Сосуды с жидкостью разной плотностью

Определение и закон сообщающихся сосудов

Определение

Сообщающимися сосудами называют сосуды, которые соединенные между собой.

В этих сосудах жидкость может свободно перетекать из одной емкости в другую (рис.1). Форма сообщающихся сосудов очень разнообразна. В сообщающихся сосудах однородная по плотности жидкость устанавливается на одном уровне, если давления над свободными уровнями жидкости одинаковые и это не зависит от формы сосуда.

В жидкости в состоянии равновесия давление на одном уровне равно:

[p=rho gh left(1right),]

где $rho $ – плотность жидкости; $g$ – ускорение свободного падения; $h$ – высота столба жидкости. В пояснении того, что в сообщающихся сосудах уровень жидкости находится на одном уровне, можно отталкиваясь от (1) сказать следующее: так как давления на одном уровне жидкости одинаково, то равными будут и высоты столбов жидкости.

И так, закон сообщающихся сосудов можно сформулировать следующим образом: В равновесном состоянии свободная поверхность жидкости в сообщающихся сосудах устанавливается на одном уровне, так как давление жидкости на любом горизонтальном уровне одинаково.

Сообщающиеся сосуды с жидкостями разной плотности

Если в сообщающихся сосудах находятся жидкости с разными плотностями, то их уровни не будут находиться на одном уровне. Высоты столбов таких жидкостей разные. Следствием закона сообщающихся сосудов является положение: в сообщающихся сосудах высоты столбиков жидкости над уровнем их раздела обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:

[frac{h_1}{h_2}=frac{{rho }_2}{{rho }_1}left(2right),]

где ${rho }_1$ и ${rho }_2$ – плотности жидкостей; $h_1$, $h_2$ – соответствующие высоты столбов этих жидкостей. При одинаковом давлении над поверхностями жидкостей, высота столба жидкости с меньшей плотностью будет больше, чем высота столба более плотной жидкости.

Применение сообщающихся сосудов

На практике сообщающиеся сосуды применяются часто. Довольно давно известно такое устройство как гидравлический пресс. В его конструкцию входят два цилиндра разного радиуса с поршнями (рис.2). Пространство в цилиндрах под поршнями обычно заполняют минеральным маслом.

Допустим, что площадь первого поршня, к которому приложена сила ${overline{F}}_1,$ равна $S_1$, площадь второго $S_2$, к нему приложена сила ${overline{F}}_2$. Давление, создаваемое первым поршнем, составляет:

[p_1=frac{F_1}{S_1}left(3right).]

Второй поршень давит на жидкость:

[p_2=frac{F_2}{S_2}left(4right).]

При равновесии системы $p_1$ и $p_2$ равны, запишем:

[frac{F_1}{S_1}=frac{F_2}{S_2}left(5right).]

Выразим величину силы, которую прикладывают к первому поршню:

[F_1=F_2frac{S_1}{S_2}(6)]

Из выражения (6), видим, что величина первой силы больше модуля силы $F_2$ в $frac{S_1}{S_2}$ раз. Следовательно, с помощью гидравлического пресса, прикладывая небольшую силу к поршню малого сечения, можно получить большую по величине силу, которая будет действовать на большой поршень.

По принципу сообщающихся сосудов, в особенности раньше, действовал водопровод. Такой водопровод сейчас еще можно наблюдать на дачных участках. На относительно большой высоте устанавливается бак с водой, от бака идут водопроводные трубы, закрываемые кранами. Давление у кранов соответствует давлению столба воды, который равен разности высот уровень крана – уровень воды в баке.

Принципом сообщающихся сосудов пользовались, когда проектировали фонтаны, работающие без насосов, шлюзы на реках и каналах.

Примеры задач на закон сообщающихся сосудов

Пример 1

Задание. Какая сила действует на тело, зажатое в гидравлическом прессе, если на маленький поршень действовать с силой $f$? Следует учесть, что за один ход маленький поршень пресса опускается на расстояние $h$, при этом большой перемещается на расстояние $H$.

Решение. Сделаем рисунок.

