Теплоизолированный сосуд откачан до глубокого вакуума

2017-10-13
Теплоизолированный сосуд с внутренним объемом $V$ откачан до глубокого вакуума. Окружающий воздух имеет температуру $Т_{0}$ и давление $p_{0}$. В некоторый момент открывается кран и происходит быстрое заполнение сосуда атмосферным воздухом. Какую температуру $T$ будет иметь воздух в сосуде после его заполнения?

Решение:

Почему вообще при заполнении сосуда атмосферным воздухом должна измениться его температура? Чтобы разобраться в этом, нужно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при заполнении сосуда. При открывании крана какая-то порция воздуха «заталкивается» в сосуд атмосферным давлением. Это значит, что над вошедшим в сосуд воздухом силами атмосферного давления совершается некоторая работа. Благодаря этой работе врывающийся в сосуд воздух приобретает кинетическую энергию направленного макроскопического движения — воздух в сосуд входит струей. При встрече со стенками сосуда и с уже попавшим в сосуд воздухом струя меняет направление, ослабевает и в конце концов исчезает совсем. При этом кинетическая энергия упорядоченного движения воздуха в струе превращается во внутреннюю энергию, т. е. в энергию хаотического теплового движения его молекул.

Все это происходит настолько быстро, что теплообменом входящего в сосуд воздуха с воздухом в атмосфере можно пренебречь. Поэтому применительно к рассматриваемому процессу первый закон термодинамики имеет вид: работа $A$ сил атмосферного давления над вошедшим в сосуд воздухом равна изменению внутренней энергии этого воздуха $Delta U$:

$A = Delta U$. (1)

Теплоизолированный сосуд откачан до глубокого вакуума
Как же подсчитать эту работу? Проще всего для этого поступить следующим образом. Представим себе, что наш откачанный сосуд находится внутри большого цилиндра с подвижным поршнем (рис. 1). Давление и температура воздуха внутри большого цилиндра такие же, как и в атмосфере. Так как при заполнении откачанного сосуда воздухом давление и температура воздуха в окружающей сосуд атмосфере остаются неизменными, то процессу заполнения сосуда на рис. 1 соответствует перемещение поршня вправо при постоянном давлении $p_{0}$. При этом действующая слева на поршень сила совершает работу $p_{0}V_{0}$, где $V_{0}$ — уменьшение объема внутри цилиндра. Поскольку энергия не вошедшего в сосуд воздуха внутри цилиндра остается неизменной, то эта совершенная при перемещении поршня работа равна работе, совершаемой силами атмосферного давления при «заталкивании» воздуха в сосуд.

Обратите внимание на то, что приведенное здесь вычисление работы при перемещении воздуха отличается от вычисления, рассмотренного в задаче 4192. Объясняется это различие тем, что в предыдущей задаче нас интересовала работа, совершаемая над отдельной порцией движущегося газа, в то время как здесь мы находим суммарную работу внешних сил над всем вошедшим в сосуд воздухом.

Изменение внутренней энергии $Delta U$ того воздуха, который попал в сосуд, выражается только через изменение его температуры, если считать воздух идеальным газом:

$Delta U = nu C_{V}(T – T_{0})$, (2)

где $C_{V}$ — молярная теплоемкость воздуха. Количество пошедшего в сосуд воздуха $nu$ можно выразить с помощью уравнения состояния. Так как в откачанный сосуд вошло ровно столько воздуха, сколько вытеснил из цилиндра переместившийся поршень (рис. 1), то можно написать

$p_{0}V_{0} = nu RT_{0}$. (3)

Теперь выражение (2) для изменения внутренней энергии $Delta U$ переписывается в виде

$Delta U = frac{p_{0}V_{0}}{RT_{0}} C_{V}( T – T_{0})$. (4)

Приравнивая, в соответствии с первым законом термодинамики (I), изменение внутренней энергии (4) совершенной работе $A = p_{0}V_{0}$, находим

$C_{V} (T – T_{0}) = RT_{0}$,

откуда для конечной температуры воздуха в сосуде $T$ получаем

$T = T_{0}(1 + R/C_{V})$. (5)

Так как сумма $C_{V} + R$ равна молярной теплоемкости при постоянном давлении $C_{ mu}$, то выражение (5) можно переписать в виде

$T = T_{0} C_{p}/C_{V} = gamma T_{0}$. (6)

Температура заполнившего откачанный сосуд воздуха оказывается выше температуры воздуха в атмосфере. Отметим, что результат не зависит ни от объема сосуда, ни от давления воздуха в атмосфере. Температура воздуха в сосуде не зависит также и от того, будет ли заполнение сосуда происходить до конца, пока давление воздуха в нем не. сравняется с атмосферным, или же кран будет перекрыт раньше. Действительно, все приведенные в решении рассуждения справедливы и в том случае, когда конечное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного.

