Сколько молекул ударяется за 1 с в 1 см стенке сосуда
Рассмотрим находящийся в равновесии газ, заключенный в некотором сосуде. Возьмем элемент поверхности сосуда и подсчитаем число ударов молекул об этот элемент за время
Выделим из N молекул, заключенных в сосуде, те молекул, величина скорости которых заключена в пределах от v до
Из числа этих молекул направления движения, заключенные внутри телесного угла будет иметь количество молекул, равное
(см. ). Из выделенных таким образом молекул долетят за время до площадки и ударятся о нее J) молекулы, заключенные в косом цилиндре с основанием и высотой (рис. 95.1).
Рис. 95.1.
Количество этих молекул равно
(V — объем сосуда). Чтобы получить полное число ударов молекул о площадку , нужно просуммировать выражение (95.2) по телесному углу (отвечающему изменениям от 0 до и изменениям от 0 до ) и по скоростям в пределах от 0 до , где — наибольшая скорость, которой могут обладать молекулы в данных условиях (см. предыдущий параграф).
Начнем с суммирования по направлениям. Для этого представим в виде (см. (94.4)) и произведем интегрирование выражения (95.2) по 0 в пределах от 0 до и по в пределах от 0 до
Интегрирование по дает интеграл по равен 1/2. Следовательно,
Это выражение дает число ударов о площадку AS за время молекул, летящих в направлениях, заключенных в пределах телесного угла и имеющих величину скорости от v до .
Суммирование по скоростям дает полное число ударов молекул о площадку за время
Выражение
представляет собой среднее значение величины скорости V. Заменив в (95.4) интеграл произведением получим, что
Здесь есть число молекул газа в единице объема.
Наконец, разделив выражение (95.5) на и найдем число ударов молекул газа об единицу поверхности стенки в единицу времени:
Полученный результат означает, что число ударов пропорционально количеству молекул в единице объема («концентрации» молекул) и среднему значению величины Заметим, что величина (95.6) представляет собой плотность потока молекул, падающего на стенку.
Представим себе в газе воображаемую единичную площадку. Если газ находится в равновесии, через эту площадку будет пролетать в обоих направлениях в среднем одинаковое количество молекул, причем количество молекул, пролетающих в единицу времени в каждом из направлений, также определяется формулой (95.6).
С точностью до числового коэффициента выражение (95.6) может быть получено с помощью следующих упрощенных рассуждений. Допустим, что молекулы газа движутся только вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. Если в сосуде содержится N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться молекул, причем половина из них (т. е. молекул) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина в другую. Следовательно, в интересующем нас направлении (например, по нормали к данному элементу стенки сосуда) движется 1/6 часть молекул.
Предположим, кроме того, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью, равной Тогда за время до элемента стенки долетят все движущиеся по направлению к нему молекулы, заключенные в объеме цилиндра с основанием и высотой (рис. 95.2). Число этих молекул равно Соответственно число ударов об единичную площадку в единицу времени оказывается равным
Полученное выражение отличается от (95.6) лишь значением числового множителя (1/6 вместо 1/4).
Сохранив предположение о движении молекул в трех взаимно перпендикулярных направлениях, но отказавшись от допущения об одинаковости скоростей молекул, следует выделить из числа молекул в единице объема те молекул, скорости которых лежат в интервале от v до
Рис. 95.2.
Количество молекул, имеющих такие скорости и долетающих до площадки за время равно
Полное число ударов получим, проинтегрировав выражение (95.8) по скоростям:
Наконец, разделив на и , получим формулу (95.7). Таким образом, предположение об одинаковости скоростей молекул не влияет на результат, получаемый для числа ударов молекул о стенку. Однако, как мы увидим в следующем параграфе, это предположение изменяет результат вычислений давления.
Источник
Получим формулу для вычисления числа ударов молекул в единицу времени о единичную площадь стенки сосуда, в котором находится газ.
Возьмем на стенке сосуда, бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную оси Z системы координат XYZ ( рис. 8).
