Тело погружено в сосуд
Видеоурок: закон Архимеда
Зако́н Архиме́да — один из законов статики жидкостей (гидростатики) и газов (аэростатики): на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая или подъёмная сила, равная весу объёма жидкости или газа, вытесненного частью тела, погружённой в жидкость или газ. Закон открыт Архимедом в III веке до н. э. Выталкивающая сила также называется архимедовой или гидростатической подъёмной силой[1][2].
Так как сила Архимеда обусловлена силой тяжести, то в невесомости она не действует.
В соответствии с законом Архимеда для выталкивающей силы выполняется[3]:
где:
Описание[править | править код]
Выталкивающая или подъёмная сила по направлению противоположна силе тяжести, прикладывается к центру тяжести объёма, вытесняемого телом из жидкости или газа.
Если тело плавает (см. плавание тел) или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая или подъёмная сила по модулю равна силе тяжести, действующей на вытесненный телом объём жидкости или газа.
Плавание тела. Сила Архимеда () уравновешивает вес тела ():
ρж g Vж = ρт g Vт
Например, воздушный шарик объёмом , наполненный гелием, летит вверх из-за того, что плотность гелия () меньше плотности воздуха ():
Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела, погруженного в жидкость или газ. В силу симметрии прямоугольного тела, силы давления, действующие на боковые грани тела, уравновешиваются. Давление () и сила давления (), действующие на верхнюю грань тела, равны:
где:
Давление () и сила давления (), действующие на нижнюю грань тела, равны:
где:
Сила давления жидкости или газа на тело определяется разностью сил и :
где:
Разница давлений:
В отсутствие гравитационного поля, то есть, в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции, поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляция жилых отсеков космических аппаратов необходимо производить принудительно вентиляторами.
Обобщения[править | править код]
Некий аналог закона Архимеда справедлив также в любом поле сил, которое по-разному действуют на тело и на жидкость (газ), либо в неоднородном поле. Например, это относится к полю сил инерции (например, к полю центробежной силы) — на этом основано центрифугирование. Пример для поля немеханической природы: диамагнетик в вакууме вытесняется из области магнитного поля большей интенсивности в область с меньшей.
Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы[править | править код]
Вывод через мысленный эксперимент[править | править код]
Если мысленно заменить погружённое в жидкость тело той же жидкостью, мысленно размещённая в том же объёме порция воды будет находиться в равновесии и действовать на окружающую воду с силой, равной силе тяжести, действующей на порцию воды. Т. к. перемешивания частиц воды не происходит, можно утверждать, что окружающая вода действует на выделенный объём с той же силой, но направленной в противоположном направлении, т. е. с силой, равной [4][5][6].
Строгий расчёт силы[править | править код]
Гидростатическое давление на глубине , оказываемое жидкостью плотностью на тело, есть . Пусть плотность жидкости () и напряжённость гравитационного поля () — постоянные величины, а — параметр. Возьмём тело произвольной формы, имеющее ненулевой объём. Введём правую ортонормированную систему координат , причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора . Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку . На неё будет действовать сила давления жидкости, направленная внутрь тела, . Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:
При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса.
Получаем, что модуль силы Архимеда равен , и направлена сила Архимеда в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.
Вывод через закон сохранения энергии[править | править код]
Закон Архимеда можно также вывести из закона сохранения энергии. Работа силы, действующей со стороны погружённого тела на жидкость, приводит к изменению её потенциальной энергии:
,
где масса вытесненной части жидкости, — перемещение её центра масс. Отсюда модуль вытесняющей силы:
По третьему закону Ньютона эта сила, равна по модулю и противоположна по направлению силе Архимеда, действующей со стороны жидкости на тело. Объём вытесненной жидкости равен объёму погруженной части тела, поэтому массу вытесненной жидкости можно записать как:
где объем погружённой части тела.
Таким образом для силы Архимеда имеем:
Условие плавания тел[править | править код]
Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести и силы Архимеда , которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:
Другая формулировка (где — плотность тела, — плотность среды, в которую тело погружено):
Примечания[править | править код]
Ссылки[править | править код]
- Архимедов закон // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Закон Архимеда // Энциклопедия «Кругосвет».
Источник
4. Статика и механические колебания
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Закон Архимеда
На погружённое в жидкость или газ тело действует выталкивающая сила, и равная весу среды, объём которой равен объёму тела.
