Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа ¹ 3.

æ 1 1 ö 1x
158. а) lim ç – ÷; б) lim ( ln x ) .
x ® 0 è x sin x x 2 ø x ®¥
æ x 1ö
159. а) lim ç – ÷; б) lim (1 + x )ln x .
x ® 0 è arctg x x ø x ®0
æ1 1 ö
160. а) lim ç – ÷; б) lim (1 – 2 x )1 x .
x ®0 è x e x – 1 ø x ®0

161-170. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f ( x) на отрезке [a; b] .
161. f ( x ) = x – 2sin x , [ 0; p 2] . 162. f ( x ) = x + 2cos x , [ – p 4; p 3] .
2
163. f ( x ) = e- x + 2 x 2 , [ -1;1] . 164. f ( x) = 2 x 2 – x + 1 , [0;1] .
2 2
165. f ( x) = x – – 3ln x , [1;4] . 166. f ( x ) = xe-2 x , [0;1] .
x
167. f ( x) = 81x – x 4 , [ -1;4] . 168. f ( x ) = x3 – 3ln x , [1 2;2 ] .

169. f ( x ) = 4arctg x – 2 x + 1 , [0;1] . 170. f ( x ) = x 2 е- x , [ -1;2] .

171. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд
максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус
R и высота H), если на его изготовление имеется S = 84, 82 дм2 материвши
( S » 27p )?
172. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образую-
щей а = 3м. При какой глубине объём воронки будет наибольшим?
173. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак максималь-
ной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H),
если на его изготовление имеется S = 18,84 м2 материала ( S » 6p )?
174. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного па-
раллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры ре-
зервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материа-
ла, если он должен вмещать 256 л воды?
175. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым осно-
ванием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V = 25 м2
(V » 8p ). Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота
Н), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее
количество материала?
176. Из круглого бревна радиуса R = 2 3 требуется вырезать балку
прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки про-

41

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа ¹ 3.

порциональна b h 2. При каких значениях b и h прочность балки будет наи-
большей?
177. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак заданного
объема V = 50 м3 ( V » 16p ). Каковы должны быть размеры бака (радиус R и
высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество мате-
риала?
178. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехуголь-
ной пирамиды заданной боковой поверхности S = 4 3 м2. Каковы должны
быть размеры палатки (сторона основания а и высота Н), чтобы вместимость
палатки была наибольшей?
179. Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершен-
ного с одной стороны полушаром. Вместимость цистерны V = 41,89 M3
40
(V » p ). Найти радиус цилиндра R, при котором цистерна будет
3
иметь наименьшую полную поверхность.
180. Сечение оросительного канала имеет форму
равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны
меньшему основанию. При каком угле наклона боковых
сторон сечение канала будет иметь наибольшую площадь?

42

ПГУ Каф ВиПМ
Решение типового варианта контрольной работы ¹ 3.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ № 3.

Производная и её приложения

Пусть функция y = f ( x) определена в промежутке [a, b]. Исходя из
некоторого значения x = x0 независимой переменной придадим ему прира-
щение Dx, не выводящие его из промежутка [a, b], так что и новое значение
принадлежит промежутку [a, b]. Тогда значение y = f ( x) функции заменится
новым значением y + Dy = f ( x0 + Dx ), т.е. получим приращение
Dy = Df ( x0 ) = f ( x0 + Dx ) – f ( x0 ).
Предел отношения приращения функции Dy к вызвавшему его при-
ращению Dx независимой переменной при стремлении Dx ® 0, т.е.
Dy f ( x0 + Dx ) – f ( x0 )
lim = lim
Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx
называется производной функции y = f ( x) по независимой переменной x
при данном ее значении x = x0 .
Функция y = f ( x) , имеющая производную в каждой точке интервала
(a, b ) , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахож-
дения производной функции называется дифференцированием.
dy
Производная обозначается : , y ¢ или f ¢( x0 ) .
dx
Правила вычисления производных.

