Скорости молекул газа в сосуде характеризуют одной из трех
Основные представления молекулярно-кинетической теории газов, как известно, базируются на модели идеального газа. Эта простая модель позволяет объяснить многие свойства газов в широком интервале давлений и температур.
Прежде всего, надо освоиться с порядком величин, характеризующих молекулярную теорию газов. Много ли молекул находится, скажем, в единице объема воздуха? Лучше всего за единицу объема взять не 1 м3, а 1 см3. Получится нагляднее.
Ранее была получена формула
P = nkT,
связывающая давление, оказываемое газом на стенки сосуда с числом молекул в единице объема n и абсолютной температурой Т. Величина k – это постоянная Больцмана, одна из универсальных физических констант, надежно определенная опытным путем. Подсчитаем число молекул воздуха при нормальных условиях, то есть при давлении в 1 атмосферу, что соответствует 1,01·105 Па, и при температуре Т = 273 К. Постоянную Больцмана возьмем из таблицы физических констант.
.
Итак,
.
Полученное число молекул заключено в 1 м3, так как все величины были выражены в системе СИ. В 1 cм3 будет в миллион раз меньше, потому что в 1 м3 миллион cм3. Учитывая это, запишем
.
Это число называется числом Лошмидта. С чем сравнить это число? Если бы в 1 cм3 было миллион молекул, то , если бы миллион миллионов, то . На самом же деле число Лошмидта еще в десять миллионов раз больше. Этот пример прекрасно характеризует масштабы, с которыми приходится иметь дело при изучении молекулярно-кинетической теории газов.
В технике очень часто используются приборы, в которых создается вакуум, то есть откачивается газ. Самые совершенные вакуумные насосы откачивают воздух до давления Па. Но и при этом в каждом кубическом сантиметре остаются десятки тысяч молекул.
Обсудив этот вопрос, перейдем к рассмотрению средней длины свободного пробега. Раньше было получено, что молекулы в единицу времени сталкиваются в среднем z раз и эта величина равна
,
где r – радиус молекулы, v – средняя скорость ее движения, n – число молекул в единице объема. Число это легко подсчитать. По порядку – это миллиарды столкновений в единицу времени при нормальных условиях.
Путь, проходимый молекулой между двумя столкновениями, называется средней длиной свободного пробега.
Получим среднюю длину свободного пробега, поделив путь, проходимый ею за единицу времени, на число столкновений в единицу времени. Но этот путь численно равен скорости, следовательно, длина свободного пробега равна
.
Оценим для воздуха при нормальных условиях
.
При этом расчете радиус молекулы, полученный экспериментально . Длина свободного пробега примерно равна миллионной доли миллиметра. Это при нормальных условиях. Если же уменьшать давление, то будет уменьшаться n-число молекул в единице объема. Но
,
то есть линейно зависит от давления. И если давление уменьшать, то соответственно будет увеличиваться длина свободного пробега. Когда длина свободного пробега становится больше размеров сосуда, молекулы не сталкиваются друг с другом, а только со стенками сосуда. В этом случае вакуум считается высоким.
Умножим левую и правую часть основного уравнения молекулярно-кинетической теории на объем одного моля газа
Отсюда можно получить среднюю квадратичную скорость молекул, которая приписывается газовым молекулам, чтобы объяснить производимое ими давление.
Действительно, в этом уравнении величины Р и V легко измеримы, величины же NA и m, хотя и неизмеримы непосредственно в отдельности, но произведение их, входящее в формулу, представляет собой численно молекулярную массу.
Подсчитаем среднюю квадратичную скорость молекул воздуха при нормальных условиях:
.
Принимая для воздуха µ = 29 , получим
.
Как велика эта скорость? Сравним ее со скоростью звука при тех же условиях. Скорость звука, равная 332 м/с, меньше скоростей молекул воздуха. В соответствии с расчетной формулой молекулы газа с меньшей молярной массой имеют большую скорость. Так для водорода при тех же условиях средняя квадратичная скорость равна 1840 м/с.
Пуля в стволе винтовки разгоняется ударами молекул газа, получающегося при взрыве пороха, поэтому создатели оружия стремятся увеличить температуру газа, толкающего пулю. Пуля вылетает из ствола, со скоростью большей скорости звука, но меньшей средней квадратичной скорости молекул газа.
