы оценить поток теплоты от наружной стенки сосуда Дьюара к холодной внутренней стенке, будем считать, что каждая молекула воздуха, покидая стенку сосуда, имеет энергию, соответствующую температуре этой стенки. Сталкиваясь с другой стенкой, молекула целиком передает ей свою энергию. Другими словами, мы считаем, что взаимодействие молекул со стенкой носит характер неупругого удара. Если бы удар молекул о стенку был абсолютно упругим, то молекулы газа вообще не переносили бы тепла.
Будем считать, что наружная стенка сосуда имеет температуру $T_{0}$, равную температуре окружающей среды. Находящийся в сосуде Дьюара сжиженный газ все время понемногу выкипает, поэтому, несмотря на непрерывный подвод теплоты, его температура остается неизменной. Горлышко сосуда Дьюара держится открытым, чтобы испарившийся газ мог свободно выходить в атмосферу — в противном случае сосуд непременно взорвется вследствие непрерывного роста давления. Таким образом, температура внутренней стенки равна температуре кипения $T_{1}$ сжиженного газа при атмосферном давлении.
Поток энергии, переносимый молекулами воздуха от горячей стенки к холодной, пропорционален энергии улетающей молекулы (т. е. температуре горячей стенки $T_{0}$) н числу молекул $z$, покидающих горячую стенку за единицу времени. Сколько же молекул покидают горячую стенку? Очевидно, столько же, сколько прилетает к ней от холодной стенки. Число таких молекул пропорционально концентрации молекул, имеющих температуру холодной стенки $T_{1}m$ и их средней скорости $langle v_{1} rangle$:
$z sim n_{1} langle v_{1} rangle$. (2)
Поэтому поток энергии от горячей стенки к холодной пропорционален произведению $T_{0} z sim T_{0} n_{1} langle v_{1} rangle$. Аналогично, поток энергии, переносимый молекулами от холодной стенки к горячей, пропорционален произведению $T_{1}z sim T_{1} n_{1} langle v_{1} rangle$. Следовательно, поток теплоты $Q$ от горячей стенки к холодной, равный разности встречных потоков энергии, пропорционален разности температур, концентрации и средней скорости молекул:
$Q sim (T_{0} – T_{1}) n_{1} langle v_{1} rangle$. (3)
Какова же концентрация $n_{1}$ «холодных» молекул воздуха в пространстве между стенками? Если обозначить через $n_{0}$ концентрацию «горячих» молекул, т. е. тех, которые покинули наружную стенку, то сумма $n_{1} + n_{0}$ равна полной концентрации воздуха $n$ между стенками:
$n = n_{1} + n_{0}$. (4)
Как уже отмечалось, к горячей стенке прилетает в единицу времени столько же молекул, сколько и к холодной. Поэтому
$n_{1} langle v_{1} rangle = n_{0} langle v_{0} rangle$. (5)
Так как средняя скорость пропорциональна корню из термодинамической температуры, то из равенства (5) имеем
$n_{0} = n_{1} langle v_{1} rangle / langle v_{0} rangle = n_{1} sqrt{ T_{1} / T_{0}}$. (6)
Подставляя $n_{0}$ в соотношение (4), находим
$n_{1} = frac{n}{1 + sqrt{T_{1}/T_{0}}}$. (7)
Теперь выражение (3) для потока теплоты можно переписать в виде
$Q sim (T_{0} – T_{1}) frac{n sqrt{T_{1}}}{1 + sqrt{T_{1} / T_{0}}} = n sqrt{T_{0}T_{1}} ( sqrt{T_{0}} – sqrt{T_{1}})$. (8)
За счет этого потока теплоты за единицу времени испаряется масса сжиженного газа $M_{1}$, равная отношению $Q$ к удельной теплоте парообразования $Lambda_{1}$:
$M_{1} sim frac{n}{ Lambda_{1}} sqrt{T_{0}T_{1}} ( sqrt{T_{0}} – sqrt{T_{1}})$. (9)
Точно такое же выражение будет справедливо и в том случае, когда сосуд Дьюара заполнен другим сжиженным газом, у которого температура кипения равна $T_{2}$, а удельная теплота парообразования равна $Lambda_{2}$. Все опущенные в формуле (9) коэффициенты пропорциональности не зависят от того, какой именно газ находится в сосуде. Поэтому для отношения масс разных газов, испаряющихся за единицу времени из одного и того же сосуда Дьюара, получим
$frac{M_{2}}{M_{1}} = frac{ Lambda_{1}}{ Lambda_{2}} sqrt{ frac{T_{2}}{T_{1}}} frac{ sqrt{T_{0}} – sqrt{T_{2}}}{ sqrt{T_{0}} – sqrt{T_{1}}}$. (10)
Подставляя сюда значения удельной теплоты парообразования водорода $lambda_{2} = 4,5 cdot 10^{5} Дж/кг$, азота $Lambda_{1} = 2,0 cdot 10^{5} Дж/кг$ и их температуры кипения $T_{2} = 20,4 К, T_{1}=77,3 К$, найдем $M_{2}/M_{1} approx 0,34$.