Установим несколько правил, которые могут помочь в вычислении
производных. Будем считать, что функции u = u ( x) , v = v ( x) и y = y ( x) диф-
ференцируемы.
1. Производная постоянной равна нулю, т.е. c¢ = 0 .
2. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) про-
изводных этих функций, т.е. ( u ± v) )¢ = u ¢ ± v¢ .
3. Производная произведения двух функций находится по правилу
(uv)¢ = u ¢ × v + u × v¢ .
Следствие. (cu )¢ = c × u ¢ , т.е. постоянный множитель можно вынести за
знак производной.

43

ПГУ Каф ВиПМ
Решение типового варианта контрольной работы ¹ 3.

4. Производная частного двух функций находится по правилу
æ u ö¢ u ¢v – v¢u æ c ö¢ cv¢
ç ÷ = , в частности, ç ÷ = – .
èvø 2 èvø 2
v v
5. Производная сложной ф ункции.
Пусть y ( x) = f ( u ( x ) ) . Тогда y ¢( x) = f ¢ ( u ) × u ¢( x ).
При применении этой формулы для решения конкретных примеров часто
бывает полезным использовать в качестве искусственного приема введение
промежуточных функций.
Проиллюстрируем это на следующем примере. Вычислим производную

( ).
3
функции y = sin 5 6 x 4 + x 2

( ) . Тогда y = u5.
3
Введем функцию u = sin 6 x 4 + x 2

w = ( 6 x 4 – x 2 ) . Тогда u = sin w.
3
Затем введем функцию

Наконец, введем функцию v = 6 x 4 + x 2 . Тогда w = v3 .
Воспользовавшись этими обозначениями процесс дифференцирования
можно представить следующим образом:
y ¢ = (u 5 )¢ = 5u 4 × u ¢, u ¢ = (sin w)¢ = (cos w) w¢, w¢ = (v3 )¢ = 3v 2 v ¢,
v¢ = 24 x3 + 2 x.
Отметим, что все производные берутся по x . Теперь начинаем процесс «со-
бирания» производной
4
æ
( 2 3ö
) ( )
3
4
y ¢ = 5 ç sin 6 x + x ÷ × u ¢ = 5sin 4 6 x 4 + x 2 (cos w) w¢ =
è ø

( ) ( ) × v2 × v¢ =
3 3
= 15sin 4 6 x 4 + x 2 cos 6 x 4 + x 2

= 15sin 4 ( 6 x 4 + x 2 ) cos ( 6 x 4 + x 2 ) ( 6 x 4 + x 2 ) ( 24 x3 + 2 x ) .
3 3 2

Отметим, что приведенная выше процедура может оказаться полезной на
первых порах, пока не выработался автоматизм при вычислении производ-
ных.
1
6. Производная обратной функции y ¢ =
x , если y = f ( x) и x = j( y ) .
x¢y

44

ПГУ Каф ВиПМ
Решение типового варианта контрольной работы ¹ 3.

Таблица производных

f ( x) f ¢( x ) f ( x) f ¢( x )
1
1. c 0 × u¢
12. tgu cos u2

1
2. x 1 – × u¢
13. ctgu 2
sin u
1
un nu n -1 × u¢ × u¢
3. 14. arcsinu 1- u 2

1 1
u × u¢ – × u¢
4. 2 u 15. arccos u 2
1- u
1 1 1
– × u¢ × u¢
5. u u2 16. arctgu 1 + u2
1
au au × ln a × u¢ arcctg u
–
2
× u¢
6. 17. 1+ u
7. еu eu × u¢ 18. sh u ch u × u ¢

1
8. log a u × u¢ 19. ch u sh u × u ¢
u ln a
1 1
× u¢ × u¢
9. ln u u 20. th u 2
ch u
10. sin u cosu × u ¢ 1
– × u¢
21. cthu 2
sh u
11. cosu – sinu × u ¢

Геометрический смысл производной: f ¢( x0 ) = tg a , где tg a равен угловому
коэффициенту касательной кривой y = f ( x) в точке x0 .

dy
121-130. Найти производные данных функций
dx
5x – 2
Пример1. y = .
2
x + 5x – 1
Решение. Применим правило дифференцирования частного, получим

45

ПГУ Каф ВиПМ
Решение типового варианта контрольной работы ¹ 3.

