Сосуд содержит воздух при t 15
30. Молекулярная физика (расчетная задача)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Определить массу воды (m), которую теряет человек за (tau =1) ч в процессе дыхания, исходя из следующих данных. Относительная влажность вдыхаемого воздуха (f_1=60%), относительная влажность выдыхаемого воздуха (f_2=100%). Человек делает в среднем (n=15) вдохов в минуту, выдыхая каждый раз (V=2,5) л воздуха. Температура вдыхаемого и выдыхаемого воздуха принять (t=36 ^circ C); давление насыщенного водяного пара при этой температуре (p_text{н}=5,9) кПа. Молярная масса воды (M=18) г/м, универсальная газовая постоянная (R=8,3) Дж/(моль(cdot)К). Ответ дайте в граммах.
“Основная волна 2020 Вариант 5”
Относительная влажность равна: [f=dfrac{p}{p_text{н}}cdot 100%,] где (p) – давление газа.
Тогда для вдыхаемого и выдыхаемого воздуха давление равно [p_1=0,6p_text{н}] [p_2=p_text{ н}] По уравнению Клапейрона– Менделеева: [pV=nu RT=dfrac{m}{M}RT,] где (nu) – количество вещества, (m) – масса газа, (T) – температура в Кельвинах.
Выразим массу водяных паров [m=dfrac{pVM}{RT}] Откуда изменение массы за 1 вдох [Delta m =m_2-m_1=dfrac{p_2VM}{RT}-dfrac{p_1VM}{RT}=dfrac{VM}{RT}0,4p_text{ н}=dfrac{2,5cdot 10^{-3}text{ м$^3$}cdot 18cdot 10^{-3}text{ кг/моль}}{8,3text{Дж/(моль$cdot$К)}cdot 309text{ К}}cdot 0,4 cdot 5,9 cdot 10^{3} text{ Па}=4,1cdot 10^{-5}text{ кг}] Это потеря за 1 вдох и выход, за час делается (N=60cdot n=900) вдохов. Откуда потери за час [Delta M=900Delta m=900cdot 4,1cdot 10^{-5}text{ кг}=0,0369text{ кг}=37text{ г}]
Ответ: 37
В комнате размерами 4*5*3 м, в которой воздух имеет температуру 10 (^circ C) и относительную влажность 30 %, включили увлажнитель воздуха производительностью 0,2 л/ч. Чему станет равна относительная влажность воздуха в комнате через 1,5 ч? Давление насыщенного водяного пара при температуре 10 (^circ C) равно 1,23 кПа. Комнату считать герметичным сосудом.
“Демоверсия 2018”
За 1,5 часа работы увлажнителя испарится 0,2 (cdot) 1,5 = 0,3 л воды, т. е. 0,3 кг воды. Парциальное давление этих водяных паров (p=dfrac{mRT}{MV}= dfrac{0,3cdot 8,31 cdot 283}{0,018cdot 60}approx 650) Па. А значит, относительная влажность в комнате увеличится на (dfrac{650}{1230}cdot 100%approx 53%). Таким образом, относительная влажность воздуха равна (30%+53%=83%)
Ответ: 83
В двух сосудах объёмами 30 л и 40 л, соединённых трубкой с краном, содержится влажный воздух при комнатной температуре. Относительная влажность в сосудах равна соответственно 40% и 50%. Если кран открыть, то какой будет относительная влажность воздуха в сосудах после установления теплового равновесия, если температура при этом постоянная?
Относительная влажность для первого и второго сосудов соответственно равна: [varphi_1=dfrac{rho_1}{rho_o}cdot 100%] [varphi_2=dfrac{rho_2}{rho_o}cdot 100%] где (rho) — плотность водяных паров в первом и втором сосуде, (rho_{o}) — плотность насыщенных водяных паров.