Работу, которую выполняет сила $f$, при перемещении малого поршня найдем как:

[А_1=fh left(1.1right),]

поскольку силу $f$ считаем постоянной и перемещение сонаправлено с направлением действия силы.

Работа силы, которая двигает большой поршень вверх (сжимает гипотетическое тело), равна:

[А_2=FH left(1.2right).]

Так как мы будем считать, что КПД пресса равен единице (ста процентам), то работы затраченная ($А_1$) и полезная ($А_2$) равны:

[А_1=А_2to fh=FH left(1.3right).]

Из формулы (1.3) выразим искомую силу:

[F=frac{fh}{H}.]

Ответ. $F=frac{fh}{H}$

Пример 2

Задание. В сообщающихся сосудах налито две жидкости разной плотности. В одной части сосуда жидкость с высотой столба $h_1$ и плотностью ${rho }_1$ уравновешивает столбик другой жидкости высотой $h_2$. Какова плотность второй жидкости?

Решение. По условию задачи жидкости в сообщающихся сосудах находятся в состоянии равновесия, следовательно, давления столбов обеих жидкостей равны. Давление столба первой жидкости найдем как:

[p_1={rho }_1h_1g left(2.1right).]

Давление, которое создает столбик второй жидкости, составляет:

[p_2={rho }_2h_2g left(2.2right).]

Если левые части выражений (2.1) и (2.2) равны, то приравняем их правые части, выразим искомую плотность:

[{rho }_1h_1g= {rho }_2h_2gto {rho }_2=frac{{rho }_1h_1}{h_2}.]

Ответ. ${rho }_2=frac{{rho }_1h_1}{h_2}$

Читать дальше: импульс тела. Закон сохранения импульса.

Источник

Определение

Сообщающиеся сосуды – сосуды, соединенные между собой или имеющие общее дно.

Уровень жидкости в сообщающихся сосудах одинаков и располагается горизонтально, если:

1. в сосуды налита однородная жидкость
2. поверхности жидкости открыты

3. ни один из сосудов не является капилляром (очень узкой трубкой)

4. в жидкости нет пузырьков с воздухом.

Разные по плотности не смешивающиеся жидкости в сообщающихся сосудах

Если в сообщающихся сосудах находятся неоднородные жидкости, то, согласно закону Паскаля, более плотная жидкость будет оказывать большее давление на дно сосуда и в стороны. Поэтому она будет вытеснять часть жидкости с меньшей плотностью. Равновесие наступит тогда, когда давление столба с более плотной жидкостью сравняется с давлением столба, образованного из двух жидкостей.

По закону Паскаля на любом горизонтальном уровне:

p1 = p2

ρ1gh1 = ρ2gh2

Следовательно:

h2h1=ρ1ρ2

Следовательно, высота столба менее плотной жидкости во столько раз выше высоты столба более плотной жидкости, во сколько более плотная жидкость плотнее менее плотной.

Пример №1. В широкую U-образную трубку с вертикальными прямыми коленами налиты керосин плотностью ρ1 = 800 кг/м3 и вода плотностью ρ2 = 1000 кг/м3 (см. рисунок). На рисунке b = 10 см, H = 30 см. Определите расстояние h.

10 см = 0,1 м

20 см = 0,3 м

Жидкость находится в равновесии. С учетом того, что в первом колене содержится сразу две жидкости:

ρ1g(H – b) + ρ2gb = ρ2gh

Или:

ρ1(H – b) + ρ2b = ρ2h

Отсюда:

h=ρ1(H−b)+ρ2bρ2=800(0,3−0,1)+1000·0,11000=0,26 (м)

Гидравлический пресс

Определение

Гидравлический пресс – простой механизм, дающий выигрыш в силе. Он представляет собой сообщающиеся сосуды разного сечения.

В основе действия гидравлического пресса лежит закон Паскаля. Так как высоты столбов равны, давления в колене малого и большого сечения тоже равны:

pм = pб

Следовательно:

FмSм=FбSб

Fм – сила, действующая на малый поршень (совершает полную работу), Fб – сила, действующая на большой поршень (совершает полезную работу), Sм – площадь малого поршня, Sб – площадь большого поршня.

