Указать температуру газа в сосуде
5.4. Практическое применение уравнения состояния идеального газа
5.4.1. Уравнение состояния для идеального газа в открытом сосуде
При рассмотрении идеального газа, находящегося в открытом сосуде, необходимо учитывать, что вследствие изменения термодинамических параметров часть газа выходит из сосуда. При этом уравнение состояния записывается только для той части газа, которая остается в сосуде.
Для идеального газа, находящегося в открытом сосуде, необходимо учитывать следующее:
- масса газа изменяется в результате изменения его термодинамических параметров:
m ≠ const;
- рассматривается газ, оставшийся в сосуде определенного объема, т.е. объем газа фиксирован:
V = const;
- давление газа может изменяться или оставаться постоянным (в зависимости от условия задачи), причем на изменение давления в условии задачи обычно бывает четкое указание.
Если давление идеального газа в открытом сосуде по условию задачи изменяется (p ≠ const), то уравнение Менделеева — Клапейрона записывается для двух состояний газа в виде системы (рис. 5.7):
Рис. 5.7
p1V=m1MRT1,p2V=m2MRT2,}
где p
1, m
1, T
1 — давление, масса и температура газа в начальном состоянии; p
2, m
2, T
2 — указанные параметры газа в конечном состоянии; V — объем сосуда; M — молярная масса газа; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К).
Если давление идеального газа в открытом сосуде по условию задачи остается постоянным (p = const), то изменения некоторых характеристик газа в открытом сосуде можно вычислить по следующим формулам:
- изменение массы
Δm=m1−m2=m1(1−T1T2),
где m
1 — первоначальная масса газа; m
2 — масса газа в конце процесса; T
1 — термодинамическая (абсолютная) температура газа в начале процесса; T
2 — термодинамическая (абсолютная) температура газа в конце процесса;
- изменение плотности
Δρ=ρ1−ρ2=ρ1(1−T1T2),
где ρ1 — первоначальная плотность газа; ρ2 — плотность газа в конце процесса;
- изменение количества вещества
Δν=ν1−ν2=ν1(1−T1T2),
где ν1 — первоначальное количество вещества (газа) в сосуде; ν2 — количество вещества (газа) в сосуде в конце процесса.
Пример 11. В открытом сосуде объемом 450 дм3 содержится некоторое количество идеального газа. Температуру газа увеличивают от 27 до 177 °С. Давление газа остается постоянным и равным 166 кПа. Сколько моль газа выйдет из сосуда?
Решение. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в открытом сосуде, при нагревании:
- для начального состояния
pV = ν1RT
1;
- для конечного состояния
pV = ν2RT
2;
где p — давление газа, p = const; V — объем газа (сосуда), V = const; ν1, ν2 — количество вещества (газа) в начале и в конце процесса; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T
1, T
2 — температура газа в начале и в конце процесса.
Первое уравнение позволяет получить формулу для расчета количества вещества (газа) в начале процесса:
ν1=pVRT1.
Подстановка полученной формулы в уравнение
Δν=ν1(1−T1T2)
дает искомую разность
Δν=pVRT1(1−T1T2)=pV(T2−T1)RT1T2.
Для вычисления искомой величины необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в кельвины:
T
1 = t
1 + 273 = 27 + 273 = 300 К,
T
2 = t
2 + 273 = 177 + 273 = 450 К.
Произведем вычисление:
Δν=166⋅103⋅450⋅10−3(450−300)8,31⋅450⋅300=10 моль.
При нагревании из сосуда вышло 10 моль газа.
Пример 12. В баллоне при температуре 15 °С находится идеальный газ. Из баллона выходит 40 % газа, а температура при этом понижается на 8,0 °С. Во сколько раз уменьшится давление газа в баллоне?
