Стеклянная трубка погружена в сосуд с ртутью
Автор
Тема: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е. (Прочитано 45819 раз)
0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.
« Последнее редактирование: 17 Марта 2018, 19:01 от alsak »
Записан
346. Аквариум доверху наполнен водой. С какой средней силой давит вода на плоскую вертикальную стенку аквариума длиной l = 50 см и высотой h = 30 см? Плотность воды равна 1,0⋅103 кг/м3.
Решение. Средняя сила давления на стенку равна
[ left langle F right rangle = frac{p_{A} +p_{B}}{2} cdot S, ]
где рА = 0 — гидростатическое давление на поверхности воды (в точке А), pB = ρ⋅g⋅h — гидростатическое давление жидкости на глубине h (в точке В) (рис. 1), S = l⋅h — площадь стенки. Тогда
[ left langle F right rangle = frac{p_{B}}{2} cdot S = frac{rho cdot g cdot h}{2} cdot l cdot h = frac{rho cdot g cdot l cdot h^{2}}{2}, ]
<F> = 225 Н.
Записан
350. Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде, погрузившись ровно наполовину. Найти объем полости шара, если масса шара m = 5 кг. Плотность чугуна ρ1 = 7,8⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3.
Решение. Условие плавания шара (рис. 1):
FA = m⋅g,
где FA = ρ2⋅g⋅Vp — архимедова сила, Vp = V/2 — объем погруженной части шара. Объем шара
V = V1 + V2,
где V1 = m/ρ1 — объем чугуна, V2 — объем полости. Тогда
[ rho _{2} cdot g cdot frac{V}{2} = m cdot g, , ; , V = frac{2m}{rho _{2}}, ; ; ; V_{2} = V-V_{1} = frac{2m}{rho _{2}} -frac{m}{rho _{1}} = m cdot left(frac{2}{rho _{2}} -frac{1}{rho _{1}} right), ]
V2 = 9,4⋅10–3 м3.
Записан
359. Металлический брусок плавает в сосуде, в который налита ртуть, а поверх нее — вода. При этом в ртуть брусок погружен на α1 = 1/4 своей высоты, а в воду — на α2 = 1/2 высоты. Найти плотность металла. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3.
Решение. Условие плавания бруска:
FA1 + FA2 = m⋅g, (1)
где FA1 = ρ1⋅g⋅V1 — архимедова сила со стороны ртути, FA2 = ρ2⋅g⋅V2 — архимедова сила со стороны воды, m = ρ⋅V — масса бруска.
Обозначим площадь основания бруска S, высоту — h (рис. 1). Тогда
V1 = S⋅h1 = α1⋅S⋅h, V2 = S⋅h2 = α2⋅S⋅h, V = S⋅h.
После подстановки в (1) получим
ρ1⋅g⋅V1 + ρ2⋅g⋅V2 = ρ⋅V⋅g, ρ1⋅V1 + ρ2⋅V2 = ρ⋅V,
α1⋅ρ1⋅h + α1⋅ρ2⋅h = ρ⋅h, ρ = α1⋅ρ1 + α2⋅ρ2,
ρ = 3,9⋅103 кг/м3.
Записан
378. Однородная прямая призма, площадь основания которой S = 1 м2 и высота h = 0,4 м, плавает на поверхности воды так, что в воде находится половина ее объема. Найти минимальную работу, необходимую для полного погружения призмы в воду. Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3.
Решение. При равномерном погружении призмы в воду будет увеличиваться архимедова сила, следовательно, должна изменяться и сила F, работу которой мы должны найти. Определим от каких параметров зависит эта сила F.
На призму действуют сила тяжести (m⋅g), архимедова сила (FA) и внешняя сила (F).