Работа поршней (без потерь энергии):

Aм = Aб

Fмhм = Fбhб

hм – вертикальное перемещение малого поршня, hб – перемещение большого поршня.

Равенство объемов жидкостей при движении поршней:

Sмhм = Sбhб

КПД (есть потери энергии):

η=AбAм·100%=FбhбFмhм·100%=pбpм·100%

Пример №2. К малому поршню гидравлического пресса приложена сила 10 Н, под действием которой за один ход он опускается на 25 см, вследствие чего большой поршень поднимается на 5 мм. Какая сила давления передается при этом на большой поршень?

25 см = 0,25 м

5 мм = 0,005 м

Так как работа поршней одинакова:

Fмhм = Fбhб

Отсюда:

Fб=Fмhмhб=10·0,250,005=500 (Н).

Атмосферное давление

Атмосфера – воздушная оболочка Земли. Она существует благодаря земному притяжению и беспорядочному движению молекул в газообразном состоянии. В состав атмосферы входят азот, кислород и другие газы. Атмосфера не имеет четкой границы, а плотность воздуха уменьшается с высотой.

Определение

Атмосферное давление – давление «воздушного океана», которое также уменьшается с высотой.

Ртутный барометр

Определение

Ртутный барометр – прибор для определения атмосферного давления, созданный Торричелли. Состоит из стеклянной трубки, запаянной с одного конца, длиной 1 м, заполненной ртутью, а также из широкого сосуда, в который выливается ртуть после поворота трубки.

По свойству сообщающихся сосудов:

pатм = pртути (мм рт. ст.).

Формула для определения атмосферного давления (в паскалях):

pатм = pртgh

pатм – атмосферное давление, pрт – плотность ртути (13600 кг/м3), g – ускорение свободного падения (9,8 м/с2 или округленно – 10 м/с2), h – высота ртутного столба (м).

Дополнительные единицы измерения атмосферного давления:

1 мм рт. ст. = 133 Па

1 атм (атмосфера) = 105 Па

Нормальное атмосферное давление равно: p0 = 105 Па.

Пример №3. С какой силой давит воздух на поверхность письменного стола, длина которого 120 см, ширина – 60 см, если атмосферное давление равно 100 кПа?

Сила давления есть произведение давления на площадь. Поэтому:

F = pS = pab = 105∙1,2∙0,6 = 72 кН.

Задание EF18172 В широкую U-образную трубку, расположенную вертикально, налиты жидкости плотностью ρ1 и ρ2 (см. рисунок). Жидкости не смешиваются. На рисунке b = 15 см, h = 30 см, H = 35 см. Отношение плотности ρ1 к плотности ρ2 равно …

Ответ:

а) 0,67

б) 0,75

в) 0,86

г) 1,33

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать условие равновесия неоднородных жидкостей в сообщающихся сосудах.

3.Выполнить решение задачи в общем виде.

4.Вычислить искомую величину, подставив известные значения.

Решение

Запишем исходные данные:

• Уровень жидкости в левом колене: H = 35 см.

• Уровень жидкости в правом колене: h = 30 см.

• Высота столба более плотной жидкости в левом колене: b = 15 см.

Внимание! В данном случае переводить единицы в СИ необязательно, так как на величину отношения они никак не повлияют.

Запишем условие равновесия. Давление на уровне b в обоих коленах должно быть одинаковое. Поэтому:

ρ1g(H – b) = ρ2g(h – b)

Отсюда:

ρ1ρ2=g(h−b)g(H−b)=h−bH−b=30−1535−15=1520=0,75

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF22683 В комнате находится открытая сверху U-образная трубка, в которую налита ртуть (рис. а). Левое колено трубки плотно закрывают пробкой (рис. б), после чего температура в комнате увеличивается. Что произойдёт с уровнями ртути в коленах трубки? Атмосферное давление считать неизменным. Ответ поясните, указав, какие физические явления и закономерности Вы использовали для объяснения.

Алгоритм решения

1. Установить, что изменится после того, как одно колено сосуда будет закупорено.
2. Установить, что изменится после того, как температура воздуха увеличится.