Выталкивающая сила (сила Архимеда) равна
[F_A=rho_text{ж} g V_text{пчт}] где (displaystyle V_text{пчт}) — объём погружённой части тела, (displaystyle rho_text{ж}) — плотность жидкости.
Плавание тел
Рассмотрим тело плотности (rho) и жидкость плотности (rho_0). Допустим, тело полностью погрузили в жидкость и отпустили. Сразу после отпускания на тело действуют лишь сила тяжести (mg) и архимедова сила (F_A). Если объём тела равен V, то
[mg=rho g V,] [F_A=rho_0 g V]
Имеются три возможности дальнейшего движения тела.
Сила тяжести больше архимедовой силы: (displaystyle mg > F_A), или (displaystyle rho>rho_0). В этом случае тело тонет.
Сила тяжести равна архимедовой силе: (displaystyle mg = F_A), или (displaystyle rho=rho_0). В этом случае тело остаётся неподвижным в состоянии безразличного равновесия.
Сила тяжести меньше архимедовой силы: (displaystyle mg < F_A), или (displaystyle rho<rho_0). В этом случае тело всплывает, достигая поверхности жидкости.
Таким образом, условие плавания тела можно записать в виде неравенства (displaystyle rholeq rho_0).
Два жестко связанные друг с другом одинаковых бруска, имеющие толщину (h=5) см, плавают в воде так, что уровень воды приходится на границу между ними (см. рисунок). Насколько изменится глубина погружения, если на два бруска положить ещё пять таких же? (Ответ дайте в сантиметрах.)
Два одинаковых связанных бруска погрузились наполовину в воду (из условия). Пусть
(displaystylerho_1) – плотность материала, из которого изготовлены бруски, а (displaystyle V) – объем двух брусков. Тогда масса этих брусков будет равна [displaystyle m=rho_1V] Сила, с которой льдинки действуют на воду, равна силе тяжести [displaystyle F=mg=rho_1Vg] Сила, с которой бруски выталкиваются из воды, равна силе Архимеда [F_text{Арх}=rho gfrac{V}2,] где (displaystyle rho) – плотность воды, (displaystyle frac{V}2) – объем погруженного в воду тела (бруски погружены только
наполовину). Так как они плавают на поверхности воды, то эти силы уравновешивают друг друга, значит, имеем: [rho_1Vg=rho gfrac{V}2,] откуда (displaystyle rho_1=dfrac{rho}2,) то есть плотность материала, из которого сделаны бруски в 2 раза меньше плотности воды. Это говорит о том, что если взять семь брусков, то они также будут погружены наполовину, то есть на величину [frac72h=3,5cdot5text{ см}=17,5 text{ см}.] Глубина увеличится на (displaystyle 17,5 -5=12,5) см.
Ответ: 12,5
Подвешенный на нити алюминиевый кубик целиком погружен в воду и не касается дна сосуда. Плотность алюминия равна (displaystyle rho_text{ ал}=2700 text{ кг}/text{м}^3. ) Какова длина ребра куба, если выталкивающая сила равна (displaystyle F_text{Арх}=33,75text{ Н}?) (Ответ дайте в сантиметрах.)
Выталкивающая сила равна по определению [F_text{Арх}=rho_text{в} gV,] где (displaystyle rho_text{в}) – плотность жидкости, в которую погружен кубик, (displaystyle V) – объем погруженной части тела. Так как куб погружен целиком, то (displaystyle V=a^3), получим: [F_text{Арх}=rho_text{в} ga^3] Выразив из этой формулы сторону (displaystyle a), получаем [a=sqrt[3]{frac{F_text{Арх}}{rho_text{в}g }}] Подставив значения в формулу, получим: [a=sqrt[3]{frac{33,75text{ Н}}{10text{ м}/{c^2}cdot1000text{ кг}/text{м}^3}}=0,15text{ м}=15text{ cм }]
Ответ: 15
Однородный цилиндр, изготовленный из материала плотностью (displaystyle rho=600) кг/м(^3), с радиусом основания (displaystyle R=25) см и высотой (displaystyle H=20) см привязан нитью ко дну сосуда, наполненного водой. Найдите силу натяжения нити. (Ответ дайте в ньютонах.)