Увеличение температуры при заполнении сосуда, рассчитываемое по формуле (6), оказывается весьма значительным. Так как для воздуха $gamma approx 1,4$, то находящийся при комнатной температуре воздух должен нагреваться на сотни кельвинов. Однако наблюдать на опыте такое большое повышение температуры затруднительно. Дело в том, что в течение промежутка времени, необходимого для измерения температуры воздуха, будет устанавливаться термодинамическое равновесие не только между воздухом в сосуде и термометром, но и между воздухом и стенками сосуда. Но теплоемкость сосуда при решении задачи в расчет не принималась. Поэтому формула (6) справедлива только до тех пор, пока воздух в сосуде не успеет прийти в термодинамическое равновесие со стенками.

Источник

8 (495) 540-56-76

Часы работы:
с 06:00 до 22:00

«Ваш репетитор» рекомендует:

Юшин
Роман Николаевич
история, обществознание, правоведение
Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, исторический …

Постнова
Марина Викторовна
репетитор по русскому языку
Образование:
• МГУКИ (Московский государственный институт культуры), библиотечный …

Приходько
Александр Яковлевич
репетитор по математике, химии
Образование:
• МГУ им. М.В. Ломоносова, химический факультет, специальность …

Амосов
Борис Авенирович
математика, высшая математика, математический анализ
Образование:
• Окончил факультет прикладной …

Бененсон
Евгения Павловна
математика, информатика, программирование, начальная школа
Образование:
• Окончила факультет электроники …

Филюшина
Ольга Владимировна
репетитор по английскому языку
Образование:
• Московский государственный гуманитарный университет имени …

Рожкова
Наталья Ивановна
история, обществознание, литература, русский
Образование:
• Череповецкий государственный …

Смирнов
Александр Алексеевич
репетитор по химии, биологии
Образование:
• МГУ им. М.В. Ломоносова, специальность – биохимия, 2005 …

Задача по физике: адиабатный процесс

Подскажите, пожалуйста, в каких случаях процесс без притока тепла не адиабатный?

Решаю такую задачу:

Внутри откачанной до глубокого вакуума установки находится герметичный теплоизолированный цилиндрический сосуд, заполненный идеальным одноатомным газом. Сосуд закрыт сверху теплонепроницаемым поршнем. Газ занимает при этом объем V=150 см3. На поршень ставят гирю в 5 раз большей массы, чем масса поршня. Найти объем газа в новом положении равновесия. Ответ дать в см3.

Как записать закон сохранения энергии?

↓↓ ↑↑
Kate (0 / 1) 06 июн 2015 18:44 »»

Адиабатический процесс описывается уравнением Пуассона: P(V^gamma) = const,
где gamma — адиабатическая постоянная, равная для одноатомного газа 5/3.
В данной задаче были давление и объём: P, V.
Стали давление и объём: 6P, V’. Имеем:
P(V^(5/3)) = 6P(V’^(5/3);
(V’/V)^(5/3) = 1/6;
V’/V = (1/6)^(3/5);
V’ = V/(216^(1/5));
V’ = V/2.93;
V’ = 150/2.93 = 51.2 см^3.

1. По поводу сохранения энергии. Сам упомянутый выше закон pV^(5/3)=const получается именно из него, т.е. из уравнения
d(3/2*pV)+pdV=0, откуда 5pdV+3Vdp=0, и после интегрирования как раз он и получается.
2. С др. стороны, в данной задаче не сказано — как именно “опускается” та гиря: медленно, с исчезающей скоростью в конце? или же просто отпускают её и всё? В первом случае никакого сохранение энергии нет — там в игру вступает рука опускающего, совершающая отрицательную работу, и энергия системы из-за этого будет ниже. Во втором же — полная (тепловая и механическая) энергия действительно сохранится, но гиря будет совершать периодические колебания, проскакивая точку равновесия с максимальной скоростью (и кинет. энергией). Кстати, попытка определения нижней точки этого колебания приводит к алгебраическому уравнению, увы, четвёртого порядка.