На этой площадке , как на основании, построим бесконечно узкий цилиндр с осью, имеющей направление, определяемое сферическими углами j и J,идлина которой равна vdt, где v – скорость молекулы, dt – промежуток времени. Объем этого цилиндра
, (1.4.1)
а число молекул в нем dn=ndV, где n – концентрация молекул в сосуде. Из-за хаотичности движения не все dn молекул достигнут площадки dS за время dt. Ее достигнут только те из молекул, которые, во-первых, движутся в направлении к площадке dS и, во-вторых, имеют скорости, близкие к u, при этом за время dt они проходят расстояние udt, равное длине образующей цилиндра, и достигают площадки dS. Найдем число таких молекул в объеме dV цилиндра.
И если к моменту времени t эти молекулы находились в объеме dV цилиндра, тогда время от t до t+dt все они достигнут площадки dS.
Р и с. 8
Обозначим через dnu число молекул в единице объема газа, которые имеют скорости, заключенные в интервале (u, u+du). Пусть среди этих молекул молекул в единице объема имеют направления движения, определяемые сферическими углами, взятыми из интервалов (j,j+dj) и (J,J+dJ). Согласно формуле (1.3.5), количество таких молекул в единице объема газа равно
(1.4.2)
Число же указанных молекул в объеме dV рассматриваемого цилиндра
dnu,J,j=dnu,J,j × dV (1.4.3)
С учетом формул (1.4.1) и (1.4.2) выражение (1.4.3) примет вид
(1.4.4) Таким образом, среди всех молекул, находящихся в объеме dV цилиндра, dnu,J,j молекул имеют близкие к u скорости, и их направления движения определяются углами, близкими к углам J и j. Однако из объема V, занимаемого газом, к площадке dS подлетают молекулы с других направлений и с иными скоростями. Чтобы учесть эти молекулы, необходимо проинтегрировать выражение (1.4.4) по всем возможным углам j и J и скоростям u:
(1.4.5)
Сферический угол J в общем случае изменяется от до p. В выражении (1.4.5) интегрирование по J произведено от до p/2, так как при интегрировании по J в пределах от p/2 до p рассматриваемые молекулы, как легко видеть из рис.8, будут иметь направление движения, соответствующее их удалению от площадки.
Разделив обе части соотношения (1.4.5) на dtdS, получим
(1.4.6)
Таким образом, выражение (1.4.6) определяет число ударов молекул газа в единицу времени о единичную площадку стенки сосуда.
Для выяснения смысла величины интеграла в выражении (1.4.6) умножим и разделим его на концентрацию молекул n=N/V.
(1.4.7)
Если обозначить через dNu число молекул в объеме V, которые имеют скорость от u до u + du, то dnu=dNu /V будет определять число таких молекул в единице объема газа. Величина же
(1.4.8)
при больших N представляет собой вероятность того, что случайно “взятая” в газе молекула будет иметь скорость, заключенную в интервале (u,u+du). Эта вероятность связана с функцией распределения (плотностью вероятности) следующим соотношением (см. А.23):
(1.4.9)
Функция распределения молекул по скоростям F(u) является важнейшей характеристикой равновесного состояния газа. Ее явный вид будет получен в последующих параграфах из весьма общих предпосылок.
С учетом формул (1.4.8) и (1.4.9), выражение (1.4.7) примет вид
(1.4.10)
Интеграл, стоящий в соотношении (1.4.10), представляет среднее значение скорости (см. формулу (А.25) Приложения А):
(1.4.11)
Поэтому
(1.4.12)
Как видно из выражения (1.4.12), число ударов молекул газа в единицу времени о единичную площадку пропорционально концентрации и средней скорости их движения, что находится в полном согласии с нашей интуицией.
Пример
1. В космическом корабле находится воздух объема V с концентрацией n0, поддерживаемый при постоянной температуре. За бортом корабля вакуум. Найти зависимость концентрации молекул воздуха в корабле от времени, если в тонкой части его стенки образовалось малое отверстие площади S?
Решение. Пусть через время t после образования отверстия концентрация воздуха в корабле стала равной n(t). Тогда число молекул воздуха, влетающих в отверстие площади S за время dt (от момента t до t+dt), согласно формуле (1.4.5)
dn= n(t)<u>Sdt (1.4.13)
Эти молекулы покидают кабину корабля. С другой стороны, это число молекул можно выразить иначе.
