Сосуд с водой движется по горизонтали с ускорением
В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать
различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.
1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус – замедлению ) (см. рисунок).
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции.
Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле
p = p0 + ρ·(g·z ± a·x),
Для свободной поверхности жидкости, когда р=p0, уравнение принимает вид:
g·z = ± a·x
или
z/x = tg α = ± a/g,
где α – угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.
Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l)
высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.
Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:
p = p0 + ρ·g·z = p0·γ
В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.
2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:
p = p0 + γ·((ω2·r2)/(2·g) – z)
Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p0, уравнение принимает вид:
z = (ω2·r2)/(2·g) = u2/(2·g),
где окружная скорость u = ω·r (r — радиус вращения точки).
Высота параболоида вращения:
h = ω2·r20/(2·g),
где r0 – радиус цилиндрического сосуда.
Сила давления жидкости на дно сосуда:
P = γ·π·r20·h0 = γ·π·r20·(h1 + h/2),
где h0 – начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.
Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h1 + h и основанием γ·(h1 + h).
3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω2 (см. рисунок а).
При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).
Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:
p = p0 + γ·ω2·(r2 – r20)/(2·g)
где p и p0 – соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r0.
Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r0 и давлением во всех ее точках р0.
Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в.
Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.
Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.
Источник
Пусть сосуд с жидкостью движется ускоренно. Будем рассматривать движение жидкости относительно сосуда как неинерциальной системы отсчета и введем силы инерции. Жидкость будет находиться в равновесии под действием всех сил, приложенных к ней, включая и силы инерции.
Рассмотрим сначала случай поступательно движущейся неинерциальной системы отсчета. Пусть, например, железнодорожная цистерна с жидкостью движется с ускорением по горизонтальному прямолинейному участку пути. В системе отсчета, связанной с цистерной, на каждую частицу жидкости будет действовать сила тяжести
(где
— масса частицы), направленная вертикально вниз, и сила инерции —
, направленная горизонтально в сторону, противоположную ускорению цистерны (рис. 315). Сумма этих сил
отклонена от вертикали в сторону, обратную ускорению. Но мы знаем (§ 138), что свободная поверхность жидкости всегда располагается перпендикулярно к силе, действующей на частицы жидкости. Значит, поверхность жидкости наклонится по отношению к горизонту (рис. 316): в состоянии равновесия относительно поступательно движущейся неинерциальной системы отсчета свободная поверхность жидкости оказывается наклоненной к горизонту. Это легко проверить, например, быстро приводя в движение стакан с водой или быстро останавливая его. Если ускорение достаточно велико, вода выплескивается: нести полный доверху стакан «осторожно» — значит нести его с малым ускорением.
Рис. 315. Сумма
сил
и —
отклонена в сторону, обратную ускорению
Рис. 316. Свободная поверхность жидкости в ускоренно движущейся цистерне отклонена в сторону, обратную ускорению
Если ускорение направлено не по горизонтали, а по вертикали, то действие сил инерции сводится к тому, что вес жидкости увеличивается (если ускорение направлено вверх, как при взлете ракеты) или уменьшается (если ускорение направлено вниз). Соответственно увеличивается или уменьшается давление жидкости на дно сосуда. Например, при взлете ракеты или при выводе самолета из пикирования давление горючего на дно баков возрастает (перегрузка). Возрастает и вес крови в сосудах летчика или космонавта: если тело летчика расположено вертикально, это вызовет отлив крови от головы и может привести к обмороку. Поэтому сидения летчиков устраивают так, чтобы ускорение было направлено от спины к груди, а не от ног к голове. Напротив, в условиях невесомости (§ 133) вес жидкости исчезает; жидкость не вытекает из наклоненного или опрокинутого сосуда, выталкивающая сила исчезает: тяжелый предмет в воде не тонет, а легкий не всплывает. О других особенностях в поведении газов и жидкостей в условиях невесомости см. в §§ 212 и 249.
Теперь рассмотрим случай жидкости, покоящейся относительно вращающейся системы отсчета. Подвесим ведерко на длинной нити и, закрутив нить, дадим ей раскручиваться. Стенки вращающегося ведерка увлекут за собой жидкость, и она будет вращаться вместе с ведерком, т. е. окажется в покое относительно ведерка. В этом случае возникает центробежная сила инерции (§ 119), которая растет при удалении от оси вращения. Значит, результирующая силы тяжести и центробежной силы инерции будет все более отклоняться от вертикали при удалении от оси вращения. В результате свободная поверхность жидкости не только отклонится от горизонтали, но и искривится: наклон к горизонтали будет увеличиваться от оси к стенке ведерка (рис. 317). Свободная поверхность жидкости в сечении вертикальной плоскостью оказывается параболой.
