Сосуд с поршнем и нагревателем

Задача по физике – 9622

Внутри гладкой горизонтальной трубы находятся два поршня, соединенных между собой упругой пружиной. Между поршнями находится один моль гелия при температуре 300 K. Газ нагрели до температуры 400 K. Какое количество теплоты было сообщено газу при нагревании, если длина пружины увеличилась в $eta = 1,5$ раза?

Подробнее

Задача по физике – 9631

В рукописи одного из известных учёных был найден листок с циклом, изображённом в координатах p-T (см. рис.). Определить температуру $T_{0}$, если из текста рукописи известно, что данный цикл совершал $nu = 1 моль$ идеального газа и работа газа за цикл равна $A = 2500 Дж$. Универсальная газовая постоянная $R = 8,31 Дж/(К cdot моль)$.

Подробнее

Задача по физике – 9634

Цилиндрический сосуд, в котором находится идеальный одноатомный газ, закрыт подвижным поршнем массы $m$. Когда на поршень поставили гирьку массой $M$, температура газа увеличилась вдвое. а) Найти отношение $m/M$. б) Какой станет температура газа, если гирьку снова убрать? Поршень и стенки сосуда теплоизолированы. Давление вне сосуда равно нулю, начальная температура газа – $T_{0}$. Поршень может скользить в цилиндре без трения.

Подробнее

Задача по физике – 9637

Открытую трёхлитровую банку очень медленно поднимают по лестнице башни. Оказалось, что воздух в неё не входит и из неё не выходит. Насколько температура воздуха в башне на высоте $h = 100 м$ меньше, чем в начале лестницы? Масса моля воздуха $mu approx 29 г$.

Подробнее

Задача по физике – 9652

Школьник складывает квадратные титановые пластины одинаковой площади, но разной толщины в стопку до тех пор, пока не получится стопка высоты 24 см. Одни пластины имеют толщину 5 мм, а другие -8 мм. Пластины имеют и разную температуру: тонкие лежали возле батареи и нагрелись до $80^{ circ} С$, а толстые лежали при комнатной температуре $20^{ circ} С$.

Через некоторое время температура всей стопки стала равна $40^{ circ} С$. Сколько всего пластин было в стопке? Теплообменом пластин с окружающей средой пренебречь.

Подробнее

Задача по физике – 9661

Герметичный сосуд, состоящий из двух одинаковых сфер, соединенных тонкой трубкой, заполнен газом до давления $p_{0}$ при температуре $T_{0}$. Одну из сфер нагрели до температуры $T$, сохраняя в другой прежнюю температуру. Каким стало давление газа $P$ в сосуде?

Подробнее

Задача по физике – 9676

Имеется два чайника, в каждый из которых налито по два литра воды. Половину воды из одного чайника разливают по двум литровым банкам (не поровну). Потом берут второй чайник и доливают из него воду в обе банки до их заполнения, а остаток выливают в первый чайник. После этих переливаний температура воды в первом чайнике составила $40^{ circ} С$, а в одной из банок $50^{ circ} С$. Чему равна температура воды в другой банке? Зависимостью плотности воды от температуры, теплоемкостью посуды и теплообменом с окружающей средой пренебречь. Считать, что в банку входит не больше литра воды.

Подробнее

Задача по физике – 9697

В открытый контейнер объёмом 0,25 л поместили 2,1 г полония $^{210}_{84} Po$ и герметично закрыли. Данный изотоп полония $alpha$ – радиоактивен с периодом полураспада $T = 140$ дней и превращается в стабильный изотоп свинца $^{206}_{82} Pb$. Найти давление внутри контейнера через 10 недель. С помощью теплоотводящей установки температура внутри контейнера поддерживается равной $27^{ circ} С$. Атмосферное давление равно 100 кПа. Универсальная газовая постоянная равна $R = 8,31 Дж/(моль cdot К)$.

Подробнее

Задача по физике – 9709

В прямоугольный сосуд ровно посередине вставили вертикальную перегородку, которая доходит до дна сосуда, но ниже его по высоте (см. рисунок). Слева от перегородки, до ее верхнего края, в сосуд налита жидкость с температурой $T_{1} =20^{ circ} С$. Справа от перегородки находятся небольшое тело и жидкость, налитая также до верха перегородки. Эти тело и жидкость имеют температуру $T_{2} = 40^{ circ} С$. Тело вынимают из правой и быстро опускают в левую часть сосуда. Через некоторое время в левой части установилась температура $T_{3} = 25^{ circ} С$, а в правой – $T_{4} = 36^{ circ} С$. Найти отношение удельных теплоемкостей тела и жидкости, если плотность тела вдвое больше плотности жидкости. Теплообменом с окружающей средой и стенками сосуда, а также теплопроводностью перегородки и зависимостью плотностей от температуры пренебречь.

