В цилиндрических сообщающихся сосудах налита вода

В цилиндрических сообщающихся сосудах налита вода thumbnail

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Тема сегодняшней статьи – сообщающиеся сосуды и сила Архимеда. Начнем, как обычно, со стартовых, более простых задач, и потом перейдем к тем, что посложнее. Интересное будет дальше…

Задача 1. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?

Сосуды

Рисунок 1

Сначала запишем условие несжимаемости:

На уровне однородной жидкости можно записать условие равенства давлений:

Тогда

Ответ: 3,2 см, 12,8 см.

Задача 2. Три одинаковых сообщающихся цилиндра частично заполнены водой. Когда в левый цилиндр налили слой керосина высотой см, а в правый высотой см, то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько?

Сосуды

Рисунок 2

подготовка к олимп_сила Арх

Рисунок 3

Условие несжимаемости:

Откуда

Теперь условие равновесия:

Откуда

Тогда можно подставить все в первое уравнение:

Или

Ответ: 12 см.

Задача 3. В сосуде с водой плавает деревянная дощечка с приклеенным сверху железным шариком. Изменится ли уровень воды в сосуде, если дощечку перевернуть шариком вниз?

Здесь мы познакомимся с методом решения задач такого типа через силы, действующие на дно. Метод заключается в том, чтобы записать условие равновесия сил, действующих на дно сосуда до изменений и после них. Например, пусть в сосуде плавает кусок льда. Во-первых, полезно знать, что его масса равна массе воды, которую он вытеснил:

Сосуды

Рисунок 4

Сила, действующая на дно, с одной стороны:

Где – масса всего содержимого стакана (воды и льда).

С другой стороны,

Теперь лед растаял. Запишем новое условие равновесия сил, действующих на дно:

Масса содержимого не изменилась, поэтому

И

Теперь вернемся к задаче. Рассуждая таким же способом, заключаем, что после перевороте дощечки массы содержимых до переворота и после одинаковые, следовательно, уровень воды не изменится.

Задача 4. В стакане плавает кусок льда с вмороженной в него свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды, когда весь лед растает?

Запишем силу на дно в первом случае:

Когда лед растает, дробинка утонет, и будет давить на дно с силой

Для второго случая (масса содержимого не изменилась)

Но изменилась сила, действующая на дно:

Тогда

Так как правая часть, очевидно, положительное число, то , то есть уровень понизился.

Задача 5. В стакане с пресной водой плавает кусок дерева, к которому приклеен кусочек сахара. Как изменится уровень воды в стакане, когда сахар растворится?

Записываем силу на дно в первом случае:

Во втором случае

Масса содержимого не изменилась, следовательно,

Или

И плотность после растворения сахара стала больше, значит, уровень понизится.

Задача 6. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду, пока показание динамометра не изменится на Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если сечение сосуда S = 25 см?

Показания динамометра изменятся ровно на силу Архимеда:

Записываем силы на дно сначала:

После погружения гири сила давления на дно изменилась:

Читайте также:  Лопнул сосуд в глазу ощущения

Тогда

Откуда

Ответ: на 4 см.

Источник

Помним, (1) что давление в жидкости P = ρ·g·h, (2) если давление в сообщающихся сосудах (в правом и левом колене U образной трубки) одинаково, то жидкость покоится, иначе начинает движение перетекая из одной части сосуда в другую.

Доливая керосин в правое колено трубки мы изменяем уровень воды в левом колене трубки. Но! Вода из правого колена переходит в левое, чтобы скомпенсировать давление создаваемое столбом керосином. Распишем изменение высот столбов жидкости в каждом из колен.

Правое колено:

Высота столба жидкости: h прав. = х + h кер. – h воды., где х-исходная высота столба воды, h кер. -высота столба налитого керосина, h воды. -высота столба воды ушедшей в левое колено сосуда;

Расстояние от края трубки до уровня жидкости: 45 – h кер. + h воды., заметим, что когда жидкость из трубки уходит, то это расстояние увеличивается, когда жидкость доливают, то “зазор” между поверхностью жидкости и краем трубки, увеличивается.

Левое колено:

Высота столба жидкости: h лев. = х + h воды.;

Расстояние от края трубки до уровня жидкости: 45 – h воды.

В тот момент, когда жидкости покоятся, давления в правом и левом колене сосуда равны.

P прав. = P лев.

ρ воды·g·(х – h воды.) + ρ кер. ·g·h кер. = ρ воды ·g·(х + h воды.).

Домножим правую и левую части уравнения на дробь 1/g, раскроем скобки и получим:

ρ воды·х – ρ воды·h воды. + ρ кер. ·h кер. = ρ воды. ·х + ρ воды. ·h воды.

Сгруппируем в правой части уравнения все слагаемые с ρ воды., а в левой с ρ кер.

