Сплошной шарик подвешен в сосуде на двух нитях

укоротятся на ту же величину, так что надо будет переместить конец
троса вниз на расстояние 3h, то есть, проигрывая в расстоянии в 3 раза,
мы получаем выигрыш в силе она уменьшается тоже в три раза, и
F = P/3.
4. Сплошной шарик подвешен в сосуде на
двух одинаковых легких нитях, как показано на
рисунке. Свободные концы нитей закреплены на
одной высоте. После того как сосуд заполнили
водой, и шарик оказался полностью погружен-
ным в воду, натяжение нитей не изменилось.
Определите плотность ρ материала, из
которого изготвлен шарик. Плотность воды
ρв = 1000 кг/м3 .
Решение. Пусть V объём шарика. Натя-
жение нитей может остаться неизменным только
в том случае, если ρ < ρв , а сумма сил
тяжести и Архимеда после заполнения сосуда
водой ρв gV − ρgV равна по модулю и про-
тивоположна по направлению силе тяжести
ρgV . Таким образом, ρв gV − ρgV = ρgV . Отсюда
ρ = ρв /2 = 500 кг/м3 .

8 класс
На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.
1. В широкий сосуд с водой медленно опус-
кают на нити цилиндрический брусок так,
что ось цилиндра всё время остаётся верти-
кальной. График зависимости силы натяже-
ния нити F от глубины погружения h нижнего
основания цилиндра является отрезком пря-
мой линии, как показано на рисунке. Найдите
площадь основания цилиндра S и его массу m.
Плотность воды ρ0 = 1 г/см3 , ускорение сво-
бодного падения g = 10 м/с2 .
Решение. Как следует из графика, сила F является линейной функ-
цией глубины погружения h:
h
F = F0 1 − ,
h0

11

где F0 = 10 Н, а h0 = 0,1 м. Учтём, что сила F складывается из двух
противоположных по направлению сил: силы тяжести mg и силы Архи-
меда ρ0 gSh, то есть F = mg − ρ0 gSh. Отсюда получаем:
F0 h
F = mg − ρ0 gSh = F0 − .
h0
При h = 0 отсюда находим, что mg = F0 , и m = F0 /g = 1 кг. После
этого при h = 0 из написанного уравнения следует, что ρ0 gS = F0 /h0 .
Отсюда S = F0 /(ρ0 gh0 ) = 0,01 м2 .
2. В сосуде находился лёд при температуре tл = 0 ◦ C. Туда влили воду
массой mв = 0,4 кг, взятую при температуре tв = 60 ◦ C. Какая тем-
пература установилась в сосуде, если конечный объём его содержимого
равен V = 1 л? Чему равна масса содержимого сосуда? Плотности воды
и льда ρв = 1000 кг/м3 и ρл = 900 кг/м3 , их удельные теплоёмко-
сти cв = 4200 Дж/(кг · ◦ C) и cл = 2100 Дж/(кг · ◦ C), удельная теплота
плавления льда λ = 335 кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда и потерями
тепла пренебречь.
Решение. Масса воды mв при охлаждении до 0 ◦ C отдаёт
количество теплоты cв mв tв , достаточное для плавления массы льда
cв mв tв /λ ≈ 0,3 кг. Объём mв = 0,4 кг воды и 0,3 кг растаявшего льда
составит
mв c в m в tв
+ ≈ 0,7 л,
ρв λρв
что меньше объёма V содержимого сосуда. Следовательно, оставшиеся
0,3 л объёма занимает лёд в твёрдом состоянии массой

mв c в tв
ρл V − 1+ ≈ 0,27 кг,
ρв λ

конечная температура смеси равна 0 ◦ C, масса содержимого сосуда
равна
mв c в tв c в m в tв
m = ρл V − 1+ + mв + =
ρв λ λ
ρл c в tв
= ρл V + m в 1 − 1+ ≈ 0,97 кг.
ρв λ

3. В одном из двух одинаково длинных чёрных ящиков находится
постоянный магнит, а в другом длинная катушка из медной прово-
локи, подключённая к источнику постоянного тока (батарейке). Как,