Если речь идёт о том, чтобы предсказать, что случится в реальности,
то не будет ли достаточно правдоподобным следующее допущение:
между поршнем и сосудом имеется трение, достаточно большое,
чтобы сразу остановить поршень в положении равновесия,
но не настолько большое, чтобы следовало учитывать потери
энергии на трение?

Тут, думаю, вообще почти никаких ограничений на предположения нет; другое дело, что в учебной задаче они должны даваться студенту заранее. (В сторону: в егах по физике авторы иногда дают излишние данные, и это бы ладно, в рамках правил. Хуже то, что они иногда пропускают действительно необходимые детали. То есть люди попросту не всегда понимают, что они говорят).
Ваш, Юрий Анатольевич, вариант вполне осуществим, например, при наличии жидкого трения, когда сила сопротивления пропорциональна скорости. Тогда расстояние от точки равновесия убывает асимптотически по экспоненте.

Прошу прощения, Юрий Анатольевич, я недостаточно внимательно прочитал весь Ваш последний пост, и не заметил находящегося там вопроса. Вопрос был таков — можно ли каким-то образом остановиться в точке равновесия, и сохранить при этом энергию? На мой взгляд, в принципе это вполне возможно, другое дело — как этот процесс технически реализовать. Итак, пусть гиря с поршнем опускаются, сжимая газ. И пусть на поршень дополнительно воздействуют также и тормозящие силы, вследствие чего неизбежно будет выделяться тепло. Предположим, нам удалось поток этого тепла целиком направить на нагрев газа под поршнем, за счёт чего тот нагревался бы ещё больше, и дополнительно повышалось бы и его давление. В результате мы получили бы другое положение равновесия, на большей высоте!
Было бы любопытно попытаться это как-то обсчитать (ясно, что закон степени 5/3 тут уже перестаёт действовать).

Подсчитал. Получилось вот что:

Здесь

Чтобы ответить на конкретное сообщение, нужно нажать на ссылку «ответить» справа под самим сообщением.
Эта форма — для ответов на исходное сообщение темы (на всю тему в целом).

Источник

А так ли хорошо знаком вам вакуум? // Квант. — 2002. — № 1. — C.32-33.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала “Квант”

…или ни один предмет никуда не перемещается по природе, или,
если это происходит, нет пустоты.
Аристотель

Всю, самое по себе, составляют природу две вещи:
Это, во-первых, тело, во-вторых же, пустое пространство,
Где пребывают они и где двигаться могут различно.
Тит Лукрецкий Кар

Многие говорили, что пустоты не существует, другие — что она существует,
но Природа испытывает к ней отвращение, и что создание такой пустоты требует усилий.
Эванджелиста Торричелли

Если впоследствии возникнут какие-либо иные взгляды на состояние или
свойства (пустого) пространства, то их нужно будет увязать со свойствами того, что мы
называем пустым пространством сейчас в соответствии с данными опытами.
Майкл Фарадей

Несомненно, что межпланетное и межзвездное пространство не суть пространство пустые,
но заняты материальной субстанцией или телом, самым обширным и, надо
думать, самым однородным, какое только нам известно.
Джеймс Клерк Максвелл

Проблема точного описания вакуума, по моему мнению, является основной проблемой,
стоящей в настоящее время перед физиками. В самом деле, если вы не можете описать
вакуум, то как можно рассчитывать на правильное описание чего-то более сложного?
Поль Дирак

Наш традиционный вопрос в данном случае удивительным образом созвучен тому, что был задан Мефистофелем Фаусту в знаменитой трагедии Гете: «Достаточно ль знаком ты с пустотой?» В нем — отражение интереса к одному из самых фундаментальных научных понятий, интереса, как свидетельствуют эпиграфы, проявившегося еще на заре возникновения научного знания и по сию пору тревожащего умы крупнейших мыслителей и ученых.

Немало трудов, имевших заголовки типа «Новые опыты с пустотой…», посвящались попыткам получить и исследовать вакуум. Но помимо чисто технических устремлений добиться в земных условиях как можно более «пустого» пространства, т. е. отсутствия вещества, исследователей волновал вопрос— а что же собой представляет то, что «осталось»? И действительно, идеальная в житейском понимании пустота, как выяснилось, обладает целым рядом поразительных свойств, влияя буквально на все, что в нее «погружено».

