Столкновение молекул со стенкой сосуда
Говоря об идеальном газе, мы исходили из того, что молекулы не взаимодействуют между собой. На самом деле предполагалось, конечно, отсутствие потенциальной энергии взаимодействия между ними. Упругие столкновения между молекулами и молекул со стенками обязательно должны происходить хотя бы потому, что иначе будет отсутствовать механизм, с помощью которого устанавливается равное распределение энергии по степеням свободы, иначе нельзя будет говорить о температуре системы, давлении в ней и т. п. Столкновения молекул происходят случайно. Они приводят к изменению направления и величины скорости частиц, но не меняют распределения молекул по скоростям и координатам в равновесных системах.
Возникает вопрос: а всегда ли молекулы будут сталкиваться друг с другом? Ведь молекулы очень малы, а расстояния между ними в идеальном газе на порядок больше их линейных размеров. Быть может, для сосудов малых размеров они летят без соударений от стенки к стенке? Подсчитаем, сколько раз в единицу времени одна молекула может столкнуться с другими и какое расстояние она пролетает в среднем между столкновениями.
Прежде чем перейти к вычислениям, примем простейшую модель для молекул. Будем представлять их в виде упругих шариков. При столкновении молекул с эффективными диаметрами d1 и d2 их центры сближаются на расстояние (d1 + d2)/2 (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Столкновение двух молекул (1) и траектория движения выделенной молекулы газа (2): направление ее движения меняется, когда какая-то из молекул среды попадает в радиус взаимодействия R = (dt + d2)/2
Если представить себе, что молекула 1 налетает на молекулу 2, то столкновение произойдет; если первая молекула попадет в сферу радиусом
описанную вокруг второй молекулы. Площадь сечения этой сферы
Величина R называется эффективным радиусом взаимодействия молекул 1 и 2, а – эффективным сечением взаимодействия этих молекул. При столкновении одинаковых молекул d1 = d2 = d, R = d и
За время между двумя последовательными столкновениями молекула пролетает некоторый путь l. Разумеется, для каждой отдельной молекулы дело чистой случайности, сколь далеко ей удастся продвинуться без столкновений. Но усредняя путь l по всем молекулам системы, получим физическую величину
называемую средней длиной свободного пробега молекул. Статистический смысл этой величины таков: отношение малого отрезка длиной dx к дает вероятность столкновения
на пути dx. Пусть Р(х) – вероятность пролететь без столкновений расстояние х. Тогда
– вероятность, пролететь без столкновений расстояние х + dx. Последнее событие складывается из двух независимых событий:
частица пролетела без столкновений расстояние х (вероятность чего равна Р(х));
частица также без столкновений преодолела еще и маленький отрезок пути dx (вероятность чего равна 1 – dx/). По теореме об умножении вероятностей имеем тогда
откуда следует уравнение для вероятности Р(х)
Поскольку вероятность преодолеть нулевое расстояние без столкновений равна единице, имеем дополнительно начальное условие Р(0) = 1. Интегрируя дифференциальное уравнение, находим окончательно
(4.1) |
Как видно, чем больше путь х, тем меньше вероятность преодолеть его без столкновений.
Убедимся теперь, что – действительно средняя длина свободного пробега. Вычислим, с какой вероятностью молекула будет иметь длину свободного пробега l. Это значит, что частица пролетела без столкновений расстояние х = l (вероятность чего есть Р(l)) и столкнулась с другой частицей непосредственно за этим – на малом отрезке длиной dl (вероятность чего можно найти как dl/). Вероятность dw такого события по теореме умножения вероятностей равна
Находим тогда среднюю длину свободного пробега
(4.2) |
He следует думать, конечно, что вероятность преодолеть расстояние l без столкновений равна нулю: часть молекул может пролететь очень большие расстояния, но лишь крайне небольшая их часть. При х = , как следует из (4.1), вероятность пролета без столкновений равна
то есть 63,2 % частиц испытают столкновения на этом пути. При длине пути х = 2получаем
то есть столкновения суждены уже 86,5 % частиц, при х = 3 в столкновениях участвует уже 95 % частиц, поскольку
Чтобы определить среднее число столкновений n одной молекулы с другими в единицу времени, сделаем следующие допущения:
все молекулы одинаковы, то есть мы не рассматриваем смеси газов;
все молекулы, за исключением той, за которой мы наблюдаем, неподвижны (в дальнейшем мы покажем, как избавиться от этого заведомо неверного предположения);
при столкновениях скорость vОT молекулы не меняется (это предположение, в сущности, того же уровня, что и предыдущее: при упругом столкновении с препятствием, которое остается неподвижным, модуль скорости действительно не меняется (смысл подстрочного индекса «от» станет ясным в дальнейшем)).
Путь нашей молекулы диаметром d остается прямолинейным до тех пор, пока ей не встретится неподвижная молекула, чей центр окажется от линии движения на расстоянии, меньшем R = d. После этого молекула сменит направление движения и будет двигаться прямолинейно до нового соударения. За интервал времени ∆t молекула пройдет ломаный путь vOT ∆t и столкнется со всеми молекулами, попавшими в ломаный цилиндр радиусом d и площадью основания = pd 2 (см. рис. 4.1). Объем этого цилиндра равен pd 2 vOT ∆t. Если n-концентрация молекул в системе (их число в единице объема), то легко найти количество неподвижных молекул в цилиндре, то есть число столкновений DN:
Отсюда следует частота столкновений (то есть число столкновений в единицу времени)
(4.3) |
Избавимся теперь от последствий нашего предположения о неподвижности молекул. Пусть мы следим за молекулой 1, которая движется со скоростью v1, и она сталкивается с молекулой 2, имеющей скорость v2. В системе отсчета, связанной со второй молекулой, она неподвижна, зато первая молекула имеет скорость
Ясно теперь, что именно среднее значение относительной скорости молекул играет роль скорости vОТ, использованной нами при выводе соотношения (4.3) для частоты столкновений. Имеем тогда
(4.4) |
где ????12 – угол между направлениями движения молекул. Из-за хаотичности движения этот угол равновероятно принимает любые значения, так что среднее значение его косинуса равно нулю. А усреднение квадратов скоростей приводит к появлению среднеквадратичной скорости молекул
знакомой нам по предыдущей главе. Получаем в итоге, что
и формула (4.3) записывается в окончательном виде
(4.5) |
Заметим, что, перейдя от скорости молекулы к ее среднеквадратичной скорости, мы на самом деле избавились и от третьего допущения, поскольку vKB постоянна при заданной температуре.
Зная частоту столкновений, можно найти среднюю длину свободного пробега. Действительно, среднее время между двумя последовательными соударениями = 1/n, и за это время частица в среднем проходит путь = vKBt. Таким образом, средняя длина свободного пробега молекулы газа равна
(4.6) |
Поскольку при постоянной температуре концентрация частиц пропорциональна давлению, то с ростом давления длина свободного пробега уменьшается. Это и понятно, так как уменьшается среднее расстояние между частицами. На самом деле молекула не является твердым шариком. Поэтому ее эффективный диаметр d-величина не совсем постоянная: он уменьшается при увеличении температуры, хотя и незначительно. Поэтому средняя длина свободного пробега слегка растет с повышением температуры.
Следует отметить, что среднее расстояние между частицами далеко не совпадает со средней длиной свободного пробега. Ранее мы оценили эффективный диаметр молекулы водяного пара d = 3·10-10 м и среднее расстояние между молекулами при нормальных условиях L = 3·10-9 м. Отсюда находим концентрацию молекул
Подставляя найденное n в выражение для длины свободного пробега, находим
Мы видим, что длина свободного пробега в 200 раз больше диаметра молекулы и в 20 раз больше среднего расстояния между молекулами. Для полноты картины оценим также частоту столкновений. Кинетическая энергия поступательного движения молекулы
Зная массу молекулы воды
получаем оценку среднеквадратичной скорости
Наконец, определяем
Иначе говоря, молекула испытывает 10 млрд соударений в секунду! Линейный размер сосуда, содержащего один литр газа, равен l = 10 см = 0,1 м. При скорости 630 м/с молекула могла бы пролететь путь от стенки до стенки за время
но за это время она испытает
столкновений с другими молекулами.
У нас осталось без обсуждения первое допущение об одинаковости всех молекул. Оно было нужно не по принципиальным соображениям, а для упрощения вывода и окончательных выражений. Если это не так, если мы рассматриваем смесь газов, то компоненты имеют разные концентрации частиц, различные среднеквадратичные скорости, а их молекулы – разные массы. Как следствие, изменится формула для средней длины свободного пробега, причем результаты будут отличаться для молекул различных сортов.
Пример. Найдем, как изменится формула (4.6) для средней длины свободного пробега молекул, если они представляют собой плоские диски, двигающиеся в материале тонкой пленки, будучи не в состоянии из нее вылететь?
Как и прежде, для столкновения молекул диаметрами d1 и d2они должны сблизиться на расстояние
Поэтому при движении молекулы по плоскости пленки она заденет все другие молекулы, которые попадут в ломаный прямоугольник (в отличие от цилиндра в трехмерном случае) шириной 2R и длиной vOT ∆t. Площадь этого прямоугольника
При поверхностной концентрации n молекул (в этом случае n – их число на единицу площади) произойдет ∆N = Sn столкновений. Отсюда для частоты столкновений находим
где мы учли, что, как и прежде, относительная скорость
Отсюда длина свободного пробега для движущихся в плоскости плоских молекул получается равной
При одинаковых молекулах (d1 = d2 = d)
Свидание в лесу, ежик в тумане и атомная бомба. Идея длины свободного пробега может быть использована для оценки видимости в лесу, в тумане или даже для грубой оценки критической массы урана в атомной бомбе.
Представьте себе, что у вас назначено свидание в лесу. С какого максимального расстояния R вы заметите своего партнера (а партнер – вас)? Положим, вы включаете фонарик, чтобы подать ему/ей сигнал. Если не учитывать рассеяние света, то все деревья отбрасывают тени, линейный размер которых можно считать примерно равным диаметру d деревьев. На рис. 4.3 ваше место нахождения отмечено красным кружком, вокруг проведена окружность радиусом R, деревья показаны зелеными кружками, а их тени на окружности отмечены оранжевыми дугами.
Рис. 4.3. Оценка максимального расстояния R видимости в лесу
Определим, какую часть окружности покрывают тени. Пусть n плотность посадки деревьев (их число на единицу площади). Если l – среднее расстояние между деревьями, то
Внутрь окружности попадает pR2n деревьев. Полная длина тени на окружности равна поэтому pR2nd. Мы видим, что полная длина тени растет как квадрат радиуса и при каком-то значении R превысит длину окружности 2pR. Но если вся окружность покрыта тенями, то свет дальше не пройдет. Это значение R и будет максимальным расстоянием видимости в лесу. Теперь понятно, что оно определяется из равенства
то есть мы получили оценку
Для численного примера можно взять значения, исходя из своего жизненного опыта. Скажем, свидание назначено среди березок со средним диаметром ствола d = 0,25 м и средним расстоянием между деревьями l = 10 м. Тогда находим R = 800 м.
Установим теперь связь полученного результата с формулой для средней длины свободного пробега. У нас одна молекула (световой луч) не имеет размера (d1 = 0), размер прочих молекул равен среднему диаметру ствола (d2 = d) и, наконец, молекулы (стволы) – покоятся, то есть надо отбросить множитель . Получаем в результате – применительно к нашей задаче – выражение
Таким образом, найденный нами радиус видимости
Вероятность свету преодолеть это расстояние без «столкновений» с деревьями равна
Иными словами, с вероятностью 86.5 % свет будет задержан деревьями.
Свидание в лесу происходило на плоскости. Сейчас мы вернемся в объемный мир. Тот же рисунок изображает теперь сферу радиусом R и препятствия в виде шариков диаметром d. Например, мы хотим оценить видимость для ежика, заблудившегося в тумане, и роль деревьев теперь исполняют водяные капли. Если концентрация капель равна п (их число в единице объема), то внутри сферы находится
Их тени на сфере представляют собой окружности площадью pd2/4. При максимальном расстоянии видимости тени покрывают всю сферу:
Отсюда находим расстояние видимости в тумане
Снова сравним этот результат с формулой (4.6) для длины свободного пробега молекулы в газовой среде, где надо отбросить фактор и взять
Получаем
Вероятность преодолеть путь R = 3l без столкновений равна
Стало быть, с вероятностью 95 % столкновение на этом пути произойдет.
Получим численную оценку. Наши рассуждения годятся, если размер капель заметно (скажем, на один-два порядка) превышает длину световой волны. Так как видимый диапазон имеет длины волн 0,40-0,76 мкм, то для диаметра капель примем оценку d = 10-4 м. Для концентрации капель возьмем значение n = 3·107 м-3(о происхождении этого числа см. чуть ниже). Тогда видимость в тумане будет
Концентрацию капель мы оценили следующим образом. Давление насыщенного водяного пара при, скажем, 20 °С (Т = 293 К) равно рН = 2,3·103 Па. Применяя уравнение Клапейрона – Менделеева, находим плотность водяного пара при 100 % влажности:
При резком понижении температуры весь пар конденсируется в капли указанного размера – образуется густой туман. Масса одной капли равна
Количество образовавшихся капель в объеме V находим как отношение массы пара m к массе капли mКАП. Тогда концентрация капель определится из соотношения
При d = 10-4 м получаем использованное выше значение n = 3·10-7 м-3.
Зависимость расстояния видимости в тумане от размера капель дается, таким образом, соотношением
При предельно малых капельках с диаметром порядка десяти длин световой волны d = 10-5 м видимость сокращается до одного метра. Что называется, «не видно дальше своего носа». При еще меньших размерах капель наша модель становится неверной, так как свет уже нельзя рассматривать просто как совокупность частиц с ничтожно малым размером. Начинают играть роль эффекты дифракции, и выражение для эффективного сечения взаимодействия света с каплями уже не будет определяться чисто геометрическим сечением капель.
Решенная задача имеет также отношение к вопросу о критической массе урана-235, применяемого для изготовления атомных бомб. Вместо света в этой задаче мы имеем нейтроны, а вместо капель – ядра 235U. При столкновении с ядрами нейтроны расщепляют их на осколки, и при этом вылетает еще 3-4 нейтрона. При критическом радиусе Rкрит количество нейтронов не будет уменьшаться и возникнет самоподдерживающаяся цепная реакция – произойдет атомный взрыв. За основу определения критического радиуса можно взять радиус видимости
уменьшенный в kраз (k = 3,5 – коэффициент размножения нейтронов). Поскольку
получаем
Радиус ядра
где r0 = 1,4·10-15 м – радиус ядра с массовым числом А = 1, то есть протона (нейтрона). Поэтому эффективный диаметр взаимодействия равен
В справочнике (например, Российском энциклопедическом словаре) находим плотность урана rU = 19·103 кг/м3. Массу ядра урана-235 определяем по массе протона
Отсюда находим концентрацию ядер
Теперь мы можем оценить критический радиус Rкрит
критический объем Vкрит
и критическую массу Мкрит
Отметим, что никаких секретов производства ядерного оружия мы не выдаем: слишком грубы эти оценки. Единственная наша цель – продемонстрировать еще раз единство законов физики, действующих в самых разнообразных системах.
Источник
В этом разделе мы переходим к молекулярно-кинетическому описанию идеального газа.
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов будем считать молекулы маленькими твердыми шариками, в среднем абсолютно упруго и зеркально отражающимися от стенок сосуда. Силы взаимодействия возникают только при соударении молекул друг с другом или со стенками сосуда. Припишем каждой молекуле номер i (i = 1, 2, …, N), где N – полное число молекул в системе.
Прежде чем приступить непосредственно к расчету, поясним, почему в среднем столкновения молекул со стенкой мы не только можем, но – в условиях термодинамического равновесия – обязаны считать абсолютно упругими и зеркальными. «Абсолютно упругими», то есть в среднем скорость молекулы после столкновения со стенкой равна её скорости до столкновения со стенкой. «Зеркальными» означает, что угол отражения молекулы от стенки равен углу падения молекулы на стенку (углы падения и отражения определяются как в оптике: это углы между направлением нормали к стенке и вектором скорости молекулы). Это легко доказывается «от противного». Ранее равновесное состояние было определено, в частности, как такое, в котором отсутствуют потоки энергии, импульса, момента импульса и т. д. Следовательно, если газ и стенка сосуда находятся в термодинамическом равновесии друг с другом, то не должно быть потока энергии из газа в стенку или из стенки в газ. Легко видеть, что если молекула газа в среднем отскакивает от стенки с меньшей (большей), чем подлетала, скоростью, то стенка получает от газа (отдает газу) энергию, что при равновесии невозможно. Противоречие не возникает только в том случае, когда в среднем эти скорости равны, то есть в среднем столкновение абсолютно упругое (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Абсолютно упругое столкновение молекулы со стенкой»
Подчеркнем, что обмен энергией между газом и сосудом не противоречит закону сохранения энергии: сколько получил газ, столько отдала стенка и наоборот. Как будет видно в дальнейшем, такой обмен энергией противоречит второму началу термодинамики. Аналогично доказывается равенство углов падения и отражения. Если они не равны, то между сосудом и газом будет происходить обмен моментом импульса. Проще можно сказать так: произойдет самораскручивание газа в одну сторону, а сосуда – с равным по модулю моментом импульса – в другую, что также вовсе не запрещено законом сохранения момента импульса, но противоречит второму началу термодинамики. Поскольку второе начало термодинамики в данный момент ещё не сформулировано, отметим, что в эксперименте таких процессов никто никогда не видел, а поскольку экспериментальных причин сомневаться в справедливости второго начала термодинамики нет, то и не увидит.
Выше мы всё время подчеркивали: в среднем. Это связано с тем, что «судьба» конкретной индивидуальной молекулы при её столкновении со стенкой сосуда может быть какой угодно. Чтобы это понять надо «спуститься» с макроскопического на микроскопический уровень рассмотрения процесса столкновения молекулы газа со «стенкой». Произнося слово «стенка», мы имеем ввиду границу раздела между газом (разреженное состояние вещества, концентрация частиц ~1019 в см3) и стенкой (плотное – конденсированное состояние вещества, концентрация частиц ~1022 в см3).
Видео 1.5. Поведение броуновской частицы доказывает, что соударения молекул со стенкой абсолютно упруги и зеркальны лишь в среднем
Претендуя лишь на сугубо качественное описание далеко не всех процессов имеющих место при взаимодействии молекулы газа с твердой или жидкой поверхностью, рассмотрим лишь два возможных случая.
Пусть, к примеру, сосуд железный, тогда около положений равновесия (узлов кристаллической решетки) колеблются ионы железа. Пусть в сосуде воздух, будем следить за некоторой молекулой азота, подлетающей к «стенке». Она столкнется не со стенкой «вообще», а с конкретным ионом железа в составе стенки, на определенной стадии его колебаний. Скорость молекулы относительно стенки это её скорость относительно узлов кристаллической решетки – положений равновесия ионов железа. Если в момент столкновения тот конкретный ион, с которым сталкивается наша молекула, двигался ей навстречу, то, относительная скорость молекулы и иона будет больше, чем молекулы и стенки. Позволим себе такой язык: «наподдаст» он ей и отлетит она от стенки со скоростью большей, чем подлетала. И наоборот, если в момент столкновения тот конкретный ион, с которым сталкивается наша молекула, двигался от неё, то, относительная скорость молекулы и иона будет меньше, чем молекулы и стенки. В этом случае молекула отлетит от стенки со скоростью меньшей, чем подлетала. Очевидно, что в состоянии термодинамического равновесия столкновения, сопровождающиеся увеличением и уменьшением скорости отлетающих от стенки молекул, должны происходить – в среднем за достаточно большое время – одинаково часто.
Наконец, подлетающая к стенке молекула может попасть в «междуузелье» – пространство между соседними узлами кристаллической решетки, внедриться в кристаллическую решетку и застрять в неё так прочно, что только достаточно сильный нагрев стенки будет способен «выгнать» её оттуда. Например, на установках типа «Токамак» предназначенных для исследований высокотемпературной плазмы, предусматривают нагрев стенок для их «обезгаживания» – освобождения от налипших на стенки молекул воздуха.
Теперь рассмотрим молекулу с номером i, которая подлетает к стенке сосуда, перпендикулярной оси ОХ, со скоростью и импульсом . При абсолютно упругом и зеркальном отражении молекулы от стенки знак проекции её ее импульса на ось ОХ меняется на противоположный , так что приращение проекции импульса молекулы на ось ОХ равно
а приращение импульса стенки, другими словами, импульс переданный стенке, равен
Рис. 1.14. Отражение молекулы от стенки
Предполагая, что между собой молекулы не сталкиваются, можно утверждать, что молекула после отражения долетит до противоположной стенки, снова отразится и в следующий раз подлетит к той же стенке (рис. 1.14) через время
где – расстояние между стенками, перпендикулярными оси x. Поскольку импульс передается стенке каждые секунд, на стенку со стороны одной молекулы действует средняя сила
(1.7) |
(Заметим на будущее, что средние значения величин мы будем обозначать угловыми скобками).
Если в сосуде заключено N молекул, то полная средняя сила F получится суммированием выражения (1.8) по всем молекулам:
При этом, так как все направления равноправны и молекулы в среднем совершенно одинаково отражаются от всех стенок сосуда, то, во-первых, сумма произведений импульсов на скорости представима в виде
где справа написано одинаковое для всех молекул среднее. И, во-вторых:
С другой стороны, среднее значение произведения импульса молекулы на ее скорость определяется как
Поэтому
и выражение для полной средней силы, действующей на стенку со стороны газа, приобретает вид
(1.8) |
Разделив полную среднюю силу на площадь стенки , мы, по определению давления, получим выражение для давления газа на стенку. Заменяя произведение на объем сосуда , приходим к уравнению
(1.9) |
Используем теперь тот факт, что скорость движения молекул даже при температурах в тысячи кельвинов, когда большинство веществ уже переходит в плазменное состояние, составляет всего несколько километров в секунду, то есть о релятивистских эффектах в атомарных и молекулярных газах говорить не приходится, поэтому импульс молекулы , где – масса молекулы. Тогда из (1.9) следуют два соотношения (по сути это одно соотношение), каждое из которых называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов:
(1.10) |
или
(1.11) |
Здесь – концентрация молекул, <ЕПОСТ> – средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну молекулу. Произведение N<ЕПОСТ> есть полная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа в данном объеме V.
Быть может, на первый взгляд трудно узнать в соотношениях (1.10-1.11) сходство со знакомым нам уравнением Клапейрона – Менделеева
поэтому слегка преобразуем последнее. Введем новую величину – постоянную Больцмана
Важность этой физической постоянной определяется тем, что с ее помощью устанавливается связь между энергией и температурой, как это видно уже из ее размерности. Далее используем, что
– число молей вещества в системе, а NA – число молекул в одном моле, так что nNA равно полному числу частиц в системе. Приходим тогда к следующей форме уравнения Клапейрона – Менделеева:
(1.12) |
Сравнивая (1.10) с (1.12), мы видим, что, в сущности, имеем дело с аналогичным уравнением, если определить абсолютную температуру соотношением
(1.13) |
Такое определение температуры годится только для систем, состоящих из частиц только с тремя поступательными степенями свободы, во-первых, и если поступательное движение этих частиц точно описывается законами классической, в данном случае «классической» означает – не квантовой механики. Например, оно не применимо для описания колебательного движения ядер в молекулах кислорода и азота (основные компоненты воздуха) при комнатных температурах, не применимо для описания поступательного движения электронов в металлах при любых температурах потому, что и то и другое движения носят квантовый характер и законами классической механики не описываются.
Общее, годное на все случаи жизни, определение температуры будет дано позже на базе первого и второго начал термодинамики, а сейчас отметим следующее.
Температура есть мера интенсивности теплового движения. Температура растет с ростом средней энергии теплового движения. Как будет видно в дальнейшем, этот рост вовсе не обязательно должен быть пропорциональным ростом, как в соотношении (1.13).
Видео 1.6. Классическая модель газа с растущей температурой.
Пример. В подземной полости радиусом 100 м проводится подземное испытание ядерного оружия мощностью 50 килотонн. Оценим давление газа в полости и минимальную глубину испытательной шахты, чтобы продукты взрыва не вырвались наружу.
Для решения задачи в приведенной формулировке нам пока не хватает данных. Сначала надо найти полную энергию газа, образовавшегося при взрыве. Намек на ее величину содержится в указании так называемого тротилового эквивалента. По традиции энергию взрыва сравнивают с энергией взрыва тротила. Энергия W взрыва 50-килотонной бомбы эквивалентна энергии взрыва 5⋅104 т = 5⋅107 кг тротила. В справочнике находим, что энергия взрыва 1 кг тротила равна 4,2 МДж. Таким образом, при взрыве этой бомбы выделяется энергия
Поскольку взрыв происходит в полости, будем считать, что вся эта энергия превратилась в кинетическую энергию продуктов взрыва. Так как нам известен объем полости
то величину давления находим из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов (1.12)
Получим теперь ответ на второй вопрос задачи. Газы не вырвутся наружу, если внешнее давление породы над полостью превышает давление продуктов взрыва. Внешнее давление можно оценить по известной формуле гидростатики
где ρ – плотность породы. Подчеркнем, что эта формула справедлива для газов и жидкостей. Применительно к твердому телу ее можно использовать как оценочную. В справочнике находим, например, плотность гранита ρ = 2600 кг/м3, которую можно взять за основу оценки. Из равенства
находим минимальную глубину шахты h:
В заключение этого раздела сделаем замечание. Мы специально не предполагали с самого начала классической зависимости импульса частицы от ее скорости. Поэтому уравнение (1.9) имеет более широкую область применимости, нежели (1.10). Например, электромагнитное излучение можно представить как совокупность особых частиц (фотонов), движущихся со скоростью света. Поэтому для фотонов
где с – скорость света. С другой стороны, энергия фотонов Еgсвязана с их импульсом соотношением
так что уравнение (1.9) приобретает в этом случае вид
(1.14) |
Мы видим, что уравнение состояния идеального газа фотонов отличается числовым множителем в правой части от соответствующего уравнения для газа обычных частиц.
Дополнительная информация
https://marklv.narod.ru/mkt/zpt.htm – Попробуйте решить школьные задачи повышенной трудности (олимпиадные) по молекулярно-кинетической теории и уравнению состояния идеального газа.
Источник