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что скорости молекул неодинаковы. При рассмотрении вопроса о скоростях молекул Максвелл исходил из основной идеи, заключающейся в том, что сколь бы велико ни было число молекул, сколь бы ни были разнообразны условия столкновений молекул друг с другом, в среднем весь этот хаос должен удовлетворять одному непременному условию: состояние газа не должно меняться со временем. Это, в свою очередь, означает, что распределение молекул по скоростям должно быть не произвольным, а вполне определенным. Нельзя ставить вопрос о том, сколько молекул обладает заданной скоростью. Дело в том, что число молекул, имеющих математически точно заданную скорость, равно нулю. Число различных значений скорости бесконечно большое, а число молекул, хотя и велико, но конечно. Поэтому вопрос надо ставить следующим образом: какая часть, или лучше, какая доля молекул (от общего числа) обладает скоростями, лежащими в некотором интервале вблизи заданной скорости?
Пусть в единице объема находится n молекул. Обозначим через dn число молекул, обладающих скоростью в интервале от v до v + dv . Очевидно, что эти dn тем больше, чем шире этот интервал,
,
или
,
где а – некоторый коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент не постоянный, так как в равных интервалах скоростей число молекул должно быть различно. Учитывая это, запишем, что а есть функция от скорости
.
Учтем еще, что dn зависит и от числа молекул n в единице объема. Теперь запишем, что формула для величины dn будет выглядеть так:
,
или
,
Величина справа в этой формуле – доля молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv . Функция называется функцией распределения молекул по скоростям. Смысл функции распределения ясен из этой формулы. Перепишем ее так
и положим интервал скоростей , тогда
и численно равна доле молекул, скорости которых лежат в единичном интервале скоростей вблизи скорости v.
Максвелл получил теоретически эту функцию. Вывод ее требует применения высшей математики, поэтому приводим ее без вывода.
,
По кривой распределения можно графически определить относительное число молекул, обладающих скоростями в любом заданном интервале. Это число выражается площадью заштрихованной полосы, основанием которой является заданный интервал скоростей. Тогда, очевидно, что площадь, ограниченная кривой и осью скоростей, равна единице.
Распределение молекул по скоростям зависит от температуры газа. На рис.10 приведены кривые распределения молекул азота для температур 20oС и 500oС. Повышение температуры увеличивает скорости всех молекул, растет наивероятнейшая скорость, вся кривая смещается в сторону больших температур.
Площади, ограниченные этими кривыми и осью скоростей одинаковы для разных температур. Естественно, что максимумы кривых при увеличении температуры понижаются.
Кривые, отвечающие разным температурам, могут быть приведены к одной, если по оси ординат откладывать не скорости v, а относительную скорость.
.
В этом случае функция распределения Максвелла
.
На рис.11 дан точный график функции в зависимости от U.
Этот график позволяет легко найти число молекул, обладающих скоростями в любом интервале при любой температуре для любого газа.
В качестве примера рассмотрим такую задачу. Какая доля молекул кислорода обладает скоростью, лежащей между и при температуре 300 К? Сначала определим наивероятнейшую скорость:
.
Относительная скорость
.
Согласно графику при функция . Величина . Величина . Отсюда искомое число , то есть 0,41 % молекул кислорода при Т = 300 К обладают скоростями в интервале от 790 м/с до 800 м/с.
| Первое непосредственное опытное определение скоростей газовых молекул было проведено Штерном в 1920 году. В сильно разреженное пространство, то есть в высокий вакуум, помещалась платиновая проволока D, покрытая слоем серебра. Проволока натянута по оси двух цилиндров. Во внутреннем цилиндре имелась продольная щель (рис.12). При нагревании платиновой проволоки током серебро испарялось, получался молекулярный пучок, вылетающий из щели и достигающий внешнего цилиндра радиуса R в месте противоположном щели. Серебро, осаждаясь на внутренней поверхности цилиндра в точке А, оставляло след – узкую полоску. Затем весь прибор приводился в быстрое вращение вокруг оси, проходящей через проволоку в направлении, указанном стрелкой. След от пучка теперь попадал в точку В. |
Легко связать это смещение S со скоростью молекул v. Молекулы достигают стенки за время t, равное . За это время каждая точка на стенке сосуда пройдет путь
,
где – угловая скорость вращения прибора. Из этого выражения получим время t:
.
Приравнивая выражение для времени, получим
или .