(5 x – 2)¢ x 2 + 5 x – 1 – (5 x – 2)( x 2 + 5 x – 1)¢
y¢ = =
2 2
( x + 5 x – 1)
1
5 x 2 + 5 x – 1 – (5 x – 2) (2 x + 5)
2
= 2 x + 5x – 1 =
2
x + 5x – 1
10( x 2 + 5 x – 1) – (5 x – 2)(2 x + 5) 29 x
= = .
2 32 2 32
2( x + 5 x – 1) 2( x + 5 x – 1)
5
æ 1 ö
Пример 2. y = ç 2tg 3 x – ÷ .
è cos3x ø
4
æ tg 3 x 1 ö æ tg 3 x 1 ö¢
Решение. y¢ = 5 ç 2 – ÷ ×ç2 – ÷ =
è cos3x ø è cos3 x ø
4
æ tg 3 x 1 ö æ tg 3 x 1 ö
= 5ç 2 – ÷ ×ç2 ln 2 × (tg 3 x)¢ + × (cos3 x)¢ ÷ =
è cos3 x ø è cos 2 3 x ø
4
æ tg 3 x 1 ö æ tg 3 x 3 3sin 3 x ö
= 5ç 2 – ÷ ×ç2 ln 2 × – ÷=
è cos3 x ø è cos 2 3 x cos 2 3 x ø
4
=
2
15
cos 3x
æ tg 3 x
ç2
è
–
1 ö
÷ × 2
cos3x ø
tg 3 x
(
ln 2 – sin 3 x . )
2
П р и м е р 3 . y = еarctg x -1 .
Решение.
¢ 1 ¢
y ¢ = еarctg x -1 × æ arctg x 2 – 1 ö = еarctg x -1 × × æ x2 – 1 ö =
2 2
ç ÷ ç ÷
è ø 1 + ( x 2 – 1) 2 è ø
2 1 1 2 1
= еarctg x -1 × × × 2 x = еarctg x -1 × .
2
1+ x -1 2 x -1 2 2
x x -1
5 – 4x
П р и м е р 4 . y = ln 4 .
x 2 + 8 x – 10
Решение.
Упростим функцию, воспользовавшись свойствами логарифма:
1 æ 5 – 4x ö 1 1 2
y = ln ç ÷ = ln(5 + 4 x ) – ln( x + 8 x – 10) , а затем продифферен-
2
4 è x + 8 x – 10 ø 4 4
цируем. Получим

46

ПГУ Каф ВиПМ
Решение типового варианта контрольной работы ¹ 3.

ö¢ 1 (5 + 4 x)¢ 1 ( x + 8 x – 10)¢
2
æ1 1
y ¢ = ç ln(5 + 4 x) – ln( x 2 + 8 x – 10) ÷ = × – × =
è4 4 ø 4 5 + 4x 4 x 2 + 8 x – 10
1æ 4 2 x + 8 ö 1 æ 4 x 2 + 32 x – 40 – 10 x – 8 x 2 – 40 – 32 x ö
= ç – ÷= ç ÷=
4 è 5 + 4 x x 2 + 8 x – 10 ø 4 çè (4 x + 5)( x 2 + 8 x – 10) ÷
ø
1 -4 x 2 – 10 x – 80 x 2 + 2,5 x + 20
= × =- .
4 (4 x + 5)( x 2 + 8 x – 10) 2
(4 x + 5)( x + 8 x – 10)

П р и м е р 5 . y = (arcsin x )2 x .
Р е ш е н и е . Прологарифмируем данную функцию
ln y = ln(arcsin x )2 x , ln y = 2 x × ln(arcsin x ) . Продифференцируем обе
части полученного выражения