ρ кер. ·h кер. = ρ воды. ·х + ρ воды. ·h воды. – ρ воды·х + ρ воды·h воды.

ρ кер. ·h кер. = 2·ρ воды. ·h воды.

Плотность пресной воды 1 г/см³ плотность керосина пусть будет 0,8 г/см³ (точное значение зависит от марки керосина).

0,8·h кер. = 2·1·h воды.;

h кер. = (2·1·h воды.) /0,8;

h кер. = 2,5·h воды. [*]

Керосин легче воды, его столб будет выше, поэтому первым исчезнет зазор в правом колене.

45 – h кер. + h воды. = 0, то есть

h кер. = 45 + h воды. [**]

Левые и правые части уравнений [*] и [**] равны, объединим их в одно уравнение.

2,5·h воды. = 45 + h воды.

Упростим выражение.

2,5·h воды. – h воды. = 45;

(2,5 – 1)·h воды. = 45;

h воды. = 45/1,5 = 30 см;

h кер. = 45 + h воды. = 45+30=75 см.

Задача №2

Условие в этой задаче не полное, поэтому она, записанная как есть, имеет множество решений.

p ртути = ρ ртути ·g·h ртути = 13600 кг/м³ · 9,8 Н/кг · 0,01 м = 1333 Па

(Учебник физики 7 класс, Перышкин А. В., 2006 г., стр. 102).

p общ. = p воды + p керосина = ρ воды ·g·h воды + ρ кер. ·g·h кер. = 9800·h воды +7840·h кер.

1333= 9800·h воды +7840·h кер.

Из Вашего условия большего мы получить не сможем.

Задача №3

Сила тяжести F=mg; сообщающиеся сосуды с различным сечением используют в гидравлических машинах для развития больших сил, перегоняя поршнями жидкость из сосуда с малым сечением (площадью поперечного сечения) в сосуд с большим сечением F₂/F₁ = S₂/S₁.

Доливая керосин сверху мы его массой действуем как-бы на поршень 1.

Читайте также:  Не проходят сосуды в глазах

F₁ = Fтяж. керосина. = m кер. ·g = V кер. ·ρ кер. ·g = S₁ · h кер. · ρ кер. ·g.

F₂ = Fтяж. воды. = S₂ · h воды. · ρ воды. ·g.

Жидкость в сосудах покоится, следовательно, сила с которой действует керосин уравновешена силой с которой действует столб воды:

F₁ = F₂;

S₁ · h кер. · ρ кер. ·g = S₂ · h воды. · ρ воды. ·g.

(h кер. · ρ кер. ·g) / (h воды. · ρ воды. ·g) = S₂/S₁;

(???высота керосина 2 см или 0,2 см ??? Будем считать =2 см)

(0,02·0,8·9,8)/(h воды. ·1·9,8) = 3/1

Выразим неизвестную величину:

(0,02·0,8·9,8)·1= 3·(h воды. ·1·9,8)

h воды. = ((0,02·0,8·9,8)·1)/(3·(1·9,8)) = 0,016/3 = 0,005(3) м ≈ 0,53 см. – изменение уровня воды в широком сосуде.

Источник

В этом состоянии сохраняется объем, но не сохраняется форма. Например, если перелить молоко из кувшина в стакан – молоко, имевшее форму кувшина, примет форму стакана. Кстати, в корове у молока тоже была другая форма.

Расстояние между молекулами в жидком состоянии чуть больше, чем в твердом, но все равно невелико. При этом частицы не собраны в кристаллическую решетку, а расположены хаотично. Молекулы почти не двигаются, но при нагревании жидкости делают это более охотно.

Вспомните, что происходит, если залить чайный пакетик холодной водой – он почти не заваривается. А вот если налить кипяточку – чай точно будет готов.

Агрегатных состояния точно три?

На самом деле, есть еще четвертое – плазма. Звучит, как что-то из научной фантастики, но это просто ионизированный газ – газ, в котором помимо нейтральных частиц, есть еще и заряженные. Ионизаторы воздуха как раз строятся на принципе перехода из газообразного вещества в плазму.

Сообщающиеся сосуды

Поскольку жидкость принимает форму сосуда, в который ее поместили, имеет место быть такое явление, как сообщающиеся сосуды.

  • Сообщающиеся сосуды – это сосуды, соединенные между собой ниже уровня жидкости (в каждом сосуде). Так жидкость может перемещаться из одного сосуда в другой.

Какую бы форму не имели такие сосуды, на поверхности однородных жидкостей в состоянии покоя на одном уровне действует одинаковое давление.

Если в колена сообщающихся сосудов налить жидкости, плотности которых будут различны, то меньший объём более плотной жидкости в одном колене уравновесит больший объём менее плотной жидкости в другом колене сосуда.