По этой формуле и рассчитывалась скорость. Но след в точке В был не таким, как в точке А, он был размазан. Этого и следовало ожидать, так как атомы серебра вылетают с различными скоростями. Измерение плотности осевшего серебра позволило подтвердить справедливость распределения Максвелла молекул по скоростям.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
©2015- 2020 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.
Источник
Значительная часть явлений молекулярной физики определяется скоростями молекул. Несмотря на это, нахождение скоростей молекул газа приобретает как теоретического, так и практического значения.
Виды скоростей молекул газа
Скорости газовых молекул в результате их хаотического движения отличаются как по величине, так и по направлению. Скорость данной молекулы газа в данный момент времени есть величина случайная. В молекулярно-кинетической теории газов пользуются понятиями средней (vvv), средней квадратичной (vквv_{кв}vкв) и наиболее вероятной (νHν_HνH) скоростей. Эти скорости задаются для равновесных состояний газа.
Средняя (или среднеарифметическая) скорость определяется уравнением
v=1n∑i=1nviv=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}{{{v}_{i}}}v=n1i=1∑nvi
где viv_ivi – скорость iii-й молекулы;
nnn –количество молекул.
Средняя квадратичная скорость определяется как:
vкв=v2=3kTm{{v}_{кв}}=sqrt{{{v}^{2}}}=sqrt{frac{3kT}{m}}vкв=v2=m3kT
По этой формуле можно вычислить также скорость броуновских частиц. Конечно, при этом mmm –масса броуновской частицы.
Выражению vквv_{кв}vкв можно придать более удобный вид, умножив числитель и знаменатель под корнем на число Авогадро и учитывая, что kN=RkN = RkN=R и mN=МmN = МmN=М,
vкв=3RTM{{v}_{кв}}=sqrt{frac{3RT}{M}}vкв=M3RT
Среднюю квадратичную скорость называют еще тепловой. Значение vкв для газов достаточно велики. Так, для водорода при комнатной температуре vкв=1,9⋅103v_{кв} = 1,9 · 10^3vкв=1,9⋅103 м/с, то есть около 2 км/с.
Тепловая скорость, как видно из уравнения, пропорциональна корню температуры и обратно пропорциональна корню массы. Это обстоятельство определяет, что тепловое движение– достаточно интенсивно для молекул, заметно для микроскопически малых частиц, которые осуществляют броуновское движение, и совершенно незаметно для тяжелых тел.
Экспериментальное определение скоростей газовых молекул
Большой интерес представляет непосредственное экспериментальное определение скоростей газовых молекул. Оно является прямым подтверждением многих результатов и положений молекулярно-кинетической теории. Впервые такое исследование провел А. Штерн в 1920 г. Источником атомов, скорость которых измерялась, в опыте Штерна был молекулярный пучок атомов серебра Ag. Схема установки приведены на рис. 1. На оси системы двух коаксиальных цилиндрических поверхностей натянуто платиновый провод, покрытый слоем серебра.
Примечание
В других опытах использовали также висмут, кадмий, цезий.
Проволока разогревается электрическим током. Так, при температуре около 1300°С серебро с поверхности проволоки испаряется. Таким образом создавался линейный источник «Ag-лучей» и в камере цилиндров, воздух из которой предварительно откачивался при давлении 1,3 · 10-4 Па, образовывался одноатомный газ серебра. Часть атомов серебра через диафрагмы s1 и s2 проходила, образуя молекулярный пучок, к поверхности внешнего цилиндра, где оседала на прозрачной пластинке, создавая слой в виде узкой полосы.
Рис. 1
На первой стадии опыта Штерна установка находится в состоянии покоя. При достижении равновесного состояния (температура проволоки достигала определенного значения, которое определяли по её свечению) атомы серебра оседали у точки а1. На второй стадии опыта оба цилиндра приводились в достаточно быстрое вращение с частотой 41,7 с-1.
При этом атомы серебра, двигаясь в вакууме прямолинейно, оседали у точки b. Смещение полосы объясняется тем, что пока атомы серебра пролетают по инерции путь r, внешний цилиндр успевает вернуться на угол φ=ωtφ = ωtφ=ωt, то есть каждая точка внешнего цилиндра смещается на расстояние Δs=ωrtΔs = ωrtΔs=ωrt, где ωωω –угловая скорость его вращения; ttt –время, за который атомы серебра проходят путь r. Таким образом,
t=rv=Δsωrt=frac{r}{v}=frac{Delta s}{omega r}t=vr=ωrΔs
где vvv – скорость атомов серебра.