Этот так называемый физический вакуум (по современным представлениям) сыграл определяющую роль в образовании Вселенной; он содержит неисчислимые запасы энергии. Вакуум словно вспыхивает на короткое время рождающимися полями, кипит появляющимися на ничтожные мгновения парами виртуальных элементарных частиц. Вместо пустого «ничего» мы, благодаря ученым, обрели сложнейшее и насыщенное «нечто», таящее в себе еще множество загадок.

Не слишком ли сложна эта тема для «Калейдоскопа»? Разумеется, нет, поскольку с вакуумом мы невольно сталкиваемся с первых же шагов в изучении физики. Вспомните, например, выражения «торричеллиева пустота», «в отсутствие сопротивления воздуха», «на планете, лишенной атмосферы», «хорошо откачанная лампа» и так далее. Полагаем, что после небольших усилий эти шаги станут более уверенными, и вскоре вы сможете ответить на каверзный вопрос, как Фауст ответил Мефистофелю: «Дух пустоты, надеюсь, схвачен мной».

Вопросы и задачи

Куда направлено ускорение снаряда после вылета из ствола орудия, если сопротивлением воздуха: а) можно пренебречь; б) нельзя пренебречь?
Полый запаянный стеклянный шар уравновешен на весах гирей и помещен под колокол воздушного насоса. Сохранится ли равновесие, если выкачать из-под колокола воздух?
Удастся ли опыт Торричелли, если барометрическую трубку со ртутью поставить открытым концом в чашку не со ртутью, а с водой?
При постановке опыта Торричелли в столбике ртути оказался пузырек воздуха. Будет ли изменяться объем этого пузырька при изменении атмосферного давления?
Трубку ртутного барометра подвесили к динамометру. Что покажет динамометр?
Будут ли действовать в безвоздушном пространстве поршневые жидкостные насосы?
Под колоколом воздушного насоса стоит банка с водой, а в ней имеется пузырек воздуха. Будет ли изменяться объем пузырька при откачивании воздуха? Температура постоянна.
Капилляр опущен в сосуд с жидкостью, давлением паров которой можно пренебречь. Сосуд с капилляром находится в вакууме под колоколом воздушного насоса. Что можно сказать о давлении внутри жидкости в капилляре на какой-либо высоте от уровня жидкости в сосуде?
При всяких ли условиях газ заполняет весь предоставленный ему объем?
Для чего между стенками термоса создают вакуум?
Каким путем передает Солнце тепло Земле и другим планетам?
Всегда ли будет остывать тело, помещенное в вакуум (например, в космосе)?
Теплоизолированный сосуд откачан до глубокого вакуума. В некоторый момент открывают кран, и сосуд заполняется окружающим его одноатомным идеальным газом. Будет ли изменяться температура газа в сосуде по мере его заполнения?
В стенке сосуда с разреженным газом сделано малое отверстие. Как будет изменяться температура газа в сосуде при вытекании газа в вакуум?
Космонавт, находясь на поверхности Луны, вскрыл ампулу, заполненную водой. Что произойдет с водой?
Может ли звук сильного взрыва на Луне быть слышен на Земле?
Как изменялось бы с течением времени напряжение зажигания газосветной трубки на Луне или на какой-нибудь планете, лишенной атмосферы?
Зачем в электронно-лучевых и рентгеновских трубках, а также в ускорителях элементарных частиц создают высокий вакуум?
В некоторую точку пространства приходят два когерентных луча с определенной геометрической разностью хода. Изменится ли результат интерференции лучей, если опыт перенести из вакуума в воду или стекло?
С чем связана способность электронов обгонять свет в некоторых веществах (эффект Вавилова-Черенкова)?

Микроопыт

Поднесите ладонь руки к электрической лампе накаливания, не прикасаясь к ней. При включении лампы на короткое время рука сразу же ощутит тепло. Однако, погасив лампу, вы обнаружите, что ее стеклянный баллон не успел нагреться. Как же тепло от раскаленной нити передалось руке?

Любопытно, что

…по умозаключениям Аристотеля, в пустоте все тела падали бы на землю с одинаковыми скоростями, но так как пустота невозможна, то скорость падения должна быть пропорциональна весу тела. На этот так называемый закон Аристотеля опирались вплоть до работ Галилея и Ньютона.