В начальный момент времени на призму еще не действует внешняя сила F (рис. 1):
m⋅g = FA1,
где FA1 = ρ⋅g⋅V1 = ρ⋅g⋅S⋅h1 = ρ⋅g⋅S⋅h/2. Тогда
m⋅g = ρ⋅g⋅S⋅h/2. (1)
В конечный момент времени, когда призма полностью в воде, внешняя сила F достигает максимального значения F2 (рис. 2):
0 = –m⋅g – F2 + FA2,
где FA2 = ρ⋅g⋅V = ρ⋅g⋅S⋅h. Тогда с учетом уравнения (1) получаем
F2 = FA2 – m⋅g = ρ⋅g⋅S⋅h – ρ⋅g⋅S⋅h/2 = ρ⋅g⋅S⋅h/2. (2)
Используя уравнение (2), построим график зависимости внешней силы F от глубины h (рис. 3). Работу этой силы можно найти графическим способом: работа силы F численно равна площади заштрихованной фигуры (треугольника)
[ A = frac{F_{2} cdot left(h-h_{1} right)}{2} = frac{1}{2} cdot rho cdot g cdot S cdot frac{h}{2} cdot frac{h}{2} = rho cdot g cdot S cdot frac{h^{2}}{8}, ]
A = 2⋅102 Дж.
Записан
383. Резиновый мяч, масса которого m и радиус R, погружают под воду на глубину h и отпускают. На какую высоту, считая от поверхности воды, подпрыгнет мяч? Плотность воды ρ. Сопротивление воды и воздуха при движении не учитывать.
Решение. Можно решать задачу, используя метод решения, предложенный в задаче 378, но будет математически сложно рассчитать работу архимедовой силы за промежуток времени, когда мяч начинает выходить из воды (объем, а значит и архимедова сила, не линейно изменяются от глубины погружения).
Поэтому воспользуемся другим методом: рассмотрим потенциальную энергию водяного шарика радиуса R, который заполнит то место, где был вначале мяч. То есть будет рассматривать энергию системы мяч-водяной шарик.
За нулевую высоту примем поверхность воды (рис. 1).
Полная механическая энергия системы в начальном состоянии
W0 = –m⋅g⋅h
(водяной шарик вначале был распределен по поверхности воды и его энергия равна нулю).
Полная механическая энергия системы в конечном состоянии
W = m⋅g⋅H – m2⋅g⋅h,
где [ m_{2} = rho cdot V = frac{4}{3} pi cdot R^{3} cdot rho ] — масса водяного шарика. Из закона сохранения механической энергии следует, что
–m⋅g⋅h = m⋅g⋅H – m2⋅g⋅h,
[ H = frac{left(m_{2} -mright) cdot h}{m} = left(frac{m_{2} }{m} -1right) cdot h = left(frac{4pi }{3m} cdot R^{3} cdot rho -1 right) cdot h.
]
Записан
340. Длинная вертикальная трубка погружена одним концом в сосуд с ртутью. В трубку наливают m = 0,71 кг воды. Определить изменение уровня ртути в трубке. Диаметр трубки d = 0,06 м, плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3. Толщиной стенок трубки пренебречь.
Решение. Когда трубка была в ртути без воды, то уровень ртути внутри трубки равен уровню ртути снаружи (рис. 1, а). Под давления воды в трубке ртуть опускается вниз на Δh (рис. 1, б). Найдем эту высоту Δh.
Рассмотрим давление в точке A. Сверху в данной точке давит вода (pv) и атмосфера (pa), снизу — ртуть (pp) и атмосфера (pa). Так как жидкость не движется, то
pv + pa = pp +pa,
где [ p_{v} =frac{mcdot g}{S}, ; ; ; S=frac{pi cdot d^{2} }{4}, ] pp = ρ⋅g⋅Δh. Тогда
[ frac{4mcdot g}{pi cdot d^{2} } =rho cdot gcdot Delta h, ; ; ; Delta h=frac{4m}{rho cdot pi cdot d^{2} }, ]
Δh = 1,8⋅10–2 м.
Примечание. Данное решение верно только для случая, когда площадь поверхности сосуда во много раз больше площади поперечного сечения трубки, т.е. трубку считаем тонкой. Иначе пришлось бы учитывать изменение высоты ртути вне трубки (но для этого нужно знать площадь поперечного сечения сосуда).
