Сосуд откачан до давления

Страница 2 из 3

21. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите среднюю кинетическую энергию (ε) молекул.

22. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите наиболее вероятное значение энергии εв молекул.

23. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите для данной температуры отношение средней кинетической энергии ε молекул к их наиболее вероятному значению энергии εв.

24. Закон распределения молекул газа по скоростям в некотором молекулярном пучке имеет вид f(v) = Av3e-m0v^2, определите: 1) наиболее вероятную скорость; 2) наиболее вероятное значение энергии молекул в этом пучке.

25. На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления на уровне моря? При решении считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 C.

26. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли равно p0.

27. Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.

28. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е – основание натуральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считайте не зависящими от высоты.

29. Используя идею установки Перрена для определения постоянной Авогадро и применив к частицам краски, взвешенным в воде, больцмановское распределение, найдите объем частиц, если при расстоянии между двумя слоями 80 мкм число взвешенных частиц в одном слое вдвое больше, чем в другом. Плотность растворенной краски 1700 кг/м3, а температура окружающей среды 300 К.

30. Определите среднюю длину свободного пробега l молекул кислорода, находящегося при температуре 0 С, если известно среднее число z столкновений, испытываемых молекулой за 1 с, равно 3,7 * 109.

31. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 С? Диаметр молекулы водорода считать равным 0,28 нм.

32. Определите среднюю продолжительность τ свободного пробега молекул водорода при температуре 27 С и давлении 0,5 кПа, принимая диаметр молекулы водорода равным 0,28 нм.

33. Средняя длина свободного пробега l1 молекул водорода при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остается постоянной.

34. При температуре 300К и некотором давлении средняя длина свободного пробега l молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число столкновений, испытываемых молекулами за 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.

35. Определите: 1) плотность p воздуха в сосуде; 2) концентрацию n его молекул; 3) среднюю длину свободного пробега (l) молекул, если сосуд откачан до давления 0,13 Па. Диаметр молекул воздуха примите равным 0,27 нм. Температура воздуха 300 К.

36. Определите коэффициент теплопроводности λ азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота равен 0,38 нм.

37. Кислород находится при нормальных условиях. Определите коэффициент теплопроводности λ кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм.

38. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 С, другая – при 27 С. Определите количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм.

39. Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода примите равным 0,36 нм.

40. Определите массу азота, прошедшего в следствии диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура равна 290 К, а средняя длина свободного пробега молекул равна 1 мкм.

Источник

2017-10-13

Теплоизолированный сосуд с внутренним объемом $V$ откачан до глубокого вакуума. Окружающий воздух имеет температуру $Т_{0}$ и давление $p_{0}$. В некоторый момент открывается кран и происходит быстрое заполнение сосуда атмосферным воздухом. Какую температуру $T$ будет иметь воздух в сосуде после его заполнения?

Решение:

Почему вообще при заполнении сосуда атмосферным воздухом должна измениться его температура? Чтобы разобраться в этом, нужно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при заполнении сосуда. При открывании крана какая-то порция воздуха «заталкивается» в сосуд атмосферным давлением. Это значит, что над вошедшим в сосуд воздухом силами атмосферного давления совершается некоторая работа. Благодаря этой работе врывающийся в сосуд воздух приобретает кинетическую энергию направленного макроскопического движения – воздух в сосуд входит струей. При встрече со стенками сосуда и с уже попавшим в сосуд воздухом струя меняет направление, ослабевает и в конце концов исчезает совсем. При этом кинетическая энергия упорядоченного движения воздуха в струе превращается во внутреннюю энергию, т. е. в энергию хаотического теплового движения его молекул.