Решение. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в открытом сосуде:
- для начального состояния
p
1V = ν1RT
1;
- для конечного состояния
p
2V = ν2RT
2;
где p
1 — давление газа в начальном состоянии; p
2 — давление газа в конечном состоянии; V — объем газа (сосуда), V = const; ν1, ν2 — количество вещества (газа) в начале и в конце процесса соответственно; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T
1, T
2 — температура газа в начале и в конце процесса соответственно.
Искомой величиной является отношение давлений p
1/p
2, которое определим из отношения уравнений:
p1Vp2V=ν1RT1ν2RT2, т.е. p1p2=ν1T1ν2T2.
В результате процесса из баллона выходит 40 % газа, поэтому количество вещества (газа) ν2, оставшегося в баллоне, составляет 60 % от количества вещества (газа) ν1, которое было в начале процесса:
ν2 = 0,6ν1.
Для вычисления искомой величины необходимо сделать перевод температуры, заданной в градусах Цельсия, в кельвины:
T
1 = t
1 + 273 = 15 + 273 = 288 К,
T
2 = t
2 + 273 = (t
1 − Δt) + 273 = (15 − 8,0) + 273 = 280 К.
Подстановка температур и количества вещества (газа), оставшегося в баллоне, в выражение для искомой величины дает
p1p2=ν1T10,6ν1T2=T10,6T2=2880,6⋅280=1,7.
Давление газа в баллоне понизится в 1,7 раза.
Источник
В сосуде содержится гелий под давлением кПа. Концентрацию гелия увеличили в раза, а среднюю кинетическую энергию его молекул уменьшили в раза.
Определите установившееся давление газа.
Ответ дайте в кПа.
Это задание решали 166 раз. С ним справились 34% пользователей.
Газ, который можно считать идеальным, перешел из состояния в состояние
Определите отношение давлений газа в начальном и конечном состояниях
Масса газа постоянна.
Это задание решали 50 раз. С ним справились 28% пользователей.
На рисунке изображен процесс перехода идеального газа постоянной массы из состояния в состояние
Найдите, во сколько раз изменилась абсолютная температура газа в состоянии по сравнению с абсолютной температурой в состоянии
Это задание решали 88 раз. С ним справились 72% пользователей.
Это задание решали 42 раза. С ним справились 57% пользователей.
На рисунке изображена зависимость давления от абсолютной температуры для
постоянной массы идеального газа.
Объем газа в состоянии равен л.
Определите объем газа (в л) в состоянии
Это задание решали 57 раз. С ним справились 70% пользователей.
Это задание решали 59 раз. С ним справились 44% пользователей.
моль идеального газа изохорно нагревают на К, при этом его давление
увеличивается в раза.
Какова первоначальная абсолютная температура газа?
Это задание решали 49 раз. С ним справились 39% пользователей.
Во сколько раз увеличится значение квадрата среднеквадратичной скорости
движения молекул, если для данной массы газа его внутренняя энергия
увеличится в раза?
Это задание решали 51 раз. С ним справились 67% пользователей.
Давление идеального газа в герметичном сосуде объемом л равно кПа.
Каким будет давление (в кПа) этого газа, если объем сосуда изотермически
увеличить в раза?
Это задание решали 60 раз. С ним справились 58% пользователей.
Давление газа на стенки герметичного баллона равно кПа.
Чему будет равно давление этого газа (в кПа) при увеличении квадрата средней скорости движения молекул газа в раза?
Это задание решали 42 раза. С ним справились 76% пользователей.
В ходе эксперимента давление разреженного газа в сосуде увеличилось в раза, а средняя энергия теплового движения его молекул уменьшилась в раза.
Во сколько раз увеличилась концентрация молекул газа в сосуде?
Это задание решали 117 раз. С ним справились 22% пользователей.
В сосуде находится идеальный газ при температуре C. Концентрация молекул этого газа равна м
Определите давление (в кПа), создаваемое
газом на стенки сосуда.
Постоянная Больцмана равна Дж/К.
Это задание решали 74 раза. С ним справились 54% пользователей.
В ходе эксперимента давление разреженного газа в сосуде уменьшилось в
раза.
