Равномерное вращение сосуда вокруг вертикальной оси

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость w вращения вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменится: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.11).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w2r. Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности.

Рис. 2.11

Учитывая, что сила j нормальна к свободной поверхности, получим

отсюда                                  
или после интегрирования     
В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения C = h, поэтому окончательно будем иметь
                                       (2.10)
т. е. свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения.

Максимальную высоту подъема жидкости можно определить исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости во время вращения.
На практике очень часто приходится иметь дело с вращением сосуда, заполненного жидкостью, вокруг горизонтальной оси. При этом угловая скорость w столь велика, что сила тяжести на порядок меньше центробежных сил, и ее действие можно не учитывать. Закон изменения давления в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равновесия элементарного объема с площадью основания dS и высотой dr, взятой вдоль радиуса (рис. 2.12). На выделенный элемент жидкости действуют силы давления и центробежная сила.

Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp, получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса

или

Рис. 2.12

После интегрирования

Постоянную C найдем из условия, что при r = r0 p = p0.
Следовательно

Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p и r в следующем виде:
                              (2.11)
Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости.

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим

а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления на стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления.

Вращение сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость w вращения вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная по­верхность ее видоизменится: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.15).

Рис. 2.15

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и . Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности.

Учитывая, что сила нормальна к свободной поверхности, получим , отсюда или после интегрирования .

В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения C=h и r=0, поэтому окончательно будем иметь

, (2.10)

где .

Таким образом, свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения. Максимальную высоту подъема жидкости можно определить, используя выражение (2.10) и исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости во время вращения.

Запишем закон изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и глубины относительно верхней точки жидкости (без вывода):

.

Вращение сосуда с жидкостью вокруг горизонтальной оси

При таком вращении угловая скорость w столь велика, что (действие силы тяжести можно не учитывать). Закон изменения давления в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равновесия элементар­ного объема с площадью основания dS и высотой dr, взятой вдоль радиуса (рис. 2.16). На выделенный элемент жидкости действуют силы давле­ния и центробежная сила.

Рис. 2.16

Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp (разложили p в ряд Тейлора, но так как в данном случае p зависит только от r, то dr/dr сократился), получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса

или .

После интегрирования получим . Постоянную C найдем из условия, что при r = rp = p0, следовательно, .

Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p и r в следующем виде:

. (2.11)

Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости.

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим

,

а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах:

.

Если равно внешнему давлению, то .

При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления Fб на боковую стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления.

Приведем выражение для определения силы Fб без вывода:

, где – длина цилиндра.

В случае равномерного вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 1.5) вектор напряже­ния массовых сил

(1.51)

а уравнение Эйлера (1.10) имеет вид

dp = r [w2 ( xdx +ydy ) – gdz] = r (w 2 rdr – gdz). (1.52)

Уравнение свободной поверхности (р = р0 )

(1.53)

Уравнение любой изобарической поверхности (р = const)

(1.54)

где z0 – координата точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

Изобарические поверхности – параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью оz , а вершины смещены вдоль этой оси. Форма изоба­рических поверхностей не зависит от плотности жидкости.

Высота параболоида свободной поверхности (R – радиус сосуда)

H = w 2R2/2g. (1.55)

Координата z0его вершины определяется объемом жидкости в сосу­де. Если начальный уровень в сосуде h0 , то

z0 = h – (1.56)

откуда h1 = h0 –z0 = H/2.

Закон распределения давления в жидкости

(1.57)

Рис. 1.5. Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с постоян­ной угловой скоростью w

Изменение давления по вертикали (h — глубина точки под свобод­ной поверхностью) :

Р = Р0 + r gh,

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

Вопросы по теме 1.6.

1 . Какие силы действуют на жидкость при ее относительном покое?

2. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при прямолинейном движении сосуда с постоян­ным ускорением?

3. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при вращении сосуда с постоянной угловой ско­ростью и вертикальной осью вращения?

3. Каков закон распределения давления в жидкости по вертикали при ее относительном покое?

Основные понятия кинематики и динамики жидкости

Скорость частицы жидкости зависит от координат х, у, z этой частицы и времени t, т.е.

Плотность r и давление р также являются функциями координат и времени

r = r (x, y, z, t); p = p (x, у, z, t).

Если характеристики течения не зависят от времени, т.е. могут изме­няться лишь от точки к точке, то течение называется установившимся. Если в данной точке пространства характеристики течения изменяются со временем, то течение называется неустановившимся.

Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой линии. Уравнения для линий тока имеют вид

(2.1)

где их, иy , uz— составляющие вектора скорости .

Совокупность линий тока, проходящих через замкнутый контур L, образует трубчатую поверхность — трубку тока. Жидкость, находя­щаяся внутри трубки тока, образует струйку. Если контур L мал, то трубка тока и струйка называются элементарными.

Сечение струйки s, нормальное в каждой своей точке к линиям то­ка, называется живым сечением.

Область пространства конечных размеров, занятая движущейся жидкостью, называется потоком. Поток обычно рассматривается как совокупность элементарных струек. Живое сечение потока определяется так же, как в случае элементарной струйки.

Гидравлический радиус Rг живого сечения определяется как отношение площади живого сечения s к смоченному периметру c, т.е.

Rг = s/c. (2.2)

Под смоченным периметром c понимается та часть геометри­ческого живого сечения, по которой жидкость соприкасается с твердыми стенками.

Если форма и площадь живого сечения по длине потока не изменяют­ся, то поток называется равномерным. В противном случае поток на­зывается неравномерным. В том случае, когда живое сечение плавно изменяется по длине, течение называется плавно изменяющимся.

В живом сечении 1 — 1 (рис. 2.1) равномерного потока выполняется гидростатический закон распределения давления, т.е.

(2.3)

где рА, рB — соответственно давления в произвольных точках А и В (с вертикальными координатами za, zb) этого сечения; g — ускоре­ние свободного падения. В случае плавно изменяющегося течения ра­венство (2.3) выполняется приближенно.

Расходом жидкости через поверхность s называется количество жидкости, протекающей через эту поверхность _в единицу времени. Объемный расход Q, массовый расход QМ > весовой расход qGопределяются по формулам

, (2.4)

где иn— проекция скорости на нормаль к поверхности s.

Если s — живое сечение, то ип = u. Для однородной жидкости

Qm = rQ (2.5)

Рис. 2.1. Живое сечение равномерного потока

Средняя скорость u определяется из равенства

u=Q/s. (2.6)

Уравнение неразрывности для потока несжимаемой жидкости имеет вид

Q = u 1 s1 = u2s2, (2.7)

где u 1 , u2 — средние скорости в сечениях 1 – 1 и 2 – 2.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимае­мой жидкости при установившемся движении в поле силы тяжести имеет вид

(2.8)

где z1, z2 – расстояния от центров выбранных живых сечений 1 — 1 и 2 — 2 до некоторой произвольной горизонтальной плоскости z = 0 (рис. 2.2); u1, u2 – скорости; P1,P2-давления в этих сечениях; h1-2 — потери напора на участке между выбранными сечениями.

Уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения механичес­кой энергии. Величина

(2.9)

называется полным напором и представляет собой удельную (прихо­дящуюся на единицу силы тяжести) механическую энергию жидкости в рассматриваемом сечении; z — геометрический напор или удельная потенциальная энергия положения; p/(rg) — пьезометрический напор или удельная потенциальная энергия давления; u2/(2g) – скоростной напор или удельная кинетическая энергия; h1-2 — потери напора, т.е. часть удельной механической энергии, израсходованной на работу сил трения на участке между сечениями 1 — 1 и 2 — 2 (см. рис. 2.2).

В случае идеальной жидкости h1-2 =0.

Для плавно изменяющегося потока при установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести уравнение Бернул­ли имеет вид

(2.10)

где p1, p2 — давления в произвольно взятых точках сечений 1 — 1 и 2 — 2 скоординатами z1 и z2 соответственно (обычно берутся точки на оси потока); u 1 , u2— средние скорости в этих сечениях; а1 , а2 — коэффи­циенты Кориолиса, учитывающие неравномерность распределения ско­ростей частиц жидкости в сечениях; при течении по круглой цилиндри­ческой трубке a = 2 для ламинарного режима течения и a » 1,1 — для турбулентного; при решении практических задач обычно принимается a = 1.

При использовании уравнения Бернулли (2.8) или (2.10) необходи­мо иметь в виду, что номера сечений возрастают в направлении течения жидкости. В качестве расчетных выбираются такие сечения (струйки) , в которых известны какие-либо из величин u 1 , u2 (u1, u2) и р1, р2 .