Подробнее

Задача по физике – 9713

В сосуд с нагревателем через промежутки времени $t_{0} = 6 мин$ опускают одинаковые порции снега с одинаковой, но неизвестной температурой. Первая порция растаяла и превратилась в воду с температурой $0^{ circ} С$ через время $t = 5 мин 20 сек$, после чего температура воды выросла до $T_{0} = 10^{ circ} С$ к моменту опускания второй порции снега. Вторая порция растаяла через меньшее, чем $t$ время… третья ещё быстрее, а сотая – растаяла почти сразу. Объясните, почему так происходит. Какова температура воды перед опусканием сотой порции снега и сразу после того, как она растаяла, если временем теплообмена можно пренебречь? Тепловая мощность, передаваемая нагревателем воде и снегу, постоянна.

Подробнее

Задача по физике – 9716

Снег с температурой $t_{1} = – 10^{ circ} C$ опустили в сосуд с нагревателем. Через время, равное $tau_{1} = 4$ минуты, снег растаял и превратился в воду с температурой $t_{0} = 0^{ circ} С$, а ещё через время $tau_{2} = 57 сек$ – температура воды выросла до $t_{2} = 20^{ circ} С$. Найдите удельную теплоёмкость снега $c_{1}$, если удельная теплоёмкость воды $c_{2} = 4,2 cdot 10^{3} Дж/кг cdot ^{ circ} С$, а удельная теплота плавления $lambda = 334 cdot 10^{3} Дж/кг$. Тепловая мощность, передаваемая нагревателем воде и снегу, постоянна.

Подробнее

Задача по физике – 9721

В длинном горизонтальном теплоизолированном цилиндре находится гелий при атмосферном давлении. Левый отсек объёмом $V_{0}$ перекрыт закреплённой теплопроводящей перегородкой, начальная температура гелия в нём $2T_{0}$. Правый отсек с начальным объёмом $V_{0}$ перекрыт справа подвижным теплоизолирущим поршнем, начальная температура гелия в нём $T_{0}$. Каким станет объём второго отсека после установления равновесия, если передачей тепла от гелия цилиндру, поршню и перегородке можно пренебречь?

Подробнее

Задача по физике – 9729

Жидкость подается от нагревателя к двум кранам по трубам постоянного диаметра (см. рис.). Нагреватель, который повышает температуру протекающей через него воды до определенного значения, включают и начинают набирать воду из крана 1 в ведро (кран 2 закрыт). Когда ведро набралось, кран 1 закрыли. Измерение температуры воды в этом ведре дало значение $T_{1}$. Затем набрали еще одно полное ведро воды из крана 2, после чего кран также закрыли. Температура воды во втором ведре составила $T_{2}$ ($T_{1} neq T_{2}$). Третье ведро снова набрали из крана 1. Какую температуру $T_{3}$ имеет вода в этом ведре?

Вначале температура воды везде одинакова. Диаметры всех труб и объемы ведер одинаковы, теплообменом между жидкостью и трубами пренебречь, жидкость в трубах не перемешивается и имеет постоянную плотность. Длина труб от места разветвления до нагревателя и до каждого из кранов равна $L$.

Подробнее

Задача по физике – 9737

Замкнутый цилиндрический сосуд с радиусом $R$ и длиной $h$ перекрыт тонким подвижным поршнем. Объем слева от поршня на 1/2 занят жидкостью, а остаток объема заполняет газ с давлением $P_{0}$. Справа поршень упирается в стенку сосуда. Сосуд двигают вправо с некоторым постоянным ускорением. Какова должна быть минимальная масса поршня $m_{min}$, чтобы он при любой величине ускорения оставался в контакте с жидкостью? Ускорение свободного падения $g$. При движении, сосуд остается герметичным, а температура не меняется. Трением между поршнем и стенками сосуда можно пренебречь.

Подробнее

Задача по физике – 9750

Нагреватель, включенный в электрическую сеть, потребляет мощность $N = 80 Вт$. При выключенном вентиляторе тепло не уходит от нагревателя и температура нагревателя за первую минуту от момента его включения нарастает от начальной температуры $20^{ circ} С$ до $22^{ circ} С$. После включения вентилятора рост температуры замедлился, а при достижении $40^{ circ} С$ температура нагревателя перестала меняться. По данному графику зависимости температуры от времени определите: а) когда включили вентилятор; б) какая тепловая мощность отводилась от нагревателя через 10 минут от момента его включения; в) сколько тепла в джоулях отведено через 25 минут после включения нагревателя.

