Сообщающиеся сосуды песочные часы
Сообщающиеся сосуды – это сосуды, соединенные между собой ниже уровня жидкости в каждом из сосудов. Таким образом жидкость может перемещаться из одного сосуда в другой.
Перед тем как понять принцип действия сообщающихся сосудов и варианты их использования необходимо определиться в понятиях, а точнее разобраться с основным уравнением гидростатики.
Итак, сообщающиеся сосуды имеют одно общее дно и закон о сообщающихся сосудах гласит:
Какую бы форму не имели такие сосуды, на поверхности однородных жидкостей в состоянии покоя на одном уровне действует одинаковое давление.
Для иллюстрации этого закона и возможностей его применения начнем с рассмотрения основного уравнения гидростатики.
Основное уравнение гидростатики
P = P1 + ρgh
где P1 – это среднее давление на верхний торец призмы,
P – давление на нижний торец,
g – ускорение свободного падения,
h – глубина погружения призмы под свободной поверхностью жидкости.
ρgh – сила тяжести (вес призмы).
Звучит уравнение так:
Давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается в жидкости одинаково во всех направлениях.
Из написанного выше уравнения следует, что если давление, например в верхней точке изменится на какую-то величину ΔР, то на такую же величину изменится давление в любой другой точке жидкости
Доказательство закона сообщающихся сосудов
Возвращаемся к разговору про сообщающиеся сосуды.
Предположим, что имеются два сообщающихся сосуда А и В, заполненные различными жидкостями с плотностями ρ1 и ρ2. Будем считать, что в общем случае сосуды закрыты и давления на свободных поверхностях жидкости в них соответственно равны P1 и P2.
Пусть поверхностью раздела жидкостей будет поверхность ab в сосуде А и слой жидкости в этом сосуде равен h1. Определим в заданных условиях уровень воды в сообщающихся сосудах – начнем с сосуда В.
Гидростатическое давление в плоскости ab, в соответствии с уравнение гидростатики
P = P1 + ρgh1
если определять его, исходя из известного давления P1 на поверхность жидкости в сосуде А.
Это давление можно определить следующим образом
P = P2 + ρgh2
где h2 – искомая глубина нагружения поверхности ab под уровнем жидкости в сосуде В. Отсюда выводим условие для определения величины h2
P1 + ρ1gh1 = P2 + ρ2gh2
В частном случае, когда сосуды открыты (двление на свободной поверхности равно атмосферному), а следовательно P1 = P2 = Pатм , имеем
ρ1h1 = ρ2h2
или
ρ1 / ρ2 = h2 / h1
т.е. закон сообщающихся сосудов состоит в следующем.
В сообщающихся сосудах при одинаковом давлении на свободных поверхностях высоты жидкостей, отсчитываемые от поверхности раздела, обратно пропорциональны плотностям жидкостей.
Свойства сообщающихся сосудов
Если уровень в сосудах одинаковый, то жидкость одинаково давит на стенки обоих сосудов. А можно ли изменить уровень жидкости в одном из сосудов.
Можно. С помощью перегородки. Перегородка, установленная между сосудами перекроет сообщение. Далее доливая жидкость в один из сосудов мы создаем так называемый подпор – давление столба жидкости.
Если затем убрать перегородку, то жидкость начнет перетекать в тот сосуд где её уровень ниже до тех пор пока высота жидкости в обоих сосудах не станет одинаковой.
В быту этот принцип используется например в водонапорной башне. Наполняя водой высокую башню в ней создают подпор. Затем открывают вентили, расположенные на нижнем этаже и вода устремляется по трубопроводам в каждый подключенный к водоснабжению дом.
Приборы основанные на законе сообщающихся сосудов
На принципе сообщающихся сосудов основано устройство очень простого прибора для определения плотности жидкости. Этот прибор представляет собой два сообщающихся сосуда – две вертикальные стеклянные трубки А и В, соединенные между собой изогнутым коленом С. Одна из вертикальных трубок заполняется исследуемой жидкостью, а другая жидкостью известной плотности ρ1 (например водой), причем в таких количествах, чтобы уровни жидкости в среднем колене находились на одной и той же отметке прибора 0.