Изменение концентрации воздуха в корабле за время dt (от t до t+dt)
Откуда находим
dn = –Vdn (1.4.14)
Сравнивая выражения (1.36) и (1.37), получаем
(1.4.15)
Проинтегрируем равенство (1.4.15).
Откуда находим искомую зависимость концентрации от времени
(1.4.16)
Источник
1
Сколько молекул содержится в 1 см3 воды? Какова масса молекулы воды? Каков приблизительный размер молекулы воды?
Ответ и решение
n = 3,33·1022 1/см3; m = 2,99·10-26 кг; a = 3,11·10-10 м.
Масса 1 моля воды составляет 18 г, а его объем V — 18 см3. В 1 моле воды содержится число молекул, равное постоянной Авогадро NА = 6·1023. Число молекул в 1 см3n = NА/V = 3,33·1022. Масса одной молекулы m = 18/NА = 3·10-26 кг. Объем V0 одной молекулы приблизительно равен 1/n см3. Тогда размер молекулы составит
.
2
Хорошо откачанная лампа накаливания объемом 10 см3 имеет трещину, в которую ежесекундно проникает миллион частиц газа. Сколько времени понадобится для наполнения лампы до нормального давления, если скорость проникновения газа остается постоянной? Температура 0 °С.
Ответ и решение
t ≈ 8,5 млн. лет.
Найдем число частиц газа, необходимое для наполнения лампы:
N = VNЛ = 10·2,69·1019 см3·см-3 = 2,69·1020,
где V – объем лампы, NЛ – постоянная Лошмидта.
Время, необходимое для наполнения лампы со скоростью v = 106 с-1, равно:
t = N/v = 2,69·1020/(106·с-1) = 2,69·1014 c ≈ 8,5 млн. лет.
3
За 10 суток полностью испарилось из стакана 100 г воды. Сколько в среднем вылетало молекул с поверхности воды за 1 с?
Ответ и решение
≈ 3,8·1018 молекул в секунду.
Переведем время t испарения воды из суток в секунды:
t = 10 сут. = 8,64·105 с.
Поскольку 1 моль воды имеет массу 18 г, то, используя постоянную Авогадро, можно найти число N молекул в 100 г воды:
N = NА·100/18 = 3,3·1024 шт.
Теперь найдем скорость v испарения воды:
v = N/t ≈ 3,8·1018 c-1.
4
В озеро средней глубиной 10 м и площадью 10 км2 бросили кристаллик поваренной соли NaCl массой 0,01 г. Сколько ионов хлора оказалось бы в наперстке воды объемом 2 см3, зачерпнутом из этого озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась в озере?
Ответ и решение
≈ 2·106 ионов.
1 моль поваренной соли имеет массу 58,5 г, из которых 23 г — масса натрия, а 35,5 г — масса хлора. Чтобы рассчитать массу хлора в брошенном кристаллике хлора, решим систему из двух уравнений:
m(Na) + m(Cl) = 0,01
m(Na)/m(Cl) = 0,65
Из системы получим, m(Cl) = 6·10-3 г.
Теперь можно вычислить число частиц хлора N(Cl):
N(Cl) = NA· 6·10-3/35,5 ≈ 1020 ионов хлора.
Число ионов хлора в наперстке будет меньше полученного числа во столько раз, во сколько раз объем наперстка меньше объема озера. Найдем это число:
N = 1020·2·10-6/108 = 2·106 ионов хлора в наперстке.
5
Кристаллы поваренной соли NaCl кубической системы состоят из чередующихся атомов (ионов) Na и Cl.
Определить наименьшее расстояние между их центрами. Молярная масса поваренной соли ν = 58,5 г/моль, а ее плотность ρ = 2,2 г/см3.
Ответ и решение
r = 2,83·10-8 см.
Найдем сторону a куба, который занимает объем одного моля поваренной соли:
a = = 3 см.