Другими словами, высота столба жидкости с меньшей плотностью больше, чем высота столба жидкости с большей плотностью. Давайте рассчитаем, во сколько высота столба жидкости с меньшей плотностью больше высоты столба жидкости с большей плотностью, если эти две несмешивающиеся жидкости находятся в сообщающихся сосудах.

p = ρgh, p1 = p2, ρ1 gh1= ρ2 gh2,

Отсюда:

h1/h2 = ρ1/ρ2

ρ2 = (h1/h2) * ρ1

Применение сообщающихся сосудов

На принципе сообщающихся сосудов основано устройство очень простого прибора для определения плотности жидкости. Этот прибор состоит из двух сообщающихся сосудов: двух вертикальных стеклянных трубок, соединенных между собой третьей изогнутой трубкой.

Одна из вертикальных трубок заполняется жидкостью, плотность которой нужно определить, а другая – жидкостью известной плотности (например, водой, плотность которой равна 1000 кг/м^3). Жидкости должны заполнить трубки настолько, чтобы их уровень в изогнутой трубке посередине был на отметке прибора 0. Высоты жидкостей в трубках над этой отметкой измеряют и находят плотность исследуемой жидкости, зная, что высоты обратно пропорциональны плотностям (об этом мы говорили выше).

Читайте также:  Чем отличается узи вен от узи сосудов

Также на законе сообщающихся сосудах основаны устройства, которые определяют уровень жидкости в закрытых сосудах: резервуарах, паровых котлах.

Чтобы судно могло переплыть из одной водного бассейна в другой, если уровни воды в них разные, необходимо использовать шлюз. Устройство шлюза также основано на принципе сообщающихся сосудов. В первых воротах шлюза открывается клапан, камера соединяется с водоёмом, они становятся сообщающимися сосудами, уровни воды в них выравниваются. После этого ворота открываются, и судно проходит в первую камеру. Открывается следующий клапан, после выравнивания уровней воды открываются ворота, и так повторяется столько раз, сколько камер имеет шлюз.

Давление столба жидкости

Выведем формулу давления столба жидкости через основную формулу давления.

Давление

p = F/S

p – давление [Па]

F – сила [Н]

S – площадь [м^2]

В случае давления жидкости на дно сосуда мы можем заменить силу в формуле на силу тяжести.

p = mg/S

Также мы можем представить массу жидкости, как произведение плотности на объем:

p = ρ*V*g/S

Из геометрии мы знаем, что объем тела вращения (например, цилиндра) – это произведение площади основания на высоту: V = Sh.

Следовательно, высота будет равна h = V/S. Подставляем в формулу высоту вместо отношения объема к площади.

p = ρ*g*V/S

p = ρgh

В сообщающихся сосудах давление жидкости на одном уровне (на одной и той же высоте) будет одинаковым.

А можно сделать так, чтобы давление было разным?

С помощью перегородки можно сделать так, чтобы уровень жидкости, а следовательно, и давления в сообщающихся сосудах отличались.

Перегородка, установленная между сосудами перекроет сообщение. Далее доливая жидкость в один из сосудов мы создаем дополнительное давление. Если затем убрать перегородку, то жидкость начнет перетекать в тот сосуд, где её уровень ниже – до тех пор, пока высота жидкости в обоих сосудах не станет одинаковой.

Этот принцип используют в водонапорной башне. Чтобы создать высокое давление, башню наполняют водой. Затем открывают трубы на нижнем этаже, и вода устремляется в дома в наши краны и батареи.

Задачка

Какой площади необходимо сделать малый поршень в гидравлическом прессе, для того, чтобы выигрыш в силе получился равным 2? Площадь большого поршня равна 10 см^2.

Решение:

Гидравлический пресс – это два цилиндрических сообщающихся сосуда. Площадь большого поршня, с приложенной силой F1, равна 10 см^2.

Площадь малого поршня обозначим Sмал, к нему приложена сила F2.

Давления в сообщающихся сосудах на одинаковой высоте равны: p1 = p2

Подставим формулу давления:

F1/Sбол=F2/Sмал.

Выразим Sмал, получим:

Sмал = (F2/F1) * Sбол

Так как по условию выигрыш в силе F2/F1 равен 2, то:

Sмал=2*Sбол= 2*10 = 20 см^2

Ответ: малый поршень необходимо сделать с площадью равной 20 см^2

Понимать и любить этот мир гораздо проще, когда разбираешься в физике. В этом помогут небезразличные и компетентные преподаватели онлайн-школы Skysmart.

Чтобы формулы и задачки ожили и стали более дружелюбными, на уроках мы разбираем примеры из обычной жизни современных подростков. Приходите на бесплатный вводный урок по физике и начните учиться в удовольствие уже завтра!

Источник