Затем измеряют высоты стояния жидкостей в трубках над этой отметкой h1 и h2. И имея ввиду, что эти высоты обратно пропорциональны плотностям легко находят плотность исследуемой жидкости.
В случае, когда оба сосуде заполнены одной и той же жидкостью – высоты, на которые поднимется жидкость в сообщающихся сосудах, будут одинаковы. На этом принципе основано устройство так называемого водометного стекла А. Его применяют для определения уровня жидкости в закрытых сосудах, например резервуарах, паровых котлах и т.д.
Принцип сообщающихся сосудов заложен в основе ряда других приборов, предназначенных для измерения давления.
Применение сообщающихся сосудов
Простейшим прибором жидкостного типа является пьезометр, измеряющий давление в жидкости высотой столба той же жидкости.
Пьезометр представляет собой стеклянную трубку небольшого диаметра (обычно не более 5 мм), открытую с одного конца и вторым концом присоединяемую к сосуду, в котором измеряется давление.
Высота поднятия жидкости в пьезометрической трубке – так называемая пьезометрическая высота – характеризует избыточное давление в сосуде и может служить мерой для определения его величины.
Пьезометр – очень чувствительный и точный прибор, но он удобен только для измерения небольших давлений. При больших давлениях трубка пьезометра получается очень длинной, что усложняет измерения.
В этом случае используют жидкостные манометры, в которых давление уравновешивается не жидкостью, которой может быть вода в сообщающихся сосудах, а жидкостью большей плотности. Обычно такой жидкостью выступает ртуть.
Так как плотность ртути в 13,6 раз больше плотности воды и при измерении одних и тех же давлений трубка ртутного манометра оказывается значительно короче пьезометрической трубки и сам прибор получается компактнее.
В случае если необходимо измерить не давление в сосуде, а разность давлений в двух сосудах или, например, в двух точках жидкости в одном и том же сосуде применяют дифференциальные манометры.
Сообщающиеся сосуды находят применение в водяных и ртутных приборах жидкостного типа, но ограничиваются областью сравнительно небольших давлений – в основном они применяются в лабораториях, где ценятся благодаря своей простоте и высокой точности.
Когда необходимо измерить большое давление применяются приборы основанные на механических принципах. Наиболее распространенный из них – пружинный манометр. Под действием давления пружина манометра частично распрямляется и посредством зубчатого механизма приводит в движение стрелку, по отклонению которой на циферблате показана величина давления.
Видео по теме
Ещё одним устройством использующим принцип сообщающихся сосудов хорошо знакомым автолюбителем является гидравлический пресс(домкрат). Конструктивно он состоит из двух цилиндров: одного большого, другого маленького. При воздействии на поршень малого цилиндра на большой передается усилие во столько раз большего давления во сколько площадь большого поршня больше площади малого.
Вместе со статьей “Закон сообщающихся сосудов и его применение.” читают:
Источник
Первые песочные часы появились сравнительно недавно – всего тысячу лет назад. Хотя разного рода сыпучие индикаторы времени были известны давно, относительно точный прибор получилось создать только после должного развития стеклодувного мастерства. Состоят эти часы из двух сообщающихся сосудов с песком. Часы эти можно переворачивать, и тогда песок из верхнего сосуда через узенькое отверстие – горловину начинает пересыпаться в нижний, начиная отсчет времени. Варьируя размеры сосудов, количество песка и размер горловины, часы настраивают на необходимое время, от нескольких секунд, до нескольких часов. Но из-за необходимости все время переворачивать часы после опорожнения колбы, при помощи песочных часов можно измерять лишь небольшие промежутки времени, обычно не более получаса.
На кораблях применялись песочные часы на четыре часа для обозначения одной вахты, получасовые (интервал отбивания склянок) и 30-секундные для определения скорости хода корабля по лагу.
Точность песочных часов зависит от равномерной зернистости и сыпучести песка, формы колбы, качества ее поверхности. Колбы заполняются отожженным и просеянным через мелкое сито, тщательно высушенным мелкозернистым песком. При длительном использовании, песчаные зерна дробятся на более мелкие, внутренняя поверхность колб повреждается песком, а отверстие горловины увеличивается от трения песка, что снижает точность песочных часов.