Выразим плотность водяных паров для каждого сосуда: [hspace{10 mm} rho_1=dfrac{varphi_1cdot rho_o }{100%} hspace{10 mm} (1)] [hspace{10 mm} rho_2=dfrac{varphi_2cdot rho_o }{100%} hspace{10 mm} (2)] Масса находится через плотность воздуха и объемы сосудов, которые он занимает: [m_1=rho_1 V_1] [m_2=rho_2 V_2] Так как сосуды объединяют, то масса, получившаяся в результате объединений, равна: [m=m_1+m_2] Тогда плотность получившейся смеси: [rho=dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}] Относительная влажность после открытия крана будет равна: [varphi=dfrac{rho}{rho_o}cdot 100%=dfrac{m_1+m_2}{rho_o(V_1+V_2)}=dfrac{rho_1 V_1+rho_2 V_2}{rho_o(V_1+V_2)}] С учетом (1) и (2): [varphi =dfrac{ varphi_1 V_1+varphi_2 V_2}{V_1+V_2}]
[varphi = dfrac{40% cdot30text{ л}+50% cdot 40text{ л}}{30text{ л}+40text{ л}}approx 45,7 %]
Ответ: 45,7%
В двух сосудах, соединённых трубкой с краном, содержится влажный воздух при комнатной температуре. Относительная влажность в сосудах равна соответственно 40% и 50%. Если кран открыть, то относительная влажность воздуха в сосудах после установления теплового равновесия составит 45,7%. Найдите отношение объемов сосудов.
Относительная влажность для первого и второго сосудов соответственно равна: [varphi_1=dfrac{rho_1}{rho_o}cdot 100%] [varphi_2=dfrac{rho_2}{rho_o}cdot 100%] где (rho) — плотность водяных паров в первом и втором сосуде, (rho_{o}) — плотность насыщенных водяных паров.
Выразим плотность водяных паров для каждого сосуда: [hspace{10 mm} rho_1=dfrac{varphi_1cdot rho_o }{100%} hspace{10 mm} (1)] [hspace{10 mm} rho_2=dfrac{varphi_2cdot rho_o }{100%} hspace{10 mm} (2)] Масса находится через плотность воздуха и объемы сосудов, которые он занимает: [m_1=rho_1 V_1] [m_2=rho_2 V_2] Так как сосуды объединяют, то масса, получившаяся в результате объединений, равна: [m=m_1+m_2] Тогда плотность получившейся смеси: [rho=dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}] Относительная влажность после открытия крана будет равна: [varphi=dfrac{rho}{rho_o}cdot 100% =dfrac{m_1+m_2}{rho_o(V_1+V_2)}=dfrac{rho_1 V_1+rho_2 V_2}{rho_o(V_1+V_2)}] С учетом (1) и (2): [; ; ; varphi =dfrac{ varphi_1 V_1+varphi_2 V_2}{V_1+V_2} ; ; ; Rightarrow ; ; ; varphi(V_1+V_2)=varphi_1 V_1+ varphi_2 V_2] Поделим уравнение на объем второго сосуда и получим: [varphi left(dfrac{V_1}{V_2}+1right)=varphi_1dfrac{V_1}{V_2}+varphi_2] Найдем отношение объемов сосудов: [dfrac{V_1}{V_2} = dfrac{50% – 45,7%}{45,7%-40%} approx 0,75]
Ответ: $dfrac{V_1}{V_2}$ = 0,75
Относительная влажность воздуха при (t) = 36(^circ)C составляет 50%. Давление насыщенного водяного пара при этой температуре 5945 Па. Какая масса пара содержится в одном кубическом метре этого воздуха?
Относительная влажность воздуха находится по формуле: [hspace{10 mm} varphi=dfrac{p}{p_o}cdot 100% hspace{8 mm} (1)] где (p) — давление паров воды, (p_o) — давление насыщенного пара при данной температуре.
