Стеклянная капиллярная трубка опущена в широкий сосуд с ртутью

Сегодняшняя статья посвящена довольно сложным задачам. Их можно отнести и к изопроцессам, и к гидростатике, и к задачам, связанным с использованием уравнения Менделеева-Клапейрона.

Задача 1. Пробирка, расположенная горизонтально, заполнена ртутью так, что между дном пробирки и ртутью имеется пузырек воздуха. Когда пробирка ставится вертикально открытым концом вверх, объем пузырька уменьшается втрое. Чему равно атмосферное давление, если известно, что диаметр пробирки мм и содержит она г ртути?

К задаче 1

Давайте запишем закон Бойля-Мариотта, так как очевидно, что температура во время поворотов пробирки одна и та же.

Можно сразу подставить объемы: если принять первоначальный объем пузырька воздуха за , тогда после поворота объем станет :

Откуда

Теперь подумаем о давлениях. Вначале давление пузырька на ртутный столбик равно атмосферному, иначе бы столбик ртути начал бы перемещаться из-за разности давлений на него внутри и снаружи. Затем, когда пробирку поставили вертикально, давление пузырька увеличилось на величину давления столбика ртути – . Поэтому

Домножаем на 3:

Определим теперь, какова же длина столбика ртути в пробирке.

Ответ: 101859 Па или 102 кПа.

Задача 2. Посередине запаянной с обоих концов горизонтальной трубки находится столбик ртути длиной 10 см. В обеих половинах трубки находится воздух под давлением мм.рт.ст. Длина трубки м. На какое расстояние сместится столбик ртути, если трубку поставить вертикально?

К задаче 2

Ртуть занимает 10 см, следовательно, воздух – 90 см. По 45 см с обеих сторон. Тогда по закону Бойля-Мариотта

И

Преобразуем:

Где – давление в верхней части трубки над столбиком ртути после поворота, – давление в нижней части трубки под столбиком ртути после поворота, и – новые объемы, занимаемые воздушными пузырями.

Для новых установившихся давлений можно записать:

Подставим ранее выраженные давления:

Теперь вспомним, что м.

Тогда

После подстановки всех известных данных и преобразований получим

Корни 0,42 и 7,075 – второй, очевидно, смыслу задачи не соответствует.

Итак, получили, что столбик ртути сместился на 3 см – так как воздух в нижней части трубки теперь занимает 42 см по высоте, а не 45.

Ответ: на 3 см.

Задача 3. В стеклянной трубке находится воздух, закрытый столбиком ртути длиной см. Если держать трубку открытым концом вверх, то длина воздушного столбика см. Если держать трубку открытым концом вниз, то длина воздушного столбика см. Определить атмосферное давление.

К задаче 3

Запишем уравнения равновесия давлений для обоих положений трубки:

Давление столбика ртути посчитать несложно:

Согласно уравнению Бойля-Мариотта

То есть

Вычитание двух первых уравнений дает:

Тогда, возвращаясь ко второму уравнению, имеем:

Ответ: 97920 Па.

Задача 4. Открытую с обеих сторон узкую трубку погружают в ртуть так, что над ртутью выступает конец см. Трубку закрывают и поднимают еще на расстояние см. Какую часть трубки при этом занимает воздух? Атмосферное давление мм.рт.ст.

Сначала воздух занимал объем , затем – больший. Давление его вначале равно атмосферному. Затем из-за изменения объема оно станет меньше. Соблюдается закон Бойля-Мариотта:

Условие равновесия давлений таково: вниз давит воздух и столбик ртути, снизу вверх – атмосфера:

Подставляем давление , выраженное из закона Бойля-Мариотта:

Высота столбика ртути в трубке равна .

Подставим численные данные:

Корнем этого уравнения является . Воздух займет, таким образом, 15,7 см. Или 30,2%.

Ответ: 30,2% (15,7 см).

Задача 5. В мензурке высотой м и сечением см, закрытой тонким невесомым поршнем, находится газ, молярная масса которого кг/моль. Поршень опускают и освободившуюся часть мензурки до краев заливают ртутью. При каких значениях температуры газа можно найти такое положение поршня, при котором поршень будет находиться в равновесии (т.е. ртуть, налитая в мензурку, не будет выбрасываться давлением газа)? Масса газа в мензурке г, внешним атмосферным давлением пренебречь.

Чтобы ртуть не выплеснулась, давление газа должно быть меньшим или равным давлению ее столба. Пусть газ занял объем , а ртуть – :

Применим уравнение Менделеева-Клапейрона:

Подставим:

Таким образом,

Но! У нас в правой части произведение двух взаимозависимых, но неизвестных нам величин: . Чтобы их найти (или их произведение), предположим, что поршень сдвинулся вверх на малую величину . Тогда можно для такого малого изменения записать:

Здесь

А

Следовательно,

Последним слагаемым можно пренебречь в силу его малости. Поэтому

Вернемся к температуре:

Ответ: К.

Источник