Сосуд движется с ускорением
В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.
1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус – замедлению ) (см. рисунок).
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции. Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле
p = p0 + ρ·(g·z ± a·x),
Для свободной поверхности жидкости, когда р=p0, уравнение принимает вид:
g·z = ± a·x
или
z/x = tg α = ± a/g,
где α – угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.
Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l) высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.
Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:
p = p0 + ρ·g·z = p0·γ
В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.
2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:
p = p0 + γ·((ω2·r2)/(2·g) – z)
Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p0, уравнение принимает вид:
z = (ω2·r2)/(2·g) = u2/(2·g),
где окружная скорость u = ω·r (r – радиус вращения точки).
Высота параболоида вращения:
h = ω2·r20/(2·g),
где r0 – радиус цилиндрического сосуда.
Сила давления жидкости на дно сосуда:
P = γ·π·r20·h0 = γ·π·r20·(h1 + h/2),
где h0 – начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.
Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h1 + h и основанием γ·(h1 + h).
3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω2 (см. рисунок а).
При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).
Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:
p = p0 + γ·ω2·(r2 – r20)/(2·g)
где p и p0 – соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r0.
Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r0 и давлением во всех ее точках р0.
Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в. Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.
Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.
Источник
С. Н. Манида
Установлена зависимость силы гидростатического давления (силы Архимеда) от плотности свободного тела, погруженного в жидкость.
1. Закон Архимеда для неподвижных тел
Любое тело, погруженное в жидкость, подвергается сжимающему и выталкивающему действию со стороны жидкости.
Представим такую ситуацию: ученый, владеющий современными приборами и мощным математическим аппаратом, решил вычислить силу, выталкивающую из жидкости погруженное в нее тело.
Он экспериментально установит, что на единицу поверхности тела, погруженного в жидкость с плотностью действует по нормали к поверхности сила гидростатического давления p, зависящая от глубины погружения h по определенному закону (gh) и не зависящая от ориентации поверхности.
Он сложит векторы сил давления, действующих на различные элементы поверхности тела и направленные по нормали к ним; для этого потребуется вычислить так называемый поверхностный интеграл от некоторой векторной функции по поверхности тела сложной формы. С помощью современного математического аппарата и мощных компьютеров этот интеграл может быть вычислен. Но каково же будет изумление этого ученого, когда окажется, что полученный результат численно равен весу жидкост и в объеме погруженной части тела! Этот результат был получен греческим ученым Архимедом 2200 лет назад, причем в общем виде – для тел любой формы!
Попробуем восстановить ход рассуждений Архимеда и вывести его закон.
На рис. 1, изображено тело, помещенное в жидкость. На это тело со стороны жидкости действует описанная выше сила гидростатического давления. Для нахождения этой силы вместо вычисления сложных интегралов проведем мысленный эксперимент: уберем тело и рассмотрим жидкость в объеме V, который занимала погруженная часть тела (рис. 2). На эту жидкость действует сила тяжести Vg и сила гидростатического давления F. Выделенный объем находится в равновесии, следовательно, сумма сил, действующих на жидкость в этом объеме, равна нулю: F+ Vg =0.
Отсюда следует выражение для силы гидростатического давления: F=-Vg.
Мы нашли силу, действующую на поверхность жидкости, заполняющей объем V. Но поверхность тела, погруженного в жидкость, совпадает с поверхностью жидкости в нашем мысленном эксперименте, следовательно, найденное выражение и есть «выталкивающая” сила – сила Архимеда
F Арх = -Vg. (*)
Это равенство и носит название закон Архимеда.
2. Неприменимость закона Архимеда для случая свободных тел
Казалось бы, решение задач с использованием этого закона не должно вызывать затруднений. Однако неверные решения отдельных задач на закон Архимеда встречаются не только у школьников, но и в ряде задачников.
Дело в том, что при использовании этого (как и любого другого) закона надо всегда помнить, как и для каких ситуаций он выводился. Так, например, мы вычисляли силу гидростатического давления, действующую на поверхность неподвижного объема жидко сти, находящейся в равновесии, т. е. имеющей нулевые скорость и ускорение. Следовательно, и использовать выведенное выражение для силы Архимеда можно только в тех случаях, когда и скорость, и ускорение тела равны нулю.
Покажем, что применение этого закона в других ситуациях абсолютно неправомочно, так как приводит к неверным результатам.
Рассмотрим легкое тело, привязанное ниткой к дну сосуда, заполненного жидкостью (рис. 3). Тело погружено в жидкость и находится в равновесии. На него действуют вниз сила тяжести mg= Vg и сила натяжения нити T, а вверх – сила гидростатического давления
F=FАрх=- Vg, (*)
где – плотность тела, – плотность жидкости. Условие равновесия тела
-Vg +T+Vg =0. (1)
Пусть в некоторый момент нить обрывается (т. е. исчезает сила натяжения T), равенство (1) перестает выполняться, и тело начинает двигаться вве рх (всплывать) с некоторым ускорением a, которое можно найти из уравнения движения
F+ V g = V a. (2)
Предположив, что в этом случае можно использовать закон Архимеда, подставим – Vg в левую часть равенства (2) вместо F. Для ускорения тела получаем выражение
a = – g (-)/ (3)
Исследуем выражение (3). Ускорение тела направлено против ускорения свободного падения (что абсолютно верно), а его величина неограниченно возрастает при уменьшении плотности тела. Такой результат противоречит как здравому смыслу, так и наблюдениям.
Таким образом, закон Архимеда в форме (*) неприменим к телам, ускорение которых относительно жидкости отлично от нуля (даже при равной нулю скорости).
3. Сила гидростатического давления для случая свободных тел
Точный расчет гидростатического давления на поверхность ускоренно движущегося тела возможен только с применением аппарата математической физики, а ответ представим в аналитическом виде лишь для некоторых частных случаев. Уравнения, описывающие движение тела в жидкости, были впервые получены профессором Петербургского университета Леонардом Эйлером в середине XVIII века. Решение этой задачи для случая тела сферической формы, размеры которого много меньше размеро в сосуда, приведено в Приложении (для читателей, владеющих методами постановки и решения граничных задач математической физики). Полученное там выражение (**) для силы давления отличается от (*):
(4)
и, с учетом (2), ускорение тела имеет вид:
(5)
4. Выводы
Сравнивая выражения (4) и (*) видим, что они совпадают только при = . Зависимость силы гидростатического давления, действующей на свободное тело, от его плотности представлена на графике рис. 4 в сравнении со стандартным выражением для силы Архимеда Vg:
Из графика на рис.4 видно, что для малых плотностей тела сила давления убывает до нуля, а при увеличении плотности эта сила стремится к величине 1,5Vg.
На следующем графике (рис. 5) приведена зависимость ускорения свободного тела в жидкости от его плотности [уравнение (5)]. Для сравнения приведен график ускорения, получающийся непосредственн о из закона Архимеда [уравнение (3)]
Из этого графика видно, что даже бесконечно легкий шарик всплывает с конечным ускорением, равным -2g, а тяжелые тела тонут с ускорением, меньшим, чем это следует из закона Архимеда.
Источник