Рис. 317. Свободная поверхность воды, покоящейся относительно вращающегося ведерка, и схема сил, действующих на частицы жидкости при разных расстояниях от оси вращения
183.1.
Покажите, что тангенс угла наклона жидкости к горизонту в цистерне, движущейся ускоренно по горизонтальному прямолинейному участку пути, равен отношению ускорения цистерны к ускорению свободного падения.
183.2.
Как расположится свободная поверхность воды: а) в цистерне, свободно скатывающейся по наклонному пути; б) при равномерном движении цистерны по наклонному пути?
183.3.
Поезд идет по закруглению радиуса 1 км со скоростью 72 км/ч. Под каким углом к горизонту расположена свободная поверхность воды в сосуде, стоящем в вагоне?
Источник
Можаев В. Задачи с жидкостями //Квант. — 2006. — № 1. — С. 40-43.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»
В этой статье будут рассмотрены задачи, в которых жидкость, с одной стороны, является средой, где находятся твердые тела, а с другой стороны, она, как жидкий элемент, участвует в движении, подобно твердому телу. Наиболее сложными являются комбинированные задачи, в которых жидкость движется вместе с находящимся в ней твердым телом (например, разобранная ниже задача 6).
Перейдем к обсуждению конкретных задач.
Задача 1. В цилиндрический сосуд с водой опустили кусок льда, в который вморожен осколок стекла. При этом уровень воды в сосуде поднялся на h = 11 мм, а лед остался на плаву, целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень воды в сосуде после того, как весь лед растает? Плотность воды ρв = 1 г/см3, плотность льда ρл = 0,9 г/см3, стекла ρст = 2,0 г/см3
Обозначим первоначальный объем льда через Vл, а объем стекла — через Vст. Когда кусок льда полностью погрузился в воду, он вытеснил объем воды, равный
Очевидно, что этот же объем равен
где S — площадь поперечного сечения сосуда.
Теперь запишем условие плавания куска льда с вмороженным осколком стекла — суммарная сила тяжести льда и стекла равна выталкивающей силе:
Из совместного решения полученных уравнений найдем объемы льда и стекла:
Из растаявшего льда образовалась вода объемом
Поскольку кусок стекла остается в воде, понижение уровня воды в сосуде за время таяния льда будет равно
Задача 2. В вертикально расположенной трубке — с открытым верхним концом, с постоянным внутренним сечением и длиной 3L = 1080 мм — столбиком ртути длиной L заперт слой воздуха такой же длины. Какой длины столб ртути останется в трубке, если ее перевернуть открытым концом вниз? Внешнее давление p0 = 774 мм рт. ст.
Обозначим давление воздуха под ртутным столбиком в исходном положении трубки через p1. Тогда условие равновесия столбика ртути длиной L запишется в виде
где ρ – плотность ртути. Предположим, что после переворота трубки и установления первоначальной температуры часть ртути выльется. Обозначим через h длину столбика оставшейся в трубке ртути. Новое условие равновесия будет иметь вид
где p2 – новое давление воздуха над ртутным столбиком.
Условие сохранения количества изолированного воздуха позволяет записать
Подставляя сюда p1 из первого равенства, а p2 – из второго, получим уравнение относительно h:
или, если записать атмосферное давление в виде , где H0 = 774 мм:
Для данных численных значений L и H0 (в мм) получается, что
h = 270 мм.
Задача 3. U–образная трубка расположена вертикально и заполнена жидкостью. Один конец трубки открыт в атмосферу, а другой конец соединен с сосудом объемом V0 = 0,1 л, заполненным гелием (рис. 1). Объем всей трубки равен объему этого сосуда. В некоторый момент гелий начинают медленно нагревать. Какое минимальное количество теплоты необходимо подвести к гелию, чтобы вся жидкость вылилась из трубки? Атмосферное давление p0 = 105 Па; длины трех колен трубки одинаковы; давление, создаваемое столбом жидкости в вертикальном колене, равно p0/8.