Подробнее

Источник

5.4. Практическое применение уравнения состояния идеального газа

5.4.3. Уравнение состояния для газа, находящегося в сосуде под поршнем

Для идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, необходимо учитывать следующее:

• масса газа, находящегося в сосуде под поршнем, вследствие изменения термодинамических параметров газа не изменяется:

m = const;

• постоянным остается также количество вещества (газа):

ν = const;

• плотность газа и концентрация его молекул (атомов) изменяются:

ρ ≠ const, n ≠ const.

Пусть изменение состояния идеального газа, находящегося в цилиндрическом сосуде под поршнем, вызвано действием на поршень внешней силы F → (рис. 5.9).

Рис. 5.9

Начальное и конечное состояния газа в сосуде под поршнем описываются следующими уравнениями:

p 1 V 1 = ν R T 1 , p 2 V 2 = ν R T 2 , }

где p 1, V 1, T 1 – давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p 2, V 2, T 2 – давление, объем и температура газа в конечном состоянии; ν – количество вещества (газа); R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Условия равновесия поршня, закрывающего идеальный газ в сосуде (см. рис. 5.9), в начале процесса и в конце процесса выглядят следующим образом:

M g + F A = F 1 , M g + F A + F = F 2 , }

где M – масса поршня; g – модуль ускорения свободного падения; F A – модуль силы атмосферного давления, F A = p AS; p A – атмосферное давление; S – площадь сечения поршня; F 1 – модуль силы давления газа на поршень в начале процесса, F 1 = p 1S; p 1 – давление газа в сосуде в начальном состоянии; F – модуль силы, вызывающей сжатие газа; F 2 – модуль силы давления газа на поршень в конце процесса, F 2 = p 2S; p 2 – давление газа в сосуде в конечном состоянии.

Температура идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, может как изменяться, так и оставаться неизменной:

• если процесс движения поршня происходит достаточно быстро, то температура газа изменяется –

T ≠ const;

• если процесс происходит медленно, то температура газа остается постоянной –

T = const.

Давление идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, также может изменяться или оставаться неизменным:

• если в задаче сказано, что поршень является легкоподвижным, то давление газа под поршнем – неизменно (в том случае, когда из условия задачи не следует обратное) – p = const;
• в остальных случаях давление газа под поршнем изменяется – p ≠ const.

Масса поршня, закрывающего газ в сосуде, либо равна нулю, либо имеет отличное от нуля значение:

• если в задаче сказано, что поршень является легким или невесомым, то масса поршня считается равной нулю –

M = 0;

• в остальных случаях поршень обладает определенной ненулевой массой –

M ≠ const.

Пример 19. В вертикальном цилиндре под легкоподвижным поршнем сечением 250 мм2 и массой 1,80 кг находится 360 см3 газа. Атмосферное давление равно 100 кПа. На поршень поставили гири, и он сжал газ до объема 240 см3. Температура газа при его сжатии не изменяется. Определить массу гирь.

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

• сила тяжести поршня M g → ;
• сила атмосферного давления F → A ;
• сила давления газа F → 1 , действующая со стороны газа (до его сжатия);
• сила давления газа F → 2 , действующая со стороны газа (после его сжатия);
• m g → – вес гирь.

Условие равновесия поршня запишем в следующем виде:

• до сжатия газа –

F 1 = Mg + F A,

где F 1 – модуль силы давления газа, F 1 = p 1S; p 1 – давление газа до сжатия; S – площадь поршня; Mg – модуль силы тяжести поршня; M – масса поршня; F A – модуль силы атмосферного давления, F A = p AS; p A – атмосферное давление; g – модуль ускорения свободного падения;

• после сжатия газа –

F 2 = Mg + F A + mg,

где F 2 – модуль силы давления газа, F 2 = p 2S; p 2 – давление газа после сжатия; mg – вес гирь; m – масса гирь.

Считая процесс сжатия газа изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для газа под поршнем следующим образом:

• до его сжатия –

p 1V 1 = νRT,

где V 1 – первоначальный объем газа под поршнем; ν – количество газа под поршнем; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);

• после его сжатия –

p 2V 2 = νRT,

где V 2 – объем сжатого поршнем газа.

Равенство

p 1V 1 = p 2V 2

и два условия равновесия, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

p 1 S = M g + p A S , p 2 S = M g + p A S + m g , p 1 V 1 = p 2 V 2 , }

которую требуется решить относительно массы гирь m.

Для этого выразим отношение давлений p 2/p 1 из первой пары уравнений:

p 2 p 1 = M g + p A S + m g M g + p A S

и из третьего уравнения:

p 2 p 1 = V 1 V 2 ,

запишем равенство правых частей полученных отношений:

M g + p A S + m g M g + p A S = V 1 V 2 .