Сделаем рисунок с указанием сил, действующих в системе. Можем записать II закон Ньютона в векторной форме: [vec T+vec F_text{Арх}+mvec g=mvec a,] так как цилиндр покоится, то ускорение равно нулю, в проекции на ось, направленную вертикально вниз, 2 закон Ньютона можно записать следующим образом: [T- F_text{Арх}+mg=0, quad(1)] массу цилиндра можно рассчитать, исходя из формулы (displaystyle rho=frac {m}{V} Rightarrow m=rho V,) где V – объем цилиндра, который можно вычислить по формуле [V=pi R^2 H] Из формулы (1) выразим силу натяжения нити T:[T=F_text{Арх}-mg=rho_text{в}gV-rho gV=Vg(rho_text{в}-rho)=pi R^2 Hg(rho_text{в}-rho),] где (displaystyle rho_text{в}) – плотность воды, подставим в получившееся выражение численные значения:[T=3,14cdot0,25^2text{ м}cdot0,2text{ м}cdot 10text{ м}/text{с}^2 cdot (1000text{ кг}/text{м}^3-600text{ кг}/text{м}^3)=157text{ Н }]
Ответ: 157
Однородный кубический предмет с ребром (displaystyle a=18) см опускают в эфир. На сколько сантиметров длина части стороны, находящейся под жидкостью отличается от длины части над эфиром? Плотность вещества, из которого изготовлен куб равна (displaystyle rho_text{др}=340) кг/м(^3), плотность эфира (displaystyle rho_text{э}=720) кг/м(^3). (Ответ дайте в сантиметрах.)
Запишем условие равновесия кубика на поверхности эфира: [F_text{ Арх}=mg, quad(1)] где (F_text{ Арх}) – выталкивающая сила, действующая на брусок, (displaystyle m) – масса кубика, которую можно рассчитать, исходя из формулы (displaystyle rho_text{др}=frac {m}{V} Rightarrow m=rho_text{др} V,) где V – объем кубика, который можно вычислить по формуле [V=a^3.] Выталкивающая сила равна: [F_text{ Арх}=rho_text{э}gV_text{пчт},] где (displaystyle V_text{пчт}) – объем погруженной части кубика,[V_text{пчт}=xa^2,] где (displaystyle x) – длина части стороны, находящейся под эфиром, значит, выражение (1) можно записать в следующем виде: [rho_text{э}gxa^2=rho_text{др}a^3] [rho_text{э}x=rho_text{др}a, text{ выразим } x=frac{rho_text{др}a}{rho_text{э}}.] Пусть (displaystyle y) – длина части стороны, находящейся над эфиром, можем записать: [y=a-x,] искомая разница длин (displaystyle delta=y-x=a-2x=a-2cdot dfrac{rho_text{др}a}{rho_text{э}}=a(1-2cdot dfrac{rho_text{др}}{rho_text{э}})) подставим в получившееся выражение численные значения: [displaystyle delta=0,18text{ м}(1-2cdot dfrac{340text{ кг}/text{м}^3}{720text{ кг}/text{м}^3})=0,01text{ м}=1text{ см}]
Ответ: 1
В некий резервуар было налито 1000 литров жидкости плотностью (displaystyle rho_1=1500) кг/м(^3). В этой жидкости в равновесии плавает кубик, погруженный в воду на (displaystyle x=130) см. Длина стороны кубика равна (displaystyle a=200) см. В сосуд доливают ещё 1000 литров жидкости плотностью (displaystyle rho_2=1100) кг/м(^3) и перемешивают. Чему после этого будет равна длина погруженной части кубика при плавании в равновесии? Обе жидкости хорошо смешиваются, и при смешивании суммарный объём сохраняется. (Ответ дайте в метрах.)