Отсюда
v=ωr2Δsv=frac{omega {{r}^{2}}}{Delta s}v=Δsωr2
Измеряя смещение полос атомов серебра ΔsΔsΔs и угловую скорость вращения прибора, можно определить скорость атомов серебра. Она приблизительно описывалась выражением
(3,5kTm)12{{left( 3,5frac{kT}{m} right)}^{frac{1}{2}}}(3,5mkT)21
что согласуется со средней скоростью молекул, которые определяются по формуле
v=8kTπmv=sqrt{frac{8kT}{pi m}}v=πm8kT
Результаты опытов Штерна показали, что на самом деле картина структуры полосы сложнее.
Смещенная возле точки b полоса была не резко ограниченной, а размытой (рис. 2).
Рис. 2
Несмотря на то, что атомы серебра имеют разные скорости, более быстрым атомам должны соответствовать меньшие смещения, а тем более медленным – большие. Таким образом, результаты опыта Штерна вполне передают реальную картину теплового движения молекул.
Тест по теме «Скорость движения молекул»
Источник
Каковы
скорости, с которыми движутся молекулы, в частности молекулы газов? Этот вопрос
естественно возник тотчас же, как были развиты представления о молекулах.
Долгое время скорости молекул удавалось оценить только косвенными расчетами, и
лишь затем были разработаны способы прямого определения скоростей газовых
молекул.
Прежде
всего уточним, что надо понимать под скоростью молекул. Напомним, что
вследствие частых столкновений скорость каждой отдельной молекулы все время
меняется: молекула движется то быстро, то медленно, и в течение некоторого
времени (например, одной секунды) скорость молекулы принимает множество самых
различных значений. С другой стороны, в какой-либо момент в громадном числе
молекул, составляющих рассматриваемый объем газа, имеются молекулы с самыми
различными скоростями. Очевидно, для характеристики состояния газа надо
говорить о некоторой средней скорости. Можно считать, что это есть среднее
значение скорости одной из молекул за достаточно длительный промежуток времени
или что это есть среднее значение скоростей всех молекул газа в данном объеме в
какой-нибудь момент времени.
Приведем
рассуждения, которые дают возможность вычислить среднюю скорость газовых
молекул.
В
§ 221 мы показали, что давление газа пропорционально , где — масса молекулы, — средняя скорость, а — число молекул
в единице объема. Точный расчет приводит к формуле
. (243.1)
Рассмотрим
газ, заключенный в сосуде, имеющем форму куба с ребром (рис. 389). Если газ
находится в равновесии, все направления движения молекул являются
равновероятными, так что молекулы ударяются о стенку сосуда, двигаясь под
различными углами (от до ) к нормали к стенке. Для упрощения
будем считать, что молекулы движутся только вдоль трех взаимно перпендикулярных
направлений, совпадающих с ребрами куба, причем вдоль каждого из них летит 1/3
всех молекул газа. На рис. 389 изображена одна из молекул, летящих вдоль
нормали к заштрихованной грани куба. Число таких молекул равно , где — число молекул
в единице объема.
Рис. 389.
Молекула, летящая вдоль нормали к заштрихованной грани куба
Пренебрегая
соударениями молекул друг с другом, можно считать, что рассматриваемая молекула
летит со средней скоростью , отражаясь поочередно от
противолежащих граней. За время между двумя последовательными ударами о
заштрихованную грань молекула пролетает путь, равный . Следовательно, она
ударяется о заштрихованную стенку раз за единицу времени. Всего
стенка испытает
ударов за единицу времени. Разделив
это выражение на , получим число ударов , которое
испытывает единица площади стенки за единицу времени. Таким образом
. (243.2)
Подставив это
значение в
формулу (221.1), найдем давление газа на стенку:
.
Мы пришли к
формуле (243.1).
Из формулы
(243.1) можно вывести ряд важных следствий. Перепишем эту формулу в виде
,
где
—
средняя кинетическая энергия одной молекулы. Пусть давления газа при
температурах и
равны и , а средние
кинетические энергии молекул при этих температурах равны и . В таком случае
.
Сравнивая
это соотношение с законом Шарля , найдем
.
