Средняя энергия поступательного движения молекул газа в сосуде
5.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
5.2.2. Средняя кинетическая энергия и среднеквадратичная скорость поступательного движения молекул идеального газа
Каждая молекула обладает кинетической энергией, так как находится в тепловом движении.
Средняя кинетическая энергия
〈Ek〉 поступательного движения одной молекулы идеального газа рассчитывается по следующим формулам:
〈Ek〉=32kT, 〈Ek〉=m0〈vкв〉22,
где k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К; T — термодинамическая температура; m
0 — масса одной молекулы; 〈vкв〉 — среднеквадратичная скорость молекулы.
В Международной системе единиц средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы измеряется в джоулях (1 Дж).
Средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул идеального газа рассчитывается следующим образом:
〈E〉=N〈Ek〉=32NkT,
где N — число молекул газа; 〈Ek〉 — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; k — постоянная Больцмана, k ≈ 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К; T — термодинамическая (абсолютная) температура газа.
Среднеквадратичная скорость молекул идеального газа может быть определена по одной из формул:
〈vкв〉=3kTm0; 〈vкв〉=3RTM; 〈vкв〉=3pρ,
где m
0 — масса одной молекулы; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ K); M — молярная масса газа; p — давление газа; ρ — плотность газа.
В Международной системе единиц среднеквадратичная скорость измеряется в метрах в секунду (1 м/с).
Пример 4. На сколько процентов возрастет средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа при увеличении его температуры от 7,0 до 35 °С?
Решение. Искомой величиной является отношение
η=ΔEE1⋅100 %,
где ΔE — абсолютное увеличение средней кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа при указанном повышении температуры, ΔE = E
2 − E
1; E
1 и E
2 — средние кинетические энергии поступательного движения молекулы идеального газа при температурах T
1 и T
2 соответственно.
Преобразуем это отношение следующим образом:
η=E2−E1E1⋅100 %=(E2E1−1)⋅100 %.
Для определения средней кинетической энергии молекул необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в кельвины:
T
1 = t
1 + 273 = 7,0 + 273 = 280 K;
T
2 = t
2 + 273 = 35 + 273 = 308 K.
Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы газа при указанных температурах запишем в следующем виде:
- для начальной температуры —
E1=32kT1;
- для конечной температуры —
E2=32kT2,
где k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К.
Подстановка полученных выражений в формулу для вычисления η дает:
η=(E2E1−1)⋅100 %=(3kT22⋅23kT1−1)⋅100 %=(T2T1−1)⋅100 %.
Произведем вычисление:
η=(T2T1−1)⋅100 %=(308280−1)⋅100 %=10 %.
Следовательно, при указанном повышении температуры средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа увеличилась на 10 %.
Пример 5. Кислород и водород одинаковой температуры имеют молярные массы 32 и 2,0 г/моль соответственно. Во сколько раз среднеквадратичная скорость молекул кислорода меньше, чем среднеквадратичная скорость молекул водорода?
Решение. Среднеквадратичная скорость молекул газа определяется его температурой и зависит от молярной массы газа:
〈vкв〉=3RTM,
где R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — термодинамическая (абсолютная) температура газа; M — молярная масса газа.
Среднеквадратичные скорости молекул указанных в условии газов определяются выражениями:
- для кислорода
〈vкв1〉=3RTM1,
где M
1 — молярная масса кислорода;
- для водорода
〈vкв2〉=3RTM2,
где M
2 — молярная масса водорода.
Искомой величиной является отношение
〈vкв2〉〈vкв1〉=3RTM2⋅M13RT=M1M2.
Расчет дает значение
〈vкв2〉〈vкв1〉=32⋅10−32,0⋅10−3=16=4,0.
При одинаковой температуре среднеквадратичная скорость молекул водорода в 4 раза превышает среднеквадратичную скорость молекул кислорода.
Пример 6. Аргон молярной массой 40,0 г/моль находится под давлением 20,0 кПа. Концентрация молекул аргона при указанном давлении составляет 3,00 ⋅ 1025 м−3. Определить среднеквадратичную скорость молекулы аргона.
Решение. Среднеквадратичная скорость молекул газа может быть вычислена по формуле
〈vкв〉=3pρ,
где p — давление газа; ρ — плотность газа.
Давление аргона задано в условии задачи. Установим связь между плотностью аргона и его концентрацией.