Плоскость z = 0 бывает удобно располагать таким образом, чтобы центр одного из выбранных сечений потока лежал в этой плоскости.

Потери напора h1-2 , отнесенные к единице длины трубопровода, называются гидравлическим уклоном:

(2.11)

В случае равномерного движения несжимаемой жидкости

i = hl-2 / l, (2.12)

где l — расстояние между выбранными сечениями.

При движении жидкости по трубопроводу различают два вида потерь напора: потери по длине трубопровода hд и потери в местных сопротив­лениях hм . К потерям по длине относят потери на прямолинейных участ­ках трубопровода, а к потерям на местных сопротивлениях — потери на таких участках трубопровода, где нарушается нормальная конфигурация потока (внезапное расширение, поворот, запорная арматура и т.д.) .

Вопросы по теме 2.

1. Что называется линией тока?

2. Может ли жидкость протекать сквозь боковую поверхность труб­ки тока?

3. Что называется живым сечением потока?

4. Чем отличается уравнение Бернулли для струйки тока от уравне­ния Бернулли для потока?

5. Что такое гидравлический уклон?

6. Как определяется средняя скорость потока?

7. Какая связь между объемным, массовым и весовым расходами?

8. Как изменяются по длине неравномерного потока несжимаемой жидкости расход и средняя скорость?



В случае равномерного вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 1.5) вектор напряже­ния массовых сил

(1.51)

а уравнение Эйлера (1.10) имеет вид

dp = r [w2 ( xdx +ydy ) – gdz] = r (w 2 rdr – gdz). (1.52)

Уравнение свободной поверхности (р = р0 )

(1.53)

Уравнение любой изобарической поверхности (р = const)

(1.54)

где z0 – координата точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

Изобарические поверхности – параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью оz , а вершины смещены вдоль этой оси. Форма изоба­рических поверхностей не зависит от плотности жидкости.

Высота параболоида свободной поверхности (R – радиус сосуда)

H = w 2R2/2g. (1.55)

Координата z0его вершины определяется объемом жидкости в сосу­де. Если начальный уровень в сосуде h0 , то

z0 = h – (1.56)

откуда h1 = h0 –z0 = H/2.

Закон распределения давления в жидкости

(1.57)

Рис. 1.5. Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с постоян­ной угловой скоростью w

Изменение давления по вертикали (h — глубина точки под свобод­ной поверхностью) :

Р = Р0 + r gh,

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

Вопросы по теме 1.6.

1 . Какие силы действуют на жидкость при ее относительном покое?

2. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при прямолинейном движении сосуда с постоян­ным ускорением?

3. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при вращении сосуда с постоянной угловой ско­ростью и вертикальной осью вращения?

3. Каков закон распределения давления в жидкости по вертикали при ее относительном покое?

Основные понятия кинематики и динамики жидкости

Скорость частицы жидкости зависит от координат х, у, z этой частицы и времени t, т.е.

Плотность r и давление р также являются функциями координат и времени

r = r (x, y, z, t); p = p (x, у, z, t).

Если характеристики течения не зависят от времени, т.е. могут изме­няться лишь от точки к точке, то течение называется установившимся. Если в данной точке пространства характеристики течения изменяются со временем, то течение называется неустановившимся.

Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой линии. Уравнения для линий тока имеют вид

(2.1)

где их, иy , uz— составляющие вектора скорости .

Совокупность линий тока, проходящих через замкнутый контур L, образует трубчатую поверхность — трубку тока. Жидкость, находя­щаяся внутри трубки тока, образует струйку. Если контур L мал, то трубка тока и струйка называются элементарными.

Сечение струйки s, нормальное в каждой своей точке к линиям то­ка, называется живым сечением.

Область пространства конечных размеров, занятая движущейся жидкостью, называется потоком. Поток обычно рассматривается как совокупность элементарных струек. Живое сечение потока определяется так же, как в случае элементарной струйки.

Гидравлический радиус Rг живого сечения определяется как отношение площади живого сечения s к смоченному периметру c, т.е.

Rг = s/c. (2.2)

Под смоченным периметром c понимается та часть геометри­ческого живого сечения, по которой жидкость соприкасается с твердыми стенками.

Если форма и площадь живого сечения по длине потока не изменяют­ся, то поток называется равномерным. В противном случае поток на­зывается неравномерным. В том случае, когда живое сечение плавно изменяется по длине, течение называется плавно изменяющимся.