12

используя только эти чёрные ящики , определить, в каком из них
находится постоянный магнит? Нельзя заглядывать внутрь ящиков,
разбирать и разрушать их.
Решение. Если поднести к чёрному ящику сбоку внешний маг-
нит, то намагниченность постоянного магнита изменится, и он будет
притягиваться к внешнему магниту; катушка, сделанная из медной про-
волоки, притягиваться к внешнему магниту не будет (медь немагнит-
ный материал). В качестве внешнего магнита можно использовать вто-
рой чёрный ящик . Следовательно, конец чёрного ящика с катуш-
кой будет притягиваться к середине чёрного ящика с постоянным
магнитом, а конец чёрного ящика с постоянным магнитом не будет
притягиваться к середине чёрного ящика с катушкой.
Другой способ заключается в наблюдении за ящиками в течение дли-
тельного времени: чёрный ящик с катушкой будет нагреваться, что
можно заметить на ощупь; кроме того, со временем ток через катушку
и создаваемое им магнитное поле станут меньше из-за разрядки бата-
рейки.

9 класс
На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.
1. Марс удобнее всего изучать во время противостояния, когда Земля
находится между Марсом и Солнцем. Определите, через какой проме-
жуток времени повторяются противостояния Марса. Ответ выразите в
земных годах. Расстояние от Марса до Солнца в n = 1,53 раза превос-
ходит расстояние от Земли до Солнца. Считайте, что орбиты Земли и
Марса являются круговыми.
Решение. Найдём отношение периодов обращения Марса и Земли
TМ и TЗ . При движении планеты массой m вокруг Солнца массой M
по круговой орбите радиусом r с угловой скоростью ω на планету со
стороны Солнца действует сила тяготения GmM/r2 . В соответствии
со вторым законом Ньютона, она равна произведению массы планеты
m на её центростремительное ускорение ω 2 r, то есть GmM/r2 = mω 2 r.
Отсюда ω = GM/r3 и, следовательно, ω ∼ r−3/2 . Так как T = 2π/ω,
то T ∼ r3/2 ; поэтому отношение периодов обращения Марса и Земли
составляет
3/2
TМ rМ
= = n3/2 ≈ 1,89.
TЗ rЗ
Заметим, что последняя формула выражает собой третий закон

13

Кеплера (мы его вывели, исходя из предположения, что планеты дви-
жутся по круговым орбитам, хотя этот закон справедлив и в более
общем случае эллиптических орбит).
За промежуток времени T от одного противостояния до другого
Марс совершает k оборотов, а Земля k + 1 оборот (k не обязательно
целое!). Этот промежуток времени выражается через периоды обра-
щения Земли и Марса вокруг Солнца TЗ и TМ следующим образом:
T = (k + 1)TЗ = kTМ . Отсюда находим k = TЗ /(TМ − TЗ ) и
TЗ TМ n3/2
T = = 3/2 TЗ ≈ 2,12 TЗ .
TМ − TЗ n −1
Таким образом, противостояния Марса повторяются приблизительно
через 2,12 земных лет.
2. Чёрный ящик представляет собой
систему, изображённую на рисунке. Внутри
него находятся вода и погруженный в неё
узкий вертикальный цилиндр с поршнем.
К поршню прикреплён выходящий наружу
вертикальный шток. Потянув за шток и
подвигав его вверх-вниз, школьник решил,
что в чёрном ящике находится прикреп-
лённая к штоку пружина, и измерил её
коэффициент жёсткости. Он оказался рав-
ным k = 100 Н/м. Чему равна площадь S поршня? Трением и массой
поршня можно пренебречь. Плотность воды ρ = 1000 кг/м3 , ускорение
свободного падения g = 10 м/с2 .
Решение. Пусть x высота столба жидкости. Давление у сво-
бодной поверхности жидкости равно атмосферному давлению, а на
высоте x над этой поверхностью давление в жидкости меньше атмо-
сферного на величину ρgx. Следовательно, разность давлений, оказы-
ваемых на поршень сверху и снизу, равна ρgx. Поэтому на поршень дей-
ствует направленная вниз сила F = ρgxS, пропорциональная смещению
поршня x. Школьник, измеряя жёсткость предполагаемой пружины, на
самом деле измерил коэффициент пропорциональности k = F/x = ρgS.
Отсюда S = k/(ρg) = 0,01 м2 .
3. В сосуде находился лёд при температуре tл = −20 ◦ C. Туда влили
воду массой mв = 0,4 кг, взятую при температуре tв = 60 ◦ C. Каким
может быть конечный объём V содержимого сосуда, если уста-
новившаяся в системе температура выше 0 ◦ C? Плотности воды

