Сосуд с газом движется со скоростью
2017-05-27
Сосуд, содержащий некоторую массу газа, движется со скоростью $u$. На сколько увеличится средний квадрат скорости теплового движения молекул при остановке сосуда для одноатомного и двухатомного газов? Теплоемкость, теплопроводность и масса стенок сосуда пренебрежимо малы.
Решение:
При движении сосуда все молекулы газа участвуют одновременно в хаотическом (тепловом) движении и направленном движении со скоростью $u$. При остановке сосуда молекулы по инерции некоторое время сохраняют свою направленную скорость, но затем в результате соударений друг с другом и со стенками сосуда газ придет в равновесное состояние, при котором молекулы его не обладают направленной скоростью. При этом установится максвелловское распределение молекул по скоростям с некоторым значением среднего квадрата скорости $langle v^{2} rangle_{2}$. Чтобы выяснить, насколько это значение больше того, что было до остановки сосуда ($ langle v^{2} rangle_{1}$), надо найти прирост средней кинетической энергии $Delta langle W_{0} rangle$ хаотического движения одной молекулы в результате остановки.
При движении сосуда результирующая скорость $vec{c}_{i}$, и кинетическая энергия поступательного движения любой молекулы соответственно равны:
$vec{c}_{i} = vec{v}_{i} + vec{u}, frac{m_{0} c_{i}^{2}}{2} = frac{m_{0}v_{i}^{2}}{2} + frac{m_{0}u^{2}}{2} + m_{0} vec{v}_{i} vec{u}$. (1)
Здесь $vec{v}_{i}$ – скорость хаотического движения молекулы.
Для нахождения средней кинетической энергии поступательного движения молекулы выражение (1) надо просуммировать по всем молекулам и затем разделить на общее число $N$ молекул:
$frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} frac{m_{0} c_{i}^{2}}{2} = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} frac{m_{0}v_{i}^{2}}{2} + frac{m_{0}u^{2}}{2} + frac{m_{0} vec{u}}{N} sum_{i=1}^{n} vec{v}_{i}$. (2)
Вследствие хаотичности теплового движения, т. е. полной равноправности всех направлений вектора $vec{v}_{i}, sum vec{v}_{i} = 0$ и последнее слагаемое в правой части (2) обращается в нуль. Первое слагаемое можно представить как $m_{0} langle v^{2} rangle_{1} /2$. Тогда поступательная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда
$ langle W_{0п} rangle_{1} = frac{m_{0} langle v rangle_{1}}{2} + frac{m_{0}u^{2}}{2}$.
Очевидно, и средняя полная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда может быть выражена аналогичной суммой:
$langle W_{0} rangle^{ prime} = langle W_{0} rangle_{1} + m_{0} u^{2}/2$. (3)
Здесь первое слагаемое есть средняя полная энергия хаотического движения молекулы, равная $ikT_{1}/2$. После остановки сосуда
$langle W_{0} rangle^{ prime prime} = langle W_{0} rangle_{2} = (i/2)kT_{2}$. (4)
Если учесть сделанные в условии задачи оговорки, свидетельствующие о том, что сосуд не участвует в энергетическом балансе, то $langle W_{0} rangle^{ prime} = langle W_{0} rangle^{ prime prime}$, т. е. при остановке сосуда кинетическая энергия направленного движения каждой молекулы полностью переходит в энергию хаотического движения. Сравнивая (3) и (4), получим
$Delta langle W_{0} rangle = langle W_{0} rangle_{2} – langle W_{0} langle_{1} = m_{0} u^{2} /2$. (5)
Выражение (5) позволит найти искомое приращение среднего квадрата скорости теплового движения молекул.
Из выражения для средней энергии поступательного движения молекулы $m_{0} langle v^{2} rangle = frac{3}{2} kT$ следует, что
$langle v^{2} rangle = 3kT/m_{0}$.
Средняя полная кинетическая энергия одной молекулы
$langle W_{0} rangle = ikT/2$.
Совместное решение двух последних уравнений дает
$langle v^{2} rangle = 6 langle W_{0} rangle / (im_{0})$.
Тогда изменение среднего квадрата скорости
$Delta langle v^{2} rangle = langle v^{2} rangle_{2} – langle v^{2} langle_{1} = Delta langle W_{0} rangle frac{6}{im_{0}} $.
Учитывая выражение (5), находим
$Delta langle v^{2} rangle = 3u^{2}/i$.
Для одноатомного газа $(i = 3) Delta langle v^{2} rangle = u^{2}$. Для двухатомного газа $(i = 5) Delta langle v^{2} rangle = 0,6u^{2}$.