Записан
341. В подводной части судна образовалось отверстие, площадь которого S = 5,0 см2. Отверстие находится ниже уровня воды на h = 3,0 м. Какая минимальная сила требуется, чтобы удержать заплату, закрывающую отверстие с внутренней стороны судна? Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3.
Решение. Что бы удержать заплату, надо к ней приложить силу, не меньшую чем сила давления воды:
F ≥ p⋅S,
где p = ρ⋅g⋅h — гидростатическое давление воды на глубине h. Тогда
Fmin = ρ⋅g⋅h⋅S,
Fmin = 15 Н.
Примечание. Так размеры отверстия во много раз меньше глубины погружения, то изменением давления на разных участках отверстия пренебрегаем.
Записан
342. На какой глубине в открытом водоеме давление в n = 3,0 раза больше нормального атмосферного давления? Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3, нормальное атмосферное давление p0 считать равным 1,0⋅105 Па.
Решение. На глубине открытого водоема давление равно
p = ρ⋅g⋅h + p0,
где p = n⋅p0 (по условию). Тогда
[ ncdot p_{0} =rho cdot gcdot h+p_{0}, ; ; ; rho cdot gcdot h=left(n-1right)cdot p_{0}, ; ; ; h=frac{left(n-1right)cdot p_{0} }{rho cdot g}, ]
h = 20 м.
Записан
343. В открытый цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода в равных по массе количествах. Общая высота двух слоев жидкостей h = 29,2 см. Определить давление жидкостей на дно сосуда. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,00⋅103 кг/м3.
Решение. Давление жидкостей на дно сосуда будет равно
p = p1 + p2, (1)
где p1 = ρ1⋅g⋅h1 — давление ртути, p2 = ρ2⋅g⋅h2 — давление воды.
Найдем высоту столбца каждой жидкости h1 и h2. Пусть S — площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда, тогда массы жидкостей будут равны
m1 = ρ1⋅V = ρ1⋅S⋅h1, m2 = ρ2⋅S⋅h2.
По условию
m1 = m2 и h1 = h2.
Тогда
ρ1⋅S⋅h1 = ρ2⋅S⋅h2 или ρ1⋅h1 = ρ2⋅h2,
[ h_{1} =frac{rho _{2} }{rho _{1} } cdot h_{2}, ; ; ; h=frac{rho _{2} }{rho _{1} } cdot h_{2} +h_{2} =frac{rho _{2} +rho _{1} }{rho _{1} } cdot h_{2}, ]
[ h_{1} =frac{rho _{2} }{rho _{2} +rho _{1} } cdot h. ]
После подстановки в уравнение (1) получаем:
[ p=rho _{1} cdot gcdot frac{rho _{2} }{rho _{2} +rho _{1} } cdot h+rho _{2} cdot gcdot frac{rho _{1} }{rho _{2} +rho _{1} } cdot h=frac{2rho _{1} cdot rho _{2} }{rho _{2} +rho _{1} } cdot gcdot h, ]
p = 5,44⋅103 Па.
« Последнее редактирование: 11 Августа 2011, 13:47 от alsak »
Записан
Источник
Автор
Тема: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е. (Прочитано 45820 раз)
0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.
344. Открытую с обеих сторон узкую цилиндрическую трубку длиной l = 80 см до половины погружают вертикально в ртуть. Затем закрывают верхнее отверстие в трубке и вынимают ее из ртути. При этом в трубке остается столбик ртути высотой h = 22 см. Чему равно атмосферное давление? Плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3.
