Решение задачи алеша боря и гриша нашли в земле старинный сосуд

(логическое  умножение)

F =
А
Λ
B

Составное высказывание, образованное в
результате операции логического умножения (конъюнкции),
истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие  в него
простые высказывания. 

Например, рассмотрим составное
высказывание “2*2=4 и 3*3=10”. Первое
простое высказывание (2*2=4) истинно (А=1),
а второе высказывание (3*3=10) ложно (В=0),
по таблице определяем, что логическая функция принимает значение 
ложь (F=0), т.е.
данное составное высказывание ложно.

(логическое  сложение)

F =
А
V
B

Составное высказывание, образованное в
результате
операции логического сложения (дизъюнкции),
истинно тогда, когда истинны хотя бы одно из входящих  в него
простых высказываний. 

Например, рассмотрим составное высказывание
“2*2=4 или 3*3=10”. Первое простое
высказывание (2*2=4) истинно (А=1), а
второе высказывание (3*3=10) ложно (В=0),
по таблице определяем, что логическая функция принимает значение 
истина (F=1),
т.е. данное составное высказывание истинно.

(логическое отрицание)

F =
¬А

Логическое отрицание
(инверсия) делает истинное высказывание
ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Например,

А=(2*2=4)=1(ИСТИНА)     
¬А
= 0

В=(3*3=10)=0(ЛОЖЬ)          

¬В = 1

(логическое следование)

F =
А
=>
B

Составное высказывание, образованное в
результате
операции логического следование (импликации),
ложна тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого
высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание). 

Логическое следование(импликация) образуется соединением
двух высказываний в одно  с помощью оборота речи “если…,
то …”

(логическое равенство)

F =
А
 <=>
B

Составное высказывание, образованное с
помощью 
 логической
операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда,
когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны. 

Логическое равенство(эквивалентность) образуется
соединением двух высказываний в одно  с помощью оборота речи

“…тогда и только тогда, когда
…”

преобразования логических выражений

1. ¬¬А
   = А (закон двойного отрицание)
2. ¬(А
   Λ В)
   = ¬А
   V ¬B   
   ( законы
3. ¬(А
   V В)
   = ¬А
   Λ ¬B           
   Моргана)
4. А =>
   В = ¬А
   V
   B
5. ¬(А =>
   В) = А
   Λ ¬B
6. А <=>
   В =(А
   Λ
   B) V (¬А
   Λ ¬B)
7. А
   Λ ¬А
   = 0 (закон непротиворечия)
8. А
   V
   ¬А
   = 1 (закон
   исключенного третьего)

 Законы коммутативности:

(А
Λ В)
≡ (В
Λ
А) ;

(А

V
В) ≡ (В
V
А) ;

Законы ассоциативности:

(А V
В) V С ≡
А V (В V
С);

(А Λ
В) Λ С ≡
А Λ (В Λ
С);

Законы дистрибутивности:

А Λ (В
V С) ≡ (А Λ
В) V (А Λ
С)

А V (В
Λ С) ≡ (А V
В) Λ (А V
С)

 Значение логической функции можно определить с помощью
таблицы истинности данной функции, которая
показывает какие значения принимает логическая функция при всех
возможных наборах её аргументов. 

Задача №43 стр. 59 :

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая
удивительную находку, каждый высказал по два предложения:

Алеша: “Это сосуд греческий и изготовлен в V
веке”.     Боря: “Это сосуд финикийский и изготовлен
в  III веке”. Гриша: “Это сосуд не
греческий и изготовлен в IV веке”. Учитель
истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух
предложений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

  

Решение:

А  = “Это
сосуд греческий”;  

B
= ” Изготовлен в V
веке”;

C
= ” Изготовлен в IV веке
“;  

D
= “Изготовлен в  III
веке”;

E
= “Это сосуд финикийский “.                   

	А	В	С	D	E
Алеша	+	+
Боря				+	+
Гриша	–		+

1. Если А =1(истина) , то В=0;     А=1,то Е=0,
тогда D=1;    
¬А=0, С=0, а это не
может быть, по условию ¬А или С истина.

2. Пусть А=0 и В=1;   Тогда
Е=1 а D=0;   и 
¬А=1, то С=0; 
в итоге получим  В=1 и Е=1, т. е. сосуд
финикийский и изготовлен в
V веке.

Задача №44 стр. 59:

В нарушении правил обмена валюты
подозреваются четыре работника банка – А, В, С и D.
Известно, что:

1. Если А нарушил, то и В нарушил правила обмена валюты.
2. Если В нарушил, то и С нарушил или А не нарушил.
3. Если D не нарушил, то А нарушил, а С
   не нарушил.
4. Если D нарушил, то и А нарушил.

Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?  Решите
задачу с помощью логических операций.

Решение:

1. А => B;
2. B => C V
   ¬А;
3. ¬D => A Λ
   ¬C;
4. D => A

Произведение всех высказываний  =1.

( А
=> B)Λ(B
=> C V
¬А)Λ(¬D
=> A Λ ¬C)Λ (D
=> A) = 1

а
выражение справедлива тогда и только тогда, когда

А => B = 1;   
B => C V
¬А)
= 1;   ¬D => A Λ ¬C = 1;   
D => A = 1;

Составим таблицу истинности
для этого выражения:

A	B	C	D	А => B	D => A	C V ¬А)	B => C V ¬А)	A Λ ¬C	¬D => A Λ ¬C	F
				1	1	1	1
			1	1		1	1		1
		1		1	1	1	1
		1	1	1		1	1		1
	1			1	1	1	1
	1		1	1		1	1		1
	1	1		1	1	1	1
	1	1	1	1		1	1		1
1					1		1	1	1
1			1		1		1	1	1
1		1			1	1	1
1		1	1		1	1	1		1
1	1			1	1			1	1
1	1		1	1	1			1	1
1	1	1		1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1		1	1

Ответ:   А=1,B=1,C=1,D=1, 
т.е. все подозреваемые нарушили правила обмена валюты.