Во сколько раз уменьшилось среднее значения квадрата скорости
движения молекул этого газа, если его концентрация осталась неизменной?
Это задание решали 22 раза. С ним справились 41% пользователей.
Идеальный газ находится в закрытом сосуде.
Во сколько раз уменьшится давление в этом сосуде, если его наполнить другим идеальным газом, молярная масса которого в два раза больше?
Абсолютная температура и плотность газа в
сосуде не изменились.
Это задание решали 63 раза. С ним справились 76% пользователей.
При проведении опыта в сосуд постоянного объема закачали воздух и одновременно сосуд с воздухом нагрели. В конечном равновесном состоянии воздуха в сосуде абсолютная температура повысилась в раза, а его давление возросло в раза по сравнению с начальными значениями.
Во сколько раз увеличилась масса воздуха в сосуде?
Это задание решали 78 раз. С ним справились 53% пользователей.
Источник
Давление является одним из трех основных термодинамических макроскопических параметров любой газовой системы. В данной статье рассмотрим формулы давления газа в приближении идеального газа и в рамках молекулярно-кинетической теории.
Идеальные газы
Каждый школьник знает, что газ является одним из четырех (включая плазму) агрегатных состояний материи, в котором частицы не имеют определенных положений и движутся хаотичным образом во всех направлениях с одинаковой вероятностью. Исходя из такого строения, газы не сохраняют ни объем, ни форму при малейшем внешнем силовом воздействии на них.
В любом газе средняя кинетическая энергия его частиц (атомов, молекул) больше, чем энергия межмолекулярного взаимодействия между ними. Кроме того, расстояния между частицами намного превышают их собственные размеры. Если молекулярными взаимодействиями и размерами частиц можно пренебречь, тогда такой газ называется идеальным.
В идеальном газе существует лишь единственный вид взаимодействия – упругие столкновения. Поскольку размер частиц пренебрежимо мал в сравнении с расстояниями между ними, то вероятность столкновений частица-частица будет низкой. Поэтому в идеальной газовой системе существуют только столкновения частиц со стенками сосуда.
Все реальные газы с хорошей точностью можно считать идеальными, если температура в них выше комнатной, и давление не сильно превышает атмосферное.
Причина возникновения давления в газах
Прежде чем записать формулы расчета давления газа, необходимо разобраться, почему оно возникает в изучаемой системе.
Согласно физическому определению, давление – это величина, равная отношению силы, которая перпендикулярно воздействует на некоторую площадку, к площади этой площадки, то есть:
P = F/S
Выше мы отмечали, что существует только один единственный тип взаимодействия в идеальной газовой системе – это абсолютно упругие столкновения. В результате них частицы передают количество движения Δp стенкам сосуда в течение времени соударения Δt. Для этого случая применим второй закон Ньютона:
F*Δt = Δp
Именно сила F приводит к появлению давления на стенки сосуда. Сама величина F от столкновения одной частицы является незначительной, однако количество частиц огромно (≈ 1023), поэтому они в совокупности создают существенный эффект, который проявляется в виде наличия давления в сосуде.
Формула давления газа идеального из молекулярно-кинетической теории
При объяснении концепции идеального газа выше были озвучены основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Эта теория основывается на статистической механике. Развита она была во второй половине XIX века такими учеными, как Джеймс Максвелл и Людвиг Больцман, хотя ее основы заложил еще Бернулли в первой половине XVIII века.
Согласно статистике Максвелла-Больцмана, все частицы системы движутся с различными скоростями. При этом существует малая доля частиц, скорость которых практически равна нулю, и такая же доля частиц, имеющих огромные скорости. Если вычислить среднюю квадратичную скорость, то она примет некоторую величину, которая в течение времени остается постоянной. Средняя квадратичная скорость частиц однозначно определяет температуру газа.