Выразим из (1) давление паров воды: [hspace{10 mm} p=dfrac{varphi cdot p_o}{100%} hspace{10 mm} (2)] Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для водяного пара: [hspace{10 mm} pV=nu R T hspace{10 mm} (3)] где (V) — объем, занимаемый водяным паром, (nu) — количество вещества пара, (R) — универсальная газовая постоянная, (T) — температура водяного пара в Кельвинах.
Количество вещества пара найдем по формуле: [hspace{15 mm} nu=dfrac{m}{M} hspace{15 mm} (4)] где (m) — масса пара, (M) — молярная масса воды.
Подставим (2) и (4) в (3): [dfrac{varphi p_o}{100%}V=dfrac{m}{M}RT] Выразим массу водяных паров, содержащихся в одном кубическом метре воздуха: [m=dfrac{varphi p_o}{100%}Vcdotdfrac{M}{RT}] [m=dfrac{50% cdot 5945text{ Па}cdot1text{ м}^3 cdot0,018text{ кг/моль}}{100%cdot8,31text{ Дж/(моль$cdot$ К)}cdot309text{ К}} approx 0,0208text{ кг} = 20,8text{ г}]
Ответ: 20,8 г
Воздух в комнате объемом V = 50 м(^3) имеет температуру t = 27 (^{circ})С и относительную влажность (varphi_1) = 20(% ). Сколько времени (tau) должен работать увлажнитель воздуха, распыляющий воду c производительностью (mu = 2) кг/ч, чтобы относительная влажность в комнате повысилась до (varphi_2) = 80(%)? Давление насыщенных паров воды при (t) = 27 (^{circ})С равно (p_{text{н.п.}}) = 3665 Па. Ответ дайте в секундах.
Переведем градусы Цельсия в Кельвины: 27(^circ)С = 300 К
Парциальное давление водяного пара при относительной влажности (varphi_1) равно: [p_1 = varphi_1 p_{text{н.п.}}] Из уравнения Менделеева – Клапейрона: [p_1V = dfrac{m_1}{M} RT] где (p_1) — давление газа при температуре t= 27 (^circ)С, (V) — объем газа, (m_1) — масса газа при температуре t= 27(^circ), (M) — молярная масса водяных паров, (R) — универсальная газовая постоянная, а (T) — температура газа в Кельвинах.
Находим начальную массу пара, содержащегося в комнате: [; ; ; m_1=dfrac{varphi_1 p_{text{н.п.}}MV}{RT} ; ; ; (1)] Аналогично при относительной влажности (varphi_2) масса пара равна: [; ; ; m_2=dfrac{varphi_2 p_{text{н.п.}}MV}{RT} ; ; ; (2)] [; ; ; Delta m=m_2-m_1=tau mu ; ; ; (3)] Выразим из (3) время (tau) и подставим (1), (2): [tau=dfrac{m_2-m_1}{mu}=dfrac{(varphi_2-varphi_1) p_{text{н.п.}}MV}{mu RT}] [tau=dfrac{0,6cdot3665text{ Па}cdot18cdot10^{-3}text{ кг/моль}cdot50text{ м$^3$}cdot3600text{ с}}{2text{ кг}cdot8,31text{ Дж/(моль$cdot$К)}cdot300text{ К}}approx 1428 text{ с}]
Ответ: 1428
В сосуде под поршнем находится влажный воздух, объем под поршнем уменьшили в (k=5) раза. При этом давление увеличилось в (n=3) раза. Найдите относительную влажность (phi) воздуха в первоначальном состоянии, если давление влажного воздуха в первоначальный момент времени равно (p_1=1,5 cdot 10^5 ) Па при температуре (t = 100^circ). Утечкой вещества из сосуда пренебречь.
1. При( t = 100^circ) давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению: (10^5) Па.
2. Так как давление увеличилось в 4 раза, а объем в 5, то значит, что часть влажного воздуха сконденсировалась и стала водой.