Концентрация — это число молекул (атомов) в единице объема:
n=NV,
где N — число атомов аргона в объеме V, N = νN
A; ν — количество вещества (аргона), ν = m/M; m — масса аргона, m = ρV; M — молярная масса аргона.
С учетом выражений для числа молекул аргона, количества вещества и его массы преобразуем формулу для вычисления концентрации к виду
n=νNAV=m⋅NAM⋅V=ρNAM,
где ρ — плотность аргона.
Выразим отсюда плотность
ρ=nMNA
и подставим в формулу для среднеквадратичной скорости:
〈vкв〉=3pNAnM.
Произведем вычисление:
〈vкв〉=3⋅20,0⋅103⋅6,02⋅10233,00⋅1025⋅40,0⋅10−3=3,01⋅104=173 м/с.
Источник
Физика, 10 класс
Урок 18. Основное уравнение МКТ
Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:
1) средняя кинетическая энергия молекулы;
2) давление газа;
3) основное уравнение МКТ;
Глоссарий по теме:
Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекул.
Средняя кинетическая энергия молекул – усреднённая величина, равная половине произведения массы молекулы на среднюю величину квадрата её скорости.
Концентрация – число молекул в единице объёма.
Масса молекулы (или атома) – чрезвычайно маленькая величина в макроскопических масштабах (граммах и килограммах), вычисляется через отношение массы вещества к количеству содержащихся в ней молекул (или атомов).
Изменение импульса тела – произведение силы на время действия силы. Импульс силы всегда показывает, как изменяется импульс тела за данное время.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
- Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. С. 188 – 192.
- Кирик Л.А., Генденштейн Л.Э., Гельфгат И.М.. Задачи по физике. 10-11 классы для профильной школы. – М.: Илекса, 2010. С. 111.
- Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 классы. – М.: Дрофа, 2013. С. 65 – 67.
Открытые электронные ресурсы по теме урока:
- https://kvant.mccme.ru/1991/09/idealnyj_gaz_-_universalnaya_f.htm
- https://kvant.mccme.ru/1983/10/davlenie_idealnogo_gaza.htm
- https://kvant.mccme.ru/1987/09/davlenie_gaza_v_sosude.htm
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основная задача молекулярно-кинетической теории газа заключается в том, чтобы установить соотношение между давлением газа и его микроскопическими параметрами – массой молекул, их средней скоростью и концентрацией. Это соотношение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газа.
Давление газа на стенку сосуда обусловлено ударами молекул, давление газа пропорционально концентрации молекул: чем больше молекул в единице объема, тем больше ударов молекул о стенку за единицу времени. Каждая молекула при ударе о стенку передает ей импульс, пропорциональный импульсу молекулы m0v.
Давление пропорционально второй степени скорости, так как, чем больше скорость молекулы, тем чаще она бьется о стенку сосуда. Расчеты показывают, что основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа имеет вид:
, где m0 – масса одной молекулы газа,
n– концентрация молекул,
– среднее значение квадрата скорости молекул.
Коэффициент обусловлен трёхмерностью пространства – во время хаотического движения молекул все три направления равноправны.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения
тогда уравнение примет вид:
Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.
Примеры и разбор решения заданий.
1. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго:
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ | ФОРМУЛЫ |
1) импульс тела | А) |
2) средняя кинетическая энергия молекул | Б) |
3) давление газа на стенку сосуда | В) |
4) концентрация молекул | Г) |
Правильный ответ: вспомнив формулы величин, устанавливаем соответствие:
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ | ФОРМУЛЫ |
1) импульс тела | В) |
2) средняя кинетическая энергия молекул | А) |
3) давление газа на стенку сосуда | Г) |
4) концентрация молекул | Б) |
2. Кислород находится при нормальных условиях. Средняя квадратичная скорость молекул кислорода в этом случае равна ___ м/с.
Решение:
Ответ: 460 м/с.