…экспериментируя с «пустотой», Герике использовал изобретенный им воздушный насос, с помощью которого поставил множество оригинальных опытов и доказал, к примеру, что в безвоздушном пространстве гибнут птицы и животные, что помещенный в откачанный сосуд колокольчик перестает звенеть, что воздух занимает весь предоставленный ему объем и так далее.

…достигаемый в лабораторных условиях вакуум — отнюдь не абсолютная пустота, а лишь сильно разреженный газ. Даже в межпланетном пространстве, по оценкам, на каждый кубический сантиметр приходится по нескольку атомов водорода.

…скорость света — максимальная скорость передачи взаимодействий в природе — определяется электрическими и магнитными свойствами вакуума и может быть рассчитана исходя из значений электрической и магнитной постоянных.

…впервые роль вакуума для Вселенной была обоснована формулами и расчетами Полем Дираком, предсказавшим рождение электрон-позитронных пар с помощью фотонов и объяснившим это явление как преобразование вакуума.

…к концу XX века удалось точнейшим образом подтвердить так называемый эффект казимира — возникновение слабой электромагнитной силы между зеркалами, расположенными в вакууме на крохотном расстоянии друг от друга. Причиной этого взаимодействия может быть лишь «бурление» вакуума.

Что читать в «Кванте» о вакууме

(публикации последних лет)

«Как устроена пустота?» — 1996, Приложение №2, с. 102;
«Расширение газа в пустоту» — 1996, Приложение №4, с. 50;
«113 лет ошибке Эдисона» — 1996, №5, с. 9;
«Звон колокольчика» — 1997, №4, с. 42;
«Эстафетный бег молекул, или Как работает термос» — 1997, №5, с. 31;
«Вакуум» — 1998, №5, с. 2;
«Внутренняя энергия идеального газа» — 2000, №1 с. 38;
«Почему вращается вертушка?» — 2000, №4, с. 42;
«Хочешь общаться — излучай» — 2000, №5, с. 37;
«Лебедевские крылышки» — 2001, №2, с. 11.

Ответы

Ускорение: а) направлено вертикально вниз; б) отклонено от вертикали в направлении, противоположном движению снаряда.
Выталкивающая сила, действующая в воздухе на шар, больше выталкивающей силы, приложенной к гире, поскольку объем шара больше объема гири. В вакууме выталкивающие силы исчезнут, и шар перетянет.
Нет. Жидкость в трубке находится в неустойчивом равновесии, по-этому во втором случае ртуть, скорее всего, вытечет из трубки, а в образовавшийся вакуум ворвется вода.
Если над ртутью воздух отсутствует, объем пузырька меняться не будет.
На верхний торец трубки сверху действует сила атмосферного давления, которая ничем не компенсируется, так как над ртутью в трубке вакуум. Поэтому показания динамометра являются суммой веса трубки и силы атмосферного давления.
Нагнетающие насосы будут, всасывающие — нет.
При откачивании воздуха внутреннее давление воздуха в пузырьке становится больше внешнего, поэтому пузырек раздувается.
На уровне жидкости в сосуде давление равно нулю. А давление в точке, находящейся выше уровня жидкости в сосуде, меньше давления на этом уровне, значит, давление отрицательное — жидкость растянута.
Нет. Например, в очень высокой вертикальной трубе (сравнимой с высотой атмосферы) воздух займет лишь нижнюю ее часть.
Для уменьшения теплопроводности.
Путем излучения, так как теплопроводность или конвекция в меж-планетных пространствах практически невозможны.
Нет. Изменение температуры тела будет зависеть от баланса между излученной и поглощенной энергией.
При втекании порции газа в сосуд окружающий газ совершает над ней работу, которая идет на повышение внутренней энергии газа в сосуде и приводит к росту его температуры. Однако через достаточно большой промежуток времени температура выравнивается.
Температура газа будет уменьшаться за счет перехода части внутренней энергии газа в кинетическую энергию струи.
Вода одновременно будет кипеть и замерзать.
Нет. Для передачи звуковых волн нет среды.
Из-за диффузии газа из трубки длина свободного пробега электронов увеличивалась бы, а напряжение зажигания уменьшалось.
Чтобы избежать рассеяния частиц на молекулах, входящих в состав воздуха.
Да. Поскольку изменится оптическая разность хода лучей, определяемая показателем преломления среды.
В веществе скорость света меньше, чем в вакууме.

Микроопыт

От нити лампы к руке тепло передается излучением, не требующим наличия какой-либо промежуточной среды.

Материал подготовил А.Леонович

Источник