Решение

Изначально давление, оказываемое атмосферой на поверхность ртути в обоих коленах, равно. Это следует из закона Паскаля и условия равновесия. Когда одно колено сообщающихся сосудов будет закупорено, сначала давление под пробкой будет равно атмосферному давлению. Но при изменении прочих условий уровень жидкостей в коленах не будет одинаков. Это связано с изменением давления, оказываемого на поверхности жидкостей в закупоренном и открытом коленах.

Если же увеличить температуру воздуха, то воздух под пробкой тоже нагреется. От этого его объем увеличится, что приведет к росту давления, которое окажется больше атмосферного на величину, равную ∆p = ρвg∆h. Суммарное давление, оказываемое со стороны закупоренного колена, будет равно сумме атмосферного давления и давления ∆p: pз = pатм + ρвg∆h. Со стороны открытого колена по-прежнему будет оказываться атмосферное давление: pо = pатм. Поэтому избыточное давление под пробкой начнет выталкивать часть ртути из левого колена в правое до тех пор, пока не наступит равновесие. При условии, что диаметр трубок одинаковый, это произойдет тогда, когда уровень ртути в открытой трубке увеличится на высоту ∆h – на ту высоту, на которую понизится уровень ртути в закупоренной трубке.

Ответ: уровень ртути в закрытом колене понизится, а в открытом – понизится.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алиса Никитина | ???? Скачать PDF | Просмотров: 501 | Оценить:

Источник

Сообщающиеся сосуды – это сосуды, соединенные между собой ниже уровня жидкости в каждом из сосудов. Таким образом жидкость может перемещаться из одного сосуда в другой.

Перед тем как понять принцип действия сообщающихся сосудов и варианты их использования необходимо определиться в понятиях, а точнее разобраться с основным уравнением гидростатики.

Итак, сообщающиеся сосуды имеют одно общее дно и закон о сообщающихся сосудах гласит:

Какую бы форму не имели такие сосуды, на поверхности однородных жидкостей в состоянии покоя на одном уровне действует одинаковое давление.

Для иллюстрации этого закона и возможностей его применения начнем с рассмотрения основного уравнения гидростатики.

Основное уравнение гидростатики

P = P1 + ρgh

где P1 – это среднее давление на верхний торец призмы,

P – давление на нижний торец,

g – ускорение свободного падения,

h – глубина погружения призмы под свободной поверхностью жидкости.

ρgh – сила тяжести (вес призмы).

Звучит уравнение так:

Давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается в жидкости одинаково во всех направлениях.

Из написанного выше уравнения следует, что если давление, например в верхней точке изменится на какую-то величину ΔР, то на такую же величину изменится давление в любой другой точке жидкости

Доказательство закона сообщающихся сосудов

Возвращаемся к разговору про сообщающиеся сосуды.

Предположим, что имеются два сообщающихся сосуда А и В, заполненные различными жидкостями с плотностями ρ1 и ρ2. Будем считать, что в общем случае сосуды закрыты и давления на свободных поверхностях жидкости в них соответственно равны P1 и P2.

Пусть поверхностью раздела жидкостей будет поверхность ab в сосуде А и слой жидкости в этом сосуде равен h1. Определим в заданных условиях уровень воды в сообщающихся сосудах – начнем с сосуда В.

Гидростатическое давление в плоскости ab, в соответствии с уравнение гидростатики

P = P1 + ρgh1

если определять его, исходя из известного давления P1 на поверхность жидкости в сосуде А.

Это давление можно определить следующим образом

P = P2 + ρgh2

где h2 – искомая глубина нагружения поверхности ab под уровнем жидкости в сосуде В. Отсюда выводим условие для определения величины h2

P1 + ρ1gh1 = P2 + ρ2gh2

В частном случае, когда сосуды открыты (двление на свободной поверхности равно атмосферному), а следовательно P1 = P2 = Pатм , имеем

ρ1h1 = ρ2h2

или

ρ1 / ρ2 = h2 / h1

т.е. закон сообщающихся сосудов состоит в следующем.

В сообщающихся сосудах при одинаковом давлении на свободных поверхностях высоты жидкостей, отсчитываемые от поверхности раздела, обратно пропорциональны плотностям жидкостей.

