Сплошной шарик подвешен сосуде

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.

Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.

укоротятся на ту же величину, так что надо будет переместить конец троса вниз на расстояние 3h, то есть, проигрывая в расстоянии в 3 раза, мы получаем выигрыш в силе она уменьшается тоже в три раза, и F = P/3. 4. Сплошной шарик подвешен в сосуде на двух одинаковых легких нитях, как показано на рисунке. Свободные концы нитей закреплены на одной высоте. После того как сосуд заполнили водой, и шарик оказался полностью погружен- ным в воду, натяжение нитей не изменилось. Определите плотность ρ материала, из которого изготвлен шарик. Плотность воды ρв = 1000 кг/м3 . Решение. Пусть V объём шарика. Натя- жение нитей может остаться неизменным только в том случае, если ρ < ρв , а сумма сил тяжести и Архимеда после заполнения сосуда водой ρв gV − ρgV равна по модулю и про- тивоположна по направлению силе тяжести ρgV . Таким образом, ρв gV − ρgV = ρgV . Отсюда ρ = ρв /2 = 500 кг/м3 . 8 класс На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа. 1. В широкий сосуд с водой медленно опус- кают на нити цилиндрический брусок так, что ось цилиндра всё время остаётся верти- кальной. График зависимости силы натяже- ния нити F от глубины погружения h нижнего основания цилиндра является отрезком пря- мой линии, как показано на рисунке. Найдите площадь основания цилиндра S и его массу m. Плотность воды ρ0 = 1 г/см3 , ускорение сво- бодного падения g = 10 м/с2 . Решение. Как следует из графика, сила F является линейной функ- цией глубины погружения h: h F = F0 1 − , h0 11 где F0 = 10 Н, а h0 = 0,1 м. Учтём, что сила F складывается из двух противоположных по направлению сил: силы тяжести mg и силы Архи- меда ρ0 gSh, то есть F = mg − ρ0 gSh. Отсюда получаем: F0 h F = mg − ρ0 gSh = F0 − . h0 При h = 0 отсюда находим, что mg = F0 , и m = F0 /g = 1 кг. После этого при h = 0 из написанного уравнения следует, что ρ0 gS = F0 /h0 . Отсюда S = F0 /(ρ0 gh0 ) = 0,01 м2 . 2. В сосуде находился лёд при температуре tл = 0 ◦ C. Туда влили воду массой mв = 0,4 кг, взятую при температуре tв = 60 ◦ C. Какая тем- пература установилась в сосуде, если конечный объём его содержимого равен V = 1 л? Чему равна масса содержимого сосуда? Плотности воды и льда ρв = 1000 кг/м3 и ρл = 900 кг/м3 , их удельные теплоёмко- сти cв = 4200 Дж/(кг · ◦ C) и cл = 2100 Дж/(кг · ◦ C), удельная теплота плавления льда λ = 335 кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда и потерями тепла пренебречь. Решение. Масса воды mв при охлаждении до 0 ◦ C отдаёт количество теплоты cв mв tв , достаточное для плавления массы льда cв mв tв /λ ≈ 0,3 кг. Объём mв = 0,4 кг воды и 0,3 кг растаявшего льда составит mв c в m в tв + ≈ 0,7 л, ρв λρв что меньше объёма V содержимого сосуда. Следовательно, оставшиеся 0,3 л объёма занимает лёд в твёрдом состоянии массой mв c в tв ρл V − 1+ ≈ 0,27 кг, ρв λ конечная температура смеси равна 0 ◦ C, масса содержимого сосуда равна mв c в tв c в m в tв m = ρл V − 1+ + mв + = ρв λ λ ρл c в tв = ρл V + m в 1 − 1+ ≈ 0,97 кг. ρв λ 3. В одном из двух одинаково длинных чёрных ящиков находится постоянный магнит, а в другом длинная катушка из медной прово- локи, подключённая к источнику постоянного тока (батарейке). Как, 12 используя только эти чёрные ящики , определить, в каком из них находится постоянный магнит? Нельзя заглядывать внутрь ящиков, разбирать и разрушать их. Решение. Если поднести к чёрному ящику сбоку внешний маг- нит, то намагниченность постоянного магнита изменится, и он будет притягиваться к внешнему магниту; катушка, сделанная из медной про- волоки, притягиваться к внешнему магниту не будет (медь немагнит- ный