В цилиндрический сосуд опустили
Классика в гидростатике
В статье пойдет речь о законе Архимеда и его применении в задачах на плавание тел погруженных в цилиндрический сосуд с вертикальными стенками. Формулировка закона известна с древних времен. На целиком погруженное в жидкость или газ тела действует выталкивающая сила модуль которой равен весу жидкости или газа в объеме погруженной части тела. За такое большое время придумали огромное количество задач, и несколько приемов их решения. остановимся на классическом решении которое применяют большинство учеников использующих условие плавания тел и то что объем жидкости изначально налитой в сосуд не изменяется. Рассмотрим как реализуют этот прием в решении конкретных задач предлагаемых в различные вузы.
Задача 1. В цилиндрический сосуд с водой опустили железную коробочку, из-за чего уровень воды в сосуде поднялся на 2 см. На сколько опустится уровень воды, если коробочку утопить.
Сделаем рисунок, на котором укажем развитие ситуации. Был объем воды SH стал SH1–Vж где Vж объем жидкости вытесненнной плавающим телом найдем его из условия плавания mg = r0gVж
Получим Для первого и третьего рисунка где объем железной коробочки. Перепишем эти выражения
(1)
(2)
Разделив первое на второе получим откуда
и ∆h = ∆h1 – ∆h2
Задача 2. В одном из двух одинаковых заполненных водой цилиндрических сообщающихся сосудах плавает шарик (рис). Масса шарика m, площадь сечения дна каждого сосуда S. На сколько изменится уровень воды, если вынуть шарик?
В решении изменим условие. Пусть шарик плавает
в цилиндрическом сосуде, изобразим как развивалось ситуация. Объем жидкости в сосуде не меняется
SH1 = SH2 – 
Vж
Vж – объем жидкости вытесненный погруженной частью тела. Из условия плавания
mg = rgVж
Для нашей задачи очевидно
Задача 3. В прямой цилиндрический сосуд, площадь основания которого 100см2, налили 1л соленой воды плотностью 1,15 г/см3 и опустили льдинку из пресной воды массой 1кг. Определите, как изменится уровень воды в сосуде, если половина льдинки растает. Считать, что при растворении соли в воде объем жидкости не изменится.
Найдем плотность воды после таяния льда r2 если до этого ее плотность была по условию
r1 =1,15 г/см3
r2 =1,1 г/см3
Изобразим развитие действия
Объем воды не меняется Из условия плавания mg = r1 gVж
Для второго случая
Задача 4. В цилиндрическом сосуде площадью сечения 11см2 находится кубик льда массой 11г при температуре -100С. Какое минимальное количество теплоты нужно сообщить льду для того, чтобы уровень воды в сосуде не изменялся. При расчете принять, что при плавлении лед сохраняет форму куба.
Уровень вод в сосуде не будет меняться в процессе плавления льда когда он плавает так как в этом случае объем содержимого не меняется и давление на дно остается постоянным. Количество теплоты идет на нагревание и частичное плавление льда Q =cm∆t + l∆m; ∆m масса растаявшего льда ∆m = m –m1;
m1 масса плавающего льда. Изобразим процесс на рисунке. В момент плавания льда m1g = rgVж =rgHa2 Объем воды равен . Заменим Н в последнем выражении раскрыв скобки получим с другой стороны m1=ra3 Заменим а отсюда Окончательно
Упражнения
1. В цилиндрическом стакане с водой плавает льдинка, притянутая нитью ко дну. Когда льдинка растаяла, уровень воды изменился на ∆h. Каково было натяжение нити? Площадь дна стакана S
(Ответ T =r0gS∆h)
2. Дубовый цилиндр высотой 12см плавает в стакане с водой, как изменится уровень воды в стакане, если поверх воды налить слой керосина толщиной 2 см. Площадь поперечного сечения стакана в четыре раза больше площади цилиндра. Плотность керосина и дуба равна 0,8 г/см3
(Ответ ∆Н = 4мм)
3. В двух цилиндрических сообщающихся сосудах имеющих одинаковые поперечные сечения 11,5см2, находится ртуть. В один из сосудов поверх ртути наливают один литр воды, в другой один литр масла. На какое расстояние переместится уровень ртути в сосудах? Каков будет ответ, если в воду опустить плавать тело массой 150г? rm = 800кг/м3
(Ответ: 0,64см, 1,2см)
4. В сосуд с водой цилиндрической формы, отпустили кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В результате уровень воды в сосуде поднялся на 11мм, а лед стал плавать целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень воды в сосуде за время таяния льда? Плотность стекла 2г/см3
(Ответ ∆h =1мм)
5. В цилиндрический сосуд радиусом 10см налили воду до уровня 15см. В сосуд бросили губку массой 60г которая впитала в себя часть воды, но продолжала плавать на поверхности. Найдите установившийся уровень воды в сосуде
(Ответ 15,3см)
Источник
Задание 1. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 48 см. На какой высоте
будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.