Песочные часы применяют и сегодня, например, в медицине при прохождении пациентами физиопроцедур, а также в качестве сувенирной продукции.
Сувенирные песочные часы.
Сувенирные песочные часы.
В Японии, в музее песка Нима, установлены одни из самых крупных песочных часов в мире с периодом в один год: их высота составляет 5,2 метра, диаметр – 1 метр, а вес песка в них равен одной тонне. Ежегодно в новогоднюю ночь в музее Нима проводится мероприятие по переводу однолетних песочных часов. В 23:55 31 декабря 108 мужчин и женщин, которые родились в этом году с тем же знаком китайского зодиака, как и в текущем году, опрокидывают однолетние песочные часы, начиная отсчет Нового года.
Песочные часы в музее песка в Ниме, Япония.
С 31 декабря 2004 года в венгерской столице – Будапеште начали отсчитывать время уникальные песочные часы с годичным циклом, изготовленные из гранита, нержавеющей стали и ударопрочного стекла высотой в восемь метров, названные «Колесом Времени». Часы установлены на основании с катками, позволяющими осуществлять поворот часов вручную с помощью тросов.
“Колесо времени” – песочные часы в Будапеште.
На Красной площади Москвы, перед Собором Василия Блаженного, по заказу немецкого концерна BMW, в честь открытия торжественного мероприятия BMW под слоганом «Никогда не стой на месте!», были запущены самые большие в мире песочные часы, высотой 11,9 метров! Часы отсчитывали время до 8 июля 2008 года, когда BMW презентовал новый автомобиль. Это чудо инженерной мысли было построено из акрилового стекла и нержавеющей стали и весит 40 тонн. Сборка конструкции заняла 9 дней, а в верхней колбе, заполненной 180 тысячами металлических блестящих шариков разместился почти 5-метровый автомобиль BMW.
Премьера BMW 7 серии на Красной площади Москвы.
Колба Московских песочных часов с автомобилем внутри.
Источник
Песочные часы – простейший прибор для отсчета времени
Среди лабораторного оборудования и приборов особое место 
занимают измерительные приборы. Они предназначены как для измерения определенных параметров: температуры, давления, плотности, так и для определения интервала времени. Несмотря на огромный ассортимент современных электронных, кварцевых часов, особое предпочтение в лабораторной практике было и остается песочным часам. В чем секрет их востребованности? Пожалуй, это самый простой, удобный и дешевый способ отсчитывания времени.
Неудивительно, но такую же параллель можно провести и с лабораторными весами. Среди существующих ныне множества видов весов электронных лабораторных, а также аналитических весов, все же предпочтение отдается обычным лабораторным весам, конструкция которых очень проста: две чаши, подвешенные на штатив. Как и песочные часы, лабораторные весы обязаны своей популярности, прежде всего, простоте, наглядности, удобству и долговечности, и, что немало важно, – безопасности и низкой цене. Благодаря таким надежным и доступным преимуществам сфера их применения достаточно обширна: различные лаборатории (школьные, научно-исследовательские, производственные), медицинские учреждения (физиотерапевтические, процедурные кабинеты), домашние условия – в быту.
Несколько фактов из истории
В истории нет точных сведений о дате возникновения этих часов. Однако известно, что песочными часами пользовались в Азии еще до н.э.. В Европе они появились значительно позже и быстро стали популярными, особенно среди мореплавателей (в пасмурную погоду, когда не было возможности по небесным светилам определять время).
На протяжении многих веков ученые не раз пытались усовершенствовать конструкцию таких весов: заменить песок на ртуть, изобрести пружинные механизмы для переворачивания часов. Но все эти попытки были напрасны, так как ценность песочных часов заключается в их простоте.
Понятие и принцип работы
Первое знакомство с этими часами для большинства нас началось еще с уроков химии. Незатейливый прибор, который, скорее всего, напоминает детскую забавную игрушку, является одним из первых лабораторных измерительных приборов. Ими пользовались еще в средневековые времена алхимики, маги. Почти в таком же неизменном виде они дошли и до нашего времени.