Решение. На столбик ртуть высотой h в нижней точке трубки, которую вынули из сосуда с ртутью, действуют сила давления воздуха в трубке (Fv), сила давления столбика ртути (Fp) и сила атмосферного давления (Fa). Так как ртуть не выливается, то
Fa = Fv + Fp,
где Fa = pa⋅S, pa — атмосферное давление, S — площадь поперечного сечения трубки, Fv = pv⋅S, pv — давление воздуха в трубке, Fp = pp⋅S, pp = ρ⋅g⋅h —давление столбика ртути. Тогда
pa⋅S = pv⋅S + ρ⋅g⋅h⋅S или pa = pv + ρ⋅g⋅h. (1)
Найдем давление воздуха в трубке. Будем считать, что температура в трубке не изменяется, поэтому запишем для воздуха в трубке для первого случая (трубка открыта и вставлена в сосуд с ртутью) и для второго (трубку закрыли и вынули из сосуда с ртутью) уравнение изотермического процесса:
p1⋅V1 = p2⋅V2,
где p1 = pa — давление воздуха в первом случае, V1 = S⋅l1, l1 = l/2 (трубка до половины погружена в ртуть), p2 = pv, V2 = S⋅l2, l2 = l – h. Тогда
[ p_{a} cdot Scdot frac{l}{2} = p_{v} cdot Scdot left(l-hright), ; ; ; p_{v} =frac{p_{a} cdot l}{2cdot left(l-hright)}.;;; (2) ]
Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
[ p_{a} =frac{p_{a} cdot l}{2cdot left(l-hright)} +rho cdot gcdot h, ; ; ; p_{a} cdot frac{l-2h}{2cdot left(l-hright)} =rho cdot gcdot h, ; ; ; p_{a} =frac{2rho cdot gcdot h}{l-2h} cdot left(l-hright), ]
рa = 9,6⋅104 Па.
Примечание. В задаче необходимо указать, что температура в трубке не изменяется. Иначе не хватает данных для решения.
« Последнее редактирование: 11 Июля 2011, 08:18 от alsak »
Записан
345. Цилиндрическая трубка с запаянным верхним концом опускается вертикально в ртуть так, что запаянный конец совпадает с поверхностью ртути в сосуде. При этом высота воздушного столба в трубке равна h. Определить длину трубки. Атмосферное давление равно pa, плотность ртути ρ. Температуру считать постоянной.
Решение. В трубке в точке на границе воздух-ртуть действуют сила давления воздуха в трубке (Fv), сила давления ртути на глубине h (Fp) и сила атмосферного давления (это давление передается через ртуть) (Fa). Так как ртуть не движется, то
Fv = Fp + Fa,
где Fa = pa⋅S, pa — атмосферное давление, S — площадь поперечного сечения трубки, Fv = pv⋅S, pv — давление воздуха в трубке, Fp = pp⋅S, pp = ρ⋅g⋅h —давление ртути на глубине h. Тогда
pv⋅S = ρ⋅g⋅h⋅S + pa⋅S или pv = ρ⋅g⋅h + pa. (1)
По условию температура в трубке не изменяется, поэтому запишем для воздуха в трубке для первого случая (трубка в воздухе) и для второго (трубку вставили в сосуд с ртутью) уравнение изотермического процесса:
p1⋅V1 = p2⋅V2,
где p1 = pa — давление воздуха в первом случае, V1 = S⋅l1, l1 = l (воздух заполняет всю трубку), p2 = pv, V2 = S⋅l2, l2 = h. Тогда
pa⋅S⋅l = pv⋅S⋅h, pa⋅l = pv⋅h. (2)
Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
[ l=frac{p_{v} cdot h}{p_{a} } =frac{left(rho cdot gcdot h+p_{a} right)cdot h}{p_{a} } =frac{rho cdot gcdot h^{2} }{p_{a} } +h. ]
Записан
347. Снаряд массой m = 8,0 кг вылетает из ствола орудия со скоростью υ = 700 м/с. Определить давление пороховых газов во время выстрела, считая движение снаряда внутри ствола равноускоренным. Сила сопротивления движению снаряда Fc = 16,2 кН, длина нарезной части ствола l = 3,0 м, диаметр d = 77 мм.
Решение. На снаряд действуют сила давления пороховых газов (Fd) и сила сопротивления движению снаряда (Fc) (рис. 1). Эти силы во много раз больше остальных сил (силы тяжести, силы реакции опоры), которыми мы пренебрегаем. Запишем проекцию второго закона Ньютона:
X: m⋅a = Fd – Fc, (1)
где Fd = p⋅S, S = π⋅d2/4.