В условии сказано, что жидкости хорошо перемешиваются. Из этого следует, что при смешивании получается новая жидкость, плотность которой является средним арифметическим изначальных, так как взятые объемы одинаковы. [rho_text{нов}=dfrac{rho_1+rho_2}{2}] Так как кубик плавает на поверхности, то можно записать: [mg=F_text{Арх},] сила тяжести, действующая на тело не изменяется, значит, выталкивающая сила тоже остается постоянной. Сначала сила Архимеда равна:[F_text{Арх1}=rho_1 g V_text{пчт1},] где (displaystyle V_text{пчт1}=a^2x) – объем погруженной части куба до смешивания. После смешения жидкостей в сосуде: [F_text{Арх2}=rho_text{нов} g V_text{пчт2}=dfrac{rho_1+rho_2}{2}g V_text{пчт2},]где (displaystyle V_text{пчт2}=a^2y) – объем погруженной части куба до смешивания, (displaystyle y) – длина погруженной части стороны куба после смешивания жидкостей. Можем приравнять получившиеся выражения, получим [rho_1 g a^2x=dfrac{rho_1+rho_2}{2} g a^2y] [rho_1x=dfrac{rho_1+rho_2}{2}y,] выразим отсюда y: [y=frac{2rho_1 x}{rho_1+rho_2},] подставим в получившееся выражение численные значения: [y=frac{2cdot1500text{ кг}/text{м}^3 cdot1,3text{ м}}{1500text{ кг}/text{м}^3+1100text{ кг}/text{м}^3}=1,5text{ м}]
Ответ: 1,5
Стеклянный шарик опускается в воде с ускорением (displaystyle a=6) м/с(^2). Найти плотность стекла. Плотность воды (displaystyle rho_text{в}=1000) кг/м(^3). Силами вязкого трения пренебречь. (Ответ дайте в кг/м(^3).)
При движении шарика в воде на него действует сила тяжести (displaystyle mvec g) и сила Архимеда (displaystyle F_text{Арх}). Сделаем рисунок с указанием сил, действующих в системе. Можем записать 2 закон Ньютона в векторной форме: [vec F_text{Арх}+mvec g=mvec a,] в проекции на ось, направленную вертикально вниз, 2 закон Ньютона можно записать следующим образом: [mg- F_text{Арх}=ma,] Отсюда с учетом выражения для силы Архимеда (displaystyle F_text{Арх}=rho_text{в} g V), где V – объем шарика, а
(displaystyle rho_text{в}) – плотность воды, получим: [mg- rho_text{в} g V=ma,] Выразим массу шарика:[m=frac{rho_text{в} g V}{g-a}.] Исходя из формулы, плотность стекла равна [displaystyle rho_text{ст}=frac {m}{V}=frac{rho_text{в} g V}{(g-a)V}=frac{rho_text{в} g }{g-a},] подставим в получившееся выражение численные значения: [rho_text{ст}=frac{1000 text{ кг}/text{м}^3cdot 10text{ м}/text{с}^2 }{10text{ м}/text{с}^2-6text{ м}/text{с}^2}=2500text{ кг}/text{м}^3]
Ответ: 2500
Однородный шарик, изготовленный из материала плотностью (displaystyle rho=2000) кг/м(^3) погружен в воду. Чему равен радиус шара, если выталкивающая сила равна
(displaystyle F_text{Арх}=100) Н? (Ответ дайте в сантиметрах и округлите до целых.)
Выталкивающая сила равна по определению [F_text{Арх}=rho_text{в} gV_text{пчт},] где (displaystyle rho_text{в}) – плотность воды, (displaystyle V_text{пчт}) – объем погруженной части тела. Так как шар полностью опущен в воду, то [V_text{пчт}=frac43pi R^3,] где (displaystyle R) – радиус шара, получим: [F_text{Арх}=rho_text{в} gfrac43pi R^3, (1)] выразим из формулы R: [R=sqrt[3]{frac{3F_text{Арх}}{4rho_text{в}gpi}}] Подставив значения в формулу, получим: [R=sqrt[3]{frac{3 cdot100text{ Н}} {4 cdot1000 text{ кг}/text{м}^3cdot10text{ м}/{c^2}cdot3,14}} approx0,13text{ м}=13text{ см }]
Ответ: 13
Источник
Çàêîí Àðõèìåäà — çàêîí ñòàòèêè æèäêîñòåé è ãàçîâ, ñîãëàñíî êîòîðîìó íà âñÿêîå òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü (èëè ãàç), äåéñòâóåò ñî ñòîðîíû ýòîé æèäêîñòè (èëè ãàçà) âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó âûòåñíåííîé òåëîì æèäêîñòè (ãàçà) è íàïðàâëåííàÿ ïî âåðòèêàëè ââåðõ.