Найдем, какое число ионов натрия и хлора приходится на одно ребро куба (общее число ионов натрия и хлора в 1 моле поваренной соли равно удвоенному числу молекул NaCl, т.е. 2NА):
n = ≈ 108 ионов.
Теперь найдем расстояние между ионами:
l = a/n = 2,83·10-8 см.
6
Кубическая кристаллическая решетка железа содержит один атом железа на элементарный куб, повторяя который, можно получить всю решетку кристалла. Определить расстояние между ближайшими атомами железа, если плотность железа ρ = 7,9 г/см3, атомная масса А = 56.
Ответ и решение
2,3·10-8 см.
Найдем сторону a куба, который занимает объем одного моля железа:
a = = 1,9 см.
Найдем, какое число атомов железа приходится на одно ребро куба (общее число атомов железа в 1 моле равно NА):
n = ≈ 8,4·107 атомов.
Теперь найдем расстояние между атомами железа:
l = a/n = 2,3·10-8 см.
7
На пути молекулярного пучка стоит «зеркальная» стенка. Найти давление, испытываемое этой стенкой, если скорость молекул в пучке v = 103 м/с, концентрация n = 5·1017 1/м3, масса m = 3,32·10-27 кг. Рассмотреть три случая: а) стенка расположена перпендикулярно скорости пучка и неподвижна; б) пучок движется по направлению, составляющему со стенкой угол α = 45°; в) стенка движется навстречу молекулам со скоростью u = 50 м/с.
Ответ
а) pа ≈ 3,3·10-3 Па; б) pб ≈ 2,4·10-3 Па; в) pв ≈ pа.
8
Как изменилось бы давление в сосуде с газом, если бы внезапно исчезли силы притяжения между его молекулами?
Ответ
Источник
Б.М.Львовский,
школа № 1126, г. Москва
ПредисловиеПредставленный учебный Учитель физики и | |
Содержание
| |
Список
| |
Урок | |
| Решите задачу 2, a. Каково давление азота, если средняя квадратичная скорость его молекул 500 м/с, а его плотность 1,36 кг/м3? | |
Урок | |
Задачи | |
| Задача 1. Как изменится давление водорода, находящегося в закрытом сосуде, если каждая молекула распадется на отдельные атомы, а средние квадраты скоростей не изменятся? | |
| Задача 2. Имеются два одинаковых сосуда. В одном из них находится кислород, а в другом – азот. Число молекул каждого газа и средние квадраты их скоростей одинаковы. Давление кислорода равно 32 кПа. Чему равно давление азота? | |
| Задача 3. В результате нагревания газа в закрытом сосуде средняя квадратичная скорость молекул увеличилась в 2 раза. Как изменилось давление? | |
| Задача 4. В сосуд, содержащий некоторое количество атомов гелия, добавляют такое же число молекул водорода, имеющих среднюю кинетическую энергию теплового движения, равную средней кинетической энергии теплового движения атомов гелия. Во сколько раз изменится давление в сосуде? | |
| Задача 5. Рассчитайте силу удара молекулы газа о стенку сосуда, если она движется перпендикулярно стенке со скоростью u, масса молекулы m0, а время ее соударения со стенкой dt. | |
| Задача 6. Сколько ударов Z молекул о стенку площадью S = 1 м2 происходит за 1 с? | |
| Задача 7 (проблемная). Спутник объемом V = 1000 м3 заполнен гелием. Метеорит пробил в стенке спутника отверстие площадью S = 1 см2. Оцените время, за которое давление упадет на 1%. Температуру внутри спутника считать неизменной. Средняя квадратичная скорость атомов гелия v = 500 м/с. | |
Пример дистанционного
компьтерного урока, отмеченного в числе
лауреатов 2-го всероссийского конкурса
«Дистанционный учитель года-2000», который был
проведен Российской академией образования,
Институтом общего среднего образования РАО и
центром дистанционного образования «Эйдос».
Адрес оргкомитета: https://www.eidos.ru/dist_teacher/index.htm E-mail: eidos@mailru.com. Как мы теперь
видим, можно получать образование, не выходя из
дома. Было бы желание! – Ред.
Источник