Найдем ускорение снаряда через следующую формулу кинематики:
[ Delta r_{x} =frac{upsilon _{x}^{2} -upsilon _{0x}^{2} }{2a_{x}}, ]
где Δrх = l (для снаряда длина орудия – это его перемещение), υx = υ (скорость вылета снаряда из ствола — это конечная скорость), υ0 = 0, ax = a (см. рис. 1). Тогда
[ l=frac{upsilon ^{2} }{2a} ,; ; ; a=frac{upsilon ^{2} }{2l}. ]
Подставим полученное выражение в уравнение (1):
[ mcdot frac{upsilon _{}^{2} }{2l} =pcdot frac{pi cdot d^{2} }{4} -F_{c}, ; ; ; p=left(mcdot frac{upsilon _{}^{2} }{2l} +F_{c} right)cdot frac{4}{pi cdot d^{2}}, ]
p = 1,4∙108 Па.
« Последнее редактирование: 31 Июля 2011, 17:52 от alsak »
Записан
348. Дубовый шар лежит на дне сосуда с водой, причем половина его находится в воде. С какой силой давит на дно сосуда шар, если в воздухе он весит Р = 5,9 Н? Плотность дуба ρ1 = 0,8⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
Решение. Вес в воздухе неподвижного тела без учета выталкивающей силы равен
P = m⋅g. (1)
На шар в воде действуют сила тяжести (m⋅g), Архимедова сила (FA) и сила реакции опоры (N) (рис. 1). Так как шар неподвижен, то
N + FA = m⋅g,
где FA = ρ2⋅g⋅Vp, [ V_p = frac{V}{2} = frac{m}{2rho _{1}} ] — объем погруженной в воду части шара.
Сила Fd, с которой шар давит на дно, по третьему закону Ньютона, численно равна силе N, с которой дно давит на шар, т.е. Fd = N. С учетом уравнения (1) получаем:
[ F_{d} = mcdot g-F_{A} =mcdot g-rho _{2} cdot gcdot frac{m}{2rho _{1} } =P cdot left(1-frac{rho _{2} }{2rho _{1} } right), ]
Fd = 2 Н.
Записан
349. В воздухе вес кипы хлопка Р = 1519 Н. Определить вес этой кипы в вакууме, если плотность хлопка в кипе ρ1 = 800,0 кг/м3, а плотность воздуха ρ2 = 1,225 кг/м3. Взвешивание производилось с помощью пружинных весов.
Решение. Вес неподвижного тела в вакууме равен
Pv = m⋅g,
вес тела на пружинных весах — P = Fy, где Fy — сила упругости пружины.
На кипу хлопка на весах в воздухе действуют сила тяжести (m⋅g), архимедова сила (FA) и сила упругости пружины (Fy) (рис. 1). Тело неподвижно (по умолчанию), поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
[ vec{F}_{A} +mcdot vec{g}+vec{F}_{y} =0, ]
Y: FA – m⋅g + Fy = 0,
где FA = ρ2⋅g⋅V, V = m/ρ1 — объем кипы хлопка. Тогда
[ rho _{2} cdot gcdot frac{m}{rho _{1} } -mcdot g+P=0, ; ; ; mcdot gcdot frac{rho _{1} -rho _{2} }{rho _{1}} =P, ; ; ; P_{v} =mcdot g=frac{rho _{1} }{rho _{1} -rho _{2} } cdot P, ]
Pv = 1521 Н.
Примечание. На мой взгляд, не совсем удачно подобраны значения в условии этой задачи. В школьном курсе физики архимедовой силой мы обычно пренебрегаем, если плотность тела во много раз больше плотности окружающей среды. А здесь, несмотря на то, что плотность хлопка в 650 раз больше плотности воздуха, мы вынуждены учитывать эту силу.