3. Запишем закон Дальтона для двух случаев [begin{cases}
1 & p_1=p_1text{ сух}+ phi p_0 \
2: & p_2=np_1=kp_text{ сух}+1 cdot p_0 \
end{cases}] где (p_2) – давление в конечном состоянии, (p_text{ сух}) – давление воздуха, (p_0) – атмосферное давление.
Исключим (p_text{ сух}) [np_1=kleft(p_1-phi p_0right) +p_0] Выразим отсюда начальную влажность [phi=dfrac{left(k-nright)p+p_0}{kp_0}=dfrac{left(5-3right)1,5cdot 10^5 text{ Па}+10^5 text{ Па}}{5cdot 10^5 text{ Па}} = 80 %]
Ответ: 80
Источник
Примеры решения задач по теме “Процессы изменения состояния идеальных газов”
1. В закрытом сосуде емкостью $V = 300$ л содержится $3$ кг газа при давлении $p_1 = 8$ ат и температуре $t_1 = 20$ °C. Определить давление (ат) и удельный объем после охлаждения воздуха до $0$ °C.
2. В закрытом сосуде заключен газ при разрежении $p_1 = 6.7$ кПа и температуре $t_1 = 70$ °C. Показания барометра – $742$ мм.рт.ст. До какой температуры нужно охладить газ при том же атмосферном давлении, чтобы разрежение стало $p_2 = 13.3$ кПа?
3. В закрытом сосуде емкостью $V = 0.6$ м3 содержится азот при давлении (абсолютном) $p_1 = 0.5$ МПа и температуре $t_1 = 20$ °C. В результате охлаждения сосуда азот, содержащийся в нем, теряет $105$ кДж. Определить, какие давление и температура устанавливаются в сосуде после охлаждения.
4. Сосуд емкостью $90$ л содержит углекислый газ при абсолютном давлении $0.8$ МПа и температуре $30$ °C. Определить количество теплоты, которое необходимо сообщить газу при $v = const$, чтобы давление поднялось до $1.6$ МПа.
5. Какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы нагреть $2$ м3 воздуха при постоянном избыточном давлении $p = 2$ ат от $t_1 = 120$ °C до $t_2 = 450$ °C? Какую работу при этом совершит воздух? Атмосферное давление принять равным $750$ мм.рт.ст., учесть зависимость теплоемкости от температуры.
6. В установке воздушного отопления внешний воздух при $t_1 = – 15$ °C нагревается в калорифере при $p = const$ до $60$ °C. Какое количество теплоты надо затратить для нагревания $1000$ м3 наружного воздуха? Давление воздуха считать равным $755$ мм.рт.ст.
7. Уходящие газы котельной установки проходят через воздухоподогреватель. Начальная температура газов $t_{г1} = 300$ °C, конечная $t_{г2} = 160$ °C; расход газов равен $900$ кг/ч. Начальная температура воздуха составляет $t_{в1} = 15$ °C, а расход его равен $800$ кг/ч. Определить температуру нагретого воздуха $t_{в2}$, если потери тепла в воздухоподогревателе составляет $4$ %. Средние теплоемкости для газов и воздуха принять соответственно равными $1.0467$ и $1.0048$ кДж/(кгּ К).
8. При сжигании в топке парового котла каменного угля объем продуктов сгорания составляет $V_н = 11.025$ м3/кг (объем при нормальных условиях, приходящийся на 1 кг топлива). Анализ продуктов сгорания показывает следующий их объемный состав: $CO = 10$ %; $O2 = 8$ %; $H2O = 10$ %; $N2 = 72$ %. Определить количество теплоты, теряемой с уходящими газами (в расчете на $1$ кг топлива), если на выходе из котла температура газов равна $180$ °C, а температура окружающей среды $20$ °C. Давление продуктов сгорания принять равным атмосферному. Учесть зависимость теплоемкости от температуры.