Применяя приближения МКТ (невзаимодействующие безразмерные и хаотично перемещающиеся частицы), можно получить следующую формулу давления газа в сосуде:
P = N*m*v2/(3*V)
Здесь N – количество частиц в системе, V – объем, v – средняя квадратичная скорость, m – масса одной частицы. Если все указанные величины определены, то, подставив их в единицах СИ в данное равенство, можно рассчитать давление газа в сосуде.
Формула давления из уравнения состояния
В середине 30-х годов XIX века французский инженер Эмиль Клапейрон, обобщая накопленный до него экспериментальный опыт по изучению поведения газов во время разных изопроцессов, получил уравнение, которое в настоящее время называется универсальным уравнением состояния идеального газа. Соответствующая формула имеет вид:
P*V = n*R*T
Здесь n – количество вещества в молях, T – температура по абсолютной шкале (в кельвинах). Величина R называется универсальной газовой постоянной, которая была введена в это уравнение русским химиком Д. И. Менделеевым, поэтому записанное выражение также называют законом Клапейрона-Менделеева.
Из уравнения выше легко получить формулу давления газа:
P = n*R*T/V
Равенство говорит о том, что давление линейно возрастает с температурой при постоянном объеме и увеличивается по гиперболе с уменьшением объема при постоянной температуре. Эти зависимости отражены в законах Гей-Люссака и Бойля-Мариотта.
Если сравнить это выражение с записанной выше формулой, которая следует из положений МКТ, то можно установить связь между кинетической энергией одной частицы или всей системы и абсолютной температурой.
Давление в газовой смеси
Отвечая на вопрос о том, как найти давление газа и формулы, мы ничего не говорили о том, является ли газ чистым, или речь идет о газовой смеси. В случае формулы для P, которая следует из уравнения Клапейрона, нет никакой связи с химическим составом газа, в случае же выражения для P из МКТ эта связь присутствует (параметр m). Поэтому при использовании последней формулы для смеси газов становится непонятным, какую массу частиц выбирать.
Когда необходимо рассчитать давление смеси идеальных газов, следует поступать одним из двух способов:
- Рассчитывать среднюю массу частиц m или, что предпочтительнее, среднее значение молярной массы M, исходя из атомных процентов каждого газа в смеси;
- Воспользоваться законом Дальтона. Он гласит, что давление в системе равно сумме парциальных давлений всех ее компонентов.
Пример задачи
Известно, что средняя скорость молекул кислорода составляет 500 м/с. Необходимо определить давление в сосуде объемом 10 литров, в котором находится 2 моль молекул.
Ответ на задачу можно получить, если воспользоваться формулой для P из МКТ:
P = N*m*v2/(3*V)
Здесь содержатся два неудобных для выполнения расчетов параметра – это m и N. Преобразуем формулу следующим образом:
m = M/NA;
n = N/NA;
m*N = M*n;
P = M*n*v2/(3*V)
Объем сосуда в кубических метрах равен 0,01 м3. Молярная масса молекулы кислорода M равна 0,032 кг/моль. Подставляя в формулу эти значения, а также величины скорости v и количества вещества n из условия задачи, приходим к ответу: P = 533333 Па, что соответствует давлению в 5,3 атмосферы.
Источник
Задача 28.
При 17°С некоторое количество газа занимает объем 580 мл. Какой объем займет это же количество газа при 100°С, если давление его останется неизменным?
Решение:
По закону Гей – Люссака при постоянном давлении объём газа изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре (Т):
V2 – искомый объём газа;
T2 – соответствующая V2 температура;
V1 – начальный объём газа при соответствующей температуре Т1.
По условию задачи V1 = 580мл; Т1 = 290К (273 + 17 = 290) и Т2 = 373К (273 + 100 = 373). Подставляя эти значения в выражение закона Гей – Люссака, получим:
Ответ: V2 = 746мл.
Задача 29.
Давление газа, занимающего объем 2,5л, равно 121,6 кПа (912мм рт. ст.). Чему будет равно давление, если, не изменяя температуры, сжать газ до объема в 1л?