Рис. 1
Обозначим полную длину трубки через 3L, а площадь внутреннего поперечного сечения трубки – S. Поскольку объем трубки V0, то длина каждого колена
Весь процесс нагрева гелия можно разбить на три участка. Первый участок — это когда жидкость еще находится в левом вертикальном колене. Рассмотрим момент времени, когда уровень жидкости в левом колене переместился на величину z, . Из условия равновесия жидкости в трубке найдем давление гелия:
где ρж – плотность жидкости. На втором участке, для которого , давление гелия
а на третьем участке, для
На рисунке 2 изображен график зависимости давления гелия от его объема V, который связан со смещением z простым соотношением:
На первых двух участках тепло необходимо подводить к гелию — это однозначно: здесь газ, расширяясь, совершает работу и одновременно нагревается. А вот третий участок неоднозначен: здесь газ также совершает работу, но при этом он может и охлаждаться. Убедимся, что и на этом участке тепло тоже подводится.
Учитывая, что , запишем уравнение процесса для третьего участка в виде
Рис. 2.
Рассмотрим малое изменение объема ΔV. Тогда работа, совершенная гелием, равна
Запишем уравнение состояния гелия как идеального газа:
где ν – количество вещества, Т – температура газа. Подставим в это уравнение выражение для давления на третьем участке процесса и получим
Продифференцируем обе части этого уравнения:
Теперь найдем изменение внутренней энергии гелия при изменении объема на ΔV:
Согласно первому началу термодинамики, подведенное количество теплоты равно сумме изменения внутренней энергии газа и совершенной им работы:
Легко убедиться, что при и
Итак, на всех участках тепло подводится, поэтому полное подведенное к гелию количество теплоты Q найдем как сумму полного изменения внутренней энергии и полной работы, которую совершил гелий:
Поскольку начальная и конечная температуры равны, соответственно,
то изменение внутренней энергии равно
Полную работу найдем как площадь под кривой на рисунке 2:
Тогда окончательно
Задача 4. «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой (горизонтальная трубка) полностью заполнен водой (рис. 3). После того, как тройник начали двигать по горизонтали в плоскости рисунка влево с некоторым постоянным ускорением, из него вылилась 1/16 массы всей воды. Чему при этом стало равно давление в жидкости у закрытого конца – в точке А? Трубки имеют одинаковые внутренние сечения. Длину L считать заданной. Диаметр трубок мал по сравнению с длиной L.
Рис. 3.
При движении тройника влево с ускорением а гидростатические давления в точках А, В и С (см. рис. 3) связаны между собой уравнением движения воды в горизонтальной трубке:
где ρ – плотность воды. Давление в точке С больше давления в точке В, поэтому вода будет выливаться из правой вертикальной трубки. Из условия неразрывности струи жидкость при этом будет отсасываться из левой вертикальной трубки. В установившемся режиме правая трубка будет полностью заполнена водой, а левая – частично. Поскольку вылилась 1/16 массы всей воды, что соответствует массе воды в части трубки длиной L/4, то в левой трубке останется столбик воды высотой 3/4L. Поэтому давления в точках В и С будут равны
где p0 – атмосферное давление.
Исключая из всех уравнений рB и рС, получим систему двух уравнений относительно рА и а:
Решая эту систему относительно рА, найдем
Задача 5. Тонкая, запаянная с одного конца и изогнутая под прямым углом трубка заполнена ртутью и закреплена на горизонтальной платформе, которая вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси (рис. 4). При вращении платформы ртуть не выливается и полностью заполняет горизонтальное колено. Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки указаны на рисунке; атмосферное давление р0; плотность ртути ρ. Найдите давление ртути у запаянного конца трубки.
Рис. 4.
Выделим в горизонтальной части трубки небольшой элемент ртути длиной dr, расположенный на произвольном расстоянии r от оси вращения (рис. 5).
Рис. 5.
Этот элемент вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω. Запишем уравнение движения выделенного элемента:
где S – площадь поперечного сечения трубки, dp – разность давлений между левым концом элемента ртути и правым. После сокращения на S получим связь между малыми приращениями dp и dr:
Проинтегрируем обе части этого уравнения и получим
Константу определим из условия, что при r = 3R (точка А) давление равно
и получим зависимость p(r)
Отсюда найдем давление ртути у запаянного конца трубки (r = R):
Задача 6. Стеклянный шар объемом V и плотностью ρ находится в сосуде с водой (рис. 6). Угол между стенкой сосуда и горизонтальным дном α, внутренняя поверхность сосуда гладкая, плотность воды ρ0. Найдите силу давления шара на дно сосуда в двух случаях: 1) сосуд неподвижен; 2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а.