материал). В качестве внешнего магнита можно использовать вто- рой чёрный ящик . Следовательно, конец чёрного ящика с катуш- кой будет притягиваться к середине чёрного ящика с постоянным магнитом, а конец чёрного ящика с постоянным магнитом не будет притягиваться к середине чёрного ящика с катушкой. Другой способ заключается в наблюдении за ящиками в течение дли- тельного времени: чёрный ящик с катушкой будет нагреваться, что можно заметить на ощупь; кроме того, со временем ток через катушку и создаваемое им магнитное поле станут меньше из-за разрядки бата- рейки. 9 класс На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа. 1. Марс удобнее всего изучать во время противостояния, когда Земля находится между Марсом и Солнцем. Определите, через какой проме- жуток времени повторяются противостояния Марса. Ответ выразите в земных годах. Расстояние от Марса до Солнца в n = 1,53 раза превос- ходит расстояние от Земли до Солнца. Считайте, что орбиты Земли и Марса являются круговыми. Решение. Найдём отношение периодов обращения Марса и Земли TМ и TЗ . При движении планеты массой m вокруг Солнца массой M по круговой орбите радиусом r с угловой скоростью ω на планету со стороны Солнца действует сила тяготения GmM/r2 . В соответствии со вторым законом Ньютона, она равна произведению массы планеты m на её центростремительное ускорение ω 2 r, то есть GmM/r2 = mω 2 r. Отсюда ω = GM/r3 и, следовательно, ω ∼ r−3/2 . Так как T = 2π/ω, то T ∼ r3/2 ; поэтому отношение периодов обращения Марса и Земли составляет 3/2 TМ rМ = = n3/2 ≈ 1,89. TЗ rЗ Заметим, что последняя формула выражает собой третий закон 13 Кеплера (мы его вывели, исходя из предположения, что планеты дви- жутся по круговым орбитам, хотя этот закон справедлив и в более общем случае эллиптических орбит). За промежуток времени T от одного противостояния до другого Марс совершает k оборотов, а Земля k + 1 оборот (k не обязательно целое!). Этот промежуток времени выражается через периоды обра- щения Земли и Марса вокруг Солнца TЗ и TМ следующим образом: T = (k + 1)TЗ = kTМ . Отсюда находим k = TЗ /(TМ − TЗ ) и TЗ TМ n3/2 T = = 3/2 TЗ ≈ 2,12 TЗ . TМ − TЗ n −1 Таким образом, противостояния Марса повторяются приблизительно через 2,12 земных лет. 2. Чёрный ящик представляет собой систему, изображённую на рисунке. Внутри него находятся вода и погруженный в неё узкий вертикальный цилиндр с поршнем. К поршню прикреплён выходящий наружу вертикальный шток. Потянув за шток и подвигав его вверх-вниз, школьник решил, что в чёрном ящике находится прикреп- лённая к штоку пружина, и измерил её коэффициент жёсткости. Он оказался рав- ным k = 100 Н/м. Чему равна площадь S поршня? Трением и массой поршня можно пренебречь. Плотность воды ρ = 1000 кг/м3 , ускорение свободного падения g = 10 м/с2 . Решение. Пусть x высота столба жидкости. Давление у сво- бодной поверхности жидкости равно атмосферному давлению, а на высоте x над этой поверхностью давление в жидкости меньше атмо- сферного на величину ρgx. Следовательно, разность давлений, оказы- ваемых на поршень сверху и снизу, равна ρgx. Поэтому на поршень дей- ствует направленная вниз сила F = ρgxS, пропорциональная смещению поршня x. Школьник, измеряя жёсткость предполагаемой пружины, на самом деле измерил коэффициент пропорциональности k = F/x = ρgS. Отсюда S = k/(ρg) = 0,01 м2 . 