Свойства сообщающихся сосудов

Если уровень в сосудах одинаковый, то жидкость одинаково давит на стенки обоих сосудов. А можно ли изменить уровень жидкости в одном из сосудов.

Можно. С помощью перегородки. Перегородка, установленная между сосудами перекроет сообщение. Далее доливая жидкость в один из сосудов мы создаем так называемый подпор – давление столба жидкости.

Если затем убрать перегородку, то жидкость начнет перетекать в тот сосуд где её уровень ниже до тех пор пока высота жидкости в обоих сосудах не станет одинаковой.

В быту этот принцип используется например в водонапорной башне. Наполняя водой высокую башню в ней создают подпор. Затем открывают вентили, расположенные на нижнем этаже и вода устремляется по трубопроводам в каждый подключенный к водоснабжению дом.

Приборы основанные на законе сообщающихся сосудов

На принципе сообщающихся сосудов основано устройство очень простого прибора для определения плотности жидкости. Этот прибор представляет собой два сообщающихся сосуда – две вертикальные стеклянные трубки А и В, соединенные между собой изогнутым коленом С. Одна из вертикальных трубок заполняется исследуемой жидкостью, а другая жидкостью известной плотности ρ1 (например водой), причем в таких количествах, чтобы уровни жидкости в среднем колене находились на одной и той же отметке прибора 0.

Затем измеряют высоты стояния жидкостей в трубках над этой отметкой h1 и h2. И имея ввиду, что эти высоты обратно пропорциональны плотностям легко находят плотность исследуемой жидкости.

В случае, когда оба сосуде заполнены одной и той же жидкостью – высоты, на которые поднимется жидкость в сообщающихся сосудах, будут одинаковы. На этом принципе основано устройство так называемого водометного стекла А. Его применяют для определения уровня жидкости в закрытых сосудах, например резервуарах, паровых котлах и т.д.

Принцип сообщающихся сосудов заложен в основе ряда других приборов, предназначенных для измерения давления.

Применение сообщающихся сосудов

Простейшим прибором жидкостного типа является пьезометр, измеряющий давление в жидкости высотой столба той же жидкости.

Пьезометр представляет собой стеклянную трубку небольшого диаметра (обычно не более 5 мм), открытую с одного конца и вторым концом присоединяемую к сосуду, в котором измеряется давление.

Высота поднятия жидкости в пьезометрической трубке – так называемая пьезометрическая высота – характеризует избыточное давление в сосуде и может служить мерой для определения его величины.

Пьезометр – очень чувствительный и точный прибор, но он удобен только для измерения небольших давлений. При больших давлениях трубка пьезометра получается очень длинной, что усложняет измерения.

В этом случае используют жидкостные манометры, в которых давление уравновешивается не жидкостью, которой может быть вода в сообщающихся сосудах, а жидкостью большей плотности. Обычно такой жидкостью выступает ртуть.

Так как плотность ртути в 13,6 раз больше плотности воды и при измерении одних и тех же давлений трубка ртутного манометра оказывается значительно короче пьезометрической трубки и сам прибор получается компактнее.

В случае если необходимо измерить не давление в сосуде, а разность давлений в двух сосудах или, например, в двух точках жидкости в одном и том же сосуде применяют дифференциальные манометры.

Сообщающиеся сосуды находят применение в водяных и ртутных приборах жидкостного типа, но ограничиваются областью сравнительно небольших давлений – в основном они применяются в лабораториях, где ценятся благодаря своей простоте и высокой точности.

Когда необходимо измерить большое давление применяются приборы основанные на механических принципах. Наиболее распространенный из них – пружинный манометр. Под действием давления пружина манометра частично распрямляется и посредством зубчатого механизма приводит в движение стрелку, по отклонению которой на циферблате показана величина давления.

Видео по теме

Ещё одним устройством использующим принцип сообщающихся сосудов хорошо знакомым автолюбителем является гидравлический пресс(домкрат). Конструктивно он состоит из двух цилиндров: одного большого, другого маленького. При воздействии на поршень малого цилиндра на большой передается усилие во столько раз большего давления во сколько площадь большого поршня больше площади малого.

Вместе со статьей “Закон сообщающихся сосудов и его применение.” читают:

Источник