Записан
351. В воздухе вес куска пробки Р1 = 0,15 Н, куска свинца Р2 = 1,1 Н. Если эти куски связать, подвесить к динамометру и опустить в керосин, то динамометр покажет Р3 = 0,6 Н. Определить плотность ρ1 пробки. Плотность свинца ρ2 = 11,3⋅103 кг/м3, керосина ρ3 = 0,8⋅103 кг/м3. Архимедовой силой в воздухе пренебречь.
Решение. Вес неподвижного тела в воздухе (без учета архимедовой силы) равен
P1 = m1⋅g, P2 = m2⋅g, (1)
показания динамометра — это сила упругости пружины динамометра, т.е.
P3 = Fy. (2)
На связанные тела, которые подвесили к динамометру и опустили в керосин, действуют силы тяжести (m1⋅g и m2⋅g), архимедовы сила (FA1 и FA2) и сила упругости пружины динамометра (Fy) (рис. 1). Тело неподвижно (по умолчанию), поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
[ vec{F}_{A1} +m_{1} cdot vec{g}+vec{F}_{A2} +m_{2} cdot vec{g}+vec{F}_{y} =0, ]
Y: FA1 – m1⋅g + FA2 – m2⋅g + Fy = 0,
где FA1 = ρ3⋅g⋅V1, FA2 = ρ3⋅g⋅V2, V1 = m1/ρ1, V2 = m2/ρ2 — объемы пробки и свинца. Тогда с учетом уравнений (1) и (2) получаем
[ rho _{3} cdot gcdot frac{m_{1} }{rho _{1} } -m_{1} cdot g+rho _{3} cdot gcdot frac{m_{2} }{rho _{2} } -m_{2} cdot g+F_{y} =0, ]
[ frac{rho _{3} }{rho _{1} } cdot P_{1} -P_{1} +frac{rho _{3} }{rho _{2} } cdot P_{2} -P_{2} +P_{3} =0, ]
[ frac{rho _{3} cdot P_{1} }{rho _{1} } =P_{1} +P_{2} -P_{3} -frac{rho _{3} }{rho _{2} } cdot P_{2} =frac{1}{rho _{2} } cdot left(rho _{2} cdot left(P_{1} +P_{2} -P_{3} right)-rho _{3} cdot P_{2} right), ]
[ rho _{1} =frac{rho _{3} cdot rho _{2} cdot P_{1} }{rho _{2} cdot left(P_{1} +P_{2} -P_{3} right)-rho _{3} cdot P_{2} }, ]
ρ1 = 210 кг/м3.
« Последнее редактирование: 11 Августа 2011, 13:46 от alsak »
Записан
352. Высота плоской льдины над уровнем океана h = 2,0 м. Определить толщину всей льдины, если плотность льда ρ1 = 0,90⋅103 кг/м3, океанской воды ρ2 = 1,03⋅103 кг/м3.
Решение. На льдину в воде действуют сила тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA) (рис. 1). Так как льдина плавает в воде, то
m⋅g = FA,
где m = ρ1⋅V, FA = ρ2⋅g⋅V1, V = S⋅H — объем всей льдины, V1 = S⋅(H – h) — объем льдины, погруженной в воду (см. рис. 1), S — площадь поперечного сечения льдины. Тогда
ρ1⋅S⋅H⋅g = ρ2⋅g⋅S⋅(H – h), ρ1⋅H = ρ2⋅(H – h),
[ Hcdot left(rho _{2} -rho _{1} right)=rho _{2} cdot h, ; ; ; H=frac{rho _{2} cdot h}{rho _{2} -rho _{1}}, ]
H = 16 м.
Примечание. Необходимо учесть, что площади поперечного сечения льдины в воде и над водой равны.
Записан
353. Найти минимальную массу груза, который нужно положить на плоскую льдину, чтобы она полностью погрузилась в воду. Площадь льдины S = 1 м2, ее толщина d = 20 см, плотность льда ρ1 = 0,92⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.