Все это происходит настолько быстро, что теплообменом входящего в сосуд воздуха с воздухом в атмосфере можно пренебречь. Поэтому применительно к рассматриваемому процессу первый закон термодинамики имеет вид: работа $A$ сил атмосферного давления над вошедшим в сосуд воздухом равна изменению внутренней энергии этого воздуха $Delta U$:

$A = Delta U$. (1)

Как же подсчитать эту работу? Проще всего для этого поступить следующим образом. Представим себе, что наш откачанный сосуд находится внутри большого цилиндра с подвижным поршнем (рис. 1). Давление и температура воздуха внутри большого цилиндра такие же, как и в атмосфере. Так как при заполнении откачанного сосуда воздухом давление и температура воздуха в окружающей сосуд атмосфере остаются неизменными, то процессу заполнения сосуда на рис. 1 соответствует перемещение поршня вправо при постоянном давлении $p_{0}$. При этом действующая слева на поршень сила совершает работу $p_{0}V_{0}$, где $V_{0}$ – уменьшение объема внутри цилиндра. Поскольку энергия не вошедшего в сосуд воздуха внутри цилиндра остается неизменной, то эта совершенная при перемещении поршня работа равна работе, совершаемой силами атмосферного давления при «заталкивании» воздуха в сосуд.

Обратите внимание на то, что приведенное здесь вычисление работы при перемещении воздуха отличается от вычисления, рассмотренного в задаче 4192. Объясняется это различие тем, что в предыдущей задаче нас интересовала работа, совершаемая над отдельной порцией движущегося газа, в то время как здесь мы находим суммарную работу внешних сил над всем вошедшим в сосуд воздухом.

Изменение внутренней энергии $Delta U$ того воздуха, который попал в сосуд, выражается только через изменение его температуры, если считать воздух идеальным газом:

$Delta U = nu C_{V}(T – T_{0})$, (2)

где $C_{V}$ – молярная теплоемкость воздуха. Количество пошедшего в сосуд воздуха $nu$ можно выразить с помощью уравнения состояния. Так как в откачанный сосуд вошло ровно столько воздуха, сколько вытеснил из цилиндра переместившийся поршень (рис. 1), то можно написать

$p_{0}V_{0} = nu RT_{0}$. (3)

Теперь выражение (2) для изменения внутренней энергии $Delta U$ переписывается в виде

$Delta U = frac{p_{0}V_{0}}{RT_{0}} C_{V}( T – T_{0})$. (4)

Приравнивая, в соответствии с первым законом термодинамики (I), изменение внутренней энергии (4) совершенной работе $A = p_{0}V_{0}$, находим

$C_{V} (T – T_{0}) = RT_{0}$,

откуда для конечной температуры воздуха в сосуде $T$ получаем

$T = T_{0}(1 + R/C_{V})$. (5)

Так как сумма $C_{V} + R$ равна молярной теплоемкости при постоянном давлении $C_{ mu}$, то выражение (5) можно переписать в виде

$T = T_{0} C_{p}/C_{V} = gamma T_{0}$. (6)

Температура заполнившего откачанный сосуд воздуха оказывается выше температуры воздуха в атмосфере. Отметим, что результат не зависит ни от объема сосуда, ни от давления воздуха в атмосфере. Температура воздуха в сосуде не зависит также и от того, будет ли заполнение сосуда происходить до конца, пока давление воздуха в нем не. сравняется с атмосферным, или же кран будет перекрыт раньше. Действительно, все приведенные в решении рассуждения справедливы и в том случае, когда конечное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного.

Увеличение температуры при заполнении сосуда, рассчитываемое по формуле (6), оказывается весьма значительным. Так как для воздуха $gamma approx 1,4$, то находящийся при комнатной температуре воздух должен нагреваться на сотни кельвинов. Однако наблюдать на опыте такое большое повышение температуры затруднительно. Дело в том, что в течение промежутка времени, необходимого для измерения температуры воздуха, будет устанавливаться термодинамическое равновесие не только между воздухом в сосуде и термометром, но и между воздухом и стенками сосуда. Но теплоемкость сосуда при решении задачи в расчет не принималась. Поэтому формула (6) справедлива только до тех пор, пока воздух в сосуде не успеет прийти в термодинамическое равновесие со стенками.

Источник