Рис. 6.
Сначала рассмотрим движущийся по горизонтали с постоянным ускорением а сосуд с водой. Введем систему координат XY, связанную с сосудом, как это изображено на рисунке 7.
Рис. 7.
Наша задача – найти уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, который движется с горизонтальным ускорением а. Для этого выделим маленький элемент жидкости на оси Х, длина которого dx, а площадь поперечного сечения равна единице. С левого торца этого элемента давление равно
а с правого торца оно равно
где у – высота столба жидкости в точке х, а – аналогичная высота в точке . Так как наш элемент жидкости движется с ускорением а, его уравнение движения имеет вид
Отсюда получаем
или в интегральном виде —
Поскольку при х = 0 у = 0, константа тоже равна нулю, а уравнение свободной поверхности жидкости выглядит так:
Линии, параллельные свободной поверхности, внутри жидкости являются линиями постоянного давления. Таким образом, жидкость, движущаяся с горизонтальным ускорением а, эквивалентна неподвижной жидкости, находящейся в новом поле тяжести с эффективным «ускорением свободного падения», равным и направленным под углом к вертикали (рис. 8). Вертикальная составляющая этого эффективного ускорения равна обычному ускорению свободного падения g, а горизонтальная составляющая численно равна ускорению сосуда и направлена в противоположную сторону.
Рис. 8.
В том случае, когда сосуд неподвижен (а = 0), эффективное ускорение равно g и направлено по вертикали. Силы, действующие на стеклянный шар в этом случае, показаны на рисунке 9.
Рис. 9.
Здесь – вес (точнее – сила тяжести) шара, – выталкивающая сила, а N1 – сила реакции дна сосуда на шар. Из условия равновесия шара найдем, что
Очевидно, что сила давления шара на дно численно равна силе реакции дна и направлена в противоположную сторону.
В случае движущейся с горизонтальным ускорением a жидкости или неподвижной жидкости, но находящейся в поле с новым «ускорением свободного падения» gЭ, на шар будут действовать следующие силы (рис.10): вертикальная составляющая нового веса шара , горизонтальная составляющая этого веса , вертикальная составляющая выталкивающей силы , ее горизонтальная составляющая , реакция опоры Т со стороны боковой стенки и, наконец, сила N2 – сила реакции на шар со стороны дна сосуда. Запишем условие равновесия шара, т.е. равенство нулю всех сил, действующих на шар по вертикали:
и по горизонтали:
Рис. 10.
Исключая из этих уравнений Т, найдем искомую силу N2:
Разумеется, и в этом случае сила давления шара на дно сосуда численно равна силе реакции дна, но направлена в противоположную сторону.
Упражнения.
1. В цилиндрическом сосуде с водой плавает деревянная дощечка. Если на нее сверху положить стеклянную пластинку, то дощечка с пластинкой останутся на плаву, а уровень воды в сосуде повысится на Δh1. На сколько изменится уровень воды в сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную пластинку бросить на дно сосуда? Плотность стекла ρст, плотность воды ρв.
2. U–образная трубка состоит из трех одинаковых колен, расположена вертикально и заполнена жидкостью (см. рис. 1). Один конец трубки соединен с баллоном, заполненным водородом, другой конец открыт в атмосферу. Водород в баллоне медленно нагревают, и он постепенно вытесняет жидкость из трубки. К моменту, когда из трубки вылилось 2/3 всей массы жидкости, водород получил количество теплоты Q = 30 Дж. Найдите объем баллона. Известно, что объем всей трубки равен объему баллона; атмосферное давление p0 = 105 Па; давление, создаваемое столбом жидкости в вертикальном колене трубки, равно p0/9.
3. «Тройник» из трех вертикальных открытых в атмосферу трубок полностью заполнен водой (рис. 11). После того, как тройник начали двигать в горизонтальном направлении в плоскости рисунка с некоторым ускорением, из него вылилось 9/32 всей массы воды. Чему равно ускорение тройника? Внутренние сечения трубок одинаковы, длина каждой трубки L.
Рис. 11
4. Тонкая, запаянная с одного конца и изогнутая под прямым углом трубка заполнена жидкостью и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси (рис. 12). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки указаны на рисунке; атмосферное давление p0; плотность жидкости ρ. Найдите давление жидкости у запаянного конца трубки.
Рис. 12
Ответы.
1.
2.
3. .
4.
Источник