Песочные часы (медицинские часы) – прибор, который состоит из двух сосудов, соединенных между собой узкой горловиной. Принцип работы основан на пересыпании песка, цинковой или свинцовой пыли, молотой яичной скорлупы, соли или других сыпучих веществ из одной емкости в другую. Интервал от начала пересыпания до окончания – это измерительное время. Оно может составлять от нескольких секунд до нескольких часов. Но самыми востребованными являются часы с измерением времени от до 1 до 20 минут.
Как и много веков назад, емкости для песочных часов изготавливаются из специального лабораторного стекла, основания – из различных материалов: дерева, пластика, металла, мрамора и других. Стекло, как материал для сосудов, выбран неслучайно. Как и лабораторная посуда из стекла, они должны быть прозрачны, влагонепроницаемы, выдерживать большие температурные перепады. Для удобства определения интервала измеряемого времени пластиковые подставки окрашиваются в различные цвета. Кроме того, на колбах указывается расчетное время часов.
Несмотря на большое количество преимуществ, все же песочные часы имеют и несколько недостатков:
– достаточно короткий интервал измерительного времени;
– при длительном использовании ухудшается внутренняя поверхность колбы, увеличивается диаметр горлышка;
– не исключено дробление песчаных или других зерен на более мелкие.
Все вышеперечисленные факты в комплексе ухудшают точность измерительного прибора. Кроме того, нужно отметить, что даже самые исправно работающие песочные часы, в зависимости от интервала измеряемого времени, имеют погрешность от ± 4 до ± 30 с.
Помимо выполнения своих профессиональных функций, песочные часы в хорошем дизайнерском исполнении являются отличным сувениром, как символ хранителя времени.
От чего зависит точность песочных часов? 
– от формы колб;
– качества внутренней поверхности (гладкости);
– от вида, прочности и качества сыпучего материала (равномерной зернистости и отсутствия возможности дробления).
Сертифицированное лабораторное оборудование в Москве, как и химические реактивы, измерительные приборы: ареометр купить, купить весы лабораторные лучше всего в специализированном магазине химических реактивов Москва розница “Prime Chemicals Group”. Возможна продажа любой продукции оптом с доставкой как по городу, так и по всему Московскому региону.
“Прайм Кемикалс Групп» – Ваш надежный партнер в оснащении лаборатории, медицинских и научно-производственных учреждений продукцией с сертификатом качества по приемлемым ценам.
Источник
МБОУ Новосёлковаская СОШ
Арзамасского района
Работа реферативного характера с элементами
самостоятельного поиска
Тема: «Арифметика песочных часов»
Выполнила ученица 10 класса
Усанова Анна Владимировна
Руководитель:
Филатова Анастасия Николаевна
учитель математики первой
квалификационной категории.
Нижегородская область
Арзамасский район
д.Бебяево д.40В
novoselkii@mail.ru
2014-2015
Введение.
Летом я отдыхала в лагере и за победу в одном из конкурсов мне подарили чисто символический подарок – песочные часы. Стоят они у меня на столике и навели меня на следующие мысли: когда появились песочные часы, принцип их работы и разнообразия, а также их арифметика.
Трудно представить себе современную жизнь без возможности точно ориентироваться в окружающем нас мире.
За свою историю человек изобрел множество видов часов: солнечные, огненные, водяные, песочные, механические, электрические, электронные, атомные….
Солнечные часы теперь можно встретить на зданиях как украшение. Об огненных часах напоминают свечи на новогодних елках. Водяные и песочные часы заявляют о себе в восклицании: ваше время истекло! Правда, кое-где в процедурных кабинетах поликлиник еще сохранились песочные часы на 3, 5 и 10 минут. Но и там они не могут составить конкуренцию электрическим и электронным таймерам, которые вытесняют эти изобретения тысячелетней давности, как ЭВМ и микрокалькуляторы вытесняют конторские счеты и арифмометры.
Но все-таки мне хочется поразмышлять немного о песочных часах – стеклянном баллончике с перетянутой по осиному талией, через которую из одной половинки часов в другую пересыпается мелкий прокаленный песок.
Цель:
1.Проследить историю возникновения различных видов часов.
2.Подобрать и проанализировать литературу по данной теме.
3.Разобраться в арифметике песочных часов.
Раз – секунда пролетела,
Оглянуться не успела.
Шестьдесят секунд промчались –
И минутой оказались.
