Средняя длина свободного пробега молекул в сосуде

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкивают­ся друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы прохо­дят некоторый путь l, который называетсядлиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так какмы имеемдело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить осредней длине свободного пробега молекул <l>.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называетсяэффективным диаметром молекулы d (рис. 68). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости <v>, и если <z> — среднее число столкновений, испытываемых одной молеку­лой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

Для определения <z> представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра:

где п — концентрация молекул, V = pd2 <v> <v> — средняя скорость молекулы или путь, пройденным ею за 1 с). Таким образом,среднее число столкновений

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

Тогда средняя длина свободного пробега

т. е. <l> обратно пропорциональна концентрации n молекул. С другой стороны, из (42.6) следует, что при постоянной температуре n пропорциональна давлению р. Следовательно,

===================================================

Если из сосуда откачивать газ, то по мере понижения давления число столкновений молекул друг с другом уменьшается, что приводит к увеличению их длины свободного пробега. При достаточно большом разрежении столкновения между молекулами от­носительно редки, поэтому основную роль играют столкновения молекул со стенками сосуда.Вакуумом называется состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега <l> сравнима или больше характерного линейного размера d сосуда, в котором газ находится. В зависимости от соотношения <l> и d различаютнизкий (<l> << d), средний (<l> £ d),высокий (<l> > d) исверхвысокий (<l> >> d) вакуум. Газ в состоянии высокого вакуума называетсяультраразреженным.

Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как, например, во многих современных электронных приборах используются электронные пучки, формирование которых возможно лишь в условиях вакуума. Для получения различных степеней разрежения применяютсявакуумные насосы.В настоящее время применяются вакуумные насосы, позволяющие получить предварительное разрежение (форвакуум) до »0,13 Па, а также вакуумные насосы и лабораторные приспособления, позволя­ющие получить давление до 13,3 мкПа — 1,33 пПа (10–7 —10–14 мм рт. ст.).

Принцип работы форвакуумного насоса представлен на рис. 72. Внутри цилиндрической полости корпуса вращается эксцентрично насаженный цилиндр. Две лопасти 1 и 1′, вставленные в разрез цилиндра и раздвигаемые пружиной 2, разделяют простра­нство между цилиндром и стенкой полости на две части. Газ из откачиваемого сосуда поступает в область 3, по мере поворачивания цилиндра лопасть 1 отходит, простран­ство 3 увеличивается и газ засасывается через трубку 4. При дальнейшем вращении лопасть 1′ отключает пространство 3 от трубки 4 и начинает вытеснять газ через клапан 5 наружу. Весь процесс непрерывно повторяется.

Для получения высокого вакуума применяютсядиффузионные насосы (рабочее вещество — ртуть или масло), которые не способны откачивать газ из сосудов начиная с атмосферного давления, но способны создавать добавочную разность давлений, поэтому их употребляют вместе с форвакуумными насосами. Рассмотрим схему дейст­вия диффузионного насоса (рис. 73). В колбе ртуть нагревается, пары ртути, поднима­ясь по трубке 1, вырываются из сопла 2 с большой скоростью, увлекая за собой молекулы газа из откачиваемого сосуда (в нем создан предварительный вакуум). Эти пары, попадая затем в «водяную рубашку», конденсируются и стекают обратно в резервуар, а захваченный газ выходит в пространство (через трубку 3), в котором уже создан форвакуум. Если применять многоступенчатые насосы (несколько сопл расположены последовательно), то реально при хороших уплотнениях можно с помощью них получить разрежение до 10–7 мм рт. ст.

Для дальнейшего понижения давления применяются так называемые «ловушки». Между диффузионным насосом и откачиваемым объектом располагают специально изогнутое колено (1 или 2) соединительной трубки (ловушку), которую охлаждают жидким азотом (рис. 74). При такой температуре пары ртути (масла) вымораживаются и давление в откачиваемом сосуде понижается приблизительно на 1—2 порядка. Описанные ловушки называют охлаждаемыми; можно применять также неохлаждаемые ловушки. Специальное рабочее вещество (например, алюмогель) помещают в один из отростков соединительной трубка вблизи откачиваемого объекта, которое поддерживается при температуре 300°С. При достижении высокого вакуума алюмогель охлаждается до комнатной температуры, при которой он начинает поглощать име­ющиеся в системе пары. Преимущество этих ловушек состоит в том, что с их помощью в откачиваемых объектах можно поддерживать высокий вакуум уже после непосредст­венной откачки в течение даже нескольких суток.

Остановимся на некоторых свойствах ультраразреженных газов. Так как в состоя­нии ультраразрежения молекулы практически друг с другом не сталкиваются, то газ в этом состоянии не обладает внутренним трением. Отсутствие соударений между молекулами разреженного газа отражается также на механизме теплопроводности. Если при обычных давлениях перенос энергии молекулами производится «эстафетой», то при ультраразрежении каждая молекула сама должна перенести энергию от одной стенки сосуда к другой. Явление уменьшения теплопроводности вакуума при пониже­нии давления используется на практике для создания тепловой изоляции. Например, для уменьшения теплообмена между телом и окружающей средой тело помещают в сосуд Дьюара*, имеющий двойные стенки, между которыми находится разрежен­ный воздух, теплопроводность которого очень мала.

* Д. Дьюар (1842—1923) — английскийхимик и физик.