Ýòîò çàêîí áûë îòêðûò äðåâíåãðå÷åñêèì ó÷åíûì Àðõèìåäîì â III â. äî í. ý. Ñâîè èññëåäîâàíèÿ Àðõèìåä îïèñàë â òðàêòàòå «Î ïëàâàþùèõ òåëàõ», êîòîðûé ñ÷èòàåòñÿ îäíèì èç ïîñëåäíèõ åãî íàó÷íûõ òðóäîâ.
Íèæå ïðèâåäåíû âûâîäû, ñëåäóþùèå èç çàêîíà Àðõèìåäà.
Äåéñòâèå æèäêîñòè è ãàçà íà ïîãðóæåííîå â íèõ òåëî .
Åñëè ïîãðóçèòü â âîäó ìÿ÷èê, íàïîëíåííûé âîçäóõîì, è îòïóñòèòü åãî, òî îí âñïëûâåò. Òî æå ñàìîå ïðîèçîéäåò ñî ùåïêîé, ñ ïðîáêîé è ìíîãèìè äðóãèìè òåëàìè. Êàêàÿ æå ñèëà çàñòàâëÿåò èõ âñïëûâàòü?
Íà òåëî, ïîãðóæåííîå â âîäó, ñî âñåõ ñòîðîí äåéñòâóþò ñèëû äàâëåíèÿ âîäû (ðèñ. à).  êàæäîé òî÷êå òåëà ýòè ñèëû íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ïîâåðõíîñòè. Åñëè áû âñå ýòè ñèëû áûëè îäèíàêîâû, òåëî èñïûòûâàëî áû ëèøü âñåñòîðîííåå ñæàòèå. Íî íà ðàçíûõ ãëóáèíàõ ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå ðàçëè÷íî: îíî âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû. Ïîýòîìó ñèëû äàâëåíèÿ, ïðèëîæåííûå ê íèæíèì ó÷àñòêàì òåëà, îêàçûâàþòñÿ áîëüøå ñèë äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèõ èà òåëî ñâåðõó.
Åñëè çàìåíèòü âñå ñèëû äàâëåíèÿ, ïðèëîæåííûå ê ïîãðóæåííîìó â âîäó òåëó, îäíîé (ðåçóëüòèðóþùåé èëè ðàâíîäåéñòâóþùåé) ñèëîé, îêàçûâàþùåé íà òåëî òî æå ñàìîå äåéñòâèå, ÷òî è âñå ýòè îòäåëüíûå ñèëû âìåñòå, òî ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà áóäåò íàïðàâëåíà ââåðõ. Ýòî è çàñòàâëÿåò òåëî âñïëûâàòü. Ýòà ñèëà íàçûâàåòñÿ âûòàëêèâàþùåé ñèëîé, èëè àðõèìåäîâîé ñèëîé (ïî èìåíè Àðõèìåäà, êîòîðûé âïåðâûå óêàçàë íà åå ñóùåñòâîâàíèå è óñòàíîâèë, îò ÷åãî îíà çàâèñèò). Íà ðèñóíêå á îíà îáîçíà÷åíà êàê FA.
Àðõèìåäîâà (âûòàëêèâàþùàÿ) ñèëà äåéñòâóåò íà òåëî íå òîëüêî â âîäå, íî è â ëþáîé äðóãîé æèäêîñòè, ò. ê. â ëþáîé æèäêîñòè ñóùåñòâóåò ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, ðàçíîå íà ðàçíûõ ãëóáèíàõ. Ýòà ñèëà äåéñòâóåò è â ãàçàõ, áëàãîäàðÿ ÷åìó ëåòàþò âîçäóøíûå øàðû è äèðèæàáëè.
Áëàãîäàðÿ âûòàëêèâàþùåé ñèëå âåñ ëþáîãî òåëà, íàõîäÿùåãîñÿ â âîäå (èëè â ëþáîé äðóãîé æèäêîñòè), îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå, ÷åì â âîçäóõå, à â âîçäóõå ìåíüøå, ÷åì â áåçâîçäóøíîì ïðîñòðàíñòâå.  ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, âçâåñèâ ãèðþ ñ ïîìîùüþ ó÷åáíîãî ïðóæèííîãî äèíàìîìåòðà ñíà÷àëà â âîçäóõå, à çàòåì îïóñòèâ åå â ñîñóä ñ âîäîé.
Óìåíüøåíèå âåñà ïðîèñõîäèò è ïðè ïåðåíîñå òåëà èç âàêóóìà â âîçäóõ (èëè êàêîé-ëèáî äðóãîé ãàç).