Ну а шестьдесят минут
Целый час с собой ведут.
Час за часом двадцать раз
И четыре про запас –
Сутки полные проходят
День и ночь с собой уводят.
Содержание.
Введение
1.История часов
2.Арифметика песочных часов.
III. Заключение.
Литература
История часов.
Когда мы употребляем слово «часы», при этом имеем в виду механизм для измерения времени. Но известно ли вам, что человек изобрел множество способов измерять время еще до того, как были придуманы первые механические часы. Сначала люди измеряли время в восходах и заходах солнца. Уменьшение или, наоборот, увеличение тени, падающей от различных предметов — палок, камней, деревьев, помогало человеку, пусть очень приблизительно, ориентироваться по времени. Звезды также служили людям в качестве гигантских часов, ведь человек давно заметил, что ночью в разное время видны разные звезды.
Древние египтяне делили ночь на двенадцать временных промежутков, каждый из которых начинался с восходом одной из двенадцати звезд. Кстати, на столько же промежутков делили египтяне и день. Получается, что наше деление суток на двадцать четыре часа основывается на представлениях древних египтян. Египтяне, между прочим, создали и так называемые теневые (мы их называем солнечные) часы. Они представляли из себя простую деревянную доску с отметинами. Теневые часы, разделенные на двенадцать дневных промежутков, и стали первым изобретением человека, предназначенным для измерения времени.
В других механизмах для измерения времени люди стали использовать огонь и воду. Оказывается, время можно измерить при помощи горящей свечи с надрезами по краям. Ведь за равные промежутки времени сгорают равные части свечи. И если зарубками отметить часть, сгорающую за, допустим, минуту, то с помощью свечи можно будет довольно точно измерять время. В других часах использовались вода и тарелка или блюдо. Если в блюде проделать небольшую дыру и положить его на воду, то через некоторое время вода заполнит блюдо и оно затонет. Если знать, что вода заполняет блюдо за, допустим, пятнадцать минут, то с помощью и этого нехитрого приспособления можно будет измерять время.
Около 140 года до нашей эры древние греки и римляне придумали способ усовершенствования водяных часов. В контейнер с водой, уровень которой постепенно поднимался, они помещали поплавок. Поплавок специальным приспособлением прикреплялся к зубчатому колесу — шестеренке. Когда вода достигала определенного уровня, колесо проворачивалось на один зубец. Одновременно поворачивалась и прикрепленная к нему стрелка.
Первые настоящие механические часы были изобретены более тысячи четырехсот лет тому назад. В этих часах к механизму крепилась катушка с цепочкой и грузом на конце. Под действием груза катушка вращалась, цепочка разматывалась. С помощью нескольких шестеренок и регулятора движение передавалось на стрелку, которая двигалась по циферблату.
Примерно две тысячи лет тому назад человек изобрел еще один прибор для измерения времени — песочные часы. Они состояли из двух сообщающихся сосудов с песком. Сосуды эти можно было переворачивать, и тогда песок из верхнего через узенькое отверстие начинал пересыпаться в нижний. Если один из сосудов наполнить таким количеством песка, чтобы тот пересыпался в нижнюю часть ровно за один час, то тогда и с помощью этого приспособления можно было довольно точно следить за временем.
Арифметика песочных часов.
В энциклопедической литературе я узнала следующую информацию о песочных часах.
Песо́чные часы́ — простейший прибор для отсчёта промежутков времени, состоящий из двух сосудов, соединённых узкой горловиной, один из которых частично заполнен песком. Время, за которое песок через горловину пересыпается в другой сосуд, может составлять от нескольких секунд, до нескольких часов.
Одним из первых упоминаний о таких часах является обнаруженное в Париже сообщение, в котором содержится указание по приготовлению тонкого песка из порошка чёрного мрамора, прокипячённого в вине и высушенного на солнце[1]. На кораблях применялись четырёхчасовые песочные часы (время одной вахты) и 30-секундные для определения скорости корабля по лагу.
В настоящее время песочные часы используются при проведении некоторых врачебных процедур, в фотографии, а также в качестве сувениров.
В операционных системах Windows символ песочных часов, в который обращается указатель мыши используется для индикации занятости системы.