3. В сосуде находился лёд при температуре tл = −20 ◦ C. Туда влили воду массой mв = 0,4 кг, взятую при температуре tв = 60 ◦ C. Каким может быть конечный объём V содержимого сосуда, если уста- новившаяся в системе температура выше 0 ◦ C? Плотности воды 14 и льда ρв = 1000 кг/м3 и ρл = 900 кг/м3 , их удельные теплоёмко- сти cв = 4200 Дж/(кг · ◦ C) и cл = 2100 Дж/(кг · ◦ C), удельная теплота плавления льда λ = 335 кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда и теплообме- ном с окружающей средой пренебречь. Решение. Обозначим через mл начальную массу льда в сосуде, через t установившуюся в системе температуру, которая по условию выше 0 ◦ C. В процессе установления равновесия масса воды mв отдала количество теплоты cв mв (tв − t). Масса льда mл получила количество теплоты cл mл |tл | на этапе нагревания до 0 ◦ C, затем количество теп- лоты λmл при плавлении и, наконец, количество теплоты cв mл t при нагревании образовавшейся из льда воды до установившейся темпера- туры t. Поскольку теплоемкостью сосуда и теплообменом с окружа- ющей средой можно пренебречь, то из уравнения теплового баланса получаем: cв mв (tв − t) = cл mл |tл | + λmл + cв mл t. Определяемая из данного соотношения конечная температура t положительна, если cв mв tв > cл mл |tл | + λmл . Таким образом, масса льда mл лежит в интервале c в m в tв 0 mл < . cл |tл | + λ Конечный объём содержимого сосуда связан с массой льда соотноше- нием V = (mв + mл )/ρв . Отсюда находим ответ: mв mв c в tв V < 1+ , ρв ρв cл |tл | + λ подстановка числовых данных даёт: 0,4 л V < 0,67 л. 4. В электрической цепи, изображённой на рисунке, напряжение источника равно U = 9 В, сопротивления резисторов R1 = R3 = 60 Ом и R2 = 100 Ом. Амперметр, который можно считать идеальным, показывает силу тока I = 0,185 А. Най- дите силы токов I2 и I3 , текущих через резисторы R2 и R3 , и сопротивление резистора R4 . Решение. Поскольку амперметр можно считать идеальным, падение напряжения на нём равно нулю. Поэтому на резисторе R3 падает напряжение U3 = U . Следовательно, сила тока, текущего через этот резистор, равна I3 = U3 /R3 = U/R3 = 0,15 А. Далее, сила тока I, теку- щего через амперметр, равна сумме сил токов I2 и I3 ; отсюда I2 = I − I3 = I − (U/R3 ) = 0,035 А. 15 На резисторе R2 падает напряжение U2 = I2 R2 ; такое же напряже- ние, ввиду идеальности амперметра, падает и на резисторе R1 . Поэтому сила тока, текущего через резистор R1 , равна I1 = U2 /R1 = I2 R2 /R1 . Отсюда находим силу тока I4 , текущего через резистор R4 , и напряже- ние U4 на этом резисторе: R2 U R2 I4 = I1 + I2 = I2 1 + = I− 1+ , R1 R3 R1 U U4 = U − U2 = U − I2 R2 = U − I − R2 . R3 Следовательно, сопротивление резистора R4 равно U4 U − I2 R2 R1 (U R3 − R2 (IR3 − U )) R4 = = = ≈ 59 Ом. I4 I2 (1 + (R2 /R1 )) (IR3 − U )(R1 + R2 ) 10 класс На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов. 1. По гладкому горизонтальному столу скользит однородная линейка длиной L = 25 см. В некоторый начальный момент времени скорости концов линейки направлены перпендикулярно к ней в разные стороны и равны v1 = 10 см/с и v2 = 30 см/c. Какая скорость v будет у централь- ной точки линейки через время t = 5 с после начального момента? За какое время τ от начального момента линейка повернётся на угол 90◦ от исходного положения? Решение. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся со скоростью (v2 − v1 )/2 в направлении скорости v2 . В движущейся системе отсчёта концы линейки имеют скорости (v1 + v2 )/2, направленные перпендику- лярно линейке в разные стороны. Следовательно, в этой системе отсчёта линейка совершает только вращательное движение вокруг центральной точки, поворачиваясь на угол π/2 за время πL/4 πL τ= = ≈ 1 с. (v1 + v2 )/2 2(v1 + v2 ) Далее заметим, что в движущейся системе отсчёта центр масс линейки покоится. Следовательно, скорость центра масс линейки в неподвижной системе отсчёта равна (v2 − v1 )/2. Так как стол гори- зонтальный и гладкий, то импульс, а значит, и скорость центра масс линейки остаются неизменными. Поэтому через время t = 5 с после 16 начального момента времени (как, впрочем, и через