Решение:
Согласно закону Бойля – Мариотта, при постоянной температуре давление, производимое данной массой газа, обратно пропорционально объёму газа:
Обозначив искомое давление газа через Р2, можно записать:
Ответ: Р2 = 304кПа (2280мм.рт.ст.).
Задача 30. На сколько градусов надо нагреть газ, находящийся в закрытом сосуде при 0 °С, чтобы давление его увеличилось вдвое?
Решение:
При постоянном объёме давление газа изменяется прямо пропорционально температуре:
По условию задачи Т1 = 0 °С + 273 = 273К; давление возросло в два раза: Р2 = 2Р1.
Подставляя эти значения в уравнение, находим:
Ответ: Газ нужно нагреть на 2730С.
Задача 31.
При 27°С и давлении 720 мм.рт. ст. объем газа равен 5л. Кой объем займет это же количество газа при 39°С и давлении 104кПа?
Решение:
Зависимость между объёмом газа, давлением и температурой выражается общим уравнением, объединяющим законы Гей-Люссака и Бойля-Мариотта:
где Р и V – давление и объём газа при температуре Т; Р0 и V0 – давление и объём газа при нормальных условиях. Данные задачи: V = 5л; Т = 298К (273 + 25 = 298); Р = 720 мм.рт.ст. (5,99 кПа); Р0 = 104 кПа; Т = 312К (273 + 39 = 312); Т = 273К. Подставляя данные задачи в уравнение, получим:
Ответ: V0 = 4,8л
Задача 32.
При 7°С давление газа в закрытом сосуде равно 96,0 кПа. Каким станет давление, если охладить сосуд до —33 °С?
Решение:
При постоянном объёме давление газа изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре:
Обозначим искомое давление через Р2, а соответствующую ему температуру через Т2. По условию задачи Р1 = 96,0 кПа; Т1 = 280К (273 + 7 = 280); Т2 = 240К (273 – 33 = 240). Подставляя эти значения в уравнение, получим:
Ответ: Р2 = 82,3кПа.
Задача 33.
При нормальных условиях 1г воздуха занимает объем 773 мл. Какой объем займет та же масса воздуха при 0 °С и )и давлении, равном 93,3 кПа (700мм. рт. ст.)?
Решение:
Зависимость между объёмом газа, давлением и температурой выражается общим уравнением, объединяющим законы Гей-Люссака и Бойля-Мариотта:
где Р и V – давление и объём газа при температуре Т; Р0 и V0 – давление и объём газа при нормальных условиях. Данные задачи: Р0 = 101,325кПа; V0 = 773мл; Т0 = 298К (273 + 25 = 298); Т = 273К; Р = 93,3кПа. Подставляя данные задачи и преобразуя уравнение, получим:
Ответ: V = 769, 07 мл.
Задача 34.
Давление газа в закрытом сосуде при 12°С равно 100 кПа (750мм рт. ст.). Каким станет давление газа, если нагреть сосуд до 30°С?
Решение:
При постоянном объёме давление газа изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре:
Обозначим искомое давление через Р2, а соответствующую ему температуру через Т2. По условию задачи Р1 = 100 кПа; Т1 = 285К (273 + 12 = 285); Т2 = 303К (273 + 30 = 303). Подставляя эти значения в уравнение, получим:
Ответ: Р2 = 106,3кПа.
Задача 35.
В стальном баллоне вместимостью 12л находится при 0°С кислород под давлением 15,2 МПа. Какой объем кислорода, находящегося при нормальных условиях можно получить из такого баллона?
Решение:
Зависимость между объёмом газа, давлением и температурой выражается общим уравнением, объединяющим законы Гей-Люссака и Бойля-Мариотта:
где Р и V – давление и объём газа при температуре Т; Р0 и V0 – давление и объём газа при нормальных условиях. Данные задачи: V = 12л; Т = 273К (273 + 0 = 2273); Р =15,2МПа); Р0 = 101,325кПа; Т0 = 298К (273 + 25 = 298). Подставляя данные задачи в уравнение, получим:
Ответ: V0 = 1,97м3.