⌛ — символ песочных часов в Юникоде (HOURGLASS, код U+231B).
Недостатком песочных часов является короткий интервал времени, который можно измерить с их помощью. Часы, получившие распространение в Европе, обычно были рассчитаны на работу в течение получаса или часа. Встречались часы, работающие в течение 3 часов, очень редко — 12 часов. Для увеличения интервала измерения составлялись наборы песочных часов в одном корпусе (футляре).
Точность песочных часов зависит от равномерной зернистости и сыпучести песка, формы колбы, качества её поверхности. Колбы заполнялись отожжённым и просеянным через мелкое сито и тщательно высушенным мелкозернистым песком. В качестве исходного материала также использовались молотая яичная скорлупа, цинковая и свинцовая пыль. При длительном использовании точность песочных часов ухудшается из-за повреждения песком внутренней поверхности колбы, увеличения диаметра отверстия в диафрагме между колбами и дробления песчаных зёрен на более мелкие.
Песочные часы…
Если это – трехминутные часы, то песок пересыпается за три минуты. Если их тут же перевернуть, то можно отмерить 6 минут. Еще раз перевернув их в момент полного пересыпания песка, можно дождаться окончания девятиминутного интервала. Понятно, что таким образом можно отмерить любое целое число минут, кратное трем.
Ну а если у меня есть пара песочных часов- трехминутные и пятиминутные, – то я смогу еще отмерять время, кратное 5 минутам. Таким образом, я могу отмерить 3,5,6,10 минут… Кроме того, можно отмерить и 8 минут: сначала отсчитаем 5 минут на одних часах, а потом 3 минуты на других. А 11 минут? Тоже можно, потому что 11= 2*3+5. И 12 минут отмерить можно, так как 12= 4*3. Хочу проверить можно ли отмерить и 13, и 14, и 15 минут.
А может быть, я смогу отмерять любое целое число минут, больше 7? Конечно же! Если мы умеем отмерять 8, 9, и 10 минут, то добавляя по 3 минуты, получим 11,12 и 13 минут, добавляя еще по 3 минуты, получим 14, 15 и 16 минут и т.д.
Замечу, что заодно я показала, что всякую сумму в целое число рублей, большую семи рублей, можно уплатить купюрами достоинством в 3 и 5 рублей. На бумажных деньгах доказательство можно провести и иначе.
Пусть мы можем уплатить некоторое число рублей, большее семи; покажем, что в таком случае мы можем уплатить сумму и на 1 рубль большую. Отсюда, как говорят, по индукции – и будет следовать наше утверждение.
Действительно, если в имеющейся сумме есть купюра в 5 рублей, то, заменив ее двумя «трешками», мы увеличим сумму на 1 рубль. Если же в сумме нет ни одной «пятерки», то там не менее трех «трешек» ( сумма больше семи). Заменив три «трешки» двумя «пятерками», мы и в этом случае увеличим сумму на 1 рубль. Доказательство окончено.
Но вернусь к песочным часам. Если у нас на руках только пятиминутные и десятиминутные часы, то, как нетрудно понять, с их помощью мы сможем отмерять только промежутки времени, кратные 5 минутам. И вообще, если у нас есть к– минутные и m- минутные песочные часы, то время, отмеренное с их помощью, будет кратно НОД(к, m)- наибольшему общему делителю чисел к и m. Числа 3 и 5 взаимно просты, их наибольший общий делитель равен 1; числа 3 и 10 тоже взаимно просты. Оказывается, что с помощью трехминутных и десятиминутных песочных часов можно отмерить любое целое число минут, большее семнадцати. Действительно, 18=6*3, 19=10+3*3, 20=2* 10. А дальше, как и прежде, добавляем нужное число раз трехминутные интервалы.
Ну а в общем случае? Оказывается, что если числа kи mвзаимно просты, то при помощи k– минутных и m– минутных часов можно отмерить любое целое количество минут, большее km– k–m. Заметчу, кстати, что 3*5-3-5=7, а 3*10-3-10=17, т.е. трехминутными и пятиминутными часами можно отмерить любой целочисленный интервал времени, больший семи минут; а трехминутными и десятиминутными часами – любой целочисленный интервал времени, больший семнадцати минут, что мы и видели раньше.