любой другой про- межуток времени) скорость центральной точки линейки будет равна v = (v2 − v1 )/2 = 10 см/с. 2. В системе, изображённой на рисунке, грузы 1 и 2 при- креплены к нитям, массы грузов 1, 2 и 3 равны M , 2M и 3M соответственно. Найдите их ускорения. Трение отсутствует. Блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, не лежащие на блоках участки нитей вертикальны. Решение. Из чертежа видно, что груз массой 3M дви- гаться не может, и поэтому его ускорение равно нулю. Так как блоки и нити невесомы и трение отсутствует, то сила натяжения T1 верхней нити, перекинутой через верхний блок, постоянна вдоль всей её длины. То же самое справедливо и для силы натяжения T2 нижней нити, на которой висит нижний блок. Напра- вим координатную ось OX вниз и обозначим ускорение груза массой 2M через a. Тогда груз массой M , двигающийся в противоположном направлении, имеет ускорение −a. Запишем второй закон Ньютона для грузов массами M и 2M : −M a = M g − T1 + T2 , 2M a = 2M g − T1 + T2 . Вычитая первое уравнение из второго, получим, что 3M a = M g. Отсюда a = g/3. Таким образом, груз массой M движется с ускоре- нием g/3 вверх, груз массой 2M с ускорением g/3 вниз, ускорение груза массой 3M равно нулю. 3. По горизонтальному столу катится без трения тележка массой M со скоростью v0 . На горизонтальную поверхность тележки положили кир- пич массой m, начальная скорость которого относительно стола была равна нулю. Кирпич прошёл по тележке путь l и остановился относи- тельно неё. Найдите коэффициент трения между кирпичом и тележкой. Решение. Нормальная составляющая силы реакции, действующая на кирпич со стороны тележки, равна по величине силе тяжести mg. Следовательно, на кирпич при его движении относительно тележки действует с её стороны сила трения ёmg, сообщающая кирпичу ускоре- ние ёg относительно земли. Такая же по величине и противоположная по направлению сила трения действует на тележку со стороны кирпича; тележка при этом получает ускорение, равное по величине ёmg/M . Ско- рости кирпича u и тележки v относительно стола зависят от времени 17 t по законам: u(t) = ёgt и v(t) = v0 − ёg(m/M )t. Кирпич и тележка перестанут ускоряться в тот момент, когда их скорости сравняются: u(t0 ) = v(t0 ), откуда v0 t0 = . ёg(1 + (m/M )) За время движения t0 кирпич сместится относительно стола на расстояние x0 = (1/2)ёgt2 , а тележка 0 на расстояние X0 = v0 t0 − (1/2)ёg(m/M )t2 . Следовательно, кирпич пройдёт по 0 тележке до остановки относительно неё путь m t2 0 2 v0 l = X0 − x0 = v0 t0 − ёg 1 + = . M 2 2ёg(1 + (m/M )) Отсюда 2 v0 ё= . 2gl(1 + (m/M )) 4. В сосуде постоянного объёма находится смесь гелия и кисло- рода. Смесь нагревают от температуры T1 = 300 К до температуры T2 = 4T1 /3 = 400 К, при этом половина атомов гелия покидает сосуд, а давление газа остаётся прежним. Во сколько раз при этом изме- няется плотность смеси? Молярная масса кислорода ёк = 32 г/моль, гелия ёг = 4 г/моль. Решение. Поскольку объём сосуда и давление в нём постоянны, то количество вещества в сосуде, в соответствии с уравнением Менделеева- Клапейрона, изменяется обратно пропорционально абсолютной темпе- ратуре газа. В рассматриваемом процессе температура газа возросла в 4/3 раза, поэтому количество вещества в сосуде после завершения нагревания составило 3/4 от исходного количества. Следовательно, сосуд покинула четверть от общего числа атомов, что по условию равно половине от начального числа атомов гелия. Поэтому начальное коли- чество гелия νг равно половине общего количества вещества, перво- начально находившегося в сосуде, а начальное количество гелия было равно количеству νк находящегося в сосуде кислорода: νг = νк . Отношение n конечной и начальной плотностей смеси