Åñëè âåñ òåëà â âàêóóìå (íàïðèìåð, â ñîñóäå, èç êîòîðîãî îòêà÷àí âîçäóõ) ðàâåí P0, òî åãî âåñ â âîçäóõå ðàâåí:
,
ãäå F´A — àðõèìåäîâà ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà äàííîå òåëî â âîçäóõå. Äëÿ áîëüøèíñòâà òåë ýòà ñèëà íè÷òîæíî ìàëà è åþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ò. å. ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Pâîçä.=P0=mg.
Âåñ òåëà â æèäêîñòè óìåíüøàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ñèëüíåå, ÷åì â âîçäóõå. Åñëè âåñ òåëà â âîçäóõå Pâîçä.=P0, òî âåñ òåëà â æèäêîñòè ðàâåí Pæèäê = Ð0 — FA. Çäåñü FA — àðõèìåäîâà ñèëà, äåéñòâóþùàÿ â æèäêîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Ïîýòîìó ÷òîáû íàéòè àðõèìåäîâó ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà òåëî â êàêîé-ëèáî æèäêîñòè, íóæíî ýòî òåëî âçâåñèòü â âîçäóõå è â æèäêîñòè. Ðàçíîñòü ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé è áóäåò àðõèìåäîâîé (âûòàëêèâàþùåé) ñèëîé.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (1.32), ìîæíî ñêàçàòü:
Âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü òåëî, ðàâíà âåñó æèäêîñòè, âûòåñíåííîé ýòèì òåëîì.
Îïðåäåëèòü àðõèìåäîâó ñèëó ìîæíî òàêæå òåîðåòè÷åñêè. Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü, ñîñòîèò èç òîé æå æèäêîñòè, â êîòîðóþ îíî ïîãðóæåíî. Ìû èìååì ïðàâî ýòî ïðåäïîëîæèòü, òàê êàê ñèëû äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü, íå çàâèñÿò îò âåùåñòâà, èç êîòîðîãî îíî ñäåëàíî. Òîãäà ïðèëîæåííàÿ ê òàêîìó òåëó àðõèìåäîâà ñèëà FA áóäåò óðàâíîâåøåíà äåéñòâóþùåé âíèç ñèëîé òÿæåñòè mæg (ãäå mæ — ìàññà æèäêîñòè â îáúåìå äàííîãî òåëà):
.
Íî ñèëà òÿæåñòè ðàâíà âåñó âûòåñíåííîé æèäêîñòè Ðæ. Òàêèì îáðàçîì.
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàññà æèäêîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åå ïëîòíîñòè ρæ íà îáúåì, ôîðìóëó (1.33) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
ãäå Væ — îáúåì âûòåñíåííîé æèäêîñòè. Ýòîò îáúåì ðàâåí îáúåìó òîé ÷àñòè òåëà, êîòîðàÿ ïîãðóæåíà â æèäêîñòü. Åñëè òåëî ïîãðóæåíî â æèäêîñòü öåëèêîì, òî îí ñîâïàäàåò ñ îáúåìîì V âñåãî òåëà; åñëè æå òåëî ïîãðóæåíî â æèäêîñòü ÷àñòè÷íî, òî îáúåì Væ âûòåñíåííîé æèäêîñòè ìåíüøå îáúåìà V òåëà (ðèñ. 1.39).
Ôîðìóëà (1.33) ñïðàâåäëèâà è äëÿ àðõèìåäîâîé ñèëû, äåéñòâóþùåé â ãàçå. Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå â íåå ñëåäóåò ïîäñòàâëÿòü ïëîòíîñòü ãàçà è îáúåì âûòåñíåííîãî ãàçà, à íå æèäêîñòè.
Ñ ó÷åòîì âûøåèçëîæåííîãî çàêîí Àðõèìåäà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
Íà âñÿêîå òåëî, ïîãðóæåííîå â ïîêîÿùóþñÿ æèäêîñòü (èëè ãàç), äåéñòâóåò ñî ñòîðîíû ýòîé æèäêîñòè (èëè ãàçà) âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ ïðîèçâåäåíèþ ïëîòíîñòè æèäêîñòè (èëè ãàçà), óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è îáúåìà òîé ÷àñòè òåëà, êîòîðàÿ ïîãðóæåíà â æèäêîñòü (èëè ãàç).
Источник