14

и льда ρв = 1000 кг/м3 и ρл = 900 кг/м3 , их удельные теплоёмко-
сти cв = 4200 Дж/(кг · ◦ C) и cл = 2100 Дж/(кг · ◦ C), удельная теплота
плавления льда λ = 335 кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда и теплообме-
ном с окружающей средой пренебречь.
Решение. Обозначим через mл начальную массу льда в сосуде,
через t установившуюся в системе температуру, которая по условию
выше 0 ◦ C. В процессе установления равновесия масса воды mв отдала
количество теплоты cв mв (tв − t). Масса льда mл получила количество
теплоты cл mл |tл | на этапе нагревания до 0 ◦ C, затем количество теп-
лоты λmл при плавлении и, наконец, количество теплоты cв mл t при
нагревании образовавшейся из льда воды до установившейся темпера-
туры t. Поскольку теплоемкостью сосуда и теплообменом с окружа-
ющей средой можно пренебречь, то из уравнения теплового баланса
получаем: cв mв (tв − t) = cл mл |tл | + λmл + cв mл t.
Определяемая из данного соотношения конечная температура t
положительна, если cв mв tв > cл mл |tл | + λmл . Таким образом, масса
льда mл лежит в интервале
c в m в tв
0 mл < .
cл |tл | + λ
Конечный объём содержимого сосуда связан с массой льда соотноше-
нием V = (mв + mл )/ρв . Отсюда находим ответ:
mв mв c в tв
V < 1+ ,
ρв ρв cл |tл | + λ
подстановка числовых данных даёт: 0,4 л V < 0,67 л.
4. В электрической цепи, изображённой на
рисунке, напряжение источника равно U = 9 В,
сопротивления резисторов R1 = R3 = 60 Ом и
R2 = 100 Ом. Амперметр, который можно считать
идеальным, показывает силу тока I = 0,185 А. Най-
дите силы токов I2 и I3 , текущих через резисторы
R2 и R3 , и сопротивление резистора R4 .
Решение. Поскольку амперметр можно
считать идеальным, падение напряжения на
нём равно нулю. Поэтому на резисторе R3 падает напряжение
U3 = U . Следовательно, сила тока, текущего через этот резистор,
равна I3 = U3 /R3 = U/R3 = 0,15 А. Далее, сила тока I, теку-
щего через амперметр, равна сумме сил токов I2 и I3 ; отсюда
I2 = I − I3 = I − (U/R3 ) = 0,035 А.

15

На резисторе R2 падает напряжение U2 = I2 R2 ; такое же напряже-
ние, ввиду идеальности амперметра, падает и на резисторе R1 . Поэтому
сила тока, текущего через резистор R1 , равна I1 = U2 /R1 = I2 R2 /R1 .
Отсюда находим силу тока I4 , текущего через резистор R4 , и напряже-
ние U4 на этом резисторе:
R2 U R2
I4 = I1 + I2 = I2 1 + = I− 1+ ,
R1 R3 R1
U
U4 = U − U2 = U − I2 R2 = U − I − R2 .
R3
Следовательно, сопротивление резистора R4 равно
U4 U − I2 R2 R1 (U R3 − R2 (IR3 − U ))
R4 = = = ≈ 59 Ом.
I4 I2 (1 + (R2 /R1 )) (IR3 − U )(R1 + R2 )

10 класс
На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.
1. По гладкому горизонтальному столу скользит однородная линейка
длиной L = 25 см. В некоторый начальный момент времени скорости
концов линейки направлены перпендикулярно к ней в разные стороны
и равны v1 = 10 см/с и v2 = 30 см/c. Какая скорость v будет у централь-
ной точки линейки через время t = 5 с после начального момента? За
какое время τ от начального момента линейка повернётся на угол 90◦
от исходного положения?
Решение. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся со скоростью
(v2 − v1 )/2 в направлении скорости v2 . В движущейся системе отсчёта
концы линейки имеют скорости (v1 + v2 )/2, направленные перпендику-
лярно линейке в разные стороны. Следовательно, в этой системе отсчёта
линейка совершает только вращательное движение вокруг центральной
точки, поворачиваясь на угол π/2 за время
πL/4 πL
τ= = ≈ 1 с.
(v1 + v2 )/2 2(v1 + v2 )
Далее заметим, что в движущейся системе отсчёта центр масс
линейки покоится. Следовательно, скорость центра масс линейки в
неподвижной системе отсчёта равна (v2 − v1 )/2. Так как стол гори-
зонтальный и гладкий, то импульс, а значит, и скорость центра масс
линейки остаются неизменными. Поэтому через время t = 5 с после