Итак,
термодинамическая температура газа пропорциональна средней кинетической энергии
молекул газа. Напомним, что о связи температуры газа со средней кинетической
энергией его молекул мы уже говорили в § 216. Так как средняя кинетическая
энергия молекул пропорциональна квадрату средней скорости молекул, то наше
сопоставление приводит к выводу, что термодинамическая температура газа
пропорциональна квадрату средней скорости молекул газа и что скорость молекул
растет пропорционально корню квадратному из термодинамической температуры.
Теперь
возьмем два разных газа при одинаковых температурах и давлениях. Согласно
закону Авогадро (§ 241) число молекул в единице объема одинаково. В таком
случае мы можем написать
,
где индексы 1 и 2 относятся к
первому и второму газам; отсюда
,
т. е. при данной
температуре средние скорости молекул обратно пропорциональны корням квадратным
из масс молекул. Например, в смеси кислорода и водорода средняя скорость
молекул кислорода в четыре раза меньше средней скорости молекул водорода.
Наконец,
обратим внимание на то, что произведение есть масса молекул газа,
находящихся в единице объема, т. е. произведение есть плотность газа . Поэтому из
формулы (243.1) следует, что
. (243.4)
Эта
формула дает возможность вычислить среднюю скорость газовых молекул, если
известны давление и плотность газа. Результаты вычислений средних скоростей
молекул некоторых газов при приведены в табл. 8.
Таблица 8.
Средняя скорость молекул некоторых газов
Газ | Масса молекулы, | Средняя скорость, |
Водород | 0,33 | 1760 |
Кислород | 5,3 | 425 |
Азот | 4,6 | 450 |
Углекислый газ | 7,3 | 360 |
Пары воды | 3,0 | 570 |
Как
видно из таблицы, средние скорости молекул весьма значительны. При комнатной
температуре они обычно достигают сотен метров в секунду. В газе средняя
скорость движения молекул примерно в полтора раза больше, чем скорость звука в
этом же газе.
На
первый взгляд этот результат кажется очень странным. Представляется, что
молекулы не могут двигаться с такими большими скоростями: ведь диффузия даже в
газах, а тем более в жидкостях, идет медленно, во всяком случае гораздо
медленнее, чем распространяется звук. Дело, однако, в том, что, двигаясь,
молекулы очень часто сталкиваются друг с другом и при этом меняют направление
своего движения. Вследствие этого они двигаются то в одном направлении, то в
другом, в основном «толкутся» на одном месте (рис. 369). В результате, несмотря
на большую скорость движения в промежутках между столкновениями, они
продвигаются в каком-либо определенном направлении довольно медленно.
Табл.
8 показывает, что различие в скоростях разных молекул связано с различием их
масс. Это обстоятельство подтверждается рядом наблюдений. Например, водород
проникает сквозь узкие отверстия (поры) с большей скоростью, чем кислород или
азот, что можно обнаружить на таком опыте (рас. 390). Стеклянная воронка
закрыта пористым сосудом или бумагой и опущена концом в воду. Если воронку
накрыть стаканом, под который впустить водород (или светильный газ), то уровень
воды в конце воронки понизится и из нее начнут выходить пузырьки. Как это
объяснить?
Рис. 390.
Когда пространство под стаканом наполнено водородом, то из конца
воронки, закрытой пористым сосудом , выходят пузырьки
Сквозь
узкие поры в сосуде или в бумаге могут проходить и молекулы воздуха (из воронки
в стакан), и молекулы водорода (из стакана в воронку). Но быстрота этих процессов
различна. Различие в размерах молекул не играет при этом существенной роли, ибо
различие это невелико, особенно по сравнению с размерами пор: молекула водорода
имеет «длину» (§ 214) около, а молекула кислорода или азота —
около ,
сечение же пор в тысячи раз больше. Скорость же молекул водорода примерно в 4
раза больше скорости молекул воздуха. Поэтому молекулы водорода быстрее
проникают из стакана в воронку. В результате в воронке получается избыток
молекул, давление увеличивается и смесь газов в виде пузырьков выходит наружу.
Подобными
приборами пользуются для обнаружения примеси рудничных газов в воздухе, могущих
вызвать взрыв в рудниках.
243.1.
Если в только что описанном опыте снять с воронки стакан, наполненный
водородом, то вода начнет втягиваться внутрь воронки. Объясните явление.
243.2.Пользуясь табл.
7, вычислите, средние скорости молекул гелия и углекислого газа при .
243.3.Пользуясь табл.
8, вычислите средние скорости молекул водорода при и молекул азота при .
Источник