(
(ln y )¢ = 2 x × ln(arcsin x ) ¢ Þ )
y¢ ln(arcsin x )
= (2 x )¢ × ln(arcsin x ) + 2 x × (ln(arcsin x ))¢ = +2 x×
y x
1 ln(arcsin x ) 1 1 1
× × (arcsin x )¢ = +2 x× × × =
(arcsin x ) x (arcsin x ) 1 – x 2 x
ln(arcsin x ) 1
= + .
x (arcsin x ) 1 – x

Отсюда следует, что
æ ln(arcsin x ) 1 ö
y¢ = y × ç + ÷=
è x (arcsin x ) 1 – x ø
æ ln(arcsin x ) 1 ö
= (arcsin x )2 x × ç + ÷.
è x (arcsin x ) 1 – x ø
dy d2y
131-160. Для данных функций найти и .
dx dx 2
П р и м е р 1 . y = x3 sin 3 x.
Р е ш е н и е.
dy
= y ¢ = ( x3 sin 3 x )¢ = ( x3 )¢ × sin 3 x + x3 × (sin 3 x)¢ = 3 x 2 sin 3 x + 3 x3 cos3 x;
dx
d2y
= y ¢¢ = (3 x 2 sin 3 x + 3 x3 cos3 x)¢ = 6 x sin3 x + 9 x 2 cos3 x + 9 x 2 cos3 x –
dx 2

47

ПГУ Каф ВиПМ
Решение типового варианта контрольной работы ¹ 3.

-9 x3 sin 3 x = 3 x ((2 – 3 x 2 )sin 3 x + 6 x cos3 x).

ì x = 2t – sin 2t ,
ï
Пример 2. í 3
ï y = 8sin t.
î
Р е ш е н и е.
dy y ¢(t ) (8sin 3 t )¢ 24sin 2 t cos t 24sin 2 t cos t 24sin 2 t cos t
= = = = = = 6cos t;
dx x¢(t ) (2t – sin 2t )¢ 2 – 2cos 2t 2(1 – cos 2t ) 2 × 2sin 2 t
æ dy ö¢
ç ÷
d 2 y è dx ø t (6cos t )¢ -6sin t 3
= = = =- .
dx 2 x¢(t ) (2t – sin 2t )¢ 4sin 2 t 2sin t

Формула Тейлора.

Рассмотрим функцию y = f ( x) . Формула Тейлора позволяет, при оп-
ределённых условиях , приближённо представить функцию f ( x) в виде мно-
гочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Если функция f ( x) определена в некоторой окрестности точки x0 и
имеет в ней производные до (n + 1) -го порядка включительно, то для любого
x из этой окрестности найдётся точка c Î ( x0 ; x) такая, что справедлива фор-
мула
f ¢( x0 ) f ¢¢( x0 ) 2 f ( n) ( x0 )
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x – x0 ) + ( x – x0 ) + … + ( x – x0 ) n +
1! 2! n!
f (n +1) (c)
+ ( x – x0 )n +1 , ( c = x0 + q( x – x0 ), 0 < q < 1).
(n + 1)!
Эта формула называется формулой Тейлора для функции f ( x) и её
можно записать в виде f ( x ) = Pn ( x) + Rn ( x ) , где
f ¢( x0 ) f ¢¢( x0 ) 2 f ( n) ( x0 )
Pn ( x) = f ( x0 ) + ( x – x0 ) + ( x – x0 ) + … + ( x – x0 )n на-
1! 2! n!
f (n +1) (c )
зывается многочленом Тейлора, а Rn ( x) = ( x – x0 ) n +1 называется
(n + 1)!
остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа.
Rn ( x) есть погрешность приближённого равенства f ( x) » Pn ( x) . Таким обра-
зом, формула Тейлора даёт возможность заменить функцию y = f ( x) много-

48

ПГУ Каф ВиПМ
Решение типового варианта контрольной работы ¹ 3.