Задача 36.
Температура азота, находящегося в стальном баллоне под давлением 12,5 МПа, равна 17°С. Предельное давление для баллона 20,3МПа. При какой температуре давление азота достигнет предельного значения?
Решение:
При постоянном объёме давление газа изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре:
Обозначим искомое давление через Р2, а соответствующую ему температуру через Т2. По условию задачи Р1 = 12,5МПа; Т1 = 290К (273 + 17 = 290); Р2 = 20,3МПа. Подставляя эти значения в уравнение, получим:
Ответ: Т2 = 1980С.
Задача 37.
При давлении 98,7кПа и температуре 91°С некоторое количество газа занимает объем 680 мл. Найти объем газа при нормальных условиях.
Решение:
Зависимость между объёмом газа, давлением и температурой выражается общим уравнением, объединяющим законы Гей-Люссака и Бойля-Мариотта:
где Р и V – давление и объём газа при температуре Т; Р0 и V0 – давление и объём газа при нормальных условиях. Данные задачи: Р0 = 101,325кПа; V = 680мл; Т0 = 298К (273 + 25 = 298); Т = 364К (273 + 91 = 364); Р = 98,7кПа. Подставляя данные задачи и преобразуя уравнение, получим:
<
Ответ: V0 = 542,3мл.
Задача 38.
При взаимодействии 1,28г металла с водой выделилось 380 мл водорода, измеренного при 21°С и давлении 104,5кПа (784мм рт. ст.). Найти эквивалентную массу металла.
Решение:
Находим объём выделившегося водорода при нормальных условиях, используя уравнение:
где Р и V – давление и объём газа при температуре Т = 294К (273 +21 = 294); Р0 = 101,325кПа; Т0 = 273К; Р = 104,5кПа. Подставляя данные задачи в уравнение,
получим:
Согласно закону эквивалентов, массы (объёмы) реагирующих друг с другом веществ m1 и m2 пропорциональны их эквивалентным массам (объёмам):
Мольный объём любого газа при н.у. равен 22,4л. Отсюда эквивалентный объём водорода равен 22,4 : 2 = 11,2л или 11200 мл. Тогда, используя формулу закона эквивалентов, рассчитаем эквивалентную массу металла:
Ответ: mЭ(Ме) = 39,4г/моль.
Задача 39.
Как следует изменить условия, чтобы увеличение массы данного газа не привело к возрастанию его объема: а) понизить температуру; б) увеличить давление; в) нельзя подобрать условий?
Решение:
Для характеристики газа количеством вещества (n, моль) применяется уравнение РV = nRT, или – это уравнение Клапейрона-Менделеева. Оно связывает массу (m, кг); температуру (Т, К); давление (Р, Па) и объём (V, м3) газа с молярной массой (М, кг/моль).
Тогда из уравнения Клапейрона-Менделеева объём газа можно рассчитать по выражению:
Отсюда следует, что V = const, если при увеличении массы (m) газа на некоторую величину будет соответственно уменьшена температура (T) системы на некоторое необходимое значение. Объём системы также не изменится при постоянной температуре, если при увеличении массы (m) газа на некоторую величину будет соответственно увеличено давление (P) системы на необходимую величину.
Таким образом, при увеличении массы газа объём системы не изменится, если понизить температуру системы или же увеличить давление в ней на некоторую величину.
Ответ: а); б).
Задача 40.
Какие значения температуры и давления соответствуют нормальным условиям для газов: а) t = 25 °С, Р = 760 мм. рт. ст.; б) t = 0 °С, Р = 1,013 • 105Па; в) t = 0°С, Р = 760 мм. рт. ст.?
Решение:
Состояние газа характеризуется температурой, давлением и объёмом. Если температура газа равна 0 °С (273К), а давление составляет 101325 Па (1,013 • 105) или 760 мм. рт. ст., то условия, при которых находится газ, принято считать нормальными.
Ответ: б); в).
Источник