Рассмотрим два сосуда 1 и 2, поддерживаемых соответственно при температурах T1 и Т2 (рис. 75) и соединенных между собой трубкой. Если длина свободного пробега молекул гораздо меньше диаметра соединительной трубки (<l> << d), то стационарное состояние газа характеризуется равенством давлений в обоих сосудах (p1 = р2). Стаци­онарное же состояние ультраразреженного газа (<l> >> d), находящегося в двух сосудах, соединенных трубкой, возможно лишь в том случае, когда встречные потоки частиц, перемещающихся из одного сосуда в другой, одинаковы, т. е.

где п1и п2 — концентрации молекул в обоих сосудах, <v1> и <v2> — средние скорости молекул. Учитывая, что n = p/(kT) и из условия (49.1) получаем

(49.2)

т. е. в условиях высокого вакуума выравнивания давлении не происходит. Если в от­качанный стеклянный баллон (рве. 76) на пружину 1 насадить слюдяной листочек 2, одна сторона которого зачернена, и освещать его, то возникнет разность температур между светлой и зачерненной поверхностями листочка. Из выражения (49.2) следует, что в данном случае разным будет и давление, т. е. молекулы от зачерненной поверх­ности будут отталкиваться с большей силой, чем от светлой, в результате чего листочек отклонится. Это явление называется радиометрическим эффектом. На радиометричес­ком эффекте основано действие радиометрического манометра.

Средней длиной свободного пробега (/) называется среднее расстояние, которое проходит молекула без соударения, иными словами — между двумя последовательными соударениями. На длине свободного пробега молекула движется равномерно и прямолинейно.

Средняя длина свободного пробега молекулы прямо пропорциональна средней арифметической скорости (v) молекулы и обратно пропорциональна

среднему числу столкновений (z} молекулы за единицу времени’.

Средним временем (х) свободного пробега молекулы называется время,

в течение которого молекула движется без столкновений, т.е. это среднее время между двумя последовательными соударениями:

Средняя длина свободного пробега

где Hq — число молекул в единице объема;

d — эффективный диаметр молекулы.

Для данного газа при неизменной температуре Т = const средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению газар (или его плотности):

Индексы 1 и 2 относятся, соответственно, к двум состояниям газа.

Кроме статистического метода, физические явления в газообразных и других телах изучаются еще и термодинамическим методом. Совокупность значений некоторых физических величин, характеризующих физические свойства тела, определяет его термодинамическое состояние. Физические величины, однозначно определяющие состояние тела, называются термодинамическими параметрами . К ним можно отнести температуру, плотность, теплоемкость, удельное электрическое сопротивление и многие другие физические величины. Два состояния тела считаются различными, если для них неодинаковы значения хотя бы одного из термодинамических параметров.

Состояние системы тел называется стационарным, если ни один из термодинамических параметров, определяющих состояние, не изменяется с течением времени. Стационарное состояние системы называется равновесным, если оно не обусловлено какими-либо явлениями, происходящими с телами, внешними по отношению к данной системе. [1]

Вопрос 2.4. Один конец металлического стержня помещен в тающий лед, а другой — в кипящую воду так, чтобы температуры обоих концов стержня не изменялись с течением времени. Можно ли назвать такое стационарное состояние равновесным?_

Рис. 2.2

Пусть N молекул идеального газа находятся в равновесном состоянии внутри куба с ребром / (рис. 2.2). Движение всех молекул можно разложить по трем направлениям осей координат и рассматривать независимые движения, параллельные этим координатным осям. При хаотическом движении все направления равновероятны, поэтому можно считать, что вдоль каждой оси движется Nx = N = N. – Nj3 молекул. Усредненная сила

ударов этих молекул о стенки сосуда, отнесенная к единице поверхности, представляет собой давление газа на стенку. При ударе о стенку сосуда отмеченная на рис. 2.2 молекула отскакивает абсолютно упруго, т.е. изменяет свою скорость v, на обратную. Изменение импульса равно

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса за единицу времени равно силе, с которой стенка действует на молекулу:

Здесь fx — средняя (за время удара At) сила, с которой стенка действует на молекулу; по третьему закону Ньютона она равна силе, с которой эта молекула действует на стенку. За какое-то время эта молекула ударится о выбранную стенку (х = 0, см. рис. 2.2) п раз и передаст ей импульс 2w,v,n. Значит, средняя (за время t) сила, действующая на молекулу со стороны стенки (или на стенку со стороны молекулы), равна

Число п соударений легко узнать, зная время т между двумя последовательными соударениями данной молекулы с этой стенкой:

так как v, =2//т. Получаем

откуда средняя (за произвольное время t) сила давления выбранной молекулы на стенку равна Fx = mxvx fl. Другая молекула будет действовать на эту стенку аналогичной силой F2 = mxv// (считаем массы молекул одинаковыми: тх = т2) и т.д. Сложим силы давления от всех Nx молекул, движущихся вдоль оси х, и получим:

По определению, квадрат средней квадратичной скорости
отсюда

Тогда давление на стенку где /3 = V — объем сосуда.

Величина, равная отношению числа молекул N в объеме V к этому объему, называется концентрацией молекул: п0 —N/V.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы
Следовательно,

— это основное уравнение кинетической теории газов.

Если давление производит смесь газов, то аналогичный вывод приведет нас к закону Дальтона :

давление смеси газов равно сумме их парциальных*’ давлений:
[2][3]