В цилиндрический сосуд под поршнем
В эту статью намеренно сведены задачи про газы в сосудах, закрытых поршнями – легкими и тяжелыми. Под влиянием нагрева газы меняют свое состояние и сдвигают поршни в новое состояние равновесия. Как правило, нужно определить сдвиг поршня или отношение объемов.
Задача 1. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при нормальных условиях. Сосуд расположен горизонтально и разделен подвижным поршнем в отношении . В каком отношении поршень будет делить сосуд, если его меньшую часть нагреть до , а большую охладить до ?
Понятно, что, раз поршень в равновесии, то давление одинаково с обеих сторон: .
К задаче 1
Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:
Его количество пропорционально величине:
Количество газа в правой части сосуда пропорционально:
После изменения температур в левой части состояние газа таково:
А в правой:
Возьмем отношение двух последних равенств:
То есть, подставляя и , получим:
Ответ:
Задача 2. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при температуре . Внутри сосуд перегорожен легким, не проводящим тепло поршнем радиуса см на две части объемами см и см. Поршень находится в равновесии. На какое расстояние переместится поршень, если большую часть газа нагреть на 30К? Температура в другой части не меняется.
Давление изначально одинаково с обеих сторон: .
К задаче 2
Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:
А в правой части:
После того как газ нагрели, его давление и объем в обеих частях сосуда должны измениться, но по-прежнему давление слева и справа равны:
Возьмем отношение двух последних равенств:
Количество газа в меньшей части сосуда пропорционально величине:
Количество газа в правой части сосуда пропорционально:
Тогда:
Так как объем равен произведению , то
Тогда
Но , поэтому в левой части имеем:
И, так как , то
Наконец,
Но нам неизвестно, поэтому вместо этой величины используем отношение :
Ответ: поршень сдвинется на 0,67 см.
Задача 3. Сосуд с газом плотно закрыт пробкой, площадь сечения которой см. До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из сосуда, если сила трения, удерживающая пробку, Н? Начальное давление воздуха в сосуде Па, начальная температура .
Газ, находящийся в сосуде, изначально оказывает давление на пробку. Только его недостаточно для того, чтобы выдавить ее. Поэтому считаем, что избыточное давление, то есть изменение давления – как раз и выдавит пробку. Тогда
В свою очередь,
А так как процесс изохорный, то
Тогда
И
Тогда
Или
Откуда
Ответ: газ надо нагреть на , то есть до температуры .
Задача 4. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжелый поршень. Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объема над поршнем к объему под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в сосуде увеличить в 2 раза?
Рассмотрим состояние газа до нагрева. Температура обеих частей одинакова, массы равны, то есть
При этом понятно, что давления разные в обеих частях, так как объемы не одинаковы:
К задаче 4
Следовательно, так как , то
И
Аналогично и после нагрева: так как газ нагревают в обеих частях сосуда, и масса газа в обеих частях одинакова, то можно записать, что
Искомое отношение –
А
И
Подставим давление поршня:
Перейдем к объемам:
Подставим эти соотношения:
Запишем объем после нагрева через приращение объема:
Перейдем к полному объему сосуда:
Теперь мы имеем всего две неизвестных в одном уравнении, и можем разделить все уравнение, например, на :
Где – заметим, что корень должен быть меньше 1 по модулю и при этом положительный, иначе будет потерян физический смысл.
Выбираем в связи с вышеизложенными соображениями второй корень. Тогда .
Найдем оба объема частей сосуда после подогрева:
Наконец, отношение объемов (Алилуйя! Мы сделали это!):
Источник
Задача C16. В цилиндрическом сосуде под поршнем находится 2 л водяного пара при 100 °C и давлении Па. Поршень опускают, и объем пара изобарно уменьшается вдвое. Какое количество теплоты отдает этот пар, если при этом его температура не изменяется? Удельная теплота парообразования Дж/ кг, молярная масса водяного пара 0,018 кг/моль.
Обозначим
первоначальный объем пара, t — его первоначальную температуру по шкале Цельсия, Т — его первоначальную температуру по шкале Кельвина, р — давление пара, конечный объем пара, r — удельную теплоту парообразования, М — молярную массу пара, — уменьшение внутренней энергии, m — массу сконденсировавшегося пара, А — работу, которую совершают над паром, — изменение объема пара, R — молярную газовую постоянную.