Источник
| Legioner93 | Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 15:19 | ||
28/07/09 1167 | “Сосуд с газом в форме цилиндра закрывает поршень. Сосуд начинает двигаться вверх с ускорением , вследствие чего объем под поршнем уменьшается в 2 раза. Площадь сечения поршня 10 кв.см. Найти массу поршня. Трением и изменением внутренней энергии газа пренебречь.” Как решать – не знаю. Записал конечно, что , (F – сила, с которой газ давит на поршень во время движения, m – масса поршня). А дальше как? Попытка приравнять и приводит к противоречию. В общем не знаю, как учесть то, что газ движется. Размышляя над задачей, задумался о том, с одинаковой ли силой газ давит на “потолок” и на “пол” вообще?:) У Перельмана еще давно читал, что газ можно взвесить на весах, значит на “пол” давит сильнее? А в школе вроде учили, что газ во все стороны давит одинаково… Понял, что не очень хорошо представляю себе природу газа. Совсем запутался, прошу помочь разобраться! | ||
| Pulsar! | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 15:41 |
14/03/08 65 | Найти массу поршня. Без учёта релетявистских эффектов масса не изменится. |
| Legioner93 | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 16:08 | ||
28/07/09 1167 | От идеи зависимости массы от скорости отказались уже. От скорости зависит энергия и импульс, масса же данного тела не меняется. И попрошу ответить по существу задачи. | ||
| myhand | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 16:17 | ||
03/03/10 ∞ 4558 | Размышляя над задачей, задумался о том, с одинаковой ли силой газ давит на “потолок” и на “пол” вообще?:) С разной. Можно вспомнить школьный Закон Паскаля. У Перельмана еще давно читал, что газ можно взвесить на весах, значит на “пол” давит сильнее? А в школе вроде учили, что газ во все стороны давит одинаково… Понял, что не очень хорошо представляю себе природу газа. Совсем запутался, прошу помочь разобраться! Во все стороны – одинаково, все верно. Только на одном и том же уровне в потенциальном поле тяжести. Можно вспомнить принцип эквивалентности. Ускоренная система отсчета соответствует гравитационному полю, напряженностью . | ||
| Legioner93 | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 16:20 | ||
28/07/09 1167 | Хм.. Тогда получается , , , тогда как должно быть 2 (у нас , т.к. внутренняя энергия не изменяется). Про закон Паскаля: “Давление, оказываемое на жидкость(или газ) в каком-либо одном месте на ее границе, например, поршнем, передается без изменения во все точки жидкости(или газа).” Так отсюда как раз получается равенство давлений во всех точках, нет? Ведь если газ на пол давит сильнее, чем на потолок, значит и пол давит на газ сильнее, чем потолок (Третий закон Ньютона)? Значит, существует некое добавочное давление, которое передастся во все точки газа. | ||
| myhand | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 16:40 | ||
03/03/10 ∞ 4558 | Хм.. Тогда получается , , , тогда как должно быть 2 (у нас , т.к. внутренняя энергия не изменяется). Нет, не получается. Думайте дальше Про закон Паскаля: “Давление, оказываемое на жидкость(или газ) в каком-либо одном месте на ее границе, например, поршнем, передается без изменения во все точки жидкости(или газа).” Так отсюда как раз получается равенство давлений во всех точках, нет? Ведь если газ на пол давит сильнее, чем на потолок, значит и пол давит на газ сильнее, чем потолок (Третий закон Ньютона)? Значит, существует некое добавочное давление, которое передастся во все точки газа. Под “законом Паскаля” имелась в виду школьная формула . Более корректным является, действительно называть законом Паскаля – утверждение, приведенное Вами. Оно говорит о том, что давление в жидкости или газа – изотропная характеристика, для давления нет выделенных направлений. С третьим законом Ньютона: давление “пола на газ” в точности равно давлению “газа на пол”. Ничего избыточного. | ||
| Pulsar! | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 16:42 |
14/03/08 65 | |
| Legioner93 | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 16:51 | ||
28/07/09 1167 | ? Вот так? Да, у меня был пробел, раньше применял формулу только для жидкостей:) По-прежнему не вижу ошибки у себя. | ||
| gris | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 17:07 | ||
13/08/08 13907 | Извините, а от чего возникает архимедова сила в газе? Почему шарик улетел? | ||
| Legioner93 | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 17:19 | |
28/07/09 1167 | ||
| gris | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 17:28 | ||
13/08/08 13907 | По которому девочка плакала. Это я к тому, что на потолок газ давит слабее, чем на пол. Но в Вашей задаче надо записать условие равновесия да закон этого… пэве равно константе. По моему, масса может быть любой. | ||
| Legioner93 | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 17:37 | |
28/07/09 1167 | ||
| gris | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 17:42 | ||
13/08/08 13907 | Да, тут надо учесть, что высота газового цилиндра уменьшилась в два раза. | ||
| ewert | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 18:17 | |
11/05/08 32051 | Исключаем неизвестные давления газа в сосуде и выражаем массу через атмосферное давление. (т.е. типа получится масса водного столба высотой 10 метров и сечением 10 квадратных сантиметров, т.е., собственно, 10 литров воды) | |
| myhand | Re: Сосуд с газом движется ускоренно… 21.03.2010, 18:52 | ||
03/03/10 ∞ 4558 | Записал уже, только вот противоречие получается. Если использовать принцип эквивалентности, указанный myhand, то получается, что (до начала движения), , откуда , но это противоречит условию “пэве равно константе” Это противоречит Вашему пониманию использования принципа эквивалентности На какой высоте у вас “певе равно константе”? Думаю, что составителем имелось в виду решение ewert – т.е. ситуация, когда градиентом давления с высотой можно принебречь (). Мне показалось более любопытной другая задачка – когда | ||
Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы
Источник