9. Воздух в количестве $1$ кг при температуре $t = 30$ °C и начальном давлении $p_1 = 0.1$ МПа изотермически сжимается до конечного давления $p_2 = 1$ МПа. Определить конечный объем, затрачиваемую работу изменения объема и количество теплоты, отводимой от газа.
10. Воздух в количестве $12$ кг при температуре $t = 27$ °C изотермически сжимается до тех пор, пока давление не становится равным $4$ МПа. На сжатие затрачивается работа $L = –6$ МДж. Найти начальные давление и объем, конечный объем и теплоту, отведенную от воздуха.
11. Воздух в количестве $0.5$ кг изотермически расширяется от давления $p_1 = 100$ ат до $p_2$. Определить давление $p_2$ в ат, работу изменения объема $L_{1-2}$ и отведенную теплоту $Q_{1-2}$, если $frac{v_2}{v_1} = 5$ и $t_1 = 30$ °C.
12. В идеально охлаждаемом компрессоре происходит изотермическое сжатие углекислого газа. В компрессор поступает $700$ м3/ч газа (приведенного к нормальным условиям) при $p_1 = 0.095$ МПа и $t_1 = 47$ °C. Давление за компрессором $p_2 = 0.8$ МПа. Найти теоретическую мощность приводного двигателя $N_0$ (кВт) и теоретический расход $M_в$ охлаждающей компрессор воды (в кг/ч), если она нагревается в системе охлаждения на $Δt = 15$ °C.
13. Воздух при температуре $t_1 = 20$ °C должен быть охлажден посредством адиабатного расширения до температуры $t_2 = –30$ °C. Конечное давление воздуха при этом должно составлять $0.1$ МПа. Определить начальное давление воздуха $p_1$ и работу расширения $1$ кг воздуха.
14. Воздух при температуре $120$ °C изотермически сжимается так, что его объем становится равным $0.25$ начального, а затем расширяется по адиабате до начального давления. Определить температуру воздуха в конце адиабатного расширения. Представить процессы расширения и сжатия в диаграммах pv и Ts.
15. При адиабатном расширении $1$ кг воздуха $K = 1.40 = сonst$ температура его падает на $100$ K. Какова полученная в процессе расширения работа и сколько теплоты следовало бы подвести к воздуху, чтобы ту же работу получить в изотермическом процессе?
16. Воздух в количестве $1$ кг политропно расширяется от $12$ до $2$ ат, причем объем его увеличился в $4$ раза; начальная температура воздуха равна $120$ °C. Определить показатель политропы, начальный и конечный объемы, конечную температуру и работу расширения.
17. При политропном сжатии $1$ кг воздуха до объема $v_2 = 0.1ּ v_1$ температура поднялась с $10$ до $90$ °C. Начальное давление равно $0.8$ бар; $R = 287$ Дж/(кгּ K). Определить показатель политропы, конечные параметры газа, работу сжатия и количество отведенной наружу теплоты.
18. Воздух в компрессоре сжимается по политропе $n = 1.25$ от $1$ до $8$ бар; начальная температура воздуха $5$ °C. После сжатия воздух проходит через холодильник, охлаждаемый холодной водой, начальная температура которой $t_1 = 10$ °C, а конечная равна $t_2 = 18$ °C. Определить часовой расход охлаждающей воды, если производительность компрессора $1000$ мн3/ч при нормальных физических условиях, а воздух в холодильнике изобарно охлаждается до $30$ °C.
19. В воздушном двигателе воздух в количестве $1$ кг расширяется от $p_1 = 10$ ат до $p_2 = 1$ ат. Расширение может произойти изотермически, адиабатно и политропно с показателем политропы $n = 1.2$. Сравнить работы расширения и определить конечные параметры воздуха по этим трем процессам; начальная температура воздуха $t_1 = 227$ °C. Представить процессы на диаграмме pv.