16

начального момента времени (как, впрочем, и через любой другой про-
межуток времени) скорость центральной точки линейки будет равна
v = (v2 − v1 )/2 = 10 см/с.
2. В системе, изображённой на рисунке, грузы 1 и 2 при-
креплены к нитям, массы грузов 1, 2 и 3 равны M , 2M и 3M
соответственно. Найдите их ускорения. Трение отсутствует.
Блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, не лежащие
на блоках участки нитей вертикальны.
Решение. Из чертежа видно, что груз массой 3M дви-
гаться не может, и поэтому его ускорение равно нулю.
Так как блоки и нити невесомы и трение отсутствует,
то сила натяжения T1 верхней нити, перекинутой через верхний блок,
постоянна вдоль всей её длины. То же самое справедливо и для силы
натяжения T2 нижней нити, на которой висит нижний блок. Напра-
вим координатную ось OX вниз и обозначим ускорение груза массой
2M через a. Тогда груз массой M , двигающийся в противоположном
направлении, имеет ускорение −a.
Запишем второй закон Ньютона для грузов массами
M и 2M :
−M a = M g − T1 + T2 , 2M a = 2M g − T1 + T2 .
Вычитая первое уравнение из второго, получим, что
3M a = M g. Отсюда a = g/3.
Таким образом, груз массой M движется с ускоре-
нием g/3 вверх, груз массой 2M с ускорением g/3 вниз,
ускорение груза массой 3M равно нулю.
3. По горизонтальному столу катится без трения тележка массой M со
скоростью v0 . На горизонтальную поверхность тележки положили кир-
пич массой m, начальная скорость которого относительно стола была
равна нулю. Кирпич прошёл по тележке путь l и остановился относи-
тельно неё. Найдите коэффициент трения между кирпичом и тележкой.
Решение. Нормальная составляющая силы реакции, действующая
на кирпич со стороны тележки, равна по величине силе тяжести mg.
Следовательно, на кирпич при его движении относительно тележки
действует с её стороны сила трения ёmg, сообщающая кирпичу ускоре-
ние ёg относительно земли. Такая же по величине и противоположная
по направлению сила трения действует на тележку со стороны кирпича;
тележка при этом получает ускорение, равное по величине ёmg/M . Ско-
рости кирпича u и тележки v относительно стола зависят от времени

17

t по законам: u(t) = ёgt и v(t) = v0 − ёg(m/M )t. Кирпич и тележка
перестанут ускоряться в тот момент, когда их скорости сравняются:
u(t0 ) = v(t0 ), откуда
v0
t0 = .
ёg(1 + (m/M ))
За время движения t0 кирпич сместится относительно стола
на расстояние x0 = (1/2)ёgt2 , а тележка
0 на расстояние
X0 = v0 t0 − (1/2)ёg(m/M )t2 . Следовательно, кирпич пройдёт по
0
тележке до остановки относительно неё путь
m t2
0
2
v0
l = X0 − x0 = v0 t0 − ёg 1 + = .
M 2 2ёg(1 + (m/M ))
Отсюда
2
v0
ё= .
2gl(1 + (m/M ))

4. В сосуде постоянного объёма находится смесь гелия и кисло-
рода. Смесь нагревают от температуры T1 = 300 К до температуры
T2 = 4T1 /3 = 400 К, при этом половина атомов гелия покидает сосуд,
а давление газа остаётся прежним. Во сколько раз при этом изме-
няется плотность смеси? Молярная масса кислорода ёк = 32 г/моль,
гелия ёг = 4 г/моль.
Решение. Поскольку объём сосуда и давление в нём постоянны, то
количество вещества в сосуде, в соответствии с уравнением Менделеева–
Клапейрона, изменяется обратно пропорционально абсолютной темпе-
ратуре газа. В рассматриваемом процессе температура газа возросла
в 4/3 раза, поэтому количество вещества в сосуде после завершения
нагревания составило 3/4 от исходного количества. Следовательно,
сосуд покинула четверть от общего числа атомов, что по условию равно
половине от начального числа атомов гелия. Поэтому начальное коли-
чество гелия νг равно половине общего количества вещества, перво-
начально находившегося в сосуде, а начальное количество гелия было
равно количеству νк находящегося в сосуде кислорода: νг = νк .
Отношение n конечной и начальной плотностей смеси равно отно-
шению масс содержимого сосуда до и после нагревания. С учётом про-
ведённых выше рассуждений, получаем:
ρкон ёк νк + ёг (νг /2) 2ёк + ёг 17
n= = = = ≈ 0,94.
ρнач ёк νк + ёг νг 2(ёк + ёг ) 18