равно отно- шению масс содержимого сосуда до и после нагревания. С учётом про- ведённых выше рассуждений, получаем: ρкон ёк νк + ёг (νг /2) 2ёк + ёг 17 n= = = = ≈ 0,94. ρнач ёк νк + ёг νг 2(ёк + ёг ) 18 18 5. Изображённая на рисунке электрическая цепь состоит из двух соединённых друг с другом чёр- ных ящиков , каждый из которых имеет три вывода. При подключении к клеммам A и C омметр показы- вает значение сопротивления RAC , при подключении к клеммам B и D значение RBD , при подключе- нии к клеммам A и D значение RAD . Что покажет омметр при подключении к клеммам B и C? Известно, что в чёрных ящиках находятся только различным образом соединённые резисторы. Решение. Примем, что потенциал электрического поля в средней точке, лежащей на проводнике, который соединяет чёрные ящики , равен нулю. Так как исследуемая электрическая схема состоит только из элементов, для которых справедлив закон Ома, то потенциалы ϕA клеммы А и ϕB клеммы В должны линейно зависеть от сил токов IA и IB , протекающих через эти клеммы при подключении к ним омметра: ϕA = IA rAA + IB rBA и ϕB = IA rAB + IB rBB , где rAA , rBA , rAB и rBB некоторые постоянные коэффициенты. Аналогичные соотношения можно записать для потенциалов ϕC и ϕD клемм C и D (при этом нужно учесть, что потенциалы этих клемм отрицательны в силу выбора нулевого значения потенциала в средней точке): −ϕC = IC rCC + ID rDC и − ϕD = IC rCD + ID rDD , где rCC , rDC , rCD и rDD также некоторые постоянные коэффици- енты. При подключении омметра к клеммам А и С токи IA и IС совпа- дают: IA = IС = IAC , а IB = ID = 0. Следовательно, ϕA = IAC rAA и −ϕC = IAC rСС . Отсюда получаем: ϕA − ϕС = IAC (rAA + rСС ). Сле- довательно, показание омметра RAC = rAA + rCC . При подключении омметра к клеммам B и D токи IB и ID совпадают: IB = ID = IBD , а IA = IC = 0. Отсюда ϕB = IBD rBB и −ϕD = IBD rDD , то есть ϕB − ϕD = IBD (rBB + rDD ), и RBD = rBB + rDD . При помощи аналогичных рассуждений можно показать, что RAD = rAA + rDD и RBC = rBB + rCC . Отсюда следует, что RAC + RBD = RAD + RBC , то есть RBC = RAC + RBD − RAD . Заметим, что решение задачи суще- ствует только при условии RAC + RBD ≥ RAD , так как значение сопро- тивления RBC не может быть отрицательным. 19 Существует и другой способ реше- ния задачи. Он основан на том, что чёрный ящик с тремя выводами, содержащий только резисторы, можно заменить на эквивалентную схему, в которой между выводами вклю- чены всего три резистора, соединён- ные либо звездой , либо треуголь- ником . В данном случае удобнее заменить каждый из чёрных ящиков на схему, состоящую из трёх резисторов, соединённых звездой , как показано на рисунке. Тогда RAC = R1 + R3 + R4 + R5 , RAD = R1 + R3 + R4 + R6 , RBC = R2 + R3 + R4 + R5 , RBD = R2 + R3 + R4 + R6 . Отсюда снова получаем соотношение RAC + RBD = RAD + RBC , из которого следует ответ задачи. 11 класс На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов. 1. Одна из разновидностей так называемой планетарной передачи состоит из централь- ной (солнечной) шестерни (С), нескольких планетарных шестерён (П), оси которых соединены жёсткой рамой водилом (В) и кольцевой шестерни (К), имеющей внут- реннее зацепление с планетарными. Пусть радиусы солнечной и планетарных шесте- рён равны, и солнечная шестерня приво- дится во вращение с угловой скоростью ω. С какой угловой скоростью будет вра- щаться кольцевая шестерня, если водило зафиксировано? С какой угловой скоростью будет вращаться водило, если кольцевая шестерня зафиксирована? С какой угловой скоростью в последнем случае будет вращаться планетарная шестерня? Решение. Пусть R радиус солнечной шестерни, совпадающий с радиусом каждой из планетарных шестерён, ωп угловая скорость 20

Источник