Решение. Пусть масса груза, при котором льдина полностью погрузилась в воду, но еще не тонет, будет равна m2 (это и будет минимальная масса, т.к. если массу груза увеличить, льдина начнет тонуть). На льдину в воде действуют сила тяжести льдины (m1⋅g), архимедова сила (FA) и вес груза (m2⋅g) (рис. 1). Тело неподвижно, поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
[ vec{F}_{A} +m_{1} cdot vec{g}+m_{2} cdot vec{g}=0 ]
или в проекции на вертикальную ось
FA – m1⋅g – m2⋅g = 0,
где m1 = ρ1⋅V, FA = ρ2⋅g⋅V, V = S⋅d — объем всей льдины. Тогда
ρ2⋅g⋅S⋅d – ρ1⋅S⋅d⋅g – m2⋅g = 0,
m2 = ρ2⋅S⋅d – ρ1⋅S⋅d = (ρ2 – ρ1)⋅S⋅d,
m2 = 16 кг.
« Последнее редактирование: 22 Июля 2011, 08:50 от alsak »
Записан
354. Каким должен быть минимальный объем полости Vn железного буя для того, чтобы он мог плавать на поверхности воды? Объем буя V, плотность железа ρ1, плотность воды ρ2.
Решение. На железный буй в воде действуют сила тяжести буя (m1⋅g) и архимедова сила (FA) (силой тяжести воздуха в полости буя пренебрегаем). Так как FA = ρ2⋅g⋅V2, где V2 — объем части буя, погруженной в воду. Так как плотность железа больше плотности воды, то без воздушной полости буй утонет. По мере увеличения воздушной полости внутри буя, будет увеличиваться общий объем буя, и будет увеличиваться архимедова сила. При некотором минимальном объеме полости Vn буй начнет всплывать и достигнет поверхности воды (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона для этого момента
[ vec{F}_{A} +m_{1} cdot vec{g}=0 ]
или в проекции на вертикальную ось
FA – m1⋅g = 0,
где m1 = ρ1⋅V1, FA = ρ2⋅g⋅V, V1 = V – Vn — объем железа. Тогда
ρ2⋅g⋅V – ρ1⋅(V – Vn)⋅g = 0,
[ V-V_{n} =frac{rho _{2} cdot V}{rho _{1}}, ; ; ; V_{n} =Vcdot left(1-frac{rho _{2} }{rho _{1} } right). ]
Примечание. Считаю, что в условии надо добавить, что полость воздушная, т.е. заполнена воздухом.
Записан
360. Плавающее в ртути тело погружено в нее на n1 = 0,25 своего объема. Какая часть n2 объема тела будет погружена в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закрывающий тело? Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.
Решение. 1 случай: тело погружено только в ртуть. На тело действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA1) (рис. 1). Запишем условие плавания тела:
FA1 = m⋅g, (1)
где FA1 = ρ1⋅g⋅V1, V1 = n1⋅V, V1 — объем погруженной в ртуть части тела, V — объем всего тела.
2 случай: тело погружено в ртуть и воду. На тело действуют силы тяжести (m⋅g), архимедова сила со стороны ртути (FA2) и архимедова сила со стороны воды (FA3) (рис. 2). Запишем условие плавания тела:
FA2 + FA3 = m⋅g, (2)
где FA2 = ρ1⋅g⋅V2, FA3 = ρ2⋅g⋅V3, V2 = n2⋅V, V2 — объем погруженной в ртуть части тела, V3 = V – V2 = V⋅(1 – n2) — объем погруженной в воду части тела.
Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
FA1 = FA2 + FA3, ρ1⋅g⋅n1⋅V = ρ1⋅g⋅n2⋅V + ρ2⋅g⋅V⋅(1 – n2),
ρ1⋅n1 = ρ1⋅n2 + ρ2⋅(1 – n2),
[ n_{2} cdot left(rho _{1} -rho _{2} right)=rho _{1} cdot n_{1} -rho _{2}, ; ; ; n_{2} =frac{rho _{1} cdot n_{1} -rho _{2} }{rho _{1} -rho _{2}}, ]
n2 = 0,19.
Записан
Источник