18

5. Изображённая на рисунке электрическая цепь
состоит из двух соединённых друг с другом чёр-
ных ящиков , каждый из которых имеет три вывода.
При подключении к клеммам A и C омметр показы-
вает значение сопротивления RAC , при подключении
к клеммам B и D значение RBD , при подключе-
нии к клеммам A и D значение RAD . Что покажет
омметр при подключении к клеммам B и C? Известно, что в чёрных
ящиках находятся только различным образом соединённые резисторы.
Решение. Примем, что потенциал электрического поля в средней
точке, лежащей на проводнике, который соединяет чёрные ящики ,
равен нулю. Так как исследуемая электрическая схема состоит только
из элементов, для которых справедлив закон Ома, то потенциалы ϕA
клеммы А и ϕB клеммы В должны линейно зависеть от сил токов IA
и IB , протекающих через эти клеммы при подключении к ним омметра:

ϕA = IA rAA + IB rBA и ϕB = IA rAB + IB rBB ,

где rAA , rBA , rAB и rBB некоторые постоянные коэффициенты.
Аналогичные соотношения можно записать для потенциалов ϕC и ϕD
клемм C и D (при этом нужно учесть, что потенциалы этих клемм
отрицательны в силу выбора нулевого значения потенциала в средней
точке):

−ϕC = IC rCC + ID rDC и − ϕD = IC rCD + ID rDD ,

где rCC , rDC , rCD и rDD также некоторые постоянные коэффици-
енты.
При подключении омметра к клеммам А и С токи IA и IС совпа-
дают: IA = IС = IAC , а IB = ID = 0. Следовательно, ϕA = IAC rAA
и −ϕC = IAC rСС . Отсюда получаем: ϕA − ϕС = IAC (rAA + rСС ). Сле-
довательно, показание омметра RAC = rAA + rCC . При подключении
омметра к клеммам B и D токи IB и ID совпадают: IB = ID = IBD ,
а IA = IC = 0. Отсюда ϕB = IBD rBB и −ϕD = IBD rDD , то
есть ϕB − ϕD = IBD (rBB + rDD ), и RBD = rBB + rDD . При помощи
аналогичных рассуждений можно показать, что RAD = rAA + rDD и
RBC = rBB + rCC . Отсюда следует, что RAC + RBD = RAD + RBC , то
есть RBC = RAC + RBD − RAD . Заметим, что решение задачи суще-
ствует только при условии RAC + RBD ≥ RAD , так как значение сопро-
тивления RBC не может быть отрицательным.

19

Существует и другой способ реше-
ния задачи. Он основан на том, что
чёрный ящик с тремя выводами,
содержащий только резисторы, можно
заменить на эквивалентную схему,
в которой между выводами вклю-
чены всего три резистора, соединён-
ные либо звездой , либо треуголь-
ником . В данном случае удобнее
заменить каждый из чёрных ящиков на схему, состоящую из трёх
резисторов, соединённых звездой , как показано на рисунке. Тогда
RAC = R1 + R3 + R4 + R5 ,
RAD = R1 + R3 + R4 + R6 ,
RBC = R2 + R3 + R4 + R5 ,
RBD = R2 + R3 + R4 + R6 .
Отсюда снова получаем соотношение RAC + RBD = RAD + RBC , из
которого следует ответ задачи.

11 класс
На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.
1. Одна из разновидностей так называемой
планетарной передачи состоит из централь-
ной (солнечной) шестерни (С), нескольких
планетарных шестерён (П), оси которых
соединены жёсткой рамой водилом (В)
и кольцевой шестерни (К), имеющей внут-
реннее зацепление с планетарными. Пусть
радиусы солнечной и планетарных шесте-
рён равны, и солнечная шестерня приво-
дится во вращение с угловой скоростью ω.
С какой угловой скоростью будет вра-
щаться кольцевая шестерня, если водило
зафиксировано? С какой угловой скоростью будет вращаться водило,
если кольцевая шестерня зафиксирована? С какой угловой скоростью в
последнем случае будет вращаться планетарная шестерня?
Решение. Пусть R радиус солнечной шестерни, совпадающий
с радиусом каждой из планетарных шестерён, ωп угловая скорость

20