Получилось, что по массе водород выкипает из сосуда Дьюара медленнее азота, хотя температура кипения водорода ниже. Однако со скоростью выкипания по объему все обстоит иначе. Плотность жидкого водорода равна примерно $0,07 г/см^{3}$, азота $0,8 г/см^{3}$, поэтому для отношения объемов испарившихся водорода $V_{2}$ и азота $V_{1}$ получаем $V_{2}/V_{1} = 3,89$, т. е. водород выкипает приблизительно в 4 раза быстрее азота.
Из формулы (9) видно, что масса испаряющегося газа пропорциональна концентрации и оставшегося между стенками сосуда Дьюара воздуха. Поэтому теплоизоляция будет тем лучше, чем этого воздуха меньше. Обычно сосуды Дьюара откачивают до высокого вакуума ($10^{-3} – 10^{-5}$ мм рт. ст.). Это соответствует концентрации оставшегося воздуха $n = p/kT_{0} sim 10^{11} – 10^{13} см^{-3}$. При таких концентрациях длина свободного пробега будет составлять, как видно из соотношения (1), величину порядка $lambda approx 1/( n pi d^{2}) sim 10 – 10^{3} см$. Расстояние между двойными стенками I обычно равно нескольким миллиметрам. Поэтому при таком давлении оставшегося воздуха средняя длина свободного пробега значительно превышает расстояние между стенками и механизм теплопроводности именно такой, какой рассмотрен в задаче.
При давлении воздуха между стенками порядка $10^{-2}^ мм рт. ст. длина свободного пробега становится сравнимой с расстоянием между стенками. Поэтому откачка до такого или большего давления вообще лишена смысла, поскольку в таких условиях теплопроводность воздуха не зависит от давления.
Поверхности стенок сосуда, образующих вакуумное пространство, обычно покрываются тонким слоем серебра, чтобы уменьшить лучистый теплообмен между стенками. Поэтому в данной задаче мы не учитывали лучистую составляющую теплового потока.
Сосуды Дьюара используются и для хранения веществ при температуре более высокой, чем температура окружающей среды. Распространенные в быту термосы представляют собой стеклянные сосуды Дьюара, заключенные в металлическую или пластмассовую оболочку для защиты от повреждений.
Источник
Страница 8 из 12
5.141. Найти диаметр б молекулы кислорода, если при температуре t = 0° С вязкость кислорода n = 18,8 мкПа/с.
5.142. Построить график зависимости вязкости n азота от температуры Т в интервале 100 Т 600 К через каждые 100 К.
5.143. Найти коэффициент диффузии D и вязкость n воздуха при давлении p = 101,3 кПа и температуре t = 10° С. Диаметр молекул воздуха б= 0,3 нм.
5.144. Во сколько раз вязкость кислорода больше вязкости азота? Температуры газов одинаковы.
5.145. Коэффициент диффузии и вязкость водорода при некоторых условиях равны D = 1,42 • 10-4 м2/с и n = 8,5 мкПа*с. Найти число n молекул водорода в единице объема.