20. В процессе политропного расширения воздуху сообщается $70$ кДж теплоты. Найти изменение внутренней энергии воздуха и произведенную работу, если объем воздуха увеличился в $8$ раз, а давление его уменьшилось в $10$ раз.
Источник
2017-10-13
Два сосуда объемом $V = 10 л$ каждый наполнены сухим воздухом при давлении $V = 1 атм$ и температуре $t_{0} = 0^{ circ} С$. В первый вводят $m_{1} = 3 г$ воды, во второй $m_{2} = 15 г$ и нагревают сосуды до температуры $t = 100^{ circ} С$. Определить давление влажного воздуха при этой температуре в каждом сосуде.
Решение:
Введенная в сосуд вода испаряется, и давление в сосуде согласно закону Дальтона становится равным сумме парциальных давлений воздуха и паров воды.
Парциальное давление воздуха $p$ в обоих сосудах одинаково и легко находится с помощью закона Шарля, так как нагревание неизменной массы воздуха происходит при постоянном объеме (ибо тепловым расширением сосуда можно пренебречь):
$p = p_{0} T/T_{0} = 1 атм cdot 373 К/273 К= 1,37 атм$.
Теперь определим парциальное давление $p_{1}$ водяного пара в первом сосуде при $100^{ circ} С$. Для этого воспользуемся уравнением Менделеева — Клапейрона
$p_{1} = frac{1}{V} frac{m_{1}}{ mu} RT$. (1)
Подставляя в (1) числовые значения всех величин ($R = 0,082 атм cdot л/(моль cdot ^{ circ}С), mu = 0,018 кг/моль$), находим $p_{1} = 0,51 атм
Подсчитав таким же образом парциальное давление водяного пара во втором сосуде, получим $p_{2} = 2,55 атм > 1 атм$.
Итак, казалось бы, полное давление во втором сосуде
$p + p_{2} = 3,92 атм$.
Но не будем торопиться. Подумаем, может ли давление водяного пара при $100^{ circ} С$ быть больше 1 атм. Вспомним, что при давлении 1 атм вода кипит при $100^{ circ} С$. Это значит, что давление насыщенного водяного пара равно 1 атм при $100^{ circ} С$. Другими словами, давление водяного пара при $100^{ circ} С$ при наличии свободной поверхности жидкости никогда не может превышать 1 атм. Поэтому во втором сосуде вода испарилась не полностью, пар будет насыщенным и его парциальное давление равно 1 атм. Полное давление в этом сосуде $ p + 1 атм = 2,37 атм$.
Подумайте теперь, как можно подсчитать массу неиспарившейся воды во втором сосуде.
При решении этой задачи для нахождения давления водяного пара мы использовали закон Менделеева — Клапейрона — уравнение состояния идеального газа. Это можно делать для достаточно разреженного пара независимо от того, является ли он насыщенным или нет. Однако содержание закона в этих двух случаях совершенно различно. Если пар далек от насыщения, то, используя уравнение (1), мы находим давление пара, которое оказывается весьма близким к наблюдаемому на опыте. Для насыщенного пара использование этого уравнения для нахождения давления приводит, как мы только что видели, к абсурду. Однако это не означает, что закон неверен. Если вычисленное по уравнению (1) давление водяного пара оказывается больше, чем давление насыщенного пара при данной температуре, то это означает, что на самом деле масса пара меньше той, которую мы подставляли в уравнение,— часть вещества находится в жидкой фазе. Подставляя в формулу (1) давление насыщенного пара, взятое из таблиц, можно из нее найти массу насыщенного пара, содержащегося в объеме $V$ при температуре $T$.
Таким образом, применяя уравнение Менделеева — Клапейрона к парам, нужно все время иметь под рукой таблицу зависимости давления насыщенного пара от температуры, т. е. зависимости температуры кипения от давления.
Теперь вы без труда сможете ответить на поставленный дополнительный вопрос — определить массу неиспарившейся воды во втором сосуде.
Источник