Решение. Заметим, что при переливании жидкости
из одного сосуда в другой объём жидкости не изменился. Объём цилиндра равен произведению
площади основания на высоту этого цилиндра. То есть V=Sh=pR2h. Поскольку в новом сосуде диаметр, а значит и
радиус, в 2 раза больше, то площадь основания будет больше в 4 раза, значит
высота, соответственно, уменьшится в 4 раза, то есть станет равна 48:4=12 см.
Ответ 12.
Задание 2. В
цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм3 воды, опустили
деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен
объём детали? Ответ выразите в дм3.
Решение. Заметим, что при опускании детали в
сосуд изменение общего объёма равно объёму детали. Объём цилиндра равен
произведению площади основания на высоту этого цилиндра. То есть V=Sh=pR2h. Так как уровень жидкости поднялся в 1,5 раза,
значит объём увеличился тоже в 1,5 раза и стал равен 6*1,5 = 9. Объём детали
равен 9 – 6=3.
Ответ 3.
Задания для самостоятельного решения. Все задания взяты из открытого банка заданий ФИПИ.
1.
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает
98 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить
во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра
первого? Ответ выразите в сантиметрах.
2. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
3. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 256 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
4.
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает
64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить
во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра
первого? Ответ выразите в сантиметрах.
5. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 96 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
6. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 20 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
7. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 25 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
8. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
9. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 405 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
10. В цилиндрическом
сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться
уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр
которого в 5 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
11. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 45 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
12. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
13. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 294 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
14. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 192 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
15. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 147 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
16. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 50 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
17. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 320 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
18. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 125 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
19. В цилиндрическом
сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться
уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр
которого в 6 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
20. В цилиндрическом
сосуде уровень жидкости достигает 5 см. На какой высоте будет находиться
уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр
которого в 3 раза меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
21. В цилиндрическом
сосуде уровень жидкости достигает 6 см. На какой высоте будет находиться
уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр
которого в 7 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
22. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
23. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 112 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
24. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 32 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
25. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
26. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости
достигает 384 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если
её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше
диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
27. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
28. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 28 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2
раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
29. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 72 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
30. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 216 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости,
если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз
больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
31. В цилиндрическом
сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться
уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр
которого в 3 раза меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
32. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 567 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
33. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 144 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
34. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
35. В цилиндрическом сосуде уровень
жидкости достигает 243 см. На какой высоте будет находиться уровень
жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9
раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
36. В цилиндрический
сосуд, в котором находится 10 дм3 воды, опустили деталь. При
этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,6 раза. Чему равен объём детали?
Ответ выразите в дм3.
37. В цилиндрический
сосуд, в котором находится 4 дм3 воды, опустили деталь. При
этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,5 раза. Чему равен объём детали?
Ответ выразите в дм3.
38. В цилиндрический
сосуд, в котором находится 8 дм3 воды, опустили деталь. При
этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объём детали?
Ответ выразите в дм3.
39. В
цилиндрический сосуд налили 500 куб. см воды. В воду полностью
погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза.
Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
Источник