5.146. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях равны D = 1,22• 10-5м2/с и n = 19,5 мкПа*с. Найти плотность p кислорода, среднюю длину свободного пробега ? и среднюю арифметическую скорость v его молекул.
5.147 Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром D = 0,3 мм? Диаметр молекул воздуха б = 0,3 нм. Температура воздуха t = 0° С. Считать, что для дождевой капли справедлив закон Стокса.
5.148. Самолет летит со скоростью v = 360 км/ч. Считая, что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости,
d = 4 см, найти касательную силу FS, действующую на единицу поверхности крыла. Диаметр молекул воздуха б = 0,3нм. Температура воздуха t = 0° С.
5.149. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны r = 5 см и R = 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внешний цилиндр вращается с частотой n = 360 об/мин. Для того чтобы внутренней цилиндр оставался неподвижным, к нему надо приложить касательную силу F = 1,38 мН. Рассматривая в первом приближении случай как плоский, найти из данных этого опыта вязкость nгаза, находящегося между цилиндрами.
5.151. Найти теплопроводность К воздуха при давлении p=100кПа и температуре t = 10° С. Диаметр молекул воздуха
б = 0,3 нм.
5.150. Найти теплопроводность К водорода, вязкость которого n = 8,6 мкПа*с.
5.152. Построить график зависимости теплопроводности К от температуры Tв интервале 100
5.153. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4 • 1022 молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа К = 14 мВт/(м-К). Найти коэффициент диффузии D газа.
5.154. Углекислый газ и азот находится при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение: а) коэффициентов диффузии; б) вязкостей; в) теплопроводностей. Диаметры молекул газов считать одинаковыми.
5.155. Расстояние между стенками дьюаровского сосуда d = 8 мм. При каком давлении p теплопроводность воздуха, находящегося между стенками сосуда, начнет уменьшатся при откачке? Температура воздуха t = 17° С. Диаметр молекул воздуха б= 0,3 нм.
5.156. Цилиндрический термос с внутренним радиусом r1= 9 см и внешним радиусом r2= 10 см наполнен льдом. Высота
термоса h = 20 см. Температура льда t1 =0°С, температура наружного воздуха t2 = 20° С. При каком предельном давлении p воздуха между стенками термоса теплопроводность К еще будет зависеть от давления? Диаметр молекул воздуха б = 0,3 нм, а температуру воздуха между стенками термоса считать равной среднему арифметическому температур льда и наружного воздуха. Найти теплопроводность К воздуха, заключенного между стенками термоса, при давлениях p1= 101,3 кПа и р2=13,ЗмПа, если молярная масса воздуха u = 0,029 кг/моль.
Какое количество теплоты Q проходит за время dt = 1 мин через боковую поверхность термоса средним радиусом r= 9,5 см при давлениях p1=101,3 кПа и p2= 13,3 мПа?
5.157. Какое количество теплоты Q теряет помещение за время = 1 час через окно за счет теплопроводности воздуха, заключенного между рамами? Площадь каждой рамы S = 4 м2, расстояние между ними d = 30 см. Температура помещения t1=l80C, температура наружного воздуха t2=-20° С. Диаметр
молекул воздуха б= 0,3 нм. Температуру воздуха между рамами считать равной среднему арифметическому температур помещения и наружного воздуха. Давление p = 101,3 кПа.
5.158. Между двумя пластинами, находящимися на расстоянии d = 1 мм друг от друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур dT = 1 К. Площадь каждой пластины S = 0,01 м2. Какое количество теплоты Q
передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за время t = 10 мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха б= 0,3 нм.
5.159. Масса m = 10г кислорода находится при давлении р = 300кПа и температуре t = 10° С. После нагревания при
p = const газ занял объем V = 10л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, изменение dW внутренний энергии газа и работу А , совершенную газом при расширении.
5.160. Масса m = 6,5 г водорода, находящегося при температуре t = 27° С, расширяется вдвое при p = const за счет притока тепла извне. Найти работу А расширения газа, изменение dW внутренний энергии газа и количество теплоты Q, сообщенное газу.
Источник