В живом сечении 1 — 1 (рис. 2.1) равномерного потока выполняется гидростатический закон распределения давления, т.е.

(2.3)

где рА, рB — соответственно давления в произвольных точках А и В (с вертикальными координатами za, zb) этого сечения; g — ускоре­ние свободного падения. В случае плавно изменяющегося течения ра­венство (2.3) выполняется приближенно.

Расходом жидкости через поверхность s называется количество жидкости, протекающей через эту поверхность _в единицу времени. Объемный расход Q, массовый расход QМ > весовой расход qGопределяются по формулам

, (2.4)

где иn— проекция скорости на нормаль к поверхности s.

Если s — живое сечение, то ип = u. Для однородной жидкости

Qm = rQ (2.5)

Рис. 2.1. Живое сечение равномерного потока

Средняя скорость u определяется из равенства

u=Q/s. (2.6)

Уравнение неразрывности для потока несжимаемой жидкости имеет вид

Q = u 1 s1 = u2s2, (2.7)

где u 1 , u2 — средние скорости в сечениях 1 – 1 и 2 – 2.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимае­мой жидкости при установившемся движении в поле силы тяжести имеет вид

(2.8)

где z1, z2 – расстояния от центров выбранных живых сечений 1 — 1 и 2 — 2 до некоторой произвольной горизонтальной плоскости z = 0 (рис. 2.2); u1, u2 – скорости; P1,P2-давления в этих сечениях; h1-2 — потери напора на участке между выбранными сечениями.

Уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения механичес­кой энергии. Величина

(2.9)

называется полным напором и представляет собой удельную (прихо­дящуюся на единицу силы тяжести) механическую энергию жидкости в рассматриваемом сечении; z — геометрический напор или удельная потенциальная энергия положения; p/(rg) — пьезометрический напор или удельная потенциальная энергия давления; u2/(2g) – скоростной напор или удельная кинетическая энергия; h1-2 — потери напора, т.е. часть удельной механической энергии, израсходованной на работу сил трения на участке между сечениями 1 — 1 и 2 — 2 (см. рис. 2.2).

В случае идеальной жидкости h1-2 =0.

Для плавно изменяющегося потока при установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести уравнение Бернул­ли имеет вид

(2.10)

где p1, p2 — давления в произвольно взятых точках сечений 1 — 1 и 2 — 2 скоординатами z1 и z2 соответственно (обычно берутся точки на оси потока); u 1 , u2— средние скорости в этих сечениях; а1 , а2 — коэффи­циенты Кориолиса, учитывающие неравномерность распределения ско­ростей частиц жидкости в сечениях; при течении по круглой цилиндри­ческой трубке a = 2 для ламинарного режима течения и a » 1,1 — для турбулентного; при решении практических задач обычно принимается a = 1.

При использовании уравнения Бернулли (2.8) или (2.10) необходи­мо иметь в виду, что номера сечений возрастают в направлении течения жидкости. В качестве расчетных выбираются такие сечения (струйки) , в которых известны какие-либо из величин u 1 , u2 (u1, u2) и р1, р2 .

Плоскость z = 0 бывает удобно располагать таким образом, чтобы центр одного из выбранных сечений потока лежал в этой плоскости.

Потери напора h1-2 , отнесенные к единице длины трубопровода, называются гидравлическим уклоном:

(2.11)

В случае равномерного движения несжимаемой жидкости

i = hl-2 / l, (2.12)

где l — расстояние между выбранными сечениями.

При движении жидкости по трубопроводу различают два вида потерь напора: потери по длине трубопровода hд и потери в местных сопротив­лениях hм . К потерям по длине относят потери на прямолинейных участ­ках трубопровода, а к потерям на местных сопротивлениях — потери на таких участках трубопровода, где нарушается нормальная конфигурация потока (внезапное расширение, поворот, запорная арматура и т.д.) .

Вопросы по теме 2.

1. Что называется линией тока?

2. Может ли жидкость протекать сквозь боковую поверхность труб­ки тока?

3. Что называется живым сечением потока?

4. Чем отличается уравнение Бернулли для струйки тока от уравне­ния Бернулли для потока?

5. Что такое гидравлический уклон?

6. Как определяется средняя скорость потока?

7. Какая связь между объемным, массовым и весовым расходами?

8. Как изменяются по длине неравномерного потока несжимаемой жидкости расход и средняя скорость?

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных