Свободная поверхность жидкости в сосуде
Сегодня я заварил себе чай и задумался
Сегодня утром я задумался, пока размешивал два кубика сахара в чашке с только что заваренным чаем. Задумался о форме жидкости, которую она принимает при вращении. Безусловно, все представляют себе что будет, если очень быстро начать размешивать сахар в чашке с чаем. Мне захотелось рассмотреть этот банальный и привычный процесс подробнее и попытаться рассказать Вам немного интересного из физики окружающих нас в быту явлений.
Идея эксперимента
Давайте представим, что мы имеем некоторую цилиндрическую тару, в которой находится некоторая жидкость. Вращаться жидкость можно заставить, как минимум, двумя очевидными способами: размешать её каким-нибудь предметом или начать вращать цилиндрическую тару, что, благодаря силам трения между жидкостью и поверхностью сосуда, приведет к вращению жидкости, увлекаемой содержащим её вращающимся сосудам.
Физическая модель
Остановимся на втором варианте. Итак, у нас есть вращающийся с постоянной циклической частотой сосуд, в котором при динамическом равновесии с постоянной циклической частотой вращается жидкость в том же направлении.
Вырежем из всей жидкости элементарный бесконечно малый объем около поверхности и рассмотрим какие силы на него действуют. В силу симметрии задачи, будем ориентироваться на цилиндрические координаты, что заметно упростит расчеты.
Качественный расчет формы поверхности
Запишем второй закон Ньютона для элементарного кусочка объема жидкости:
К примеру, после размешивания ложкой сахара в чашке только что заваренного чая, жидкость вращается вокруг оси симметрии, отсюда наш элементарный кусочек объема имеет центростремительное ускорение. Поэтому спроецируем наш закон Ньютона на ось, совпадающую с радиусом-вектором от элементарного объема до оси симметрии. Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение. Сила, сообщающая центростремительное ускорение (в правой части нашего закона движения) возникнет из-за разности давлений столбов жидкости, что можно увидеть на увеличенной части первого рисунка.
Таким образом, у нас получится следующее выражение:
, где , а та самая сила определится как , где площадью эффективного сечения обозначена та площадь нашего элементарного объема, на которую действует разница давлений столбов жидкости .
Получаем силу
Масса нашего элемента объема определяется по знакомой всем формуле , а сам объем будет равен (элементарный объем в цилиндрических координатах).
В итоге, 2 закон Ньютона для нашей маленькой задачки расписывается в следующее выражение:
После небольших сокращений и преобразований получаем:
Теперь проинтегрируем обе части выражения, используя неопределенные интегралы:
Детальный расчет формы поверхности
Теперь мы получили вполне ясную зависимость для формы поверхности и с уверенностью можем сказать, что это параболоид. Но нам неизвестна постоянная величина . Давайте её определим для полного понимания физики процесса.
Так как объем жидкости не меняется (мы считаем, что не пролили ни капли, пока размешивали наш чай ツ), то запишем объемы до вращения и во время вращения с постоянной циклической частотой.
До вращения:
, где – это высота жидкости в цилиндрической поверхности в спокойном состоянии (вращения нет).
Во время вращения:
Данные объемы равны, поэтому:
Отсюда выражается ранее неизвестная постоянная:
И окончательное уравнение формы поверхности вращающейся жидкости имеет вид:
или преобразовав
Некоторые заметки
Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости. Это выражение мне показалось довольно интересным, так как с его помощью можно легко смоделировать примерное расположение жидкости внутри вращающегося вокруг своей оси симметрии цилиндрического сосуда. Для этого можно воспользоваться MathCAD’ом и построить несколько графиков.
Графическое представление результатов расчета
Возьмем вполне реальные параметры системы, соизмеримые с размерами чашки или стакана.
Радиус цилиндрической поверхности:
Высота жидкости в цилиндрической поверхности без вращения:
Ускорение свободного падения:
Циклическая частота вращения цилиндрической поверхности:
(Все значения этих величин заданы в системе Си)
Далее перепишем нашу функцию для её отображения в MathCAD.
Для 2D отображения сечения:
Для 3D отображения поверхности:
В качестве изменяющегося параметра будем менять циклическую частоту вращения . Результаты можно наблюдать на рисунках ниже:
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
Выводы
Видно, что если циклическая частота превысит значение , то мы увидим дно вращающегося цилиндрического сосуда, и, начиная с этой частоты, жидкость будет плавно «переходить» на стенки сосуда, всё сильнее оголяя дно. Очевидно, что при очень больших частотах вся жидкость растечется по стенкам сосуда. Теперь мы знаем все параметры такой жидкости. Зная её уравнение, не составит большого труда рассчитать толщину слоя жидкости на стенке сосуда на определенной высоте при определенной частоте.
upd. Отдельно хотелось бы подчеркнуть те противоречащие друг другу допущения, которые были приняты при рассмотрении задачи:
1. Считалось что, жидкость вращается благодаря вращению сосуда, который её содержит. Это может быть только при учете внутреннего трения, вязкости и поверхностного натяжения.
2. Но при выводе формы поверхности эти явления не учитываются для того, чтобы упростить решение и показать только качественный результаты моделирования. Т.е. решение немного противоречит описываемой изначально модели. Учет всех явлений, включая нелинейность процесса при высоких частотах, настолько бы усложнил задачу, что её вряд ли можно было бы решить аналитически и показать примерную и понятную модель для человека, который не связан с математикой/физикой.
3. Цель состоялась в том, чтобы показать лишь очень приближенное и самое простое решение, включающее в себя ряд допущений.
Источник
вращается вокруг вертикальной оси.
В данном случае рис.4.5 на жидкость, кроме веса действует также другая массовая сила – центробежная, поэтому Fx=Fy=j, Fz=
, гдеj – ускорение центробежной силы в точке О. Так как в данном случае осиxиyравноправны, то достаточно учесть только одно направление. Тогда из (4.1)
Если угловая скорость вращения равна, то j=2x а, следовательно
. Проинтегрируем это уравнение и найдёмz
(4.15)
На поверхность жидкости p=pa, поэтому
0+2×2/ 2g -Pa / g,(4.16)
что представляет собой параболу в плоскости xozа, следовательно, свободная поверхность жидкости есть параболоид вращения. Свободная поверхность жидкости является изобарой, так как
а .
4.2.4. Давление на стенки горизонтальной центрифуги.
В горизонтальной центрифуге рис.1.6 жидкость подвержена силам веса и инерции, однако, как правило, gо и весом пренебрегают. ТогдаFx=0, a Fy и Fz=j.
Дифференциальное уравнение гидростатики при этом запишется в виде: 
y
z
Так как приg=0 направленияyиz равноправны, то
2
Проинтегрируем последнее. Тогда 2
2(z2- z20) / 2 – 
(P – Pa) = 0.
Откуда
P = P0 + 2/2 (z2- z20). (4.17)
Из (4.17) следует, что давление на радиальные стенки изменяется по параболическому закону, а при 
остаётся постоянным.
Эпюры давления на стенки барабана центрифуги показаны на рис.4.6.
Лекция 5. Построение эпюр гидростатического давления.
Сила давления на стенки сосуда.
Эпюрами гидростатического давления называют графическое изображение законов изменения давления на стенки сосудов или сооружений, в которые заключена жидкость.
Построение эпюр гидростатического давления основано на уравнении гидростатики:
а также на положении, что давление нормально к площадке, на которую оно действует.
5.1. Эпюры гидростатического давления на вертикальную стенку.
Рис. 5.1.
Допустим, вертикальная стенка гидротехнического сооружения (рис.5.1.) затоплена жидкостью плотностью ρ на глубинуh. Очевидно, что в точке А избыточное гидростатическое давление равно нулю, так какh=0, а полное давление, следовательно, равно внешнему давлениюРа. В точкеВсогласно уравнению гидростатики избыточное давление равноρgh, а полное
. Уравнение гидростатики есть уравнение прямой линии. Поэтому для построения эпюр избыточного и полного давления достаточно определить давление в двух точках и соединить найденные точки прямой линией. Поэтому отложим по горизонтальной линии от точкиВзначениеρgh, найденную точкуСсоединим с точкойА. Полученный отрезок АС и представляет собой эпюру избыточного давления на стенку АВ.
Для получения эпюры полного давления отложим по горизонтали от точки Аотрезок равныйРа, то же от точкиС, полученные точкиА1иС1соединяем прямой линией А1С1, которая и будет эпюрой полного давления на вертикальную стенку. Для наглядности, вычерчивают (через произвольный интервал) стрелки, показывающие величину и направления действия давления на стенку.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник
В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.
1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус – замедлению ) (см. рисунок).
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции. Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле
p = p0 + ρ·(g·z ± a·x),
Для свободной поверхности жидкости, когда р=p0, уравнение принимает вид:
g·z = ± a·x
или
z/x = tg α = ± a/g,
где α – угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.
Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l) высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.
Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:
p = p0 + ρ·g·z = p0·γ
В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.
2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:
p = p0 + γ·((ω2·r2)/(2·g) – z)
Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p0, уравнение принимает вид:
z = (ω2·r2)/(2·g) = u2/(2·g),
где окружная скорость u = ω·r (r – радиус вращения точки).
Высота параболоида вращения:
h = ω2·r20/(2·g),
где r0 – радиус цилиндрического сосуда.
Сила давления жидкости на дно сосуда:
P = γ·π·r20·h0 = γ·π·r20·(h1 + h/2),
где h0 – начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.
Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h1 + h и основанием γ·(h1 + h).
3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω2 (см. рисунок а).
При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).
Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:
p = p0 + γ·ω2·(r2 – r20)/(2·g)
где p и p0 – соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r0.
Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r0 и давлением во всех ее точках р0.
Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в. Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.
Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.
Источник
Но мы имеем (п. 23) X” = О, так как согласно допущению внешняя поверхность жидкости свободна таким образом остается только уравнение [c.278]
Поверхность жидкости свободная 12 [c.353]
Не останавливаясь на детальном разъяснении этих формул, можно сказать, что за барьером, в стороне отрицательных х, поверхность жидкости освобождается от прогрессивных волн, и граница поверхности жидкости, свободной от этих волн, отступает с групповой скоростью, присущей волнам частоты а. За этой границей будет движение основной прогрессивной волны в направлении к отрицательной бесконечности. [c.338]
Внимательно рассмотрите стоячую ультразвуковую волну в трубке. Вы замечаете, что крахмал собирается в плотную область (как говорят, коагулирует) непосредственно у поверхности жидкости в трубке. Поскольку поверхность жидкости свободна, в ее плоскости образуется пучность смещений стоячей волны. Таким образом, опыт показывает, что крахмал коагулирует в пучностях смещений или узлах давлений стоячей ультразвуковой волны. [c.105]
В слое жидкости между двумя твёрдыми плоскостями, поддерживаемыми при постоянной температуре, конвекция должна возникать при ОР>1710. Если же верхняя поверхность жидкости свободна (но тоже поддерживается при постоянной температуре), то конвекция возникает при ОР > ПОО ). [c.264]
Назовем уровни свободной поверхности жидкости в приемном и напорном резервуаре приемным и напорным уровнями, разность Яр высот напорного н приемного уровней – геометрическим напором насосной установки. [c.187]
Сила определяется по формуле (П – 1), причем представляет расстояние по вертикали от свободной поверхности жидкости до центра тяжести смоченной части стенки площадью Р. Сила Р проходит через центр давления площади Р, положение которого определяется формулой (II-4). Сила Ро проходит через центр тяжести стенки площадью Ро. [c.37]
Если точка (Хо, i/o) расположена на свободной поверхности жидкости в сосуде, открытом в атмосферу, то – = (атмосферное давление). [c.75]
Уравнение поверхности уровня (в частности, свободной поверхности жидкости) во вращающихся вместе с сосудом цилиндрических координатах (г, г) имеет вид [c.79]
Положение свободной поверхности жидкости в сосуде (координата г вершины параболоида) при заданной его угловой скорости определяется объемом находящейся в нем жидкости. При этом используются следующие соотношения [c.79]
При горизонтальном движении сосуда с ускорением а свободная поверхность жидкости наклонится к горизонту под углом р, определяемым из условия, что свободная поверхность нормальна к вектору единичной массовой силы в данном случае можно непосредственно получить (рис. IV-10, б) [c.82]
Для определения выходного диаметра D, отвечающего максимальной пропускной способности насадка (максимальному расходу при данном напоре), удобнее всего воспользоваться уравнением Бернулли, записанным для свободной поверхности жидкости в резервуаре и для выходного сечения насадка [c.131]
Пренебрегая влиянием силы тяжести на распределение давления в ковше, определить, на каком диаметре следует разместить входное отверстие трубки, чтобы в подшипнике был обеспечен расход Q 0,15 л/с при частоте вращения вала турбины л = 120 об/мин, если ставится условие, чтобы свободная поверхность жидкости в ковше находилась на диаметре = 1 м. [c.209]
В случае замкнутого сосуда с избыточным давлением р над свободной поверхностью жидкости, в дифференциальном уравнении (XI-1) расход [c.306]
Задача XI-8. Определить время опорожнения целиком заполненного шарового сосуда радиусом Я = 0,8 м чере.з отверстие, диаметр которого 50 мм (коэффициент расхода р = 0,62). Давление на свободной поверхности жидкости считать атмосферным. [c.317]
Для установки, изображенной на рис. XIV-2, где давление на свободных поверхностях жидкости в резервуарах равно атмосферному, статический напор представляет собой разность уровней жидкости в резервуарах [c.409]
Механизм переноса теплоты и влаги при испарении влаги из влажного материала (сушка) существенно отличается от механизма переноса при испарении со свободной поверхности жидкости. [c.514]
Будем предполагать, что в данном сечении жидкой пленки температура жидкости меняется в тонком тепловом пограничном слое вблизи свободной поверхности жидкости, оставаясь постоянной, равной Т в глубине пленки. При этом происходит линейное изменение температуры вдоль пленки жидкости (т. е. вдоль оси х) [c.329]
Уравнение (9. 1. 44) для заданного вида функции /, определяющей состояние равновесия на свободной поверхности жидкости, решается численным путем. [c.338]
Задача 901. Однородный цилиндр плавает в жидкости так, что его образующие все время остаются параллельными свободной поверхности жидкости. Найти период малых вертикальных колебаний цилиндра, если при равновесии он погружается ровно наполовину. Радиус основания цилиндра R-, сопротивлением жидкости и воздуха пренебречь. [c.326]
Рассеяние света происходит также на свободной поверхности (на границе раздела жидкость-воздух) жидкости и на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. На возможность такого рассеяния указал Смолуховский еще в 1908 г. Однако это явление им не было обнаружено и теория явления не была разработана. Этот вопрос рассеяния света как экспериментально, так и теоретически был решен Л. И. Мандельштамом . Он пишет Ниже мне хотелось бы подробнее обсудить вопрос, относящийся к форме поверхности жидкостей. Поверхность жидкости, которая при идеальном равновесии должна быть, напрнмер, плоской, вследствие нерегулярного теплового движения непрерывно деформируется. Если заставить отражаться от такой поверхности световой луч, то наряду с регулярным отражением должно появиться н диффузионное. Достаточны уже очень малые – по сравнению с длиной волны – шероховатости, чтобы это рассеяние обладало заметной величиной . [c.321]
Известно, что свободная поверхность жидкости, покоящейся в некотором силовом поле, совпадает с одной из эквипотенциальных поверхностей этого поля. Поверхность жидкости, покоящейся под действием силы тяжести в инерциальной системе отсчета, представляет собой горизонтальную плоскость, а эквипотенциальная поверхность силового поля задается уравнением [c.277]
Поэтому свободная поверхность жидкости есть наклонная плоскость, перпендикулярная вектору Ф.О [c.277]
Свободная поверхность жидкости есть параболоид вращения вокруг вертикальной оси.О [c.277]
Пусть Ро – давление на свободной поверхности жидкости, т. е. внешнее давление (рис. 1), тогда уравнение Р = Ро + 7 1 обусловит закон Паскаля внешнее давление Ро передается без изменения во все точки жидкости. [c.64]
Свободная поверхность жидкости (если она имеется) является поверхностью уровня с наименьшим давлением. [c.68]
Свойство сокращения свободной поверхности жидкости во многих явлениях выглядит таким образом, будто жидкость покрыта тонкой растянутой упругой пленкой, стремящейся к сокращению. [c.83]
Условимся рассматривать в этом параграфе лишь трение твердых тел, причем поверхности тел свободны от смазки, иначе говоря, будем рассматривать лишь сухое трение. Трение между покрытыми смазкой поверхностями твердых тел происходит, по существу, между тонкими поверхностными слоями смазки, и поэтому трение между смазанными поверхностями следует рассматривать как трение слоев жидкости, а не как трение поверхностей твердых тел. Этим и объясняется ограничение задачи, введенное нами выше, [c.244]
Чтобы объяснить, каким образом можно в достаточно широких пределах понизить свободную поверхностную энергию у, рассмотрим явления, происходящие на поверхности жидкости. Свободная поверхностная энергия чистой воды при комнатной температуре составляет примерно 73 эрг/см . Нанесем на поверхность воды очень небольшое количество какого-либо типичного органического поверхностно-активного вещества, например, олеиновой кислоты (С17Н33СООН) или цетилового спирта (С16Н33ОН). Молекулы этих веществ дифильны они имеют по- [c.234]
При таком соглашении можно сказать, что левее прямой, проведенной через очаг возмухцения перпендикулярно к его пути, поверхность жидкости свободна от волн. Это следует из того, что при X [c.450]
Возьмем па произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от которой вертикалт.ио вверх будем отсчитывать координаты Z. Обозначив через z координату точки М, через z,, – координату свободной поверхности жидкости и заменив в урарнс ии [c.18]
Воздушный объем над свободной поверхностью жидкости сообщается с окружаюш,ей средой через сапун 4, снабн[c.410]
Задача III-28. Однородный брус постоянного сечения f, длиной L II плотностью Р] инжнпм концом шарнирно закреплен иа глубине Н Pi. [c.69]
Давление в жидкости изменяется по всем направлениям, кроме тех, которые нормальны к вектору единичной массовой силы поверхности уровня (поверхности равного давления) в каждой своей точке нормальны направлению вектора единичной массовой силы, действующей в этой точке. Дифференциальнбе уравнение поверхностей уровня (в частности, свободной поверхности жидкости и поверхности раздела несмешивающихся жидкостей) имеет вид [c.74]
Коэффициент теплоотдачи в процессе испяреипя жидкости со свободной поверхности по сравнению с коэффициентом теплоотдачи при теплообмене, не осложненном массообмепом ( сухой теплообмен ), имеет большее значение. Одной из основных причин интенсификации теплообмена при испарении по сравнению с сухим теплообменом является объемное испарение. Согласно теории объемного испа[)епия, при соприкосновении потока ra.sa с поверхностью жидкости происходят неравномерные процессы очаговой конденсации вдоль ее поверхности. В результате этого имеет место отрыв субмикроскопических частиц жидкости, которые испаряются в пограничном слое. Второй причиной увеличения по сравнениго са,,у является наличие очаговых процессов испарения и конденсации, в результате которых вследствие попеременного изменения объема вещества (пара) в Ю раз происходит нарушение структуры ламинарного пограничного слоя, что и приводит к интенсификации тепло- и массообмепа. Наибольший эфс ект это явление имеет при испарении в вакууме. [c.514]
Полагая, что молекулярные шероховатости млюго меньше длины волны падаюш,его света, Маг дельштам разработал теорию рассеяния света на свободной поверхности жидкости и на границе раздела двух жидкостей. Теория рассеяния света на границе раздела двух прозрачных сред в дальнейшем была развита Андроновым, Леонто-вичем и др. [c.322]
Пьезометрическая плоскость проходит горизонтально на уровне пьезометра, опущенного в жидкость, т. е. на урспне нулевого избыточного давления (ри = 0)- Она совпадает со свободной поверхностью жидкости, если давление на этой поверхности равно атмосферному. [c.66]
Гидравлика, водоснабжение и канализация Издание 3 (1980) — [ c.12 ]
Механика жидкости и газа Издание3 (1970) — [ c.101 , c.191 ]
Справочное руководство по физике (0) — [ c.94 ]
Источник