Источник
Условие:
Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре Т=600 К. Найти также кинетическую энергию W поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества v=l кмоль.20Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуре T=400 К.21Определить кинетическую энергию , приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре Т=1 кК, а также среднюю кинетическую энергию поступательного движения, вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы.22Определить число N молекул ртути, содержащихся в воздухе объемом V=1м3 в помещении, зараженном ртутью, при температуре t=20 °C, если давление р насыщенного пара ртути при этой температуре равно 0,13 Па.23Для получения высокого вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать его при откачке с целью удалить адсорбированные газы. Определить, на сколько повысится давление в сферическом сосуде радиусом R=10 см, если все адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным, сечение S одной молекулы равно 10^-15 см2. Температура Т, при которой производится откачка, равна 600 К.24Определить температуру Т водорода, при которой средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул достаточна для их расщепления на атомы, если молярная энергия диссоциации водорода Wm=419 кДж/моль. Примечание. Молярной энергией диссоциации называется энергия, затрачиваемая на диссоциацию всех молекул газа количеством вещества v =1 моль.25Найти среднюю квадратичную среднюю арифметическую и наиболее вероятную vв скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) T=20 К; 2) T=300 К; 3) Т=5 кК.26При какой температуре Т средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости v2=11,2 км/с?27При какой температуре Т молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость , как молекулы водорода при температуре T1=100 К?28Колба вместимостью V=4 л содержит некоторый газ массой m=0,6 г под давлением p=200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.29Смесь гелия и аргона находится при температуре T=1,2 кК. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.30Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Определить среднюю квадратичную скорость пылинки массой m=10^-10 г, если температура Т воздуха равна 300 К.31Во сколько, раз средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой m=10^-8 г, находящейся среди молекул кислорода?32Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость =1 км/с.33Определить наиболее вероятную скорость vв молекул водорода при температуре T=400 К.
При клике на картинку откроется ее увеличенная версия в новой вкладке.
Не забываем поделиться записью!
Источник
Идеальный газ — газ, удовлетворяющий трем условиям:
- Молекулы — материальные точки.
- Потенциальная энергия взаимодействия молекул пренебрежительно мала.
- Столкновения между молекулами являются абсолютно упругими.
Реальный газ с малой плотностью можно считать идеальным газом.
Измерение температуры
Температуру можно измерять по шкале Цельсия и шкале Кельвина. По шкале Цельсия за нуль принимается температура, при которой происходит плавление льда. По шкале Кельвина за нуль принимается абсолютный нуль — температура, при котором давление идеального газа равно нулю, и его объем тоже равен нулю.
Обозначение температуры
- По шкале Цельсия — t. Единица измерения — 1 градус Цельсия (1 oC).
- По шкале Кельвина — T. Единица измерения — 1 Кельвин (1 К).
Цена деления обеих шкал составляет 1 градус. Поэтому изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах:
∆t = ∆T
При решении задач в МКТ используют значения температуры по шкале Кельвина. Если в условиях задачи температура задается в градусах Цельсия, нужно их перевести в Кельвины. Это можно сделать по формуле:
T = t + 273
Если особо важна точность, следует использовать более точную формулу:
T = t + 273,15
Пример №1. Температура воды равна oC. Определить температуру воды в Кельвинах.
T = t + 273 = 2 + 273 = 275 (К)
Основное уравнение МКТ идеального газа
Давление идеального газа обусловлено беспорядочным движением молекул, которые сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Основное уравнение МКТ идеального газа связывает давление и другие макропараметры (объем, температуру и массу) с микропараметрами (массой молекул, скоростью молекул и кинетической энергией).
Основное уравнение МКТ
Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.
p=23n−Ek
p — давление идеального газа, n — концентрация молекул газа, −Ek — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.
Выражая физические величины друг через друга, можно получить следующие способы записи основного уравнения МКТ идеального газа:
p=13m0n−v2 | m0— масса одной молекулы газа; n — концентрация молекул газа; −v2 — среднее значение квадрата скорости молекул газа. Среднее значение квадрата скорости не следует путать со среднеквадратичной скоростью v, которая равна корню из среднего значения квадрата скорости: v=√−v2 |
p=13ρ−v2 | ρ — плотность газа |
p=nkT | k — постоянная Больцмана (k = 1,38∙10–3 Дж/кг) T — температура газа по шкале Кельвина |
Пример №2. Во сколько раз уменьшится давление идеального одноатомного газа, если среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул и концентрацию уменьшить в 2 раза?