Отсюда следует, что искомая масса определяется формулой

m = ( M + p A S g ) ( V 1 V 2 − 1 ) .

Вычисление дает результат:

m = ( 1,80 + 100 ⋅ 10 3 ⋅ 250 ⋅ 10 − 6 10 ) ( 360 ⋅ 10 − 6 240 ⋅ 10 − 6 − 1 ) = 2,15 кг.

Указанное сжатие газа вызвано гирями массой 2,15 кг.

Пример 20. Открытый цилиндрический сосуд сечением 10 см2 плотно прикрывают пластиной массой 1,2 кг. Атмосферное давление составляет 100 кПа, а температура окружающего воздуха равна 300 К. На сколько градусов нужно нагреть воздух в сосуде, чтобы он приподнял пластину?

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на пластину после нагревания газа:

• сила тяжести пластины M g → ;
• сила атмосферного давления F → A ;
• сила давления газа F → 2 , действующая на пластину со стороны нагретого газа.

Пластина находится в состоянии неустойчивого равновесия; условие равновесия пластины выглядит следующим образом:

F 2 = Mg + F A,

где F 2 – модуль силы давления нагретого газа, F 2 = p 2S; p 2 – давление нагретого газа; S – площадь сечения сосуда; Mg – модуль силы тяжести пластины; M – масса пластины; g – модуль ускорения свободного падения; F A – модуль силы атмосферного давления, F A = p AS; p A – атмосферное давление.

Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:

• для газа в сосуде до его нагревания

p 1V = νRT 1,

где p 1 – давление газа в сосуде до нагревания (совпадает с атмосферным давлением), p 1 = p A; V – объем газа в сосуде; ν – количество вещества (газа) в сосуде; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура газа в сосуде до нагревания (совпадает с температурой окружающей среды);

• для газа в сосуде после его нагревания

p 2V = νRT 2,

где p 2 – давление нагретого газа; T 2 – температура нагретого газа.

Два уравнения состояния газа (до и после нагревания) и условие равновесия пластины, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

p A V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , p 2 S = M g + p A S ; }

систему необходимо решить относительно температуры T 2, до которой следует нагреть газ.

Для этого делением первой пары уравнений

p A V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2

получим выражение для давления нагретого газа:

p 2 = p A T 2 T 1

и подставим его в третье уравнение системы:

p A T 2 S T 1 = M g + p A S .

Преобразуем полученное выражение к виду

T 2 = T 1 ( M g + p A S ) p A S = T 1 ( M g p A S + 1 ) ,

а затем найдем разность

Δ T = T 2 − T 1 = M g T 1 p A S .

Произведем вычисление:

Δ T = 1,2 ⋅ 10 ⋅ 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 − 4 = 36 К = 36 °С.

Пример 21. В цилиндрическом сосуде поршень массой 75,0 кг и площадью сечения 50,0 см2 начинает двигаться вверх. Давление газа под поршнем постоянно и равно 450 кПа, атмосферное давление составляет 100 кПа. Считая, что поршень движется без трения, определить модуль скорости поршня после прохождения им 3,75 м пути.

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

• сила тяжести поршня M g → ;
• сила атмосферного давления F → A ;
• сила давления газа F → , действующая на поршень со стороны нагретого газа.

Под действием указанных сил, направленных вверх, поршень движется с ускорением a → :

F → + F → A + M g → = m a → ,

или в проекции на вертикальную ось –

F − F A − Mg = Ma,

где F – модуль силы давления газа под поршнем, F = pS; p – давление газа; S – площадь поршня; Mg – модуль силы тяжести поршня; M – масса поршня; g – модуль ускорения свободного падения; a – модуль ускорения поршня.

Преобразуем записанное уравнение, выразив модуль ускорения и выполнив подстановку выражений для модулей сил:

a = F − F A − M g M = ( p − p A ) S M − g .

Скорость поршня, его ускорение и пройденный путь связаны между собой соотношением

l = v 2 2 a ,

где l – пройденный путь; v – модуль скорости поршня.

Выразим отсюда модуль скорости поршня:

v = 2 a l

и подставим в записанную формулу выражение для модуля ускорения:

v = 2 l ( ( p − p A ) S M − g ) .

Выполним расчет:

v = 2 ⋅ 3,75 ( ( 450 − 100 ) ⋅ 10 3 ⋅ 50 ⋅ 10 − 4 75,0 − 10 ) ≈ 10 м/с.

После прохождения 3,75 м пути поршень приобретет скорость, приблизительно равную 10 м/с.

Источник