Решение:
Вспомним теорию. Водяной пар при 100 °C, да еще и в закрытом поршнем сосуде, является насыщенным. А его сжимают. Если бы он был ненасыщенным, то его давление при неизменной температуре непременно увеличилось бы. Но давление насыщенного пара при данной температуре максимально, его нельзя увеличить никаким сжатием.
Куда же девается «лишний» пар при сжатии? Он конденсируется, превращается в воду. А давление оставшегося над ней пара остается прежним. Поскольку объем пара уменьшился в два раза, значит, половина бывшего пара сконденсировалась.
Теперь подумаем, в какие формулы входит количество теплоты, и какую из них лучше всего применить в данном случае.
Ближе всего к этому случаю первый закон термодинамики и формула количества теплоты, выделяющейся при конденсации пара.
Но эта формула позволяет определить количество теплоты, которое выделит пар только при конденсации. Именно настолько уменьшится его внутренняя энергия
. Следовательно,
где масса сконденсировавшегося пара равна массе оставшегося, ведь объем пара уменьшился наполовину.
Но у нас пар еще и сжимают, значит, совершают над ним отрицательную работу А. Тогда количество теплоты, которое выделит пар вследствие конденсации и сжатия, с учетом знаков по первому закону термодинамики равно:
Работа изобарного сжатия равна произведению давления пара и изменения его объема
:
Подставим правые части формул (1) и (3) в равенство (2) и посмотрим, что получится:
Но масса пара, оставшегося в сосуде, нам не дана. Правда, она входит в уравнение Менделеева — Клапейрона, где молярная масса водяного пара М = 0,018 кг/моль нам известна. Запишем это уравнение и найдем из него недостающую массу:
Нам осталось подставить правую часть этого равенства в формулу (4), и задача в общем виде будет решена. Подставляем:
Задача в общем виде решена.
Теперь выразим все величины в единицах СИ и вычислим:
Ответ: Q = 1,4 кДж.
Эта задача взята со страницы подробного решения задач по физике, там расположена теория и подробное решения задач по всем темам физики:
Задачи по физике с решением
Возможно вам будут полезны эти задачи:
| Задача С14. Два теплоизолированных сосуда соединены узкой трубкой с закрытым краном, объемом которой можно пренебречь. В первом сосуде содержится молей идеального газа со средней квадратичной скоростью молекул , а во втором содержится молекул этого газа со средней квадратичной скоростью молекул . Все молекулы одинаковы. Какова будет их средняя квадратичная скорость молекул и, если кран открыть? |
| Задача C15. В горизонтально расположенном цилиндрическом сосуде находится идеальный газ массой , закрытый поршнем массой . Вследствие изобарного расширения газа при его нагревании поршень приобретает скорость V, двигаясь из состояния покоя. Внутренняя энергия газа U прямо пропорциональна его абсолютной температуре, где k — коэффициент пропорциональности. Молярная масса газа М. Какое количество теплоты Q передано газу при этом? Теплоемкостями сосуда и поршня пренебречь. |
| Задача С17. Посередине теплоизолированного и закрытого цилиндрического сосуда длиной l с площадью основания S располагается поршень, толщиной которого можно пренебречь. Справа от поршня в сосуде находится газ под давлением и при температуре , а слева вакуум. Поршень соединен с левым основанием цилиндра сжатой упругой пружиной жесткостью k. Длина пружины в недеформированном состоянии равна длине цилиндра. Поршень удерживается в неподвижном состоянии внешним воздействием. Какая установится температура газа , если поршень отпустить? Известно, что внутренняя энергия этого газа пропорциональна его температуре: U = СТ, где С — известный коэффициент пропорциональности. Трением и теплоемкостями цилиндра с поршнем можно пренебречь. |
| Задача С18. Тонкостенный резиновый шар массой 40 г наполнен кислородом и погружен на глубину 20 м. Найти массу кислорода в шаре, если он находится в равновесии. Давление атмосферы Па, температура на глубине 3 °C. Растяжением и объемом оболочки шара пренебречь. Молярная масса кислорода 0,032 кг/моль, плотность воды 1000 . |
Источник