Докажем, что ровно km–k–m минут с помощью k–минутных и m-минутных часов при взаимно простых числах k и m отмерить нельзя. В самом деле, пусть мы смогли это сделать, «запуская» k– минутные часы xраз, а m-минутные – у раз. Тогда km–k–m=xk + ym, или k(x+1)=m(k-1-y) .Так как kи mвзаимно просты, число k-1-y должно делиться на k( причем k-1-y>0 ). Но k-1-y<k. Получили противоречие.
Таким образом, мы доказали, что, с помощью трехминутных и пятиминутных песочных часов невозможно отмерить промежуток времени в 7 минут. А теперь совершим невозможное – отмерим 7 минут с помощью этих часов! А как же наше доказательство? Доказательство верно, но лишь при том предположении, что очередной пуск часов происходит после полного пересыпания песка у работавших до этого часов. Это предположение естественно для одних часов, поскольку с их помощью мы не можем отмечать промежутки времени, меньшие того, на который эти часы рассчитаны. Но, имея двое часов, мы получаем новые возможности.
Запустим одновременно трехминутные и пятиминутные часы. В тот момент, когда на трехминутных часах упадет вниз последняя песчинка, остановим пятиминутные часы. Сделать это очень просто- стоит лишь положить их набок. Теперь пятиминутные часы «настроены» на 2 минуты, т.е. с их помощью мы можем отмерить две минуты, а значит, и 7 минут : 7=2+5.
Итак, с помощью трехминутных и пятиминутных часов мы можем отмерить промежутки времени в 2,3,5,6,7,8 и любое большее число минут. Остались неясными промежутки в 1 и 4 минуты. Может быть, их тоже можно отмерить? Конечно. «Запустим» наши часы одновременно. В тот момент, когда на трехминутных часах истечет песок, переворачиваем их и, тем самым, начинаем новую трехминутку ,но прервем ее в тот момент, когда вторые часы отмерят свои 5 минут. Остановленные трехминутные часы окажутся «настроенными» на 1 минуту ( 2*3-5=1). Получить теперь 4 минуты не представляет труда, поскольку 4=1+3.
А можно ли с помощью трехминутных и десятиминутных часов получить все целые промежутки времени от 1 до 17 минут? Думаю, что – да.
Почему я уверена в том, что это можно сделать? Дело в том, что имеет место следующая теорема:
Если k и m– взаимно простые числа, то для любого целого числа n можно подобрать такие целые числа x и y, что xk+ym=n. Какое отношение к песочным часам имеет эта теорема? Самое прямое. Из нее следует, что при наличии k–минутных и m–минутных часов, а потом еще уkминут с помощьюm–минутных. Если же одно из них, например у, отрицательно, то запускаем одновременно те и другие часы, из которых высыпался песок, и в тот момент, когда m–минутные часы отсчитывают свои ( –ym) минут (y<0!), останавливаем k–минутные часы. Теперь, чтобы отсчитать nминут, следует запустить k–минутные часы и поддерживать их в работающем состоянии до тех пор, пока они не закончат отсчет xkминут.
Таким образом, запущенные после остановкиk–минутные часы отсчитают xk-(-y)m=xk+ym=nминут.
Но как найти решения уравнения xk+ym=n?Оказывается, достаточно научиться решать уравнения xk+ym=1: если x=a, y=b – решение этого уравнения, то x=na, y=nb – решение уравнения xk+ym=n.
Да, но как найти какое-нибудь решение уравнения xk+ym=1? Способов довольно много, опишу самый простой, но, наверное, не самый короткий.
Запишем это уравнение в виде y=(1-xk):mи будем придавать числу xзначения 0,1,2, .., m-1. Покажем, что если числа kи mвзаимно просты, то при одном из этих значений число (1-xk):mбудет целым. Найдем остатки от деления на mчисел 1-0*k, 1-1*k, …, 1-(m-1)*k.Они попарно различны, ибо в противном случае число (1-x1k)-(1-x2k)=(x2–x1)kделилось бы на m, а значит, и x2–x1 делилось бы на m(kmвзаимно просты!), что невозможно, так какx2–x1<m.Итак, при некотором из указанных значений x остаток равен нулю; след