Сосуд имеющий форму расширяющегося усеченного конуса

Сферикон (Sphericon) – название объемной геометрической фигуры, которую в 1980 году запатентовал в Израиле Дэвид Харан Хирш в качестве детской игрушки. Утвердившееся же впоследствии название фигуры было предложено Колином Робертсом, который занимался его изучением. Тому, что собой представляет сферикон лучше будет дать описание, сопровождаемое иллюстрациями. Для чего обратимся к рис. 1, на котором двойной конус, образованный вращением сторон a и b вокруг оси 1 (при угле каждой из сторон к оси – 45 град) (см. рис. 1а), подвергают разделению на две части проходящей через вершины А и B плоскостью “альфа” (см. рис. 1б), а после полученные половинки смещают друг относительно друга, повернув их вокруг оси 2 на угол 90 град (см. рис. 1б). Как нетрудно догадаться, ось 2 проходит через центр фигуры 0 и перпендикулярна плоскости “альфа”. Такова последовательность действий, приводящая к созданию «сферикона» (см. рис. 1в).

Рис. 1.

Для желающих самостоятельно сделать модель из плотной бумаги на рис. 2 и 3 представлены схемы разверток элементов для склеивания и технология сборки, в двух вариантах.

Рис. 2.

Рис. 3.

Надо заметить, что принцип формообразования, лежащий в основе описанной модели “пробуждает к жизни” целое семейство подобных фигур. Ниже представлен графический вариант классификации таких фигур, с сечениями от треугольника до восьмиугольника (см. рис. 4).

Рис. 4.

Обратим внимание на общую особенность для всех тел с формой сечения с четным числом вершин и осью вращения, проходящей через центр сечения и противоположные вершины, составленные из двух одинаковых половин, СОСТОЯЩУЮ В ТОМ, что каждое из таких тел образует одна непрерывная замкнутая поверхность. Это, в свою очередь, дает не совсем корректное основание для сравнения некоторыми источниками таких разновидностей сфериконов с лентой Мебиуса. Впрочем, упоминание в этой связи ленты Мебиуса может быть оправдано тем, что по легенде появление сферикона стало возможным благодаря попытке получить «ленту Мебиуса» с замкнутым краем (как известно, он у неё единственный). Последнее, правда, удалось реализовать в несколько иной форме, а именно, в «сосуде Клейна».

Следует также обратить внимание на «условные» и «каркасные» варианты сфериконов. В Интернете мне удалось отыскать их изображения. Наиболее характерные разновидности сфериконов этой группы представленных на рис. 5.

Рис. 5.

«Каркасные» сфериконы (в данном случае, олоид, см. рис. 4) силами умельцев нашли свое практическое приложение в качестве средства развлечения (см. рис. 6)

Рис. 6.

и весьма зрелищного в своем применении циркового снаряда (см. рис. 7).

Рис. 7.

Есть фото и видеосвидетельства использования вариаций сферикона в качестве движителя водных судов (см. рис. 8).

Рис. 8.

А также имеются фотографии моделей самолетов и дирижаблей, эксплуатирующих геометрию сферикона-олоида (см. рис. 9).

Рис. 9.

В завершении я рискну сделать предположение о нераскрытом высоком эстетическом и утилитарном потенциале настоящей фигуры со всеми её рассмотренными и нерассмотренными здесь разновидностями. Попытку моих импровизаций на заданную тему можно увидеть на рис. 10.

Рис. 10.

Возможно, что у вас возникнут личные соображения на данный счёт и вы найдете для себя возможным поделиться ими с автором данной статьи.

«Левша» (приложение к журналу «Юный Техник») №11 , 2018., стр. 10-12.

Урок геометрии в 11 классе.

Тема. «Объем усечённого конуса»

Цели урока:      

Создать условия для продуктивного изучения темы об объёме усечённого конуса, и выработки умений решения задач с использованием формул объёма цилиндра, конуса, усеченного конуса;

Способствовать развитию наблюдательности, умения сравнивать, выдвигать гипотезы, делать выводы;

Воспитание познавательной активности, самостоятельности, упорства при достижении цели.

Тип урока: комбинированный  с использованием ИКТ.

Оборудование:  интерактивная доска,  презентации детей,   учебники,   тетради,  чертёжные принадлежности.

Формы общения: фронтальная, индивидуальная.

                                                         Ход урока

1. Организационный момент.

– приветствие;

– проверка подготовленности к уроку;

– постановка целей урока и плана проведения.

Сегодня мы продолжим изучение объемов тел вращения. Мы уже рассмотрели формулы объема цилиндра и объема конуса. Сейчас повторим изученное и решим несколько задач.

2. Актуализация знаний учащихся.

1) Индивидуальные работы у доски (3 человека):

К-1

Образующая конуса равна 6 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен 60°. Найти объем конуса.

К -2

Равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см вращается вокруг высоты, проведенной к его основанию. Найти объем тела вращения.

К –3

Площадь осевого сечения цилиндра равна 32 см². Длина окружности основания цилиндра 8П см. найти объем цилиндра.

2) фронтальная работа у доски.

– Что такое цилиндр?

– Что такое конус?

Задачи:

Слайд 1

а) В цилиндрический сосуд налили 3000 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 14 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 7 см. Чему равен объем детали?

(решение выполнить на интерактивной доске)

Слайд 2

б) В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 28 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого?

(рисунок и решение выполнить на интерактивной доске)

Слайд 3

в) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объем жидкости равен 50 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

(рисунок и решение выполнить на интерактивной доске)

3) проверить работы по карточкам и оценить.

4) Как получить усеченный конус?

(ответы учащихся: 1 способ – провести сечение, параллельное основанию конуса. Получим в верхней части конус, подобный исходному. Уберем верхнюю часть и получим усеченный конус.

2 способ – трапецию, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, будем вращать около этой стороны. )

III. Сообщение и изучение новой темы.

– А сейчас мы , зная формулу объема конуса выведем формулу объема усеченного конуса.

Рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.
Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .
Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.
Из подобия этих конусов получаем:

Выразим x:



Тогда объем усеченного конуса можно выразить:

IV. Закрепление.

Работа по готовым чертежам:

Слайд 4

1. Дан усеченный конус, ABCD –осевое сечение. Найти объем конуса, если:

r = 2, R = 6, AB = 5

Слайд 5

2. Дан усеченный конус, ABCD –осевое сечение. Найти объем конуса, если:

r = 4, R = 7, / BAD = 45°

Слайд 6

3. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?)

V. Презентация «Конус вокруг нас» (работа ученика)

VI. Домашнее задание: п. 71, № 44, 45.

VII. Итог урока. Выставление оценок за урок.