членом y = Pn ( x ) с соответствующей степенью точности, равной значению
остаточного члена Rn ( x) .
При x0 = 0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу
Маклорена:
f ¢(0) f ¢¢(0) 2 f ( n) (0) n f (n +1) (c ) n +1
f ( x ) = f (0) + x+ x + … + x + x ,
1! 2! n! ( n + 1)!
где c находится между 0 и x ( c = qx, 0 < q < 1) .
Приведём разложения по формуле Маклорена некоторых элементар-
ных функций:
x x 2 x3 x n еqx x n +1
еx = 1 + + + + … + + ,
1! 2! 3! n! ( n + 1)!
2n +1 2n + 3
x3 x 5 n x n +1 x
sin x = x – + – … + ( -1) + ( -1) × cos qx ,
3! 5! (2n + 1)! (2n + 3)!
2n + 2
x2 x 4 n x
2n
n +1 x
cos x = 1 – + – … + (-1) + (-1) × cos qx ,
2! 4! (2n)! (2n + 2)!
x 2 x3 x 4 n -1 x
n
n x n +1
ln(1 + x) = x – + – + … + (-1) + (-1) ,
2 3 4 n (n + 1)(1 + qx)
m(m – 1) 2 m(m – 1)(m – 2)…( m – n + 1) n
(1 + x )m = 1 + mx + x + … + x +
2! n!
m(m – 1)…(m – n)(1 + qx) m – n -1 n +1
+ x .
(n + 1)!

141-150. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Ла-
гранжа к функции f ( x ) = e x , вычислить значение e0,12 с точностью 0,001.

Р е ш е н и е. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Ла-
гранжа для функции f ( x ) = е x имеет вид

x x 2 x3 xn x n +1 q x
е =1+ x + + + … + + Rn , где Rn = е , 0 < q < 1.
2! 3! n! (n + 1)!

a 2 a3 an n
a
Отсюда е » 1 + a + + + … + = å uk .
2! 3! n! k = 0
Значение a = 0,12 принадлежат отрезку [0; 0,5] , следовательно,

49

ПГУ Каф ВиПМ
Решение типового варианта контрольной работы ¹ 3.

qx 0,5 a n +1 q x 2a n +1
0 < qx < 0,5 и е <е < 2 ; Rn = е < .
(n + 1)! ( n + 1)!
При заданной погрешности e = 0,001 точность будет заведомо выполнять-
2a n +1 -1 a n +1
ся, если мы положим < 10 e , откуда < 0,5 × 10-1 e .
(n + 1)! (n + 1)!
a n +1
Полагая e = 0,001, получим условие < 0,5 × 10 -4 и при a = 0,12 име-
(n + 1)!
ем:
0,12 (0,12)2 0,0144
u0 = 1 , u1 = = 0,12 , u2 = = = 0,0072
1! 2! 2
(0,12)3 0,001728
u3 = = = 0,000288 ,
3! 6
(0,12)4 0,00021
u4 = = » 0,0000086 < 0,5 × 10-4 .
4! 24
Складывая вычисленные значения, получим
е0,12 » 1 + 0,12 + 0,0072 + 0,000288 + 0,0000086 » 1,1275 .
Заданная точность достигнута при n = 4 .

Правило Лопиталя

Пусть функции f ( x) и g ( x ) непрерывны и дифференцируемы в окре-
стности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 . Пусть
g ¢( x) ¹ 0 в окрестности точки x0 .
f ¢( x ) f ( x) f ¢( x )
Если существует lim = l , то lim = lim =l.
x ® x0 g ¢( x) x ® x0 g ( x) x ® x0 g ¢( x)
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей ви-
0 ¥
да и , которые называются основными. Неопределённости вида
0 ¥
0 × ¥, ¥ – ¥, 1¥ , ¥0 , 00 сводятся к двум основным видам путём тождест-
венных преобразований.

151-160. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.
Р е ш е н и е.

50