Согласно основному уравнению МКТ идеального газа, давление прямо пропорционально произведению средней кинетической энергии теплового движения молекул и концентрации его молекул. Следовательно, если каждая из этих величин уменьшится в 2 раза, то давление уменьшится в 4 раза:
Следствия из основного уравнения МКТ идеального газа
Через основное уравнение МКТ идеального газа можно выразить скорость движения молекул (частиц газа):
v=√3kTm0=√3RTM
R — универсальная газовая постоянная, равная произведения постоянной Авогадро на постоянную Больцмана:
R=NAk=8,31 Дж/К·моль
Температура — мера кинетической энергии молекул идеального газа:
−Ek=32kT
T=2−Ek3k
Полная энергия поступательного движения молекул газа определяется формулой:
E=N−Ek
Пример №3. При уменьшении абсолютной температуры на 600 К средняя кинетическая энергия теплового движения молекул неона уменьшилась в 4 раза. Какова начальная температура газа?
Запишем формулу, связывающую температуру со средней кинетической энергией теплового движения молекул, для обоих случаев, с учетом что:
Следовательно:
Составим систему уравнений:
Отсюда:
Алгоритм решения
1.Указать, в каких координатах построен график.
2.На основании основного уравнения МКТ идеального газа и уравнения Менделеева — Клапейрона выяснить, как меняются указанные физические величины во время процессов 1–2 и 2–3.
Решение
График построен в координатах (V;Ek). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:
T=2−Ek3
Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
pV=νRT
Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:
νR=p1V1T1=p2V2T2
Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.
Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.
Ответ:
• Участок 1–2 — изобарный процесс. Температура увеличивается, давление постоянно.
• Участок 2–3 — изотермический процесс. Температура постоянно, давление увеличивается.
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Первоначальное давление газа в сосуде равнялось р1. Увеличив объём сосуда, концентрацию молекул газа уменьшили в 3 раза, и одновременно в 2 раза увеличили среднюю энергию хаотичного движения молекул газа. В результате этого давление р2 газа в сосуде стало равным
Ответ:
а) 13p1
б) 2p1
в) 23p1
г) 43p1
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать основное уравнение МКТ идеального газа.
3.Составить уравнения для состояний 1 и 2.
4.Выразить искомую величину.
Решение
Исходные данные:
• Начальное давление: p0.
• Начальная концентрация молекул: n1 = 3n.
• Конечная концентрация молекул: n2 = n.
• Начальная средняя энергия хаотичного движения молекул: Ek1 = Ek.
• Конечная средняя энергия хаотичного движения молекул: Ek2 = 2Ek.
Основное уравнение МКТ:
p=23n−Ek
Составим уравнения для начального и конечного состояний:
p1=23n1−Ek1=233n−Ek=2n−Ek
p2=23n2−Ek2=23n2−Ek=43n−Ek
Отсюда:
n−Ek=p12=3p24
p2=4p16=23p1
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать основное уравнение МКТ идеального газа.
3.Составить уравнения для обоих газов.
4.Найти отношение средней кинетической энергии молекул кислорода к средней кинетической энергии молекул водорода.
Решение
Анализируя условия задачи, можно выделить следующие данные:
• Концентрации кислорода и водорода в сосуде равны. Следовательно, n1 = n2 = n.
• Давление кислорода вдвое выше давления водорода. Следовательно, p1 = 2p, а p2 = p.
Запишем основное уравнение идеального газа:
p=23n−Ek
Применим его для обоих газов и получим:
p1=23n1−Ek1 или 2p=23n−Ek1
p2=23n2−Ek2 или p=23n−Ek2
Выразим среднюю кинетическую энергию молекул газа из каждого уравнения:
−Ek1=3pn
−Ek2=3p2n
Поделим уравнения друг на друга и получим:
−Ek1−Ek2=3pn·2n3p=2
Ответ: 2
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать основное уравнение МКТ идеального газа.
3.Составить уравнения для обоих газов.
4.Найти отношение концентрации молекул аргона к концентрации молекул неона.
Решение
Анализируя условия задачи, можно выделить следующие данные:
• Средние кинетические энергии теплового движения молекул газов одинаковы. Следовательно, −Ek1=−Ek2=−Ek.
• Давление аргона в 2 раза больше давления неона. Следовательно, p1 = 2p, а p2 = p.
Запишем основное уравнение идеального газа:
p=23n−Ek
Применим его для обоих газов и получим:
p1=23n1−Ek1 или 2p=23n1−Ek
p2=23n2−Ek2 или p=23n2−Ek
Выразим концентрации молекул газа из каждого уравнения:
n1=3p−Ek
n2=3p2−Ek
Поделим уравнения друг на друга и получим:
n1n2=3p−Ek·2−Ek3p=2
Ответ: 2
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Алиса Никитина | ???? Скачать PDF | Просмотров: 539 | Оценить:
Источник